2022年中考数学基础训练卷——勾股定理

这是一份2022年中考数学基础训练卷——勾股定理，共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.在中，若斜边，则等于
A．5B．10C．20D．25
2.在一个直角三角形中，若斜边的长是13，一条直角边的长为5，那么这个直角三角形的面积是（ ）
A．30B．40C．50D．60
3.如图，在△ABC中，∠C=90°，斜边AB的垂直平分线l交AC于点D，连接BD．若AB=13cm，BC=5cm，则△BCD的周长为（ ）
A．18cmB．17cmC．11.5cmD．11cm
4.已知a，b，c是的三条边，则下列条件不能判定是直角三角形的是（）
A．，，B．
C．D．
5.如图，大正方形是由4个小正方形组成，小正方形的边长为2，连接小正方形的三个顶点，得到△ABC，则△ABC的面积为（ ）
A．4B．6C．8D．10
6．如图，等边△OAB的边长为2，则点B的坐标为（ ）

A．（1，1）B．（，1）C．（，）D．（1，）
7.如图，是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的，若，，将四个直角三角形中边长为12的直角边分别向外延长一倍，得到如图所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是
A．148B．100C．196D．144
8.如图，小娜将一张长为16cm，宽为12cm的长方形纸（AE＞DE）剪去了一角，量得AB=3，CD=4，则剪去的直角三角形的斜边长为（ ）
A．5cmB．12cmC．13cmD．15cm
9.《九章算术》中有一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，问折者高几何？”题意是：如图，一根竹子原高1丈（1丈=10尺），中部有一处折断，竹梢触地面处离竹根3尺，试问折断处离地面多高？若设折断处离地面x尺，则下面所列方程正确的是（ ）
A．B．
C．D．
10.如图，一圆柱高8cm，底面半径为cm，一只蚂蚁从点A爬到点B处吃食，要爬行的最短路程是（ ）
A．6cmB．8cmC．10cmD．12cm
11.如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，D是BC的中点，ED⊥BC垂足为D，交AB于点E，连接CE．若AE=1，AC=3，则BE的长为（ ）
A．3B．22C．4D．10
12.将等腰△ABC如图1放置，使得底边BC与x轴重合，此时点A的坐标为，若将该三角形如图2放置，使得腰长AB与x轴重合，则此时C点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
13.已知的面积为6，两直角边长分别为、，且．则点到的距离为 ．
14.如图，图中所有的四边形都是正方形，图中的三角形是直角三角形，已知正方形的面积分别是9和4，则最大正方形的面积是_________．
15.如图是5×5方格子（每个小正方格的边长为1个单位长度），图中阴影部分是正方形，则此正方形的边长为 .
16.如图，是的角平分线，，，，则的长为 ．
17.若△ABC的三条边a，b，c满足关系式：a4＋b2c2﹣a2c2﹣b4＝0，则△ABC的形状是______．
18.如图，有一个棱柱，底面是边长为2.5厘米的正方形，侧面都是长为12厘米的长方形．在棱柱一底面的顶点A处有一只蚂蚁，它想吃B点的食物，那它需要爬行的最短路程是______厘米．
19.如图，某自动感应门的正上方A处装着一个感应器，离地面的高度AB为2.5米，一名学生站在C处时，感应门自动打开了，此时这名学生离感应门的距离BC为1.2米，头顶离感应器的距离AD为1.5米，则这名学生身高CD为 _____米．
20．如图，△ABC为等边三角形，边长为6，AD⊥BC，垂足为点D，点E和点F分别是线段AD和AB上的两个动点，连接CE，EF，则CE+EF的最小值为_____．
三、解答题
21.如图，在△ABC和△CDE中，∠ABC＝∠CDE＝90°，且AC⊥CE，AC＝CE．
(1)求证：
(2)若AC＝13，DE＝5，求DB的长．
22.如图，小明站在离水面高度为8米的岸上点C处用绳子拉船靠岸，开始时绳子BC的长为17米，小明以1米每秒的速度收绳，7秒后船移动到点D的位置，求船向岸边移动了多少米？（假设绳子是直的）．
23.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10cm，AC=6cm，动点P从点B出发，以2cm/秒的速度沿BC移动至点C，设运动时间为t秒．
求BC的长；
在点P的运动过程中，是否存在某个时刻t，使得点P到边AB的距离与点P到点C的距离相等？若
存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
24.如图，连接四边形的对角线，已知，，，，．
（1）求证：是直角三角形；
（2）求四边形的面积．
