2021-2022学年吉林省长春市十一高中高二下学期第一学程考试数学试题含答案

这是一份2021-2022学年吉林省长春市十一高中高二下学期第一学程考试数学试题含答案，共8页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。
第Ⅰ卷（共 60 分）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.
1．把3封信投到4个信箱中，所有可能的投法共有（ ）
A．7种B．12种C．种D．种
2．函数y=x2㏑x的单调递减区间为（ ）
A．（1,1]B．（0,1]C．[1，+∞）D．（0，+∞）
3．如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为（ ）
A．24 B．18
C．12 D．9
4．函数的图像大致为 ( )
A．B．
C．D．
5．若函数在是增函数，则的取值范围是( )
A．B．C．D．
6．为了贯彻落实中央新疆工作座谈会和全国对口支援新疆工作会议精神，促进边疆少数民族地区教育事业发展，我市教育系统选派了三位男教师和两位女教师支援新疆，这五名教师被分派到三个不同地方对口支援，每位教师只去一个地方，每个地方至少去一人，其中两位女教师分派到同一个地方，则不同的分派方法有（ ）
A．18种B．36种C．68种D．84种
7．已知函数f(x)＝x(lnx－ax)有两个极值点，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，0)B．C．(0,1)D．(0，＋∞)
8．已知e为自然对数的底数,设函数,则( )
A．当k=1时,f(x)在x=1处取到极小值 B．当k=1时,f(x)在x=1处取到极大值
C．当k=2时,f(x)在x=1处取到极小值 D．当k=2时,f(x)在x=1处取到极大值
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分. 在每小题给出的四个选项中，可以有多个选项是符合题目要求的. 全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．如图是导函数的图象，则下列说法正确的是（ ）
A．为函数的单调递增区间
B．为函数的单调递减区间
C．函数在处取得极大值
D．函数在处取得极小值
10．、、、、五个人并排站在一起，则下列说法正确的有（ ）
A．若、两人相邻共有48种方法 B．若、不相邻共有12种方法
C．若在左边有60种排法 D．若不站在最左边，不站最右边，有72种方法
11．定义在上的函数的导函数为，且恒成立，则必有（ ）
A． B． C． D．
12．已知函数，若关于x的不等式恒成立，则k的取值可以为（ ）
A．1B．eC．4 D．
第Ⅱ卷（共90分）
填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．甲、乙、丙、丁、戊5名学生站成一排．甲、乙要相邻．且甲不站在两端，则不同的排法种数为______．
（用数字作答）
14．函数仅有一个零点，则实数的取值范围是_________．
15．如图为我国数学家赵爽（约3世纪初）在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图，现在提供4种颜色给其中5个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻颜色不同，则不同的涂色方法种数为____________．
16．等差数列的前n项和为，已知S10＝0，S15＝25，则的最小值为________．
四、解答题：本题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（10分）
在某次普通话测试中，为测试汉字发音水平，设置了10张卡片，每张卡片印有一个汉字的拼音，其中恰有3张卡片上的拼音带有后鼻音“g”.
（1）现对三位被测试者先后进行测试，第一位被测试者从这10张卡片中随机抽取1张，测试后放回，余下2位的测试，也按同样的方法进行．求这三位被测试者抽取的卡片上，拼音都带有后鼻音“g”的概率．
（2）若某位被测试者从10张卡片中一次随机抽取3张，求这三张卡片上，拼音带有后鼻音“g”的卡片不少于2张的概率．
18．（12分）
已知等差数列和等比数列满足,．
（1）求的通项公式；
（2）求和：．
19．（12分）
设函数在处取得极值，且曲线在点处的切线垂直于直线．
（1）求的值；
（2）若函数，讨论的单调性．
20．（12分）
设函数，其中在，曲线在点处的切线垂直于轴
（1）求的值；
（2）求函数的极值．
21．（12分）
已知椭圆的中心为原点，长轴在轴上，上顶点为，左、右焦点分别为，线段的中点分别为，且△是面积为4的直角三角形．
（1）求该椭圆的标准方程；
（2）过作直线交椭圆于，，求直线的方程．
22.（12分）
设函数(其中).
(Ⅰ)当时,求函数的单调区间；
(Ⅱ)当时,求函数在上的最大值.
数学答案
1．D 2．B 3．B
4．B 5．D 6．B
7．B 8．C
9．AD
10．AC
11．BD
12．CD
13．36
14．或
15．72
16．－49
17．（10分）
（1）每次测试中，被测试者从10张卡片中随机抽取1张卡片上，拼音带有后鼻音“g”的概率为，
因为三位被测试者分别随机抽取一张卡片的事件是相互独立的，因而所求的概率为
（2）设表示所抽取的三张卡片中，恰有张卡片带有后鼻音“g”的事件，且其相应的概率为则 ,
因而所求概率为
18．（12分）
（Ⅰ）设等差数列{an}的公差为d.
因为a2+a4=10，所以2a1+4d=10.解得d=2.所以an=2n−1.
（Ⅱ）设等比数列的公比为q.
因为b2b4=a5，所以b1qb1q3=9.
解得q2=3.所以.
从而.
19．（12分）
（1）依题意得，因为在处取得极值，故，
曲线在点处的切线的斜率为，
因为切线垂直于直线，所以切线的斜率为，故，得，
所以；
（2）由（1）知，，
令，则
①当即时，在上恒成立，故函数在上为增函数；
②当即时，，故函数在上为增函数；
③当即时，有两个不等实根， ；当时，故函数在
上为增函数，当时，
故函数在上为减函数.
20．（12分）
（Ⅰ）因 ，故 由于曲线 在点 处的切线垂直于轴，故该切线斜率为0，即 ，从而 ，解得
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
令，解得（因 不在定义域内，舍去）当 时， 故 在上为减函数；当 时， 故 在上为增函数，故在 处取得极小值，无极大值
21．（12分）
解：（Ⅰ）设椭圆的方程为，F2（c，0）
∵△AB1B2是的直角三角形，|AB1|=AB2|，∴∠B1AB2为直角，从而|OA|=|OB2|，即
∵c2=a2﹣b2，∴a2=5b2，c2=4b2，
在△AB1B2中，OA⊥B1B2，∴S=|B1B2||OA|=
∵S=4，∴b2=4，∴a2=5b2=20
∴椭圆标准方程为；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知B1（﹣2，0），B2（2，0），由题意，直线PQ的倾斜角不为0，故可设直线PQ的方程为x=my﹣2
代入椭圆方程，消元可得（m2+5）y2﹣4my﹣16=0①
设P（x1，y1），Q（x2，y2），
∴，
∵，
∴=
∵PB2⊥QB2，∴
∴，∴m=±2
故直线的方程为和
（12分）
（1）当时,,
令,得,
当变化时,的变化如下表:
函数的递减区间为,递增区间为,.
（2）,
令,得,，令，则，所以在上递增，所以,从而,
所以，所以当时,;
当时,；
所以
令，则，
令，则
在上递减，而
所以存在使得，且当时，,
当时，
所以在上单调递增，在上单调递减.
因为，
所以在上恒成立，当且仅当时取等号，
所以，
综上，函数在上的最大值.单调递增
极大值
单调递减
极小值
单调递增