2021-2022学年江苏省泰州市泰兴市济川中学九年级（下）月考数学试卷（3月份）（含解析）

2021-2022学年江苏省泰州市泰兴市济川中学九年级（下）月考数学试卷（3月份）

副标题

一、选择题（本大题共6小题，共18.0分）

1. 下列方程中，一定是一元二次方程的是

A.  B.
C.  D.

2. 三角形的重心是

A. 三角形三条边上中线的交点 B. 三角形三条边上高线的交点
C. 三角形三条边垂直平分线的交点 D. 三角形三条内角平分线的交点

3. 在比例尺是：的泰兴市城区地图上，鼓楼南路的长度约为，它的实际长度约为

A.   B.   C.   D.  

4. 将二次函数化为顶点式，正确的是

A.  B.
C.  D.

5. 如图，已知，那么添加一个条件后，仍不能判定与相似的是

A.
B.
C.
D.

6. 如图，圆内接正八边形的边长为，以正八边形的一边作正方形，将正方形绕点顺时针旋转，使与正八边形的另一边重合，则正方形与正方形重叠部分的面积为

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共10小题，共30.0分）

7. 方程的根为______．
8. 已知，则的值为______．
9. 一个盒子里装有除颜色外都相同的个白球和个红球，从盒子里随机摸出个球，摸出红球的概率是，则______．
10. 现有一个半径为的半圆形纸片，用它恰好围成一个圆锥的侧面接缝忽略不计，则该圆锥底面圆的半径为______．
11. 已知抛物线，经过，，，四点，则与的大小关系是______填“”、“”或“”．
12. 在中，，，，分别是，，对边，若，则的值是______．
13. 如图，某水库堤坝横截面迎水坡的坡比是：，堤坝高，则迎水坡面的长度是______
     

14. 已知点、、是一次函数图象上三点，其中、、三点的横坐标，，的方差为，则纵坐标，，的方差为______．
15. 如图，四边形内接于，为的直径，为弧的中点，若，则______．
    
     

16. 如图，在等腰中，，，于点，点是边上的一个动点，以为边向右作∽，连接，则的最小值为______．

三、解答题（本大题共10小题，共102.0分）

17. 计算：；
    解方程：．
    
    
    
    
    
    
     
18. 方程是关于的一元二次方程，该方程的两个实数根分别为，．
    求的取值范围．
    若，求的值．
    
    
    
    
    
    
     
19. 近年来网约车十分流行，初三某班学生对“美团”和“滴滴”两家网约车公司各名司机月收入进行了一项抽样调查，司机月收入单位：千元如图所示：
    
    根据以上信息，整理分析数据如下：
    完成表格填空；

根据以上数据，若从两家公司中选择一家做网约车司机，你会选哪家公司，并说明理由．






 

20. 现有甲、乙、丙三名学生参加学校演讲比赛，并通过抽签确定三人演讲的先后顺序．
    甲第一个演讲的概率为______；
    请用“画树状图”或“列表”的方法求丙比甲先演讲的概率．
    
    
    
    
    
    
     
21. 如图，在东西方向的马路上有，两个观测点，，相距，从两个观测点分别观察同一建筑物，在的北偏东方向上，在的北偏东方向上．
    求的度数；
    求建筑物到马路的距离结果用根号表示

22. 如图，四边形内接于，点在的延长线上，给出下列信息：平分；；．
    请在上述条信息中选择其中两条作为条件，另一条作为结论组成一个真命题，并给出证明．你选择的条件是______，结论是______只要填写序号
    在的情况下，若，时，求的长．
    
    
    
    
    
    
     
23. 如图，为线段上的一点，在图中仅用圆规分别在、上作点、，使，且．
    写出作图步骤，保留作图痕迹；
    若的正切值为，求：图供问题用

24. 某商场促销方案规定：商场内所有商品按标价的出售，同时，当顾客在商场内消费满一定金额后，按下表获得相应的返还金额．

根据上述促销方案，顾客在该商场购物可以获得双重优惠，例如：若购买标价为元的商品，则消费金额为元，获得的优惠额为元．
购买一件标价为元的商品，顾客获得的优惠额是多少？
如果某顾客消费金额在范围内，且获得的优惠额为元，那么该商品的标价为多少元？






