精品解析：2020年浙江省杭州市数学中考一模试题（解析版+原卷板）

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2020年浙江省杭州市中考一模试卷
一、 选择题
1. 如图，四个有理数在数轴上的对应点M，P，N，Q，若点M，N表示的有理数互为相反数，则图中表示绝对值最小的数的点是（ ）

A. 点M B. 点N C. 点P D. 点Q
【答案】C
【解析】
【详解】试题分析：∵点M，N表示的有理数互为相反数，∴原点的位置大约在O点，∴绝对值最小的数的点是P点，故选C．

考点：有理数大小比较．
2. 长兴是浙江省的北大门，与苏、皖两省接壤，位于太湖西南岸，全县区域面积1430平方公里，现有户籍人口约64万．将1430用科学记数法表示为（   ）
A. 0.143×104 B. 1.43×103 C. 14.3×102 D. 143×10
【答案】B
【解析】
【分析】根据科学记数法的表示方法解答即可.
详解】解：1430= 1.43×103.
故选：B．
【点睛】此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3. 下列图形中，是中心对称图形又是轴对称图形的是 ( )
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】中心对称图形的定义：在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180°，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；轴对称图形的定义：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
【详解】A中心对称图形，不是轴对称图形，
B是轴对称图形，不是中心对称图形；
C是轴对称图形，不是中心对称图形；
D是轴对称图形，也是中心对称图形；
故选D
考点：中心对称图形和轴对称图形
点评：本题属于基础应用题，只需学生熟练掌握中心对称图形和轴对称图形的定义，即可完成
4. 在我市举行的中学生春季田径运动会上，参加男子跳高的15名运动员的成绩如下表所示：

这些运动员跳高成绩的中位数和众数分别是
A. 1.70，1.65 B. 1.70，1.70 C. 1.65，1.70 D. 3，4
【答案】A
【解析】
【详解】在这15个数中，处于中间位置的第8个数是1.70，所以中位数是1.70；在这一组数据中1.65是出现次数最多的，所以众数是1.65．
∴这些运动员跳高成绩的中位数和众数分别是1.70，1.65．故选A．
5. 下列运算中，正确的是（　　）
A. 3a2﹣a2＝2 B. （a2）3＝a5 C. a2•a3＝a5 D. （2a2）2＝2a4
【答案】C
【解析】
【分析】直接利用同底数幂的乘法运算法则以及积的乘方运算法则、合并同类项法则分别判断得出答案．
【详解】解：A、3a2﹣a2＝2a2，故此选项错误；
B、（a2）3＝a6，故此选项错误；
C、a2•a3＝a5，正确；
D、（2a2）2＝4a4，故此选项错误；
故选C．
【点睛】此题主要考查了同底数幂的乘法运算以及积的乘方运算、合并同类项，正确掌握相关运算法则是解题关键．
6. 《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一个问题：“今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等．交易其一，金轻十三两．问金、银一枚各重几何？”．意思是：甲袋中装有黄金9枚（每枚黄金重量相同），乙袋中装有白银11枚（每枚白银重量相同），称重两袋相等．两袋互相交换1枚后，甲袋比乙袋轻了13两（袋子重量忽略不计）．问黄金、白银每枚各重多少两？设每枚黄金重x两，每枚白银重y两，根据题意得（　　）
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意可得等量关系：①9枚黄金的重量=11枚白银的重量；②（10枚白银的重量+1枚黄金的重量）-（1枚白银的重量+8枚黄金的重量）=13两，根据等量关系列出方程组即可．
【详解】设每枚黄金重x两，每枚白银重y两，
由题意得：，
故选D．
【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系．
7. 如图，AB∥GH∥CD，点H在BC上，AC与BD交于点G，AB=2，CD=3，则GH长为（   ）

A. 1 B. 1.2 C. 2 D. 2.5
【答案】B
【解析】
【分析】由AB∥GH∥CD可得：△CGH∽△CAB、△BGH∽△BDC，进而得：、，然后两式相加即可．
【详解】解：∵AB∥GH，∴△CGH∽△CAB，∴，即①，
∵CD∥GH，∴△BGH∽△BDC，∴，即②，
①+②，得：，解得：．
故选：B．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，属于基本题型，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
8. 解分式方程+1=0，正确的结果是（ ）
A. x=0 B. x=1 C. x=2 D. 无解
【答案】A
【解析】
【分析】先去分母化为整式方程,再求解即可.
【详解】+1=0，
1+x-1=0，
x=0，
经检验：x=0是原方程的根，
故选A.
考点：解分式方程.
9. 如图，抛物线 与x轴交于点A（﹣1，0），顶点坐标（1，n），与y轴交点在（0，3），（0，4）之间（包含端点），则下列结论：①abc＞0；②3a+b＜0；③﹣≤a≤﹣1；④a+b≥am2+bm（m为任意实数）；⑤一元二次方程 有两个不相等的实数根，其中正确的有（　　）

