2022年中考数学专题复习反比例函数压轴题

这是一份2022年中考数学专题复习反比例函数压轴题，共101页。试卷主要包含了的图象经过点F，交AB于点G，的图象经过点B，材料等内容，欢迎下载使用。
2022中考数学专题复习 反比例函数压轴题
1．（2021秋•双流区期末）如图，过A（2，0），B（0，2）的直线y＝﹣x+2与双曲线y＝（x＞0）交于P（，），Q（，）两点，连接OQ．点C是线段OA上一点（不与O，A重合），CD⊥AB于D，DE⊥OB于E．设CA＝a．
（1）求AQ的长；
（2）当a为何值时，CE＝AC？
（3）设OQ，EC相交于点F，是否存在这样的点C，使得△OEF为等腰三角形？若存在，求出此时点C的坐标；若不存在，请说明理由．

2．（2021秋•天府新区期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x+b与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点A（3，n），与y轴交于点B（0，﹣2），点P是反比例函数y＝（x＞0）的图象上一动点，过点P作直线PQ∥y轴交直线y＝x+b于点Q，设点P的横坐标为t，且0＜t＜3，连接AP，BP．
（1）求k，b的值．
（2）当△ABP的面积为3时，求点P的坐标．
（3）设PQ的中点为C，点D为x轴上一点，点E为坐标平面内一点，当以B，C，D，E为顶点的四边形为正方形时，求出点P的坐标．


3．（2021秋•铁西区期末）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点B的坐标为（4，2），OA，OC分别在x轴和y轴正半轴上，连接OB．将△OAB绕点O逆时针旋转，得到△ODE，点A的对应点为点D，点B的对应点为点E，且点E在y轴正半轴上，OD与CB相交于点F，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点F，交AB于点G．
（1）点F的坐标为 　 　；k＝　 　；
（2）连接FG，求证：△OCF∽△FBG；
（3）点M在直线OD上，点N是平面内一点，当四边形GFMN是正方形时，请直接写出点N的坐标．

4．（2021秋•冷水滩区月考）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，菱形OABC顶点A的坐标为（1，）．
（1）求过点B的反比例函数y＝的解析式；
（2）点P在反比例函数上，点D在x轴上，当以P、D、O三点构成的三角形为等边三角形时，求点P、D的坐标；
（3）反向延长OB，与反比例函数在第三象限交于点F，点Q是x轴上的一点，当以F、Q、B三点构成的三角形为直角三角形时，直接写出Q点的坐标．

5．（2021•广东模拟）如图1，两个全等的等腰直角三角形按如图方式放置在平面直角坐标系中，OA在x轴上，已知∠COD＝∠OAB＝90°，，反比例函数（x＞0）的图象经过点B．
（1）求k的值；
（2）把△OCD沿射线OB移动，当点D落在（x＞0）图象上时，求点D经过的路径长度；
（3）如图2，点O与点M关于点A成中心对称，连接BM，把△OBM绕点B逆时针旋转α（0o＜α＜45o）得到△O'BM'，BO'所在直线与x轴交于点Q，BM'所在直线与反比例函数（x＞0）交于点P，试问，是否存在α的一个值，使得BQ＝BP，若存在，请求出点P的坐标及tanα的值，若不存在，请说明理由．

6．（2021秋•锦江区校级期中）如图1，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝kx+与双曲线y＝交于A、B两点，直线AB分别交x轴、y轴于C、D两点，且S△COD＝．
（1）求一次函数的解析式；
（2）如图2，E的坐标为（6，0），将线段DO沿y轴向上（或向下）平移得线段D′O′，在移动过程中，是否存在某个位置使AD′+EO′的值最小？若存在，求出AD′+EO′的最小值及此时点O′的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）如图3，在（2）的条件下，将直线OA沿x轴平移，平移过程中在第一象限交y＝的图象于点M（M可与A重合），交x轴于点N．在平移过程中，是否存在某个位置使以M、N、E和平面内某一点P为顶点的四边形为菱形且以MN为菱形的边？若存在，请直接写出P的坐标；若不存在，请说明理由．
7．（2021秋•渝中区校级月考）如图，已知直线y＝x+1与双曲线y＝交于A、B两点，且A点坐标为（a，2）．
（1）求双曲线解析式及B点坐标．
（2）将直线y＝x+1向下平移一个单位得直线l，P是y轴上的一个动点，Q是l上的一个动点，求AP+PQ的最小值．
（3）若点M为y轴上的一个动点，N为平面内一个动点，当以A、B、M、N为顶点的四边形是矩形时，直接写出N点坐标．

