人教B版 (2019)必修 第一册3.1.3 函数的奇偶性课后练习题

这是一份人教B版 (2019)必修 第一册3.1.3 函数的奇偶性课后练习题，共6页。

1．函数f(x)＝eq \f(1,x)－x的图像( )
A．关于y轴对称 B．关于直线y＝x对称
C．关于坐标原点对称 D．关于直线y＝－x对称
解析：选C ∵f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称，且f(－x)＝－eq \f(1,x)－(－x)＝x－eq \f(1,x)＝－f(x)，∴f(x)是奇函数，图像关于原点对称．
2．若f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)是偶函数，则g(x)＝ax3＋bx2＋cx是( )
A．奇函数 B．偶函数
C．非奇非偶函数 D．既是奇函数又是偶函数
解析：选A 因为f(x)＝ax2＋bx＋c是偶函数，所以由f(－x)＝f(x)，得b＝0.所以g(x)＝ax3＋cx.
所以g(－x)＝a(－x)3＋c(－x)＝－g(x)，
所以g(x)为奇函数．
3．(多选)下列对函数的奇偶性判断正确的是( )
A．f(x)＝(x－1) eq \r(\f(1＋x,1－x))是偶函数
B．f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x2＋x（x<0），,－x2＋x（x>0）))是奇函数
C．f(x)＝eq \r(3)－x2＋eq \r(x2－3)是非奇非偶函数
D．f(x)＝eq \f(\r(1－x2),|x＋3|－3)是奇函数
解析：选BD 由eq \f(1＋x,1－x)≥0，即(x－1)(x＋1)≤0，x≠1，解得－1≤x<1，所以函数的定义域是[－1，1)，不关于原点对称，所以函数是非奇非偶函数，故A错误；设x<0，则－x>0，所以f(－x)＝－x2－x，则f(－x)＝－f(x)，同理当x>0时，f(－x)＝－f(x)，所以函数是奇函数，故B正确；由x2－3≥0，解得x≥eq \r(3)或x≤－eq \r(3)，所以函数的定义域是(－∞，－eq \r(3) ]∪[ eq \r(3)，＋∞)关于原点对称，又f(－x)＝eq \r(3)－(－x)2＋eq \r(（－x）2－3)＝eq \r(3)－x2＋eq \r(x2－3)＝f(x)，所以函数是偶函数，故C错误；由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(1－x2≥0，,|x＋3|－3≠0，))即eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(－1≤x≤1，,x≠0，))所以函数的定义域[－1，0)∪(0，1]，f(x)＝eq \f(\r(1－x2),x)，又f(－x)＝eq \f(\r(1－（－x）2),－x)＝－eq \f(\r(1－x2),x)＝－f(x)，所以函数是奇函数，故选B、D.
4．已知奇函数y＝f(x)(x≠0)，当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝x－1，则函数f(x－1)的图像为( )
解析：选D 奇函数y＝f(x)(x≠0)，当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝x－1.
设x<0，则－x>0，f(－x)＝－x－1，
∴－f(x)＝－x－1，∴f(x)＝x＋1.
综上可得，f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x－1，x>0，,x＋1，x<0，))
故f(x－1)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x－2，x>1，,x，x<1，))其图像如图所示．
即D选项满足条件，故选D.
5．(多选)设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是( )
A．f(x)g(x)是偶函数
B．|f(x)|＋g(x)是偶函数
C．f(x)|g(x)|是奇函数
D．|f(x)g(x)|是奇函数
解析：选BC ∵f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，∴|f(x)|是偶函数，|g(x)|是偶函数．根据一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数，可得f(x)g(x)为奇函数，f(x)|g(x)|为奇函数，故选项A错误，C正确；由两个偶函数的和还是偶函数知B正确；由f(x)g(x)为奇函数得|f(x)g(x)|为偶函数，故D错误．故选B、C.