A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个
【答案】B
【解析】
【详解】解：∵抛物线开口向下，∴a＜0，∵顶点坐标（1，n），∴对称轴为直线x=1，∴ =1，∴b=﹣2a＞0，∵与y轴的交点在（0，3），（0，4）之间（包含端点），∴3≤c≤4，∴abc＜0，故①错误；
3a+b=3a+（﹣2a）=a＜0，故②正确；
∵与x轴交于点A（﹣1，0），∴a﹣b+c=0，∴a﹣（﹣2a）+c=0，∴c=﹣3a，∴3≤﹣3a≤4，∴﹣≤a≤﹣1，故③正确；
∵顶点坐标为（1，n），∴当x=1时，函数有最大值n，∴a+b+c≥am2+bm+c，∴a+b≥am2+bm，故④正确；
一元二次方程有两个相等的实数根x1=x2=1，故⑤错误．
综上所述，结论正确的是②③④共3个．故选B．
点睛：本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，主要利用了二次函数的开口方向，对称轴，最值问题，以及二次函数图象上点的坐标特征，关键在于根据顶点横坐标表示出a、b的关系．
10. 如图，在矩形ABCD中，AD=AB，∠BAD的平分线交BC于点E，DH⊥AE于点H，连接BH并延长交CD于点F，连接DE交BF于点O，下列结论：①∠AED=∠CED；②OE=OD；③BH=HF；④BC﹣CF=2HE；⑤AB=HF，其中正确的有（ ）

A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个
【答案】C
【解析】
【详解】试题分析：∵在矩形ABCD中，AE平分∠BAD，
∴∠BAE=∠DAE=45°，
∴△ABE是等腰直角三角形，
∴AE=AB，
∵AD=AB，
∴AE=AD，
又∠ABE=∠AHD=90°
∴△ABE≌△AHD（AAS），
∴BE=DH，
∴AB=BE=AH=HD，
∴∠ADE=∠AED=（180°﹣45°）=67.5°，
∴∠CED=180°﹣45°﹣67.5°=67.5°，
∴∠AED=∠CED，故①正确；
∵∠AHB=（180°﹣45°）=67.5°，∠OHE=∠AHB（对顶角相等），
∴∠OHE=∠AED，
∴OE=OH，
∵∠OHD=90°﹣67.5°=22.5°，∠ODH=67.5°﹣45°=22.5°，
∴∠OHD=∠ODH，
∴OH=OD，
∴OE=OD=OH，故②正确；
∵∠EBH=90°﹣67.5°=22.5°，
∴∠EBH=∠OHD，
又BE=DH，∠AEB=∠HDF=45°
∴△BEH≌△HDF（ASA），
∴BH=HF，HE=DF，故③正确；
由上述①、②、③可得CD=BE、DF=EH=CE，CF=CD-DF，
∴BC-CF=（CD+HE）-（CD-HE）=2HE，所以④正确；
∵AB=AH，∠BAE=45°，
∴△ABH不是等边三角形，
∴AB≠BH，
∴即AB≠HF，故⑤错误；
综上所述，结论正确的是①②③④共4个．
故选C．
【点睛】考点：1、矩形的性质；2、全等三角形的判定与性质；3、角平分线的性质；4、等腰三角形的判定与性质