 

25. 如图，矩形中，，，点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿边运动，到点停止运动．过点作交于点，将绕点顺时针旋转得到，且点落在线段上，设点的运动时间为秒．
    若，求的面积；
    若点在的平分线上，求的长；
    设与重叠部分的面积为，用含的式子表示，并直接写出当时的取值范围．
    
    
    
    
    
    
     
26. 如图，在平面直角坐标系中，将抛物线：其中为常数，且关于原点对称得到抛物线，抛物线，的顶点分别为，．
    请直接写出抛物线的表达式；用含有的式子表示
    若抛物线与轴的交点从左到右依次为，，抛物线与轴的交点从左到右依次为，．
    若，，，四点从左到右依次排列，且，求的值；
    是否存在这样的，使以点，，，为顶点的四边形是矩形？若存在，求出的值；若不存在，说明理由；
    在抛物线对称轴右侧的部分任取一点，设直线，分别与轴相交于，两点，且，，求的值．

答案和解析

1.【答案】

【解析】

解：根据一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是的整式方程叫一元二次方程．
选项不是整式方程，不符合题意；
选项化简，得，不含有次项，
选项不符合题意；
选项符合题意；
选项当时，不含有次项，
选项不符合题意．
故选：．
根据一元二次方程的定义，只含有一个未知数，并且最高次项的次数是次，并且得是整式方程，即可判断．
本题考查了一元二次方程，对一元二次方程的定义的准确理解是解决本题的关键．
 

2.【答案】

【解析】

解：三角形的重心是三条中线的交点，
故选：．
根据三角形的重心是三条中线的交点解答．
本题考查了三角形重心的定义．掌握三角形的重心是三条中线的交点是解题的关键．
 

3.【答案】

【解析】

解：设它的实际长度为，
根据题意得：，
解得：，
，
它的实际长度为．
故选：．
首先设这两地的实际距离是，然后根据比例尺的性质，即可得方程：，解此方程即可求得答案，注意统一单位．
此题考查了比例尺的性质．此题难度不大，解题的关键是理解题意，根据比例尺的性质列方程，注意统一单位．
 

4.【答案】

【解析】

【分析】
此题主要考查了二次函数的三种形式，正确应用完全平方公式是解题关键．
直接利用配方法将原式变形进而得出答案．
【解答】
解：



，
故选：．  

5.【答案】

【解析】

解：

，，都可判定∽
选项C中不是夹这个角的两边，所以不相似，
故选：．
根据已知及相似三角形的判定方法对各个选项进行分析，从而得到最后答案．
此题考查了相似三角形的判定：
如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；
如果两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似；
如果两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似．
 

6.【答案】

【解析】

解：正八边形的内角，
正方形绕点顺时针旋转，使与正八边形的另一边重合，
，，
，
延长过点，如图，
，
，，
，
正方形与正方形重叠部分的面积．
故选：．
先计算出正八边形的内角，再利用旋转的性质得，，所以，则延长过点，如图，然后利用正方形与正方形重叠部分的面积进行计算．
本题考查了正多边形与圆：把一个圆分成是大于的自然数等份，依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆叫做这个正多边形的外接圆．也考查了正方形和正八边形的性质．
 

7.【答案】

，
 

【解析】

解：，
，
，
，，
，，
故答案为：，．
移项后分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．
本题考查了解一元二次方程的应用，关键是能把一元二次方程转化成一元一次方程．
 

8.【答案】

【解析】

解：，
，
，
，
故答案为：．
根据比例的性质，进行计算即可解答．
本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键．
 

