备考2022年中考数学二轮冲刺专题：三角形之角平分线模型

备考2022年中考数学二轮冲刺专题：

三角形之角平分线模型

一．选择题

1．如图，点B是△ADC的边AD的延长线上一点，DE平分∠CDB，若∠C＝50°，∠BDE＝60°，则∠A的度数等于（　　）

A．70° B．100° C．110° D．120°

2．如图，BE、CF都是△ABC的角平分线，且∠BDC＝115°，则∠A＝（　　）

A．50° B．45° C．65° D．70°

3．如图，在△ABC中，PM⊥AB于点M，PN⊥AC于点N，且PM＝PN，点Q在AC上，∠PAQ＝∠APQ，则下面结论中不一定正确的是（　　）

A．AM＝AN B．∠BAP＝∠CAP C．PQ∥AB D．PQ＝PC

4．如图，△ABC中，AB＝6，AC＝8，∠ABC、∠ACB的平分线BD、CD交于点D．过点D作EF∥BC，分别交AB、AC于点E、F，则△AEF的周长为（　　）

A．12 B．13 C．14 D．15

5．有一题目：“如图，∠ABC＝40°，BD平分∠ABC，过点D作DE∥AB交BC于点E，若点F在AB上，且满足DF＝DE，求∠DFB的度数．”小贤的解答：以D为圆心，DE长为半径画圆交AB于点F，连接DF，则DE＝DF，由图形的对称性可得∠DFB＝∠DEB．结合平行线的性质可求得∠DFB＝140°．而小军说：“小贤考虑的不周全，∠DFB还应有另一个不同的值”．下列判断正确的是（　　）

A．小军说的对，且∠DFB的另一个值是40° 

B．小军说的不对，∠DFB只有140°一个值 

C．小贤求的结果不对，∠DFB应该是20° 

D．两人都不对，∠DFB应有3个不同值

6．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BD平分∠ABC交AC于点D，过点D作DE∥BC交AB于点E，∠ABC＝30°，DC＝2．动点P从点B出发，沿着B→C→A运动，当S△PBE＝4时，则∠PEB度数是（　　）

A．105° B．75°或105° C．150° D．75°或150°

7．如图，在△ABC中，ED∥BC，∠ABC和∠ACB的平分线分别交ED于点G、F，若FG＝3，ED＝7，则EB+DC的值为（　　）

A．7 B．9 C．10 D．8

8．如图，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的角平分线交于点O，且∠A＝70°，则∠BOC的度数是（　　）

A．110° B．125° C．140° D．145°

9．如图，已知在△ABC中，AB＝AC，BE和CD分别是∠ABC和∠ACB的平分线，则下列结论中正确的是（　　）①∠ABE＝∠ACD；②BE＝CD；③OC＝OB；④CD⊥AB，BE⊥AC．

A．① B．①② C．①②③ D．②③④

二．填空题

10．如图，△ABC中，∠BAC＝50°，∠ABC的角平分线与∠ACB的角平分线交于点O．则∠BOC＝　   　．

11．如图，在△ABC中，BD和CD分别是∠ABC和∠ACB的平分线，EF过点D，且EF∥BC，若BE＝3，CF＝4，则EF的长为 　   　．

12．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BE平分∠ABC，DE⊥AB于点D，如果AB＝5m，BC＝3cm，那么AE+DE等于 　   　cm．

13．如图，∠AOP＝∠BOP，PD⊥OA，C是OB上的动点，连接PC，若PD＝4，则PC的最小值为 　   　．

14．如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O．过点O作EF∥BC交AB于E．交AC于F，过点O作OD⊥AC于D．下列结论正确的是 　   　．

A．EF＝BE+CF

B．点O到∠ABC的两边的距离相等

C．∠BOC＝90°+∠A

D．设OD＝m，AE+AF＝n，则S△AEF＝mn

15．如图，在△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC，若CD＝3cm，则点D到AB的距离为 　   　cm．