8．（2021•亭湖区校级一模）材料：帕普斯借助函数给出了一种“三等分锐角”的方法，具体如下：
①建立平面直角坐标系，将已知锐角∠AOB的顶点与原点O重合，角的一边OB与x轴正方向重合；
②在平面直角坐标系里，绘制函数y＝的图象，图象与已知角的另一边OA交于点P；
③以P为圆心，2OP为半径作弧，交函数y＝的图象于点R；
④分别过点P和R作x轴和y轴的平行线，两线相交于点M、Q；
⑤连接OM，得到∠MOB，这时∠MOB＝∠AOB．
根据以上材料解答下列问题：
（1）设点P的坐标为（a，），点R的坐标为（b，），则点M的坐标为 　 　；
（2）求证：点Q在直线OM上；
（3）求证：∠MOB＝∠AOB；
（4）应用上述方法得到的结论，如何三等分一个钝角（用文字简要说明）．

9．（2021•沙坪坝区校级开学）如图1，在平面直角坐标系xOy中，双曲线y＝（k≠0）与直线y＝ax+b（a≠0）交于A、B两点，直线AB分别交x轴、y轴于C、D两点，E为x轴上一点．已知OA＝OC，A点坐标为（3，4）．
（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）如图2，将线段DO沿y轴平移得线段D′O′，在移动过程中，是否存在某个位置使|BO′﹣AD′|的值最大？若存在，求出|BO′﹣AD′|的最大值及此时点O′的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）如图3，在x轴取一点E（5，0），将直线OA沿x轴正半轴平移，平移过程中在第一象限交y＝（k≠0）的图象于点M（M可与A重合），交x轴于点N．在平移过程中，是否存在某个位置使以M、N、E和平面内某一点P为顶点的四边形为菱形且以MN为菱形的边？若存在，请直接写出P的坐标；若不存在，请说明理由．

10．（2021春•沙坪坝区校级期末）如图，点A，B是反比例函数y1＝（x＜0）图象上的两个点，连接AB，过点A作AC⊥x轴，垂足为点C，直线BC的解析式为y＝，且B的横坐标为﹣4若原点O关于点A的对称点为点M，且点M在函数y2＝上．
（1）求反比例函数y1＝和y2＝的解析式；
（2）若点D在函数y2＝（x＜0）图象上，连接BD，AD，且满足S△ABD＝S△ABC，求点D的坐标；
（3）若动点P在函数y2＝的图象上，在平面内是否存在点N，使得以A、B、P、N为顶点组成的四边形是以AB为边的矩形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

11．（2021春•高新区期末）定义：有一组对边平行，有一个内角是它对角的一半的凸四边形叫做半对角四边形，如图1，直线l1∥l2，点A，D在直线l1上，点B，C在直线l2上，若∠BAD＝2∠BCD，则四边形ABCD是半对角四边形．
（1）如图2，点E是矩形ABCD的边AD上一点，AB＝1，AE＝2．若四边形ABCE为半对角四边形，求AD的长：
（2）如图3，以▱ABCD的顶点C为坐标原点，边CD所在直线为x轴，对角线AC所在直线为y轴，建立平面直角坐标系．点E是边AD上一点，满足BC＝AE+CE．求证：四边形ABCE是半对角四边形；
（3）在（2）的条件下，当AB＝AE＝2，∠B＝60°时，将四边形ABCE向左平移a（a＞0）个单位后，恰有两个顶点落在反比例函数y＝的图象上，求k的值．

12．（2021•金华）背景：点A在反比例函数y＝（k＞0）的图象上，AB⊥x轴于点B，AC⊥y轴于点C，分别在射线AC，BO上取点D，E，使得四边形ABED为正方形．如图1，点A在第一象限内，当AC＝4时，小李测得CD＝3．
探究：通过改变点A的位置，小李发现点D，A的横坐标之间存在函数关系．请帮助小李解决下列问题．
（1）求k的值．
（2）设点A，D的横坐标分别为x，z，将z关于x的函数称为“Z函数”．如图2，小李画出了x＞0时“Z函数”的图象．
①求这个“Z函数”的表达式．
②补画x＜0时“Z函数”的图象，并写出这个函数的性质（两条即可）．
③过点（3，2）作一直线，与这个“Z函数”图象仅有一个交点，求该交点的横坐标．

13．（2021•惠东县模拟）如图，直线AC与函数y＝﹣的图象相交于点A（﹣1，m），与x轴交于点C（5，0）．
（1）求m的值及直线AC的解析式；
（2）直线AE在直线AC的上方，满足∠CAE＝∠CAO，求直线AE的解析式；
（3）若D是线段AC上一点将OD绕点O逆时针旋转90°得到OD'，点D'恰好落在函数y＝﹣的图象上，求点D的坐标．

