2020年浙江省嘉兴市中考数学一模试卷 及答案

这是一份2020年浙江省嘉兴市中考数学一模试卷 及答案，共28页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2020年浙江省嘉兴市中考数学一模试卷
一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分．请选出各题中唯一的正确选项，不选、多选、错选，均不给分）
1．下列各组数中，互为相反数的是（　　）
A．4与﹣4 B．与4 C．4与﹣ D．﹣4与
2．下面的图形是用数学家名字命名的，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A．赵爽弦图 B．笛卡尔心形线
C．科克曲线 D．斐波那契螺旋线
3．下列运算正确的是（　　）
A．a+a＝a2 B．x2•x3＝x5
C．（a+1）2＝a2+1 D．（2x）3＝6x3
4．有10位同学参加歌唱比赛，成绩各不相同，按成绩取前5位进入决赛，一位选手知道了自己的成绩后，要判断能否进入决赛，则他还需知道这10位同学成绩的（　　）
A．平均数 B．中位数 C．方差 D．众数
5．已知正方形的面积为50，则该正方形的边长介于（　　）
A．6与7之间 B．7与8之间 C．8与9之间 D．9与10之间
6．车队运送批货物．若每车装4吨，剩下8吨未装；若每车装5吨，则剩余1辆车．甲、乙两人设该车队有x辆车，丙、丁两人设这批货物有y吨，分别列出如下方程：甲：4x+8＝5（x﹣1）；乙：4x﹣8＝5（x+1）；丙：＝+1；丁：＝﹣1．其中所列方程正确的是（　　）
A．甲、丙 B．甲、丁 C．乙、丙 D．乙、丁
7．图1是一张圆形纸片，直径AB＝4．现将点A折叠至圆心O形成折痕CD，再把点C，D都折叠至圆心O处，最后将图形打开铺平（如图2所示），则的长是（　　）

A．π B．π C．π D．π
8．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）交x轴于点A（x1，0），B（x2，0），且x1＜x2，点P（m，n）（n＜0）在该抛物线上．下列四个判断：①b2﹣4ac≥0；②若a+c＝b+3，则该抛物线一定经过点（1，3）；③方程ax2+bx+c＝n的解是x＝m；④当m＝时，△PAB的面积最大．其中判断一定正确．的序号是（　　）
A．① B．② C．③ D．④
9．如图所示的一个大长方形，它被分割成4个大小不同的正方形①，②，③，④和一个小长方形⑤．若已知大长方形的周长，则一定能计算出周长的图形是（　　）

A．②③ B．④⑤ C．②④ D．③⑤
10．如图，平面直角坐标系中，O为原点，点A，B分别在y轴、x轴的正半轴上．△AOB的两条外角平分线交于点P，且点P在反比例函数y＝的图象上．PA，PB的延长线分别交x轴、y轴于点C，D，连接CD．则△OCD的面积是（　　）

A．8 B．8 C．16 D．16
二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分）
11．8的立方根是　 　．
12．已知y是x的函数，且当x＞0时，y随x的增大而减小．则这个函数的表达式可以是　 　．（写出一个符合题意的答案即可）
13．方程组的解是　 　．
14．如图是2020年2月17﹣23日浙江省“新冠肺炎”每日出院人数折线统计图，相邻两日间日出院人数增长有快慢，其中最大的增长率是　 　．（精确到0.1%）

15．对于实数a，b，c，定义mid{a，b，c}＝b（a≥b≥c）．例如mid{﹣1，1，3}＝1；mid{1，2，2}＝2．若1≤mid{1，a﹣1，a+1}≤2，则a的取值范围是　 　．
16．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，BC＝6，P是边AC上的动点，将线段BP绕点B按逆时针方向旋转到BP'，旋转角等于∠ABC，连接CP'．
（1）当点P′，C，P在一条直线上时，线段AP的长是　 　．
（2）线段CP′的最小值是　 　．

三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分）
17．（1）计算：；
（2）化简：．
18．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的各顶点坐标为A（1，1），B（﹣1，0），C（0，﹣1）．
（1）以坐标原点O为位似中心，在图中作出△ABC的一个位似图形△A′B′C′，使它与△ABC的位似比为2；
（2）在（1）的条件下，求的值．