二、 填空题
11. 因式分解：______．
【答案】 
【解析】
【详解】解：原式=4a（a2﹣4）=4a（a+2）（a﹣2）．故答案为4a（a+2）（a﹣2）．
12. 规定：，如：，若，则＝__.
【答案】1或-3
【解析】
【分析】根据a⊗b=（a+b）b，列出关于x的方程（2+x）x=3，解方程即可．
【详解】依题意得：（2+x）x=3，
整理，得 x2+2x=3，
所以 （x+1）2=4，
所以x+1=±2，
所以x=1或x=-3．
故答案是：1或-3．
【点睛】用配方法解一元二次方程的步骤：
①把原方程化为ax2+bx+c=0（a≠0）的形式；
②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边；
③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；
④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；
⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解．
13. 从分别标有1、2、3、4的四张卡片中，一次同时抽2张，其中和为奇数的概率是_________．
【答案】
【解析】
【分析】依据题意先用列表法或画树状图法分析所有等可能的出现结果，然后根据概率公式求出该事件的概率．
【详解】如图，

由树状图可知共有4×3=12种可能，和为奇数的有8种，所以概率是．
14. 已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，弦PQ∥AB交弦CD于点M，BE=18，CD=PQ=24，则OM的长为______．

【答案】
【解析】
【详解】试题解析：作OF⊥PQ于F，连接OP，

∴PF=PQ=12，
∵CD⊥AB，PQ∥AB，
∴CD⊥PQ，
∴四边形MEOF为矩形，
∵CD=PQ，OF⊥PQ，CD⊥AB，
∴OE=OF，
∴四边形MEOF为正方形，
设半径为x，则OF=OE=18-x，
在直角△OPF中，
x2=122+（18-x）2，
解得x=13，
则MF=OF=OE=5，
∴OM=5．
15. 图甲是小明设计的带菱形图案的花边作品，该作品由形如图乙的矩形图案拼接而成（不重叠，无缝隙）．图乙种，，EF=4cm，上下两个阴影三角形的面积之和为54cm2，其内部菱形由两组距离相等的平行线交叉得到，则该菱形的周长为___cm

【答案】
【解析】
【详解】试题分析：根据，EF=4可得：AB=和BC的长度，根据阴影部分的面积为54可得阴影部分三角形的高，然后根据菱形的性质可以求出小菱形的边长为，则菱形的周长为：×4=.
考点：菱形的性质.

16. 如图所示，Rt△AOB中，∠AOB=90°，OA=4，OB=2，点B在反比例函数y=图象上，则图中过点A的双曲线解析式是_____．

【答案】y=﹣
【解析】
【分析】要求函数的解析式只要求出点A的坐标就可以，过点A，B作AC⊥x轴，BD⊥x轴，分别于C，D．设点B的坐标是（m,n）,然后用待定系数法即可．
【详解】过点A，B作AC⊥x轴，BD⊥x轴，分别于C，D．

设点B的坐标是（m,n）,
因为点B在函数y=的图象上,则mn=2,
则BD=n,OD=m,则AC=2m,OC=2n,
设过点A的双曲线解析式是y=, A点的坐标是（-2n,2m）,
把它代入得到:2m=,
则k=-4mn=-8,
则图中过点A的双曲线解析式是y=.
故答案为：y=.
三、 解答题
17. “小组合作学习”成为我区推动课堂教学改革，打造自主高效课堂的重要举措．某中学从全校学生中随机抽取100人作为样本，对“小组合作学习”实施前后学生的学习兴趣变化情况进行调查分析，统计如下：

请结合图中信息解答下列问题：
（1）小组合作学习前学生学习兴趣为“高”的所占的百分比为 ；
（2）补全小组合作学习后学生学习兴趣的统计图；
（3）通过“小组合作学习”前后学生学习兴趣的对比，请你估计全校2000名学生中学习兴趣获得提高的学生有多少人？
【答案】（1） 30%；
（2）图形见解析；
（3）估计全校2000名学生中学习兴趣获得提高的学生有300人．
根据统计情况，可以看出“分组合作学习”可以提高学生学习兴趣．（类似的语言均可）
【解析】
【详解】试题分析：(1)、用1减去极高、低和中的百分比，从而得出高所占的百分比；(2)、用总人数减去其余的人数得出“中”的人数；(3)、首先求出提高学习兴趣的人数比例，然后进行计算.
试题解析：(1) 30%；
(2)如图；