25.在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB的中点，DF分别交AC于点E，交BC于点F
(1)如图（1），如果CA＝CB，求证：AE2+BF2＝EF2．
(2)如图（2），如果CA＜CB，那么（1），请证明；若不成立
26.如图，隧道的截面由半径为5米的半圆构成．
(1)如图1，一辆货车高4m，宽2.8m，它能通过该隧道吗？
(2)如图2，如果该隧道内设双行道，一辆宽为4m，高为2.8m的货车能驶入这个隧道吗？
(3)如图3，如果该隧道内设双行道，为了安全起见，在隧道正中间设有0.6m的隔离带，则该辆宽为4m，高为2.8m的货车还能通过隧道吗？
27.如图，A，B两个工厂位于一段直线形河道l的异侧，A工厂至河道的距离为5km，B工厂至河道的距离为1km，经测量河道上C、D两地间的距离为8km，现准备在河边某处（河宽不计）修一个污水处理厂E．
(1)设，请用x的代数式表示AE+BE的长______；（结果保留根号）
(2)为了使A，B两厂到污水处理厂的排污管道之和最短，请在图中画出污水厂E位置，并求出排污管道最短长度？
(3)通过以上的解答，充分展开联想，运用数形结合思想，请你求出x2+4+12−x2+9的最小值为多少？
28.某校预建如图1所示自行车棚，钢架已完成，现需要棚顶覆盖铁皮，图2是自行车棚顶的示意图．
已知，，棚宽米，棚高米，棚长米，学校打算在校园的不同角落修建一模一样的车棚5个．
（1）求一个车棚顶需要的铁皮面积（车棚顶铁皮褶皱忽略不计，车棚最顶端梁脊不用铁皮）；
（2）某加工厂承包了生产棚顶铁皮任务，在加工过程中由于学校有检查，要求比原定的工期提前1天完成，为此加工厂将工作效率提高了，因此，在学校规定的时间内完成任务．求加工厂与学校原定用几天完成车棚顶铁皮的生产任务．
2022年中考数学基础训练卷——勾股定理参考答案
一、选择题
1.在中，若斜边，则等于
A．5B．10C．20D．25
【答案】．
2.在一个直角三角形中，若斜边的长是13，一条直角边的长为5，那么这个直角三角形的面积是（ ）
A．30B．40C．50D．60
【答案】A
3.如图，在△ABC中，∠C=90°，斜边AB的垂直平分线l交AC于点D，连接BD．若AB=13cm，BC=5cm，则△BCD的周长为（ ）
A．18cmB．17cmC．11.5cmD．11cm
【答案】B
4.已知a，b，c是的三条边，则下列条件不能判定是直角三角形的是（）
A．，，B．
C．D．
【答案】D
5.如图，大正方形是由4个小正方形组成，小正方形的边长为2，连接小正方形的三个顶点，得到△ABC，则△ABC的面积为（ ）
A．4B．6C．8D．10
【答案】B
6．如图，等边△OAB的边长为2，则点B的坐标为（ ）

A．（1，1）B．（，1）C．（，）D．（1，）
【答案】D
7.如图，是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的，若，，将四个直角三角形中边长为12的直角边分别向外延长一倍，得到如图所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是
A．148B．100C．196D．144
【答案】．
8.如图，小娜将一张长为16cm，宽为12cm的长方形纸（AE＞DE）剪去了一角，量得AB=3，CD=4，则剪去的直角三角形的斜边长为（ ）
A．5cmB．12cmC．13cmD．15cm
【答案】D
9.《九章算术》中有一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，问折者高几何？”题意是：如图，一根竹子原高1丈（1丈=10尺），中部有一处折断，竹梢触地面处离竹根3尺，试问折断处离地面多高？若设折断处离地面x尺，则下面所列方程正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
10.如图，一圆柱高8cm，底面半径为cm，一只蚂蚁从点A爬到点B处吃食，要爬行的最短路程是（ ）
A．6cmB．8cmC．10cmD．12cm
【答案】C；
11.如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，D是BC的中点，ED⊥BC垂足为D，交AB于点E，连接CE．若AE=1，AC=3，则BE的长为（ ）
A．3B．22C．4D．10
【答案】D
12.将等腰△ABC如图1放置，使得底边BC与x轴重合，此时点A的坐标为，若将该三角形如图2放置，使得腰长AB与x轴重合，则此时C点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
二、填空题
13.已知的面积为6，两直角边长分别为、，且．则点到的距离为 ．
【答案】．
14.如图，图中所有的四边形都是正方形，图中的三角形是直角三角形，已知正方形的面积分别是9和4，则最大正方形的面积是_________．
【答案】13
15.如图是5×5方格子（每个小正方格的边长为1个单位长度），图中阴影部分是正方形，则此正方形的边长为 .