19．一个不透明的口袋中有三个完全相同的小球，球上分别标有数字﹣1，1，2．第一次从袋中任意摸出一个小球（不放回），得到的数字作为点M的横坐标x；再从袋中余下的两个小球中任意摸出一个小球，得到的数字作为点M的纵坐标y．
（1）用列表法或画树状图法，列出点M（x，y）的所有可能结果；
（2）求点M（x，y）在反比例函数y＝的图象上的概率．
20．如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，经过点C且半径为2的⊙O分别切AB，AD于点B，D．
（1）求的度数；
（2）求图中阴影部分的面积．

21．温度的计量，世界上大部分国家都使用摄氏温度（℃）．但美、英等国的天气预报仍然使用华氏温度（℉）．已知两种计量之间的关系是我们已学的某种函数，且两种计量的部分对应值如表．
摄氏C（℃）
0
10
20
30
40
50
华氏F（℉）
32
50
68
86
104
122
（1）判断华氏F（℉）与摄氏C（℃）之间是何种函数关系？并求出F（℉）关于C（℃）的函数表达式．
（2）求华氏为0℉时的摄氏温度．
（3）华氏温度的值与对应的摄氏温度的值能否相等？若能，求出相等的值；若不能，请说明理由．
22．如图1是一款“雷达式”懒人椅．当懒人椅完全展开时，其侧面示意图如图2所示，金属杆AB、CD在点O处连接，且分别与金属杆EF在点B，D处连接．金属杆CD的OD部分可以伸缩（即OD的长度可变）．已知OA＝50cm，OB＝20cm，OC＝30cm．DE＝BF＝5cm．当把懒人椅完全叠合时，金属杆AB，CD，EF重合在一条直线上（如图3所示），此时点E和点A重合．

（1）如图2，已知∠BOD＝6∠ODB，∠OBF＝140°．
①求∠AOC的度数．
②求点A，C之间的距离．
（2）如图3，当懒人椅完全叠合时，求CF与CD的长．
23．在平面直角坐标系中，P，Q是抛物线y＝ax2（a＞0）上不重合的两点，点M（0，2）．直线PM，QM的比例系数互为相反数．
（1）若点P的坐标为（2，8）．求a的值；
（2）在（1）的条件下，求点Q的坐标；
（3）若点P，Q都在第一象限内，且点P的横坐标是点Q的横坐标的3倍，试探究点P与点Q的纵坐标的差是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
24．【方法提炼】
解答几何问题常常需要添辅助线，其中平移图形是重要的添辅助线策略．
【问题情境】
如图1，在正方形ABCD中，E，F，G分别是BC，AB，CD上的点，FG⊥AE于点Q．求证：AE＝FG．
小明在分析解题思路时想到了两种平移法：
方法1：平移线段FG使点F与点B重合，构造全等三角形；
方法2：平移线段BC使点B与点F重合，构造全等三角形；
【尝试应用】
（1）请按照小明的思路，选择其中一种方法进行证明；
（2）如图2，正方形网格中，点A，B，C，D为格点，AB交CD于点O．求tan∠AOC的值；
（3）如图3，点P是线段AB上的动点，分别以AP，BP为边在AB的同侧作正方形APCD与正方形PBEF，连接DE分别交线段BC，PC于点M，N．
①求∠DMC的度数；
②连接AC交DE于点H，求的值．



