高中数学人教B版 (2019)必修 第一册2.2.4 均值不等式及其应用同步练习题

这是一份高中数学人教B版 (2019)必修 第一册2.2.4 均值不等式及其应用同步练习题，共6页。

1．(多选)下列说法正确的是( )
A．x＋eq \f(1,x)的最小值为2
B．x2＋1的最小值为1
C．3x(2－x)的最大值为2
D．x2＋eq \f(7,x2＋2)最小值为2eq \r(7)－2
解析：选BD 当x<0时，x＋eq \f(1,x)<0，故选项A错误；
∵x2＋1≥1，∴选项B正确；
∵3x(2－x)＝－3(x－1)2＋3，故3x(2－x)的最大值为3，
∴选项C错误；
∵x2＋eq \f(7,x2＋2)＝(x2＋2)＋eq \f(7,x2＋2)－2≥2eq \r(（x2＋2）·\f(7,x2＋2))－2＝2eq \r(7)－2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(当且仅当x2＋2＝\f(7,x2＋2)时取“＝”))，选项D正确．故选B、D.
2．已知正实数a，b满足a＋b＝ab，则ab的最小值为( )
A．1 B.eq \r(2)
C．2 D．4
解析：选D ∵ab＝a＋b≥2eq \r(ab)，∴ab≥4，当且仅当a＝b＝2时取等号，故ab的最小值为4，故选D.
3．已知a>0，b>0，eq \f(2,a)＋eq \f(1,b)＝eq \f(1,6)，若不等式2a＋b≥9m恒成立，则m的最大值为( )
A．8 B．7
C．6 D．5
解析：选C 由已知，可得6eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,a)＋\f(1,b)))＝1，
∴2a＋b＝6eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,a)＋\f(1,b)))×(2a＋b)
＝6eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(5＋\f(2a,b)＋\f(2b,a)))≥6×(5＋4)＝54，
当且仅当eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(2,a)＋\f(1,b)＝\f(1,6)，,\f(2a,b)＝\f(2b,a)，))即a＝b＝18时等号成立，
∴9m≤54，即m≤6，故选C.
4．小王从甲地到乙地往返的时速分别为a和b(aA．aC.eq \r(ab)解析：选A 设小王从甲地到乙地行驶的路程为s，
∵b>a>0，则v＝eq \f(2s,\f(s,a)＋\f(s,b))＝eq \f(2ab,a＋b)又eq \f(2ab,a＋b)>eq \f(2ab,2b)＝a，故选A.
5．已知m>0，n>0，m＋n＝1且x＝m＋eq \f(1,m)，y＝n＋eq \f(1,n)，则x＋y的最小值是( )
A．4 B．5
C．8 D．10
解析：选B 依题意有x＋y＝m＋n＋eq \f(1,m)＋eq \f(1,n)＝1＋eq \f(m＋n,m)＋eq \f(m＋n,n)＝3＋eq \f(n,m)＋eq \f(m,n)≥3＋2＝5，当且仅当m＝n＝eq \f(1,2)时取等号．故选B.
6．(多选)已知a>1，b>1，且ab－(a＋b)＝1，那么下列结论正确的有( )
A．a＋b有最大值2eq \r(2)＋2
B．a＋b有最小值2eq \r(2)＋2
C．ab有最大值eq \r(2)＋1
D．ab有最小值2eq \r(2)＋3
解析：选BD 令a＋b＝s，ab＝t，由题意可得s>2，t>1，t－s＝1，
由均值不等式s≥2eq \r(t)，
则t－1≥2eq \r(t)，由t>1可得t2－2t＋1≥4t，则t≥3＋2eq \r(2)，a＝b＝eq \r(2)＋1取等号；s≥2eq \r(s＋1)，由s>2可得s2－4s－4≥0，则s≥2＋2eq \r(2)，a＝b＝eq \r(2)＋1取等号；故选B、D.
7．为净化水质，向一个游泳池加入某种化学药品，加药后池水中该药品的浓度c(单位：mg·L－1)随时间t(单位：h)的变化关系为c＝eq \f(20t,t2＋4)，则经过_______ h后池水中该药品的浓度达到最大．
解析：c＝eq \f(20t,t2＋4)＝eq \f(20,t＋\f(4,t)).
因为t>0，所以t＋eq \f(4,t)≥2eq \r(t·\f(4,t))＝4eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(当且仅当t＝\f(4,t)，即t＝2时等号成立)).