16．如图，AD、CF分别是△ABC的高和角平分线，AD与CF相交于G，AE平分∠CAD交BC于E，交CF于M，连接BM交AD于H，且知BM⊥AE．

有下列结论：

①∠AMC＝135°；

②△AMH≌△BME；

③∠AGC+∠BAC＝180°；

④BC＝BH+2MH；

⑤AH+CE＝AC．

其中，正确的结论有 　   　．（填序号）

17．如图，在Rt△ABC与Rt△AEF中，CD为∠ACB的角平分线，且∠ACB＝30°，AE＝EF＝2，AB＝，现将△AEF绕点A顺时针旋转，在旋转过程中，当△FDC的面积最大时，则点F到直线CD的距离为 　   　．

三．解答题

18．如图，△ABC中，∠ABC＝60°，AD、CE分别平分∠BAC、∠ACB，AD、CE相交于点P．

（1）求∠APC的度数；

（2）若AE＝3，CD＝4，求线段AC的长．

19．如图，在△ABC中，AD是高，AE，BF分别是∠BAC、∠ABC的角平分线，它们相交于点O，∠BAC＝50°，∠C＝70°，求∠DAC和∠BOA的度数．

20．在△ABC中，∠A＝40°：

（1）如图（1）BO、CO是△ABC的内角角平分线，且相交于点O，求∠BOC；

（2）如图（2）BO、CO是△ABC的外角角平分线，且相交于点O，求∠BOC；

（3）如图（3）BO、CO分别是△ABC的一内角和一外角角平分线，且相交于点O，求∠BOC；

（4）根据上述三问的结果，当∠A＝n时，分别可以得出∠BOC与∠A有怎样的数量关系（只需写出结论）．

21．（1）如图1，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线交于点O，过点O作EF∥BC分别交AB，AC于点E，F．直接写出线段EF与BE，CF之间的数量关系：　   　．

（2）如图2，若△ABC中∠ABC的平分线BO与三角形外角平分线CO交于点O，过O点作OE∥BC交AB于点E，交AC于点F．则EF与BE，CF之间的数量关系又如何？说明你的理由．

22．在数学学习过程中，对有些具有特殊结构，且结论又具有一般性的数学问题我们常将其作为一个数学模型加以识记，以积累和丰富自己的问题解决经验

【结论发现】小明在处理教材第43页第21题后发现：三角形的一个内角平分线与另一内角的外角平分线的夹角的度数是三角形第三内角度数的一半．

【结论探究】（1）如图1，在△ABC中，点E是△ABC内角∠ACB平分线CE与外角∠ABD的平分线BE的交点，则有∠E＝∠A请补齐下方的说理过程．

理由如下：因为∠EBC+∠EBD＝180°，

又因为在△EBC中，∠EBC+∠E+∠ECB＝180°，

所以∠EBC+∠EBD＝∠EBC+∠E+∠ECB．

所以∠EBD＝∠E+∠　   　（理由是：等式性质）

同理可得∠ABD＝∠A+∠　   　．

又因为BE和CE分别是∠ABD和∠ACB的角平分线，

所以∠EBD＝∠ABD，∠　   　＝∠ACB．

所以∠ABD＝∠E+∠ACB

即∠E＝∠ABD﹣∠ACB＝（∠ABD﹣∠ACB）

所以∠E＝∠A．

请直接应用上面的“结论发现”解决下列问题：

【简单应用】（2）如图2，在△ABC中，∠ABC＝40°．延长BA至G，延长AC至H，已知∠BAC、∠CAG的角平分线与∠BCH的角平分线及其反向延长线交于E、F，求∠F的度数；

【变式拓展】（3）如图3，四边形ABCD的内角∠BCD与外角∠ABG的平分线形成如图所示形状．

①已知∠A＝150°，∠D＝80°，求∠E+∠F的度数；

②直接写出∠E+∠F与∠A+∠D的关系．