2020年浙江省嘉兴市中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．下列各组数中，互为相反数的是（　　）
A．4与﹣4 B．与4 C．4与﹣ D．﹣4与
【分析】直接利用相反数的定义分别分析得出答案．
【解答】解：A、4 与﹣4互为相反数，符合题意；
B、与4互为倒数，不合题意；
C、4 与﹣互为负倒数，不合题意；
D、﹣4 与 互为负倒数，不合题意；
故选：A．
2．下面的图形是用数学家名字命名的，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A．赵爽弦图 B．笛卡尔心形线
C．科克曲线 D．斐波那契螺旋线
【分析】根据把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【解答】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
C、是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项正确；
D、不是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
故选：C．
3．下列运算正确的是（　　）
A．a+a＝a2 B．x2•x3＝x5
C．（a+1）2＝a2+1 D．（2x）3＝6x3
【分析】分别根据合并同类项法则，同底数幂的乘法法则，完全平方公式以及积的乘方运算法则逐一判断即可．
【解答】解：A．a+a＝2a，故本选项不合题意；
B．x2•x3＝x5，正确；
C．（a+1）2＝a2+2a+1，故本选项不合题意；
D．（2x）3＝8x3，故本选项不合题意．
故选：B．
4．有10位同学参加歌唱比赛，成绩各不相同，按成绩取前5位进入决赛，一位选手知道了自己的成绩后，要判断能否进入决赛，则他还需知道这10位同学成绩的（　　）
A．平均数 B．中位数 C．方差 D．众数
【分析】参赛选手要想知道自己是否能进入前5名，只需要了解自己的成绩与全部成绩的中位数的大小即可．
【解答】解：由于总共有10个人，且他们的成绩互不相同，要判断是否进入前5名，只要把自己的成绩与中位数进行大小比较．则应知道中位数的多少．
故选：B．
5．已知正方形的面积为50，则该正方形的边长介于（　　）
A．6与7之间 B．7与8之间 C．8与9之间 D．9与10之间
【分析】先依据算术平方根的定义求得它的边长，然后再估算出它的范围即可．
【解答】解：设正方形的边长为x，则x2＝50
∴x＝（负值舍去），
∵＜＜，
∴该正方形的边长介于7与8之间，
故选：B．
6．车队运送批货物．若每车装4吨，剩下8吨未装；若每车装5吨，则剩余1辆车．甲、乙两人设该车队有x辆车，丙、丁两人设这批货物有y吨，分别列出如下方程：甲：4x+8＝5（x﹣1）；乙：4x﹣8＝5（x+1）；丙：＝+1；丁：＝﹣1．其中所列方程正确的是（　　）
A．甲、丙 B．甲、丁 C．乙、丙 D．乙、丁
【分析】根据货物的吨数不变可列出4x+8＝5（x﹣1），根据车队车的辆数不变可列出＝+1，此题得解．
【解答】解：依题意得：4x+8＝5（x﹣1）或＝+1，
∴甲和丙的方程正确．
故选：A．
7．图1是一张圆形纸片，直径AB＝4．现将点A折叠至圆心O形成折痕CD，再把点C，D都折叠至圆心O处，最后将图形打开铺平（如图2所示），则的长是（　　）

A．π B．π C．π D．π
【分析】如图2，连接AC、AD、OC、OD、OE、OF、CE和DF，由折叠及圆的半径相等可得出△AOC、△COE、△AOD和△DOF都是等边三角形，从而可求得∠EOF的度数，再由直径求得半径，则可利用弧长公式求得答案．
【解答】解：如图2，连接AC、AD、OC、OD、OE、OF、CE和DF，

由折叠及圆的半径相等可知，AC＝CO＝OA，AD＝OD＝OA，CE＝OE＝OC，DF＝OF＝OD，
∴△AOC、△COE、△AOD和△DOF都是等边三角形，
∴∠EOF＝360°﹣60°×4＝120°，
∵直径AB＝4，
∴半径为2，
∴的长是＝π．
故选：C．
8．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）交x轴于点A（x1，0），B（x2，0），且x1＜x2，点P（m，n）（n＜0）在该抛物线上．下列四个判断：①b2﹣4ac≥0；②若a+c＝b+3，则该抛物线一定经过点（1，3）；③方程ax2+bx+c＝n的解是x＝m；④当m＝时，△PAB的面积最大．其中判断一定正确．的序号是（　　）
A．① B．② C．③ D．④
【分析】利用抛物线与x轴交点个数和判别式的意义对①进行判断；由于x＝﹣1，y＝3满足a﹣b+c＝3，则可对②进行判断；通过判断直线y＝n与抛物线的交点个数可对③进行判断；根据三角形面积公式，当P点为顶点时，△PAB的面积最大．此时x＝﹣＝m，再利用根与系数的关系得到x1+x2＝﹣，于是m＝，则可对④进行判断．
【解答】解：∵抛物线与x轴交于点A（x1，0），B（x2，0），且x1＜x2，
∴△＝b2﹣4ac＞0，所以①错误；
若a+c＝b+3，即a﹣b+c＝3，则该抛物线一定经过点（﹣1，3），所以②错误；
当P（m，n）为抛物线的顶点时，方程ax2+bx+c＝n的解是x＝m；若P（m，n）不为抛物线的顶点，则方程ax2+bx+c＝n有两个不相等的实数解，所以③错误；
当P点为顶点时，△PAB的面积最大．此时x＝﹣＝m，
∵x1、x2为方程ax2+bx+c＝0的两不相等的实数解，
∴x1+x2＝﹣，
∴m＝，所以④正确．
故选：D．
9．如图所示的一个大长方形，它被分割成4个大小不同的正方形①，②，③，④和一个小长方形⑤．若已知大长方形的周长，则一定能计算出周长的图形是（　　）