(3)(30－25%×100)+(35－30%×100)+(30－25%×100)=15 15÷100×100%=15% 2000×15%=300(人)
所以，估计全校2000名学生中学习兴趣获得提高的学生有300人
根据统计情况，可以看出“分组合作学习”可以提高学生学习兴趣.
考点：统计图.
18. 已知抛物线（是常数）经过点．
（）求该抛物线的解析式和顶点坐标．
（）抛物线与轴另一交点为点，与轴交于点，平行于轴的直线与抛物线交于点，，与直线交于点．
①求直线解析式．
②若，结合函数的图像，求的取值范围．
【答案】（），顶点坐标为；
（）①直线BL的解析式为;②．
【解析】
【分析】（1）将代入抛物线解析式求得b的值，即可确定抛物线的解析式，再化为顶点式，即可求得顶点坐标；
（2）①令x=0，求得y的值，得到点C坐标，由抛物线的对称性，得到点B坐标，设出直线的一般式，代入求解即可；
②由图象可知，由抛物线的对称性知，即可求解.
【详解】（）将代入，得：，
∴，
∴
，
即顶点坐标为．
（）①由（）可知点坐标为，点坐标为，
∴设直线的解析式为，，
代入，，得：，
∴，
∴直线的解析式为．
②直线为，
则，
∴，
∵，关于对称轴对称，
∴，
∴，
∴．

点睛：本题为二次函数的综合应用，涉及的知识点有待定系数法、抛物线的对称性即抛物线与坐标轴的交点，灵活运用所学知识解决问题是解决问题的关键.
19. 如图，一次函数y=kx+b（k≠0）的图象与x轴，y轴分别交于A（﹣9，0），B（0，6）两点，过点C（2，0）作直线l与BC垂直，点E在直线l位于x轴上方的部分．
（1）求一次函数y=kx+b（k≠0）的表达式；
（2）若△ACE的面积为11，求点E的坐标；
（3）当∠CBE=∠ABO时，点E的坐标为　 　．

【答案】（1）一次函数y=kx+b的表达式为y=x﹣6；（2）E（8，2）；（3）（11，3）．
【解析】
【分析】（1）利用待定系数法进行求解即可得；
（2）如图，记直线l与y轴的交点为D，通过证明△OBC∽△OCD，根据相似三角形的性质可求得OD的长，继而可得点D的坐标，再根据点C坐标利用待定系数法求出直线l的解析式为y=x﹣，设E（t，t﹣t），然后根据S△ACE=AC×yE=11，求得t的值即可得解；
（3）如图，过点E作EF⊥x轴于F，可证得△ABO∽△EBC，从而可得，再证明△BOC∽△CFE，可得，从而可得出CF=9，EF=3，继而得到OF=11，即可得点E坐标.
【详解】（1）∵一次函数y=kx+b（k≠0）的图象与x轴，y轴分别交于A（﹣9，0），B（0，6）两点，
∴，∴，
∴一次函数y=kx+b的表达式为y=x﹣6；
（2）如图，记直线l与y轴的交点为D，
∵BC⊥l，
∴∠BCD=90°=∠BOC，
∴∠OBC+∠OCB=∠OCD+∠OCB，
∴∠OBC=∠OCD，
∵∠BOC=∠COD，
∴△OBC∽△OCD，
∴，
∵B（0，6），C（2，0），
∴OB=6，OC=2，
∴，
∴OD=，
∴D（0，﹣），
∵C（2，0），
∴直线l的解析式为y=x﹣，
设E（t，t﹣t），
∵A（﹣9，0），C（2，0），
∴S△ACE=AC×yE=×11×（t﹣）=11，
∴t=8，
∴E（8，2）；
（3）如图，过点E作EF⊥x轴于F，
∵∠ABO=∠CBE，∠AOB=∠BCE=90°
∴△ABO∽△EBC，
∴，
∵∠BCE=90°=∠BOC，
∴∠BCO+∠CBO=∠BCO+∠ECF，
∴∠CBO=∠ECF，
∵∠BOC=∠EFC=90°，
∴△BOC∽△CFE，
∴，
∴，
∴CF=9，EF=3，
∴OF=11，
∴E（11，3），
故答案为（11，3）．

【点睛】本题考查了一次函数的性质、相似三角形的判定与性质等，熟练掌握待定系数法、相似三角形的判定与性质是解题的关键.
20. 某化工车间发生有害气体泄漏，自泄漏开始到完全控制利用了40min，之后将对泄漏有害气体进行清理，线段DE表示气体泄漏时车间内危险检测表显示数据y与时间x（min）之间的函数关系（0≤x≤40），反比例函数y=对应曲线EF表示气体泄漏控制之后车间危险检测表显示数据y与时间x（min）之间的函数关系（40≤x≤？）．根据图象解答下列问题：
（1）危险检测表在气体泄漏之初显示的数据是　 　；
（2）求反比例函数y=的表达式，并确定车间内危险检测表恢复到气体泄漏之初数据时对应x的值．