【答案】13；
16.如图，是的角平分线，，，，则的长为 ．
【答案】．
17.若△ABC的三条边a，b，c满足关系式：a4＋b2c2﹣a2c2﹣b4＝0，则△ABC的形状是______．
【答案】直角三角形或等腰三角形
18.如图，有一个棱柱，底面是边长为2.5厘米的正方形，侧面都是长为12厘米的长方形．在棱柱一底面的顶点A处有一只蚂蚁，它想吃B点的食物，那它需要爬行的最短路程是______厘米．
【答案】13
19.如图，某自动感应门的正上方A处装着一个感应器，离地面的高度AB为2.5米，一名学生站在C处时，感应门自动打开了，此时这名学生离感应门的距离BC为1.2米，头顶离感应器的距离AD为1.5米，则这名学生身高CD为 _____米．
【答案】1.6
20．如图，△ABC为等边三角形，边长为6，AD⊥BC，垂足为点D，点E和点F分别是线段AD和AB上的两个动点，连接CE，EF，则CE+EF的最小值为_____．
【答案】3
三、解答题
21.如图，在△ABC和△CDE中，∠ABC＝∠CDE＝90°，且AC⊥CE，AC＝CE．
(1)求证：
(2)若AC＝13，DE＝5，求DB的长．
【答案】
(1)
证明：∵AC⊥CE，∠ABC=∠CDE=90°，
∴∠BCA+∠DCE=90°，∠A+∠BCA=90°
∴∠DCE=∠A．
∴在△ABC和△CDE中，，
∴△ABC≌△CDE (AAS)．
(2)
∵△ABC≌△CDE，DE＝5，AC＝13
∴BC＝DE＝5，CE＝13
∴在中，
∴．
22.如图，小明站在离水面高度为8米的岸上点C处用绳子拉船靠岸，开始时绳子BC的长为17米，小明以1米每秒的速度收绳，7秒后船移动到点D的位置，求船向岸边移动了多少米？（假设绳子是直的）．
【答案】解：在Rt△ABC中：
∵∠CAB=90°，BC=17米，AC=8米，
∴AB=BC2−AC2=172−82=15（米），
∵此人以1米每秒的速度收绳，7秒后船移动到点D的位置，
∴CD=17−1×7=10（米），
∴AD=CD2−AC2=102−82=6（米），
∴BD=AB−AD=15−6=9（米），
答：船向岸边移动了9米．
23.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10cm，AC=6cm，动点P从点B出发，以2cm/秒的速度沿BC移动至点C，设运动时间为t秒．
求BC的长；
在点P的运动过程中，是否存在某个时刻t，使得点P到边AB的距离与点P到点C的距离相等？若
存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
【答案】解：（1）∵∠C=90°，
在Rt△ABC中，
由勾股定理得：BC=
（2）存在，理由如下：如图，
当点P恰好运动到∠BAC平分线上时，点P到直线AB的距离与点P到点C的距离相等，
由已知可得：BP=2t cm，PC=BC－BP=（8－2t）cm，
连接AP，过点P作PE⊥AB于E，如图所示：
则PE=PC=（8－2t）cm，
在△AEP与△ACP中，
∠PAE＝∠PAC，∠AEP＝∠C＝90°，AP＝AP
∴△AEP≌△ACP（AAS），
∴AE=AC=6cm，
∴BE=AB－AE=10-6=4（cm），
在Rt△BEP中，由勾股定理得：BP2=BE2+PE2，
即，
解得：t=；
即当t的值为；时，点P到边AB的距离与点P到点C的距离相等．
24.如图，连接四边形的对角线，已知，，，，．
（1）求证：是直角三角形；
（2）求四边形的面积．
【答案】（1）证明：，，，
，
，，
，
是直角三角形；
（2）解：，，
．
25.在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB的中点，DF分别交AC于点E，交BC于点F
(1)如图（1），如果CA＝CB，求证：AE2+BF2＝EF2．
(2)如图（2），如果CA＜CB，那么（1），请证明；若不成立
【答案】（1）过点A作AM∥BC，交FD延长线于点M，连接EM，通过证明AM=BF，EF=EM即可得出答案；
（2）延长FD至M，使DM=DF，连接AM、EM，根据（1）通过证明AM=BF，EF=EM即可得出答案．