A．②③ B．④⑤ C．②④ D．③⑤
【分析】设：①、②、③、④，的边长分别为a、b、c、d、根据矩形的性质对边相等，正方形的性质四个边相等，再利用线段的和差关系进行等量代换，即可求出结果．
【解答】设：正方形①、②、③、④的边长分别为、a、b、c、d，
∴大长方形的周长为：2（c+b+c+d）＝4c+2b+2d，
∵正方形①的边长为a＝c﹣b＝d﹣c，
∴b+d＝2c，
∴4c+2b+2d＝4c+4c＝8c，
即可以求出正方形③的周长．
同理：长方形⑤的周长为2（b+c﹣d+c+d）＝4c，
∴可以求出⑤的周长．
故选：D．
10．如图，平面直角坐标系中，O为原点，点A，B分别在y轴、x轴的正半轴上．△AOB的两条外角平分线交于点P，且点P在反比例函数y＝的图象上．PA，PB的延长线分别交x轴、y轴于点C，D，连接CD．则△OCD的面积是（　　）

A．8 B．8 C．16 D．16
【分析】如图，作PM⊥OA于 M，PN⊥OB于N，PH⊥AB于H．利用全等三角形的性质解决问题即可求得P点坐标．设OA＝a，OB＝b，则AM＝AH＝4﹣a，BN＝BH＝4﹣b，利用勾股定理求出a，b之间的关系，求出OC，OD即可解决问题．
【解答】解：如图，作PM⊥OA于M，PN⊥OB于N，PH⊥AB于H．

∴∠PMA＝∠PHA＝90°，
∵∠PAM＝∠PAH，PA＝PA，
∴△PAM≌△PAH（AAS），
∴PM＝PH，∠APM＝∠APH，
同理可证：△BPN≌△BPH，
∴PH＝PN，∠BPN＝∠BPH，
∴PM＝PN，
∵∠PMO＝∠MON＝∠PNO＝90°，
∴四边形PMON是矩形，
∵PM＝PN，
∴可以假设P（m，m），
∵P（m，m）在y＝上，
∴m2＝16，
∵m＞0，
∴m＝4，
∴P（4，4）．
设OA＝a，OB＝b，则AM＝AH＝4﹣a，BN＝BH＝4﹣b，
∴AB＝AH+BH＝8﹣a﹣b，
∵AB2＝OA2+OB2，
∴a2+b2＝（8﹣a﹣b）2，
可得ab＝8a+8b﹣32，
∴4a+4b﹣16＝ab，
∵PM∥OC，
∴，
∴，
∴OC＝，
同法可得OD＝，
∴S△COD＝•OC•DO＝•＝•＝•＝16．
解法二：连接OP．
∵∠POA＝∠POB＝∠CPD＝45°，
∴∠AOP＝∠POD＝135°，
∵∠POB＝∠PCO+∠OPC＝45°，∠APO+∠OPD＝45°，
∴∠PCO＝∠OPD，
∴△COP∽△POD，
∴OC•OD＝OP2＝32，
可求△COD的面积等于16．
故选：C．
二．填空题（共6小题）
11．8的立方根是　2　．
【分析】利用立方根的定义计算即可得到结果．
【解答】解：8的立方根为2，
故答案为：2．
12．已知y是x的函数，且当x＞0时，y随x的增大而减小．则这个函数的表达式可以是　y＝（x＞0），答案不唯一　．（写出一个符合题意的答案即可）
【分析】反比例函数的图象在每个象限内，函数值y随自变量x的增大而增大，则反比例函数的反比例系数k＜0；反之，只要k＜0，则反比例函数在每个象限内，函数值y随自变量x的增大而增大．
【解答】解：只要使反比例系数大于0即可．如y＝（x＞0），答案不唯一．
故答案为：y＝（x＞0），答案不唯一．
13．方程组的解是　　．
【分析】方程组利用加减消元法求出解即可．
【解答】解：，
②﹣①得：y＝3，
把y＝3代入①得：x＝6，
则方程组的解为．
故答案为：．
14．如图是2020年2月17﹣23日浙江省“新冠肺炎”每日出院人数折线统计图，相邻两日间日出院人数增长有快慢，其中最大的增长率是　116.7%　．（精确到0.1%）