14．（2021•饶平县校级模拟）如图1，平面直角坐标系xOy中，A（4，3），反比例函数y＝（k＞0）的图象分别交矩形ABOC的两边AC，AB于E、F两点（E、F不与A重合），沿着EF将矩形ABOC折叠使A、D两点重合．
（1）AE＝　 　（用含有k的代数式表示）；
（2）如图2，当点D恰好落在矩形ABOC的对角线BC上时，求CE的长度；
（3）若折叠后，△ABD是等腰三角形，求此时点D的坐标．

15．（2021•罗湖区）如图，点A、B分别在x轴和y轴的正半轴上，以线段AB为边在第一象限作等边△ABC，，且CA∥y轴．
（1）若点C在反比例函数的图象上，求该反比例函数的解析式；
（2）在（1）中的反比例函数图象上是否存在点N，使四边形ABCN是菱形，若存在请求出点N坐标，若不存在，请说明理由．
（3）在（1）的条件下，点P在第一象限的反比例函数图象上，当四边形OAPB的面积最小时，求出P点坐标．

16．（2020秋•罗湖区校级期末）如图，在同一平面直角坐标系中，直线y＝x+2和双曲线y＝相交于A、B两点．

（1）连接AO、BO，求出△AOB的面积．
（2）已知点E在双曲线y＝上且横坐标为1，作EF垂直于x轴垂足为F，点H是x轴上一点，连接EH交双曲线于点I，连接IF并延长交y轴于点G，若点G坐标为（0，﹣），请求出H点的坐标．
（3）已知点M在x轴上，点N是平面内一点，以点O、E、M、N为顶点的四边形是菱形，请你直接写出N点的坐标．
17．（2020秋•罗湖区校级期末）如图1，已知点A（a，0），B（0，b），且a、b满足+（a+b+3）2＝0，平行四边形ABCD的边AD与y轴交于点E，且E为AD中点，双曲线y＝经过C、D两点．

（1）a＝　 　，b＝　 　；
（2）求D点的坐标；
（3）点P在双曲线y＝上，点Q在y轴上，若以点A、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，试求满足要求的所有点Q的坐标；
（4）以线段AB为对角线作正方形AFBH（如图3），点T是边AF上一动点，M是HT的中点，MN⊥HT，交AB于N，当T在AF上运动时，的值是否发生改变？若改变，求出其变化范围；若不改变，请求出其值，并给出你的证明．
18．（2021春•婺城区校级期末）如图，直线y＝﹣x+2与反比例函数y＝（k≠0）的图象交于A（a，3）、B（3，b）两点，直线AB交y轴于点C、交x轴于点D．

（1）请直接写出a＝　 　，b＝　 　，反比例函数的解析式为　 　．
（2）在x轴上是否存在一点E，使得∠EBD＝∠OAC，若存在请求出点E的坐标，若不存在，请说明理由．
（3）点P是x轴上的动点，点Q是平面内的动点，是以A、B、P、Q为顶点的四边形是矩形，若存在请求出点Q的坐标，若不存在请说明理由．
19．（2021•南海区模拟）如图，点A是反比例函数y＝（m＜0）位于第二象限的图象上的一个动点，过点A作AC⊥x轴于点C；M为是线段AC的中点，过点M作AC的垂线，与反比例函数的图象及y轴分别交于B、D两点．顺次连接A、B、C、D．设点A的横坐标为n．
（1）求点B的坐标（用含有m、n的代数式表示）；
（2）求证：四边形ABCD是菱形；
（3）若△ABM的面积为2，当四边形ABCD是正方形时，求直线AB的函数表达式．

20．（2021春•黄浦区期末）已知：如图，平面直角坐标系中有一个等腰梯形ABCD，且AD∥BC，AB＝CD，点A在y轴正半轴上，点B、C在x轴上（点B在点C的左侧），点D在第一象限，AD＝3，BC＝11，梯形的高为2，双曲线y＝经过点D，直线y＝kx+b经过A、B两点．
（1）求点A、B、C、D的坐标；
（2）求双曲线y＝和直线y＝kx+b的解析式；
（3）点M在双曲线上，点N在y轴上，如果四边形ABMN是平行四边形，求点N的坐标．

21．（2021•武进区校级自主招生）如图，直线y＝mx+4与反比例函数y＝（k＞0）的图象交于点A、B，与x轴、y轴分别交于D、C，tan∠CDO＝2，AC：CD＝1：2．
（1）求反比例函数解析式；
（2）联结BO，求∠DBO的正切值；
（3）点M在直线x＝﹣1上，点N在反比例函数图象上，如果以点A、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形，求点N的坐标．