6．设奇函数f(x)的定义域为[－6，6]，当x∈[0，6]时f(x)的图像如图所示，不等式f(x)<0的解集用区间表示为________．
解析：由f(x)在[0，6]上的图像知，满足f(x)<0的不等式的解集为(0，3)．又f(x)为奇函数，图像关于原点对称，所以在[－6，0)上，不等式f(x)<0的解集为[－6，－3)．综上可知，不等式f(x)<0的解集为[－6，－3)∪(0，3)．
答案：[－6，－3)∪(0，3)
7．若定义在(－1，1)上的奇函数f(x)＝eq \f(x＋m,x2＋nx＋1)，则常数m，n的值分别为________．
解析：由已知得f(0)＝0，故m＝0.
由f(x)是奇函数，知f(－x)＝－f(x)，
即eq \f(－x＋0,x2－nx＋1)＝－eq \f(x＋0,x2＋nx＋1)，
∴x2－nx＋1＝x2＋nx＋1，∴n＝0.
答案：0，0
8．已知f(x)＝x5＋ax3＋bx－8(a，b是常数)，且f(－3)＝5，则f(3)＝________．
解析：设g(x)＝x5＋ax3＋bx，则g(x)为奇函数．由题设可得f(－3)＝g(－3)－8＝5，得g(－3)＝13.又g(x)为奇函数，所以g(3)＝－g(－3)＝－13，于是f(3)＝g(3)－8＝－13－8＝－21.
答案：－21
9．已知函数y＝f(x)是定义在R上的偶函数，且当x≤0时，f(x)＝x2＋2x.现已画出函数f(x)在y轴左侧的图像，如图所示．
(1)请补出完整函数y＝f(x)的图像；
(2)根据图像写出函数y＝f(x)的增区间；
(3)根据图像写出使f(x)＜0的x的取值集合．
解：(1)由题意作出函数图像如图：
(2)据图可知，单调增区间为(－1，0)，(1，＋∞)．
(3)据图可知，使f(x)＜0的x的取值集合为(－2，0)∪(0，2)．
10．设函数f(x)是R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x2＋4x.
(1)求f(x)的表达式；
(2)证明f(x)在区间(0，＋∞)上是增函数．
解：(1)当x<0时，－x>0，所以f(－x)＝(－x)2＋4(－x)＝x2－4x.
因为f(x)是奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，
所以f(x)＝－f(－x)＝－(x2－4x)＝－x2＋4x(x<0)．
所以f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x2＋4x，x≥0，,－x2＋4x，x<0.))
(2)证明：设任意的x1，x2∈(0，＋∞)，且x1f(x2)－f(x1)＝(xeq \\al(2,2)＋4x2)－(xeq \\al(2,1)＋4x1)＝(x2－x1)·(x2＋x1＋4)．
因为00，x2＋x1＋4>0，
所以f(x2)－f(x1)>0，所以f(x1)所以f(x)是(0，＋∞)上的增函数．
[B级 综合运用]
11．已知偶函数f(x)的定义域为(－3，3)，且f(x)在[0，3)上是减函数，f(m－1)－f(3m－1)>0，则实数m的取值范围是( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2))) B．(－∞，0)∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，＋∞))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2,3)，0))∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(4,3))) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2,3)，\f(4,3)))
解析：选C ∵f(x)为偶函数，且在[0，3)上是减函数，
∴f(x)在(－3，0)上是增函数．
f(m－1)－f(3m－1)>0可化为f(m－1)>f(3m－1)，
∵f(x)为偶函数，
∴f(m－1)>f(3m－1)即为f(|m－1|)>f(|3m－1|)．
又f(x)在[0，3)上为减函数，
∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(－3解得m∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2,3)，0))∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(4,3)))，故选C.