所以c＝eq \f(20,t＋\f(4,t))≤eq \f(20,4)＝5，当且仅当t＝eq \f(4,t)，即t＝2时，c取得最大值．
答案：2
8．某汽车运输公司购买一批豪华大客车投入营运，据市场分析每辆车营运的总利润y(单位：10万元)与营运年数x(x∈N*)满足关系y＝－x2＋12x－25，则每辆客车营运________年时，年平均利润最大．
解析：∵y＝－x2＋12x－25，
∴年平均利润为eq \f(y,x)＝eq \f(－x2＋12x－25,x)
＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(25,x)))＋12≤－2eq \r(x·\f(25,x))＋12＝2，
当且仅当x＝eq \f(25,x)，即x＝5时，等号成立．
答案：5
9．已知x>0，y>0且2x＋5y＝20.
(1)求xy的最大值；
(2)求eq \f(1,x)＋eq \f(1,y)的最小值．
解：(1)∵2x＋5y＝20，x>0，y>0，∴2x＋5y≥2eq \r(10xy)，
∴2eq \r(10xy)≤20，即xy≤10，
当且仅当x＝5，y＝2时，等号成立，
∴xy的最大值为10.
(2)eq \f(1,x)＋eq \f(1,y)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)＋\f(1,y)))·eq \f(1,20)(2x＋5y)
＝eq \f(1,20)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2＋5＋\f(5y,x)＋\f(2x,y)))＝eq \f(1,20)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(7＋\f(5y,x)＋\f(2x,y)))
≥eq \f(1,20)(7＋2eq \r(10))，
当且仅当eq \r(2)x＝eq \r(5)y时，等号成立．
∴eq \f(1,x)＋eq \f(1,y)的最小值为eq \f(1,20)(7＋2eq \r(10))．
10．某人准备租一辆车从孝感出发去武汉，已知从出发点到目的地的距离为100 km，按交通法规定：这段公路车速限制在40～100(单位：km/h)之间．假设目前油价为7.2元/L，汽车的耗油率为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3＋\f(x2,360)))L/h，其中x(单位：km/h)为汽车的行驶速度，耗油率指汽车每小时的耗油量．租车需付给司机每小时的工资为76.4元，不考虑其他费用，这次租车的总费用最少是多少？此时的车速x是多少？(注：租车总费用＝耗油费＋司机的工资)
解：设总费用为y元，
由题意，得y＝76.4×eq \f(100,x)＋7.2×eq \f(100,x)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3＋\f(x2,360)))
＝eq \f(9 800,x)＋2x(40≤x≤100)．
因为y＝eq \f(9 800,x)＋2x≥2eq \r(19 600)＝280.
当且仅当eq \f(9 800,x)＝2x，即x＝70时取等号．
所以这次租车的总费用最少是280元，此时的车速为70 km/h.
[B级 综合运用]
11．(多选)设a>0，b>0，则下列不等式中一定成立的是( )
A．a＋b＋eq \f(1,\r(ab))≥2eq \r(2) B.eq \f(2ab,a＋b)≥eq \r(ab)
C.eq \f(a2＋b2,\r(ab))≥a＋b D．(a＋b)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)＋\f(1,b)))≥4
解析：选ACD 因为a>0，b>0，
所以a＋b＋eq \f(1,\r(ab))≥2eq \r(ab)＋eq \f(1,\r(ab))≥2eq \r(2)，当且仅当a＝b且2eq \r(ab)＝eq \f(1,\r(ab))，即a＝b＝eq \f(\r(2),2)时取等号，故A一定成立．
因为a＋b≥2eq \r(ab)>0，所以eq \f(2ab,a＋b)≤eq \f(2ab,2\r(ab))＝eq \r(ab)，当且仅当a＝b时取等号，
所以eq \f(2ab,a＋b)≥eq \r(ab)不一定成立．故B不成立．
因为eq \f(2ab,a＋b)≤eq \f(2ab,2\r(ab))＝eq \r(ab)，当且仅当a＝b时取等号，
所以eq \f(a2＋b2,a＋b)＝eq \f(（a＋b）2－2ab,a＋b)＝a＋b－eq \f(2ab,a＋b)≥2eq \r(ab)－eq \r(ab)＝eq \r(ab)，当且仅当a＝b时取等号，
所以eq \f(a2＋b2,a＋b)≥eq \r(ab)，
所以eq \f(a2＋b2,\r(ab))≥a＋b，故C一定成立．
因为(a＋b)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)＋\f(1,b)))＝2＋eq \f(b,a)＋eq \f(a,b)≥4，当且仅当a＝b时取等号，故D一定成立，故选A、C、D.
