高中数学人教B版 (2019)必修 第一册2.2.3 一元二次不等式的解法课堂检测

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1．下列四个不等式：
①－x2＋x＋1≥0；②x2－2eq \r(5)x＋eq \r(5)>0；③x2＋6x＋10>0；④2x2－3x＋4<1.其中解集为R的是( )
A．① B．②
C．③ D．④
解析：选C ①显然不可能；②中Δ＝(－2eq \r(5))2－4×eq \r(5)>0，解集不为R；③中Δ＝62－4×10<0.满足条件；④中不等式可化为2x2－3x＋3<0，所对应的二次函数开口向上，显然不可能．故选C.
2．不等式6x2＋x－2≤0的解集为( )
A.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(－\f(2,3)≤x≤\f(1,2)))))
B.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(x≤－\f(2,3)，或x≥\f(1,2)))))
C.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(x≥\f(1,2)))))
D.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(x≤－\f(2,3)))))
解析：选A ∵6x2＋x－2＝6eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(x2＋\f(1,6)x＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,12)))\s\up12(2)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,12)))\s\up12(2)))－2＝6eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,12)))eq \s\up12(2)－eq \f(49,24)，
∴原不等式化为6eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,12)))eq \s\up12(2)－eq \f(49,24)≤0，
∴eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,12)))eq \s\up12(2)≤eq \f(49,24×6)，
∴－eq \f(7,12)≤x＋eq \f(1,12)≤eq \f(7,12).
解得－eq \f(2,3)≤x≤eq \f(1,2)，
∴不等式的解集为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(2,3)，\f(1,2))).
3．设a<－1，则关于x的不等式a(x－a)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,a)))<0的解集为( )
A.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(x\f(1,a))))) B．{x|x>a}
C.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(x>a或x<\f(1,a))))) D.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(x<\f(1,a)))))
解析：选A ∵a<－1，∴a(x－a)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,a)))<0⇔(x－a)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,a)))>0.又a<－1，∴eq \f(1,a)>a，∴x>eq \f(1,a)或x4．(多选)已知关于x的不等式ax2＋bx＋c>0解集为{x|－2A．a>0
B．不等式ax＋c>0的解集为{x|x<6}
C．a＋b＋c>0
D．不等式cx2－bx＋a<0的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(－\f(1,3)解析：选BCD 因为关于x的不等式ax2＋bx＋c>0解集为{x|－2所以－2和3是方程ax2＋bx＋c＝0的两个实根，且a<0，故A错误；
所以－2＋3＝－eq \f(b,a)，－2×3＝eq \f(c,a)，所以b＝－a，c＝－6a，
所以不等式ax＋c>0可化为ax－6a>0，因为a<0，所以x<6，故B正确；
因为a＋b＋c＝a－a－6a＝－6a，又a<0，所以a＋b＋c>0，故C正确；
不等式cx2－bx＋a<0可化为－6ax2＋ax＋a<0，又a<0，
所以－6x2＋x＋1>0，即6x2－x－1<0，即(3x＋1)(2x－1)<0，解得－eq \f(1,3)5．在R上定义运算：＝ad－bc，若不等式≥1对任意实数x恒成立，则实数a的最大值为( )
A．－eq \f(1,2) B．－eq \f(3,2)
C.eq \f(1,2) D.eq \f(3,2)
解析：选D 由定义知，不等式≥1等价于x2－x－(a2－a－2)≥1，∴x2－x＋1≥a2－a对任意实数x恒成立．∵x2－x＋1＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,2)))eq \s\up12(2)＋eq \f(3,4)≥eq \f(3,4)，∴a2－a≤eq \f(3,4)，解得－eq \f(1,2)≤a≤eq \f(3,2)，则实数a的最大值为eq \f(3,2).
6．现有含盐7%的食盐水200克，生产含盐5%以上、6%以下的食盐水，设需要加入含盐4%的食盐水为x克，则x的取值范围是________．
解析：5%解得x的取值范围是{x|100答案：{x|1007．已知关于x的不等式2x2＋ax－a2＞0的解集中的一个元素为2，则实数a的取值范围为________．
解析：因为关于x的不等式2x2＋ax－a2＞0的解集中的一个元素为2，所以8＋2a－a2＞0，即(a－4)(a＋2)＜0，解得－2＜a＜4.
答案：(－2，4)
8．某种汽车在水泥路面上的刹车距离(刹车距离是指汽车刹车后由于惯性往前滑行的距离)s m和汽车车速x km/h有如下关系：s＝eq \f(1,18)x＋eq \f(1,180)x2.在一次交通事故中，测得这种车的刹车距离不小于40 m，那么这辆汽车刹车前的车速不低于________ km/h.
解析：根据题意，得eq \f(1,18)x＋eq \f(1,180)x2≥40.
移项整理，得x2＋10x－7 200≥0.
显然Δ>0，x2＋10x－7 200＝0有两个实数根，
即x1＝80，x2＝－90，
然后，根据二次函数y＝x2＋10x－7 200的图像(图略)，
得不等式的解集为{x|x≤－90或x≥80}．
在这个实际问题中，x>0，所以这辆汽车刹车前的车速不低于80 km/h.
答案：80
9．解下列不等式：
(1)2＋3x－2x2＞0；
(2)x(3－x)≤x(x＋2)－1；
(3)x2－2x＋3＞0.