【答案】（1）20；（2）对应x的值是160．
【解析】
【详解】试题分析：（1）当时，设y与x之间的函数关系式为 把点代入，求出的值，即可得到函数解析式，把x=0代入，求得，即危险检测表在气体泄漏之初显示的数据.
将x=40代入y=1.5x+20，求得点的坐标，把点代入反比例函数，求得反比例函数的解析式，把y=20代入反比例函数，即可求得车间内危险检测表恢复到气体泄漏之初数据时对应x的值．
试题解析：（1）当时，设y与x之间的函数关系式为 把点代入，得
得 ，
∴
当x=0时，
故答案为20；
（2）将x=40代入y=1.5x+20，得y=80，
∴点E（40，80），
∵点E在反比例函数的图象上，
∴得k=3200，
即反比例函数，
当y=20时，得x=160，
即车间内危险检测表恢复到气体泄漏之初数据时对应x的值是160．
21. 已知△ABC，以AB为直径的⊙O分别交AC于D，BC于E，连接ED，若ED=EC
（1）求证：AB=AC；
（2）若AB=4，BC=，求CD的长．

【答案】（1）证明过程见解析；（2）
【解析】
【详解】试题分析：（1）由等腰三角形的性质得到∠EDC=∠C，由圆外接四边形的性质得到∠EDC=∠B，由此推得∠B=∠C，由等腰三角形的判定即可证得结论；（2）连接AE，由AB为直径，可证得AE⊥BC，由（1）知AB=AC，由“三线合一”定理得到BE=CE=BC=，由割线定理可证得结论．
试题解析：（1）∵ED=EC， ∴∠EDC=∠C， ∵∠EDC=∠B， ∴∠B=∠C， ∴AB=AC；
（2）连接AE， ∵AB为直径， ∴AE⊥BC， 由（1）知AB=AC， ∴BE=CE=BC=，
∵CE•CB=CD•CA，AC=AB=4， ∴•2=4CD， ∴CD=．

考点：（1）圆周角定理；（2）等腰三角形的判定与性质；（3）勾股定理．
22. 在同一直角坐标系中画出二次函数与二次函数的图形．
（1）从抛物线的开口方向、形状、对称轴、顶点等方面说出两个函数图象的相同点与不同点；
（2）说出两个函数图象的性质的相同点与不同点．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【解析】
【分析】（1）根据二次函数的图象解答即可；
（2）从开口大小和增减性两个方面作答即可.
【详解】（1）解：如图：
，
与图象的相同点是：形状都是抛物线，对称轴都是y轴，
与图象的不同点是：开口向上，顶点坐标是（0，1），开口向下，顶点坐标是（0，﹣1）；
（2）解：两个函数图象的性质的相同点：开口程度相同，即开口大小一样；
不同点：，当x＜0时，y随x的增大而减小，当x＞0时，y随x的增大而增大；，当x＜0时，y随x的增大而增大，当x＞0时，y随x的增大而减小．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，属于基础题型，熟练掌握抛物线的图象与性质是解答的关键.
23. 如图1，O为正方形ABCD的中心，

分别延长OA、OD到点F、E，使OF＝2OA，OE＝2OD，连接EF．将△EOF绕点O逆时针旋转a角得到△E1OF1(如图2)．
(1)探究AE1与BF1的数量关系，并给予证明；
(2)当a＝30°时，求证：△AOE1为直角三角形．
【答案】（1）AE1=BF1；证明见解析（2）见解析
【解析】
【分析】（1）利用旋转不变量找到相等的角和线段，证得后即可证得结论；
（2）利用已知角，得出，从而证明直角三角形.
【详解】（1），证明如下.
证明：为正方形的中心，
，
，，
，
将绕点逆时针旋转角得到，
，
，，
，
；
（2）证明：取 中点，连接，

，，
，
，
，
，
，
，
，
为直角三角形.
【点睛】本题考查了正方形的性质，利用正方形的特殊性质求解.结合了三角形全等的问题，并且涉及到探究性的问题，属于综合性比较强的问题，要求解此类问题就要对基本的知识点有很清楚的认识，熟练掌握.