12．设自变量x对应的因变量为y，在满足对任意的x，不等式y≤M都成立的所有常数M中，将M的最小值叫做y的上确界．若a，b为正实数，且a＋b＝1，则－eq \f(1,2a)－eq \f(2,b)的上确界为( )
A．－eq \f(9,2) B.eq \f(9,2)
C.eq \f(1,4) D．－4
解析：选A 因为a，b为正实数，且a＋b＝1，
所以eq \f(1,2a)＋eq \f(2,b)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2a)＋\f(2,b)))×(a＋b)＝eq \f(5,2)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(b,2a)＋\f(2a,b)))≥eq \f(5,2)＋2eq \r(\f(b,2a)×\f(2a,b))＝eq \f(9,2)，当且仅当b＝2a，即a＝eq \f(1,3)，b＝eq \f(2,3)时等号成立，因此有－eq \f(1,2a)－eq \f(2,b)≤－eq \f(9,2)，即－eq \f(1,2a)－eq \f(2,b)的上确界为－eq \f(9,2).
13．一个矩形的周长为l，面积为S，则如下四组数对中，可作为数对(S，l)的序号是( )
①(1，4)；②(6，8)；③(7，12)；④eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3，\f(1,2))).
A．①③ B．①③④
C．②④ D．②③④
解析：选A 设矩形的长和宽分别为x，y，则x＋y＝eq \f(1,2)l，S＝xy.
对于①(1，4)，则x＋y＝2，xy＝1，满足xy≤eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x＋y,2)))eq \s\up12(2)，符合题意；
对于②(6，8)，则x＋y＝4，xy＝6，不满足xy≤eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x＋y,2)))eq \s\up12(2)，不符合题意；
对于③(7，12)，则x＋y＝6，xy＝7，满足xy≤eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x＋y,2)))eq \s\up12(2)，符合题意；
对于④eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3，\f(1,2)))，则x＋y＝eq \f(1,4)，xy＝3，不满足xy≤eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x＋y,2)))eq \s\up12(2)，不符合题意．
综合，可作为数对(S，l)的序号是①③.
14．已知不等式2x＋m＋eq \f(8,x－1)>0对任意的x>1恒成立，求实数m的取值范围．
解：∵2x＋m＋eq \f(8,x－1)>0在x>1时恒成立，
∴m>－2x－eq \f(8,x－1)＝－2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(4,x－1)))
＝－2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－1＋\f(4,x－1)＋1))，
又x>1时，x－1>0，
x－1＋eq \f(4,x－1)＋1≥2eq \r(（x－1）·\f(4,x－1))＋1＝5，
当且仅当x－1＝eq \f(4,x－1)，即x＝3时，等号成立，
∴－2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－1＋\f(4,x－1)＋1))≤－2×5＝－10.
∴m>－10，
∴实数m的取值范围为{m|m>－10}．
[C级 拓展探究]
15．某厂家拟在2021年举行某产品的促销活动，经调查，该产品的年销售量(即该产品的年产量)x(单位：万件)与年促销费用m(m≥0)(单位：万元)满足x＝3－eq \f(k,m＋1)(k为常数)，如果不举行促销活动，该产品的年销售量是1万件．已知2021年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金，不包括促销费用)．
(1)将2021年该产品的利润y(单位：万元)表示为年促销费用m的函数；
(2)该厂家2021年的促销费用为多少万元时，厂家的利润最大？
解：(1)由题意，可知当m＝0时，x＝1，∴1＝3－k，解得k＝2，∴x＝3－eq \f(2,m＋1)，
又每件产品的销售价格为1.5×eq \f(8＋16x,x)元，
∴y＝xeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1.5×\f(8＋16x,x)))－(8＋16x＋m)＝4＋8x－m
＝4＋8eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3－\f(2,m＋1)))－m
＝－eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(16,m＋1)＋（m＋1）))＋29(m≥0)．
(2)∵m≥0，eq \f(16,m＋1)＋(m＋1)≥2eq \r(16)＝8，当且仅当eq \f(16,m＋1)＝m＋1，即m＝3时等号成立，
∴y≤－8＋29＝21，∴ymax＝21.
故该厂家2021年的促销费用为3万元时，厂家的利润最大，最大利润为21万元．