【分析】根据折线图可得18号到19号出院人数增加最多，然后求出增长率即可．
【解答】解：（65﹣30）÷30＝116.7%，
故答案为：116.7%．
15．对于实数a，b，c，定义mid{a，b，c}＝b（a≥b≥c）．例如mid{﹣1，1，3}＝1；mid{1，2，2}＝2．若1≤mid{1，a﹣1，a+1}≤2，则a的取值范围是　0≤a≤3　．
【分析】分不同情况得出a的不等式组，可得出a的取值范围．
【解答】解：∵a+1＞a﹣1，
∴分三种不同情况考虑，
①若a+1≥1≥a﹣1，mid{1，a﹣1，a+1}＝1，
∴a+1≥1，1≥a﹣1，
∴a≥0，a≤2，
即0≤a≤2．
②若a+1≥a﹣1≥1，mid{1，a﹣1，a+1}＝a﹣1，
∴，
即2≤a≤3，
③若1≥a+1≥a﹣1，mid{1，a﹣1，a+1}＝a+1，
∴，
∴a＝0．
综合以上可得a的取值范围是0≤a≤3．
故答案为：0≤a≤3．
16．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，BC＝6，P是边AC上的动点，将线段BP绕点B按逆时针方向旋转到BP'，旋转角等于∠ABC，连接CP'．
（1）当点P′，C，P在一条直线上时，线段AP的长是　5　．
（2）线段CP′的最小值是　　．

【分析】（1）过点P作PE⊥AB于E，由“HL”可证Rt△BCP≌Rt△BCP'，可得∠PBC＝∠P'BC，由“AAS”可证△BCP≌△BEP，可得BC＝BE＝6，CP＝PE，由勾股定理可求解；
（2）在AB上截取BH＝BC＝6，由“SAS”可证△BCP'≌△BHP，可得CP'＝PH，则当PH⊥AC时，PH有最小值，即CP'有最小值，由平行线分线段成比例可求解．
【解答】解：（1）当点P′，C，P在一条直线上时，
如图，过点P作PE⊥AB于E，

∵在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，BC＝6，
∴AC＝＝＝8，
∵将线段BP绕点B按逆时针方向旋转到BP'，旋转角等于∠ABC，
∴BP＝BP'，∠ABC＝∠PBP'，
∴∠P'BC＝∠ABP，
在Rt△BCP和Rt△BCP'中，
BP＝BP'，BC＝BC，
∴Rt△BCP≌Rt△BCP'（HL），
∴∠PBC＝∠P'BC，
∴∠PBC＝∠PBA，
又∵∠ACB＝∠PEB＝90°，BP＝BP，
∴△BCP≌△BEP（AAS），
∴BC＝BE＝6，CP＝PE，
∴AE＝4，
∵AP2＝PE2+AE2，
∴AP2＝（8﹣AP）2＝16，
∴AP＝5，
故答案为：5；
（2）如图，在AB上截取BH＝BC＝6，

∵将线段BP绕点B按逆时针方向旋转到BP'，旋转角等于∠ABC，
∴BP＝BP'，∠PBP'＝∠ABC，
∴∠P'BC＝∠PBH，
又∵BC＝BH，
∴△BCP'≌△BHP（SAS），
∴CP'＝PH，
∴当PH⊥AC时，PH有最小值，即CP'有最小值，
此时，BC∥PH，
∴，
∴，
∴PH＝，
∴线段CP′的最小值为，
故答案为：．
三．解答题
17．（1）计算：；
（2）化简：．
【分析】（1）直接利用二次根式的性质化简，进而合并得出答案；
（2）直接利用将分式的分子与分母分解因式，进而化简，再利用分式的加减运算法则计算得出答案．
【解答】解：（1）原式＝﹣
＝2；