12．我们知道，函数y＝f(x)的图像关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数y＝f(x)为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数y＝f(x)的图像关于点P(a，b)成中心对称图形的充要条件是函数y＝f(x＋a)－b为奇函数．则函数f(x)＝x3＋3x2图像的对称中心为( )
A．(－1，2) B．(－1，－2)
C．(1，2) D．(1，－2)
解析：选A 设(a，b)为f(x)＝x3＋3x2图像的对称中心，
则有y＝f(x＋a)－b＝(x＋a)3＋3(x＋a)2－b为奇函数，
设g(x)＝(x＋a)3＋3(x＋a)2－b，则g(x)为奇函数；
g(x)＝x3＋3(a＋1)x2＋3(a2＋2a)x＋a3＋3a2－b，又g(－x)＋g(x)＝0，
可得3(a＋1)x2＋a3＋3a2－b＝0，
所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＋1＝0，,a3＋3a2－b＝0，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝－1，,b＝2，))
所以函数f(x)＝x3＋3x2图像的对称中心的坐标为(－1，2)．故选A.
13．给出定义：若m－eq \f(1,2)＜x≤m＋eq \f(1,2)(其中m为整数)，则m叫做离实数x最近的整数，记作{x}，即{x}＝m.在此基础上给出下列关于函数f(x)＝x－{x}的四个命题：
①函数y＝f(x)的定义域是R，值域是eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，\f(1,2)))；
②函数y＝f(x)是偶函数；
③函数y＝f(x)是奇函数；
④函数y＝f(x)在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，\f(1,2)))上是增函数．
其中正确的命题是________(填序号)．
解析：化简函数解析式可得f(x)＝x－{x}＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(…,x，－\f(1,2)＜x≤\f(1,2)，,x－1，\f(1,2)＜x≤\f(3,2)，,x－2，\f(3,2)＜x≤\f(5,2)，,…))则函数f(x)的图像，如图：
由图像可知①④正确．
答案：①④
14．已知函数f(x)＝eq \f(mx＋1,1＋x2)是R上的偶函数．
(1)求实数m的值；
(2)判断函数f(x)在(－∞，0]上的单调性；
(3)求函数f(x)在[－3，2]上的最大值与最小值．
解：(1)若函数f(x)＝eq \f(mx＋1,1＋x2)是R上的偶函数，
则f(－x)＝f(x)，即eq \f(m（－x）＋1,1＋（－x）2)＝eq \f(mx＋1,1＋x2)，解得m＝0.
(2)函数f(x)在(－∞，0]上单调递增．理由如下：
由(1)知f(x)＝eq \f(1,1＋x2)，
设任意的x1，x2∈(－∞，0]，且x1则f(x1)－f(x2)＝eq \f(1,1＋xeq \\al(2,1))－eq \f(1,1＋xeq \\al(2,2))＝eq \f(1＋xeq \\al(2,2)－1－xeq \\al(2,1),（1＋xeq \\al(2,1)）（1＋xeq \\al(2,2)）)＝eq \f(（x2＋x1）（x2－x1）,（1＋xeq \\al(2,1)）（1＋xeq \\al(2,2)）).
因为x10，
(1＋xeq \\al(2,1))(1＋xeq \\al(2,2))>0，
所以f(x1)所以函数f(x)在(－∞，0]上单调递增．
(3)由(2)知函数f(x)在(－∞，0]上是增函数．
又f(x)是R上的偶函数，
所以f(x)在(0，＋∞)上为减函数，
所以f(x)在[－3，0]上为增函数，在[0，2]上为减函数，
又f(－3)＝eq \f(1,10)，f(0)＝1，f(2)＝eq \f(1,5)，
所以f(x)max＝f(0)＝1，f(x)min＝f(－3)＝eq \f(1,10).
[C级 拓展探究]
15．已知f(x)，g(x)都是定义在R上的函数，如果存在实数m，n使得h(x)＝mx2＋(m＋n)x＋2n，那么称h(x)为f(x)，g(x)在R上生成的函数．设f(x)＝x2＋x，g(x)＝x＋2，若h(x)为f(x)，g(x)在R上生成的一个偶函数，且h(1)＝3，求函数h(x)．
解：h(x)＝mf(x)＋ng(x)＝m(x2＋x)＋n(x＋2)＝mx2＋(m＋n)x＋2n；
∵h(x)为偶函数，∴m＋n＝0，①
又h(1)＝3，∴m＋m＋n＋2n＝3，②
联立①②解得m＝－3，n＝3，
∴h(x)＝－3x2＋6.