2022河南省创新发展联盟高一下学期第三次联考试题数学含答案

2021~2022年度下学年创新发展联盟高一年级联考（三）

数  学

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知复数，则（    ）

A．8－i B．8＋i C．－4－i D．－4＋i

2．下列几何体中，棱数最少的是（    ）

A．三棱柱 B．四棱台 C．四棱锥 D．五棱锥

3．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c．若a＝2b，则（    ）

A． B． C．2 D．

4已知复数，则z的实部是（    ）

A．－3 B．－2 C．1 D．2

5．如图，直角是水平放置的一个平面图形的直观图，，，则原图形的面积是（    ）

A．8 B． C．16 D．

6．已知复数3＋2i是方程的一个根，则实数a＝（    ）

A．－5 B．5 C．－6 D．6

7．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c．根据下列条件解三角形，其中有两解的是（    ）

A．a＝6，b＝5，B＝45° B．c＝6，A＝60°，B＝45°

C．a＝6，b＝7，B＝30° D．a＝6，b＝7，C＝60°

8．如图，在直三棱柱中，，，D，E分别是棱，上的动点，则的最小值是（    ）

A． B．5 C．7 D．

9．已知向量，，若向量，的夹角是锐角，则m的取值范围是（    ）

A．  B．

C． D．

10．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c．若，则△ABC的形状一定是（    ）

A．等腰三角形  B．直角三角形

C．等腰直角三角形  D．等腰三角形或直角三角形

11．若圆锥的高的平方等于其底面圆的半径与母线长的乘积，则称此圆锥为“黄金圆锥”．现有一个侧面积为的黄金圆锥，则该黄金圆锥的体积是（    ）

A． B． C． D．

12．已知△ABC的面积为16，D，E分别是线段AC，BD上的点（不包含端点），且，，若△ABE的面积是2，则x＋2y的最小值是（    ）

A．4 B． C．6 D．8

第Ⅱ卷

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置．

13．一艘轮船向正东方向航行，在A处看，灯塔B在船的北偏东60°方向上，航行30千米后到达C处，在C处看，灯塔B在船的北偏西75°方向上，则此时船与灯塔B之间的距离是______千米．

14．已知向量，，若，且，则mn＝______．

15．若复数z满足，则的最大值为______．

16．如图，在正方体中，E为棱BC的中点，F为棱上的一点（不包含端点），且，过点A，E，F作该正方体的截面．若所得截面是五边形，则的取值范围是______．

三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（10分）

已知复数．

（1）若z是纯虚数，求m的值；

（2）若z在复平面内对应的点在第二象限内，求m的取值范围．

18．（12分）

帐篷是撑在地上遮蔽风雨、日光，并供临时居住的棚子，多用帆布做成，连同支撑用的东西，可随时拆下转移，如图1所示．一个普通的帐篷可视为一个长方体与一个直三棱柱的组合，如图2所示，已知米，米，米，且∠AFB＝120°．

（1）求该帐篷的表面积（不包含地面部分）；

（2）求该帐篷的体积．

19．（12分）

已知复数（a，，且b≠0）．

（1）若a＝2，b＝1，求的值．

（2）若是实数，求．

20．（12分）

如图，△ABC是某小区的一个休闲区，应小区业主的要求，该小区物业公司计划将该休闲区修建成如图所示的平面四边形ABCD．已知，BC＝4，∠ADC＝60°，

（1）若BC＝CD，求△ACD的面积；

（2）求的最大值．

21．（12分）

在△ABC中，点D，E，F分别在边AB，BC，AC上，且，，，P是CD，EF的交点．设，．

（1）用，表示，；

（2）求的值．

22．（12分）

在△ABC中，内角A，B，C所对应的边分别是a，b，c，△ABC的面积为S．已知，且．

（1）求角C的大小；

（2）若对任意的，恒成立，且函数有最小值，求m的值．

2021~2022年度下学年创新发展联盟高一年级联考（三）

数学参考答案

1．B  由题意可得，则．

2．C  四棱台有12条棱，四棱锥有8条棱，三棱柱有9条棱，五棱锥有10条棱，则棱数最少的是四棱锥．

3．A  由正弦定理可得．

4．B  由题意可得，则z的实部是－2．

5．B  由题意可得直角的面积为，则原图形的面积为．

6．C  由题意可得，即，解得a＝－6．

7．A  对于A，因为，所以，则角A有两解：对于B，因为A＝60°，B＝45°，所以C＝75°，所以只有一解；对于C，因为，且，所以角A只有一解；对于D，，所以只有一解．

8．D  如图，将三棱柱的侧面展开，当A，D，E，四点共线时，取得最小值，且最小值为．

9．C  因为，，所以，因为向量，的夹角是锐角，所以，

解得，且．

10．A  因为，所以，所以，所以，整理得．因为，，所以，所以，则，即，故是等腰三角形．

11．D  设该黄金圆锥底面圆的半径为r，母线长为l，高为h，则该黄金圆锥的侧面积是，故．由黄金圆锥的定义可得，则．由圆锥的性质可得，则，解得，故该黄金圆锥的体积是．

12．D  因为，所以，则，故．因为，所以，则，故，因为△ABE的面积是2，所以，所以．由题意可知，，所以，当且仅当时，等号成立．

13．  由题意可知AC＝30千米，∠BAC＝30°，∠ABC＝135°．由正弦定理可得，则千米．

14．2  因为，所以n＝2m．因为，所以，则．当m＝1时，n＝2，则mn＝2；当m＝－1时，n＝－2，则mn＝2．综上，mn＝2．

15．8  设（x，），由题意可得，即点在圆心为，半径r为3的圆上运动，而表示的是点到原点的距离，则的最大值为．

16．  当时，如图1，截面为平行四边形AEGF；当时，如图2，截面为五边形AEGHF，故的取值范围是．

17．解：由题意可得，

则z的实部为，虚部为．

（1）因为z是纯虚数，所以，解得m＝－4．

（2）由题意可得，解得．

18．解：在△ABF中，由余弦定理可得

，则（米）．

（1）直三棱柱部分的表面积（平方米）．

长方体中盖了帆布的面积（平方米）．

故该帐篷的表面积（平方米）．

（2）直三棱柱部分的体积（立方米），

长方体部分的体积（立方米）．

故该帐篷的体积（立方米）．

19．解：（1）因为a＝2，b＝1，所以z＝2＋i，

则，

故．

（2）因为，所以

因为是实数，所以，即．

因为，所以，所以，

则．

20．解：（1）在△ACD中，由余弦定理可得，

即，即，

解得AD＝6或AD＝－2（舍去）．

故△ACD的面积为．

（2）在△ACD中，由余弦定理可得，

即．

因为，所以，

所以，所以，当且仅当时，等号成立．

21．解：（1）因为，所以，

则，

因为，所以，

因为，所以，

则．

（2）因为E，P，F三点共线，所以．

因为C，P，D三点共线，所以．

则 解得．

故．

22．解：（1）因为，所以．

因为，所以，

所以，所以或．

因为，所以，所以．

（2）因为对任意的，恒成立，所以，

即，解得，所以．

由（1）可知，则．

设，则，，

因为，所以，所以．

设函数，则其图象的对称轴方程为．

①当，即时，在上单调递增，

则，不符合题意；

②当，即时，在上单调递减，在上单调递增，

则，解得（舍去），符合题意；

③当，即时，在上单调递减，

则，解得，不符合题意。

综上，．