（2）原式＝•﹣
＝﹣
＝﹣．
18．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的各顶点坐标为A（1，1），B（﹣1，0），C（0，﹣1）．
（1）以坐标原点O为位似中心，在图中作出△ABC的一个位似图形△A′B′C′，使它与△ABC的位似比为2；
（2）在（1）的条件下，求的值．

【分析】（1）根据坐标原点O为位似中心，△A′B′C′与△ABC的位似比为2，即可得出位似图形；
（2）根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方，即可得出的值．
【解答】解：（1）如图所示，△A′B′C′即为所求（答案不唯一）．

（2）＝＝．
19．一个不透明的口袋中有三个完全相同的小球，球上分别标有数字﹣1，1，2．第一次从袋中任意摸出一个小球（不放回），得到的数字作为点M的横坐标x；再从袋中余下的两个小球中任意摸出一个小球，得到的数字作为点M的纵坐标y．
（1）用列表法或画树状图法，列出点M（x，y）的所有可能结果；
（2）求点M（x，y）在反比例函数y＝的图象上的概率．
【分析】（1）画树状图展示所有6种等可能的结果数；
（2）利用反比例函数图象上点的坐标特征判断在反比例函数y＝的图象上点的个数，然后根据概率公式求解．
【解答】解：（1）画树状图为：

点M共有6种等可能的结果数，它们是（﹣1，2），（﹣1，1），（1，﹣1），（1，2），（2，1），（2，﹣1）；
（2）因为1×2＝2，2×1＝2，
即共有2个点在反比例函数y＝的图象上，
所以点M（x，y）在反比例函数y＝的图象上的概率＝＝．
20．如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，经过点C且半径为2的⊙O分别切AB，AD于点B，D．
（1）求的度数；
（2）求图中阴影部分的面积．

【分析】（1）根据在菱形ABCD中，∠A＝60°，即可求出的度数；
（2）连接OA，OB，OD．根据三角形的面积和扇形的面积公式即可求图中阴影部分的面积．
【解答】解：（1）∵在菱形ABCD中，∠A＝60°
∴∠C＝∠A＝60°
∴的度数为120°．
（2）连接OA，OB，OD．

∵⊙O分别切AB，AD于点B，D．
∴OB⊥AB，OD⊥AD，且OA平分∠BAD，
∴∠OAB＝∠OAD＝30°，
∴AB＝OB＝2，
∴S阴影＝2SAOB﹣S扇形BOD
＝2×2×2﹣
＝4﹣．
21．温度的计量，世界上大部分国家都使用摄氏温度（℃）．但美、英等国的天气预报仍然使用华氏温度（℉）．已知两种计量之间的关系是我们已学的某种函数，且两种计量的部分对应值如表．
摄氏C（℃）
0
10
20
30
40
50
华氏F（℉）
32
50
68
86
104
122
（1）判断华氏F（℉）与摄氏C（℃）之间是何种函数关系？并求出F（℉）关于C（℃）的函数表达式．
（2）求华氏为0℉时的摄氏温度．
（3）华氏温度的值与对应的摄氏温度的值能否相等？若能，求出相等的值；若不能，请说明理由．
【分析】（1）根据题意和表格中的数据，可以求得F（℉）关于C（℃）的函数表达式；
（2）将F＝0代入（1）中的函数解析式，即可得到相应的C的值；
（3）令F＝C，代入（1）中的函数解析式，即可得到华氏温度的值与对应的摄氏温度相等的值．
【解答】解：（1）设F（℉）关于C（℃）的函数表达式为F＝kC+b，
，
解得，，
即F（℉）关于C（℃）的函数表达式为F＝1.8C+32；
（2）当F＝0时，
0＝1.8C+32，
解得，C＝﹣，
即华氏为0℉时的摄氏温度是﹣，
（3）令F＝C，
则C＝1.8C+32，
解得，C＝﹣40，
即华氏温度的值与对应的摄氏温度的值能相等，这个值是﹣40℃与﹣40℉．
22．如图1是一款“雷达式”懒人椅．当懒人椅完全展开时，其侧面示意图如图2所示，金属杆AB、CD在点O处连接，且分别与金属杆EF在点B，D处连接．金属杆CD的OD部分可以伸缩（即OD的长度可变）．已知OA＝50cm，OB＝20cm，OC＝30cm．DE＝BF＝5cm．当把懒人椅完全叠合时，金属杆AB，CD，EF重合在一条直线上（如图3所示），此时点E和点A重合．