9.【答案】

【解析】

解：根据题意可得，
解得：，
经检验：是原分式方程的解，
所以，
故答案为：．
依据概率公式，用红球的个数除以球的总个数摸出红球的概率建立关于的方程，解之可得．
本题主要考查了概率的求法：如果一个事件有种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件出现种结果，那么事件的概率，难度适中．
 

10.【答案】

【解析】

解：设该圆锥底面圆的半径为，
根据题意得，
解得，
即该圆锥底面圆的半径为．
故答案为：．
设该圆锥底面圆的半径为，由于圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，则利用弧长公式得到，然后解方程即可．
本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
 

11.【答案】

【解析】

解：抛物线经过，，
抛物线对称轴为直线，
，
抛物线开口向下，
距离对称轴越远的点的纵坐标越小，
，
，
故答案为：．
由抛物线的对称性可得抛物线对称轴，由可得抛物线开口向下，进而求解．
本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系．
 

12.【答案】

【解析】

解：因为在中，，，，分别是，，对边，
令，则，
由勾股定理可得，
所以，
故答案为：．
令，则，由勾股定理可得，依据正弦的定义即可得到的值．
本题考查了锐角三角函数的定义，解答本题的关键是掌握：锐角的对边与斜边的比叫做的正弦．
 

13.【答案】

【解析】

解：坡的坡比是：，，
，
由勾股定理得：，
故答案为：．
根据坡度的概念求出，根据勾股定理计算，得到答案．
本题考查的是解直角三角形的应用坡度坡角问题，掌握坡度是坡面的铅直高度和水平宽度的比是解题的关键．
 

14.【答案】

【解析】

解：点、、是一次函数图象上三点，
，，，
，，的方差为，
，，的方差为．
，，的方差为．
故答案为：．
先根据点在函数上得到，，，再利用方差的变化规律得到，，的方差，即可得到，，的方差．
本题考查一次函数图象上点的坐标特征及方差，解题的关键是掌握方差的变化规律．
 

15.【答案】

【解析】

解：连接，
点为弧的中点，
，
为的直径，
，
，
，
，
，
故答案为：．
连接，根据圆周角定理得到，，计算即可．
本题考查的是圆周角定理的应用、圆内接四边形的性质，掌握半圆或直径所对的圆周角是直角是解题的关键．
 

16.【答案】

【解析】

解：连接，过点作，垂足为，如图所示：

∽，
，：：，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，．
的最小值即为．
故答案为：．
先证≌，易得恒为，根据点到直线的所有连线中，垂线段最短，可知的最小值即为，进行求解即可．
本题考查了最小值问题，在运动过程中找出的运动轨迹，并运用垂线段最短求解是解决本题的关键．
 

17.【答案】

解：原式

；
，
，
，
，
，
，．
 

【解析】

根据实数的运算顺序计算即可；
利用配方法解答即可．
本题考查了实数的运算以及解一元二次方程，掌握相关运算法则是解答本题的关键．
 

18.【答案】

解：根据题意得，
解得；
根据题意得，，
，
，
．
 

【解析】

根据判别式的意义得到，然后解关于的不等式即可；
根据根与系数的关系得到，，利用整体代入的方法得到，然后解关于的方程即可．
本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，
 

19.【答案】

【解析】

解：“美团”的平均数是：

千元；
把这些数从小到大排列，中位数是第、第个数的平均数，
则中位数是：千元；
；
故答案为：；；．

选美团，平均数一样，中位数，众数美团均大于滴滴，且美团方差小，更稳定．
利用平均数、中位数及方差的定义分别计算后即可确定正确的答案；
根据平均数一样，中位数的大小和方差的大小进行选择即可．
本题考查了统计的有关知识，解题的关键是能够了解有关的计算公式，难度不大．
 

20.【答案】

【解析】

解：甲第一个演讲的概率为；
故答案为：；

画树状图如图：

共有个等可能的结果，丙比甲先演讲的结果有个，
丙比甲先演讲的概率．
由概率公式即可得出答案；
画出树状图，共有个等可能的结果，丙比甲先演讲的结果有个，由概率公式即可得出答案．
此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