(1)证明：如图1，过点A作AM∥BC，交FD延长线于点M，连接EM．
∵AM∥BC，
∴∠MAE=∠ACB=90°，∠MAD=∠B．
在△ADM和△BDF中∠MAD=∠BAD=BD∠ADM=∠BDF∴△ADM≌△BDF，
∴AM=BF，MD=DF．
又∵DE⊥DF，
∴DE是MF的垂直平分线，
∴EF=EM．
∵AE2+AM2=EM2，
∴AE2+BF2= EF2．
(2)成立．
证明：如图2，延长FD至M，使DM=DF，连接AM、EM．
在△ADM和△BDF中AD=BD∠ADM=∠BDFDM=DF
∴△ADM≌△BDF，
∴AM=BF，∠MAD=∠B．
∴AM∥BC，
∴∠MAE=∠ACB=90°．
又∵DE⊥DF，MD=FD，
∴DE是MF的垂直平分线，
∴EF=EM．
∵AE2+AM2=EM2，
∴AE2+BF2= EF2．
26.如图，隧道的截面由半径为5米的半圆构成．
(1)如图1，一辆货车高4m，宽2.8m，它能通过该隧道吗？
(2)如图2，如果该隧道内设双行道，一辆宽为4m，高为2.8m的货车能驶入这个隧道吗？
(3)如图3，如果该隧道内设双行道，为了安全起见，在隧道正中间设有0.6m的隔离带，则该辆宽为4m，高为2.8m的货车还能通过隧道吗？
【答案】
(1)解：如图1所示，
设CD⊥AB于点D，CD=4m，
，
，
，
∴这辆车能通过该隧道；
(2)设CD⊥AB于点D，OD=4m，连接OC，如图2所示，
，
，
，
∴这辆车能通过该隧道；
(3)设CD⊥AB于点D，，连接OC，如图3所示，
，
，
∵，
∴这辆车不能通过该隧道．
27.如图，A，B两个工厂位于一段直线形河道l的异侧，A工厂至河道的距离为5km，B工厂至河道的距离为1km，经测量河道上C、D两地间的距离为8km，现准备在河边某处（河宽不计）修一个污水处理厂E．
(1)设，请用x的代数式表示AE+BE的长______；（结果保留根号）
(2)为了使A，B两厂到污水处理厂的排污管道之和最短，请在图中画出污水厂E位置，并求出排污管道最短长度？
(3)通过以上的解答，充分展开联想，运用数形结合思想，请你求出x2+4+12−x2+9的最小值为多少？
【答案】（1）依据ED＝x，AC⊥CD、BD⊥CD，故根据勾股定理可用x表示出AE＋BE的长；
（2）根据两点之间线段最短可知连接AB与CD的交点就是污水处理厂E的位置．过点B作BF⊥AC于F，构造出直角三角形，利用勾股定理求出AB的长；
（3）根据AE＋BE＝8−x2+25＋＝AB＝10，可猜想所求代数式的值为13．
(1)解：在Rt△ACE和Rt△BDE中，根据勾股定理可得AE＝8−x2+25，BE＝，∴AE+BE＝8−x2+25+；
(2)解：根据两点之间线段最短可知，连接AB与CD的交点就是污水处理厂E的位置，如图：
过点B作BF⊥AC于F，则有BF＝CD＝8，BD＝CF＝1，
∴AF＝AC＋CF＝6，
在Rt△ABF中，BA＝AF2+BF2＝62+82＝10，
∴排污管道最短长度10km；
(3)
解：根据以上推理，可作出下图：
设ED＝x，AC＝3，DB＝2，CD＝12．当A、E、B共线时求出AB的值即为原式最小值．
当A、E、B共线时，x2+4+(12−x)2+9＝(3+2)2+122＝13，
即其最小值为13．故答案为：13．
28.某校预建如图1所示自行车棚，钢架已完成，现需要棚顶覆盖铁皮，图2是自行车棚顶的示意图．
已知，，棚宽米，棚高米，棚长米，学校打算在校园的不同角落修建一模一样的车棚5个．
（1）求一个车棚顶需要的铁皮面积（车棚顶铁皮褶皱忽略不计，车棚最顶端梁脊不用铁皮）；
（2）某加工厂承包了生产棚顶铁皮任务，在加工过程中由于学校有检查，要求比原定的工期提前1天完成，为此加工厂将工作效率提高了，因此，在学校规定的时间内完成任务．求加工厂与学校原定用几天完成车棚顶铁皮的生产任务．
【答案】解：（1），，棚宽米，
（米，
（米，
（平方米），
答：一个车棚顶需要的铁皮面积为136平方米；
（2）设工程队原计划用天完成车棚顶铁皮的生产任务，
根据题意，得，
解这个方程，得，
经检验，是原分式方程的根，
答：设工程队原计划用天完成车棚顶铁皮的生产任务．