（1）如图2，已知∠BOD＝6∠ODB，∠OBF＝140°．
①求∠AOC的度数．
②求点A，C之间的距离．
（2）如图3，当懒人椅完全叠合时，求CF与CD的长．
【分析】（1）①由三角形的外角性质和已知得出6∠ODB+∠ODB＝∠OBF，求出∠ODB＝20°，得出∠BOD＝6×20°＝120°，即可得出答案；
②连接AC，过点A作AG⊥CE于G，由直角三角形的性质得出OG＝OA＝25cm，由勾股定理得AG＝25cm，得出AC＝70cm即可；
（2）由题意得出CF＝OC﹣OB﹣BF＝5cm，CD＝OC+OA﹣DE＝75cm．
【解答】解：（1）①∵∠OBF＝∠BOD+∠ODB，∠BOD＝6∠ODB，
∴6∠ODB+∠ODB＝∠OBF，
∴7∠ODB＝140°，
∴∠ODB＝20°，
∴∠BOD＝6×20°＝120°，
∵∠AOC＝∠BOD，
∴∠AOC＝120°；
②连接AC，过点A作AG⊥CE于G，如图2所示：
∵∠AOC＝120°，
∴∠AOG＝180°﹣120°＝60°，
∵AG⊥CE，
∴∠OGA＝90°，
∴∠OAG＝90°﹣60°＝30°，
∴OG＝OA＝×50＝25（cm），
由勾股定理得：AG＝＝＝25（cm），
∵CG＝OC+OG＝30+25＝55（cm），
∴AC＝＝＝70（cm），
∴点A，C之间的距离为70cm；
（2）CF＝OC﹣OB﹣BF＝30﹣20﹣5＝5（cm），CD＝OC+OA﹣DE＝30+50﹣5＝75（cm）．

23．在平面直角坐标系中，P，Q是抛物线y＝ax2（a＞0）上不重合的两点，点M（0，2）．直线PM，QM的比例系数互为相反数．
（1）若点P的坐标为（2，8）．求a的值；
（2）在（1）的条件下，求点Q的坐标；
（3）若点P，Q都在第一象限内，且点P的横坐标是点Q的横坐标的3倍，试探究点P与点Q的纵坐标的差是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
【分析】（1）根据待定系数法即可求得；
（2）先求得直线PM的解析式，进而求得直线QM的解析式，然后和抛物线解析式联立求得交点坐标即可；
（3）设Q点的横坐标为m（m＞0），则点P的横坐标为3m，求得它们的纵坐标，求得差即可得出结论．
【解答】解：（1）∵P（2，8）是抛物线y＝ax2（a＞0）上的点，
∴8＝4a，
∴a＝2；
（2）∵a＝2，
∴y＝2x2，
设直线PM的解析式为y＝kx+b，
把P（2，8），M（0，2）代入得，解得，
∵直线PM，QM的比例系数互为相反数，
∴直线QM的解析式为y＝﹣3x+2，
解得或，
∴点Q的坐标为（，）或（﹣2，8）；
（3）点P与点Q的纵坐标的差为定值，理由如下：
设Q点的横坐标为m（m＞0），则点P的横坐标为3m，
∴Q（m，am2），P（3m，9am2），
∵点M（0，2）．
∴设直线QM的解析式为y＝k1x+2，
把Q（m，am2）代入求得k1＝，
设直线PM的解析式为y＝k2x+2，
把P（3m，9am2）代入求得k2＝，
∴直线PM，QM的比例系数互为相反数．
∴+＝0，
∴m2＝，
∵9am2﹣am2＝8am2＝8a×＝，
∴点P与点Q的纵坐标的差是定值．
24．【方法提炼】
解答几何问题常常需要添辅助线，其中平移图形是重要的添辅助线策略．
【问题情境】
如图1，在正方形ABCD中，E，F，G分别是BC，AB，CD上的点，FG⊥AE于点Q．求证：AE＝FG．
小明在分析解题思路时想到了两种平移法：
方法1：平移线段FG使点F与点B重合，构造全等三角形；
方法2：平移线段BC使点B与点F重合，构造全等三角形；
【尝试应用】
（1）请按照小明的思路，选择其中一种方法进行证明；
（2）如图2，正方形网格中，点A，B，C，D为格点，AB交CD于点O．求tan∠AOC的值；
（3）如图3，点P是线段AB上的动点，分别以AP，BP为边在AB的同侧作正方形APCD与正方形PBEF，连接DE分别交线段BC，PC于点M，N．
①求∠DMC的度数；
②连接AC交DE于点H，求的值．