解：(1)因为2＋3x－2x2＝－2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x2－\f(3,2)x＋\f(9,16)－\f(9,16)))＋2＝－2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(3,4)))eq \s\up12(2)＋eq \f(25,8)，
所以原不等式化为－2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(3,4)))eq \s\up12(2)＋eq \f(25,8)＞0，
所以eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(3,4)))eq \s\up12(2)＜eq \f(25,16)，
所以－eq \f(5,4)＜x－eq \f(3,4)＜eq \f(5,4)，
解得－eq \f(1,2)＜x＜2.
所以不等式的解集为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，2)).
(2)因为原不等式可化为2x2－x－1≥0，
因为2x2－x－1＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x2－\f(1,2)x＋\f(1,16)－\f(1,16)))－1
＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,4)))eq \s\up12(2)－eq \f(9,8)，
所以原不等式可化为2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,4)))eq \s\up12(2)－eq \f(9,8)≥0，
所以eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,4)))eq \s\up12(2)≥eq \f(9,16)，
所以x－eq \f(1,4)≥eq \f(3,4)或x－eq \f(1,4)≤－eq \f(3,4)，
解得x≥1，或x≤－eq \f(1,2).
所以原不等式的解集为eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－∞，－\f(1,2)))∪[1，＋∞)．
(3)因为x2－2x＋3＝(x－1)2＋2＞0恒成立，所以原不等式的解集是R.
10．解关于x的不等式x2＋3ax－4a2＜0(a∈R)．
解：由于x2＋3ax－4a2＜0可化为(x－a)·(x＋4a)＜0，
且方程(x－a)(x＋4a)＝0的两个根分别是a和－4a.
当a＝－4a，即a＝0时，不等式的解集为∅；
当a＞－4a，即a＞0时，解不等式得－4a＜x＜a；
当a＜－4a，即a＜0时，解不等式得a＜x＜－4a.
综上所述，当a＝0时，不等式的解集为∅；当a＞0时，不等式的解集为{x|－4a＜x＜a}；当a＜0时，不等式的解集为{x|a＜x＜－4a}．
[B级 综合运用]
11．(多选)已知关于x的不等式ax2＋bx＋3>0，关于此不等式的解集有下列结论，其中正确的是( )
A．不等式ax2＋bx＋3>0的解集可以是{x|x>3}
B．不等式ax2＋bx＋3>0的解集可以是R
C．不等式ax2＋bx＋3>0的解集可以是∅
D．不等式ax2＋bx＋3>0的解集可以是{x|－1解析：选BD 在A中，依题意得a＝0，且3b＋3＝0.解得b＝－1，此时不等式为－x＋3>0，解得x<3，故A错误；在B中，取a＝1，b＝2，得x2＋2x＋3＝(x＋1)2＋2>0，解集为R，故B正确；在C中，当x＝0时，ax2＋bx＋3＝3>0，知其解集不为∅，C错误；在D中，依题意得a<0，且eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(－1＋3＝－\f(b,a)，,－1×3＝\f(3,a)，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝－1，,b＝2.))符合题意，故D正确．
12．关于x的不等式x2－2ax－8a2＜0(a＞0)的解集为(x1，x2)，且x2－x1＝15，则a＝( )
A.eq \f(5,2) B.eq \f(7,2)
C.eq \f(15,4) D.eq \f(15,2)
解析：选A 法一：x2－2ax－8a2＜0可化为(x＋2a)·(x－4a)＜0.
∵a＞0且解集为(x1，x2)，则x1＝－2a，x2＝4a，
∴x2－x1＝6a＝15，解得a＝eq \f(5,2).
法二：由条件知x1，x2为方程x2－2ax－8a2＝0的两根，则x1＋x2＝2a，x1x2＝－8a2，故(x2－x1)2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝(2a)2－4×(－8a2)＝36a2＝152，结合a＞0得a＝eq \f(5,2).
13．若0解析：因为0答案：{x|3a2≤x≤3a}
14．已知条件p：2x2－3x＋1≤0，条件q：x2－(2a＋1)x＋a(a＋1)≤0.若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
解：由2x2－3x＋1≤0，得eq \f(1,2)≤x≤1.
所以条件p对应的集合P＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)≤x≤1)))).
由x2－(2a＋1)x＋a(a＋1)≤0，得a≤x≤a＋1，
所以条件q对应的集合为Q＝{x|a≤x≤a＋1}．
因为p是q的充分不必要条件．
所以p⇒q，即PQ⇔eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＜\f(1,2)，,a＋1≥1，))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a≤\f(1,2)，,a＋1＞1，))
解得0≤a≤eq \f(1,2).
所以实数a的取值范围为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2))).
[C级 拓展探究]
15．某摩托车生产企业，上年度生产摩托车的投入成本为1万元/辆，出厂价为1.2万元/辆，年销售量为1 000辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适度增加投入成本．若每辆车投入成本增加的比例为x(0(1)写出本年度预计的年利润y与投入成本增加的比例x的关系式；
(2)为使本年度的年利润比上年度有所增加，问投入成本增加的比例x应在什么范围内？
解：(1)由题意，得y＝[1.2×(1＋0.75x)－1×(1＋x)]×1 000×(1＋0.6x)(0(2)要保证本年度的利润比上年度有所增加，当且仅当
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y－（1.2－1）×1 000>0，,00，,0解不等式组，得0所以为保证本年度的年利润比上年度有所增加，投入成本增加的比例x的范围为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(0