21.【答案】

解：作交的延长线于．
由题意：，，
，
，，
，

如图在上取一点，使得，连接．
，
，
，设，则，，
，
，
，
，
．
 

【解析】

作交的延长线于求出，，根据计算即可．
如图在上取一点，使得，连接设，则，，根据构建方程即可解决问题．
本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造特殊三角形解决问题，属于中考常考题型．
 

22.【答案】

或或  或或
 

【解析】

解：由
，
，
平分，
，
，，
，
，
，
；

由，
平分，
，
，，
，
，
，
；

由，
，
，
，
，
，
，
平分；
故答案为：或或，或或．

解：，
，
，
∽；
，
．
分三种情形，把其中任意两个条件作为已知条件，证明即可；
证明∽；推出，即可解决问题．
本题属于圆综合题，考查了圆周角定理，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．
 

23.【答案】

解：以为圆心，为半径画弧交于点；
以为圆心，为半径画弧交于点，则点、即为所求作；

连接、、，作于，设，，
．
，
，，
，
，
≌，
，
，
在中，，
：：，即：：．
 

【解析】

根据要求写出步骤即可．
利用全等三角形的性质解决问题即可．
本题考查作图复杂作图，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
 

24.【答案】

解：元，，
返还金额元，
顾客获得的优惠额是元．
答：购买一件标价为元的商品，顾客获得的优惠额是元．
设该商品的标价为元，
依题意得：，
解得：．
答：该商品的标价为元．
 

【解析】

利用消费金额标价折扣率，可求出购买一件标价为元商品的消费金额，结合表格中的数据可得出返还金额为元，再利用顾客获得的优惠额标价返还金额，即可求出结论；
设该商品的标价为元，利用顾客获得的优惠额标价返还金额，即可得出关于的一元一次方程，解之即可求出该商品的标价．
本题考查了一元一次方程的应用以及有理数的混合运算，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
 

25.【答案】

解：如图中，

四边形是矩形，
，
，
，
，
，
．

如图中，

由题意得，平分，
，

，
．

如图中，当点落在上时，作于．

，
，
是等边三角形，
，
，，
，
如图中，当时，重叠部分是，．

如图中，当时，重叠部分是四边形，作于．

在中，，，
，，
是等边三角形，
，
四边形是矩形，
，
，
．
综上所述，．
 

【解析】

解直角三角形求出，即可解决问题．
当点在的平分线上时，可证即可解决问题．
首先求出点落在上的时间，分两种情形：如图中，当时，重叠部分是如图中，当时，重叠部分是四边形，作于分别求解即可．
本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，平行线的性质，等边三角形的判定和性质，解直角三角形，多边形的面积等知识，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．
 

26.【答案】

解：设抛物线上任意一点，
则点关于原点的对称点为，
将点代入抛物线，
抛物线的解析式为；
对函数，
令，解得或，
，
，，
对函数，
令，解得或，
，
，，
，，
，
，
；
存在，使以点，，，为顶点的四边形是矩形，理由如下：
抛物线的对称轴为，
，
抛物线的对称轴为，
，
、关于原点对称，、关于原点对称，
为矩形的对角线，
，
，
解得；
设点的横坐标为，
过点作轴的平行线交轴于点，过点作轴的平行线交轴于点，过点作轴的平行线交于点，
，
，
，
，
，
轴，
，
，
，
，
，
，
．
 

【解析】

设抛物线上任意一点，点关于原点的对称点为，将点代入抛物线，即可求解；
分别求出，，，，再由题意建立方程即可求的值；
由、关于原点对称，、关于原点对称，则为矩形的对角线，在由勾股定理可得，解得；
设点的横坐标为，过点作轴的平行线交轴于点，过点作轴的平行线交轴于点，过点作轴的平行线交于点，则，由平行线的性质可得，即，再由轴，得，即，最后由等式，可求．
本题考查二次函数的综合应用，熟练掌握二次函数的图象及性质，中心对称图形的性质，平行线的性质，矩形的性质是解题的关键．