【分析】（1）①平移线段FG至BH交AE于点K，证明四边形BFGH是平行四边形，得出BH＝FG，由ASA证得△ABE≌△CBH，即可得出结论；
②平移线段BC至FH交AE于点K，则四边形BCHF是矩形，由ASA证得△ABE≌△FHG，即可得出结论；
（2）将线段AB向右平移至FD处，使得点B与点D重合，连接CF，设正方形网格的边长为单位1，由勾股定理求得CF＝，CD＝2，DF＝5，得出CF2+CD2＝DF2，则∠FCD＝90°，由tan∠AOC＝tan∠FDC＝即可得出结果；
（3）①平移线段BC至DG处，连接GE，由SAS证得△AGD≌△BEG，得出DG＝EG，∠ADG＝∠EGB，证明∠EGD＝90°，得出∠GDE＝∠GED＝45°，即可得出结果；
②证明△ADH∽△ACB，得出＝＝．
【解答】解：（1）①平移线段FG至BH交AE于点K，如图1﹣1所示：
由平移的性质得：FG∥BH，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB∥CD，AB＝BC，∠ABE＝∠C＝90°，
∴四边形BFGH是平行四边形，
∴BH＝FG，
∵FG⊥AE，
∴BH⊥AE，
∴∠BKE＝90°，
∴∠KBE+∠BEK＝90°，
∵∠BEK+∠BAE＝90°，
∴∠BAE＝∠CBH，
在△ABE和△CBH中，，
∴△ABE≌△CBH（ASA），
∴AE＝BH，
∴AE＝FG；
②平移线段BC至FH交AE于点K，如图1﹣2所示：
则四边形BCHF是矩形，∠AKF＝∠AEB，
∴FH＝BC，∠FHG＝90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠ABE＝90°，
∴AB＝FH，∠ABE＝∠FHG，
∵FG⊥AE，
∴∠HFG+∠AKF＝90°，
∵∠AEB+∠BAE＝90°，
∴∠BAE＝∠HFG，
在△ABE和△FHG中，，
∴△ABE≌△FHG（ASA），
∴AE＝FG；
（2）将线段AB向右平移至FD处，使得点B与点D重合，连接CF，如图2所示：
∴∠AOC＝∠FDC，
设正方形网格的边长为单位1，
则AC＝2，AF＝1，CE＝2，DE＝4，FG＝3，DG＝4，
根据勾股定理可得：CF＝＝＝，CD＝＝＝2，DF＝＝＝5，
∵（）2+（2）2＝52，
∴CF2+CD2＝DF2，
∴∠FCD＝90°，
∴tan∠AOC＝tan∠FDC＝＝＝；
（3）①平移线段BC至DG处，连接GE，如图3﹣1所示：
则∠DMC＝∠GDE，四边形DGBC是平行四边形，
∴DC＝GB，
∵四边形ADCP与四边形PBEF都是正方形，
∴DC＝AD＝AP，BP＝BE，∠DAG＝∠GBE＝90°
∴DC＝AD＝AP＝GB，
∴AG＝BP＝BE，
在△AGD和△BEG中，，
∴△AGD≌△BEG（SAS），
∴DG＝EG，∠ADG＝∠EGB，
∴∠EGB+∠AGD＝∠ADG+∠AGD＝90°，
∴∠EGD＝90°，
∴∠GDE＝∠GED＝45°，
∴∠DMC＝∠GDE＝45°；
②如图3﹣2所示：
∵AC为正方形ADCP的对角线，
∴∠DAC＝∠PAC＝∠DMC＝45°，
∴AC＝AD，
∵∠HCM＝∠BCA，
∴∠AHD＝∠CHM＝∠ABC，
∴△ADH∽△ACB，
∴＝＝＝．