22．（2021•罗湖区校级模拟）如图，矩形OABC的顶点A，C分别在x，y轴的正半轴上，点F是边BC上的一个动点（不与点B，C重合），过点F的反比例函数y＝（x＞0）的图象与边AB交于点E（4，n），AB＝2．
（1）若点D为对角线OB的中点，反比例函数在第一象限内的图象又经过点D．
①求反比例函数的解析式和n的值；
②将矩形OABC折叠，使点O与点F重合，折痕分别与x，y轴正半轴交于点H，G，求线段OG的长．
（2）连接EF，OE，当点F运动到什么位置时，四边形OCFE的面积最大，其最大值为多少？

23．（2021•香洲区校级一模）如图1，已知直线y＝2x分别与双曲线y＝、y＝（x＞0）交于P、Q两点，且OP＝2OQ．
（1）求k的值．
（2）如图2，若点A是双曲线y＝上的动点，AB∥x轴，AC∥y轴，分别交双曲线y＝（x＞0）于点B、C，连接BC．请你探索在点A运动过程中，△ABC的面积是否变化？若不变，请求出△ABC的面积；若改变，请说明理由；
（3）如图3，若点D是直线y＝2x上的一点，请你进一步探索在点A运动过程中，以点A、B、C、D为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求出此时点A的坐标；若不能，请说明理由．

24．（2021•杭锦旗二模）如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点O与坐标原点重合，顶点A，C分别在坐标轴上，顶点B的坐标为（4，2），过点D（0，3）和E（6，0）的直线分别与AB，BC交于点M，N．
（1）求直线DE的解析式和点M的坐标；
（2）若反比例函数y＝的图象经过点M，求该反比例函数的解析式，并通过计算判断点N是否在该函数的图象上；
（3）若反比例函数y＝（x＞0）的图象与△MNB有公共点，请直接写出k的取值范围；
（4）若将△MNB放置于平面直角坐标系中：使斜边在横轴上，直角顶点B在反比例函数y＝的图象上，试求出N点的坐标．

25．（2020•雨花区校级模拟）定义：点P（a，b）关于原点的对称点为P'，以PP'为边作等边△PP'C，则称点C为P的“等边对称点”．

（1）若P（1，），求点P的“等边对称点”的坐标；
（2）平面内有一点P（1，2），若它其中的一个“等边对称点”C在第四象限时，请求此C点的坐标；
（3）若P点是双曲线y＝（x＞0）上一动点，当点P的“等边对称点”点C在第四象限时．
①如图（1），请问点C是否也会在某一函数图象上运动？如果是，请求出此函数的解析式；如果不是，请说明理由；
②如图（2），已知点A（1，2），B（2，1），点G是线段AB上的动点，点F在y轴上，若以A、G、F、C这四个点为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点C的纵坐标yC的取值范围．

参考答案与试题解析
1．（2021秋•双流区期末）如图，过A（2，0），B（0，2）的直线y＝﹣x+2与双曲线y＝（x＞0）交于P（，），Q（，）两点，连接OQ．点C是线段OA上一点（不与O，A重合），CD⊥AB于D，DE⊥OB于E．设CA＝a．
（1）求AQ的长；
（2）当a为何值时，CE＝AC？
（3）设OQ，EC相交于点F，是否存在这样的点C，使得△OEF为等腰三角形？若存在，求出此时点C的坐标；若不存在，请说明理由．

【考点】反比例函数综合题．菁优网版权所有
【专题】代数几何综合题；推理能力．
【分析】（1）如图1中，过点Q作QN⊥OA于点N．证明△ANQ是等腰直角三角形，可得结论；
（2）如图1中，过点D作DG⊥OA于点G．用a表示出CE，OC，OE，利用勾股定理，构建方程求解即可；
（3）存在．分三种情形：①如图2中，当EF＝OF时，②如图3中，当OE＝OF时，③当OE＝EF时，分别利用等腰三角形的性质，构建方程求解即可．
【解答】解：（1）如图1中，过点Q作QN⊥OA于点N．

∵Q（，），
∴QN＝，
∵∠BOA＝90°，OA＝OB＝2，
∴∠OAB＝∠OBA＝45°，
∴AQ＝QN＝；

（2）如图1中，过点D作DG⊥OA于点G．
∵∠OAB＝45°，CD⊥AB，
∴△CDA是等腰直角三角形，
∴DG＝CA＝a，
∵DE⊥OB，
∴四边形OEDG是矩形，
∴OE＝DG＝a，
∵CE＝AC，
∴（2﹣a）2+（a）2＝a2，
解得，a＝8+4（舍去），或a＝8﹣4，
∴当a＝8﹣4时，CE＝AC；

（3）存在．由（2）可知，C（2﹣a，0），E（0，），
∴直线CE的解析式为y＝x+，
∵Q（，），
∴直线OQ的解析式为y＝x，
由，解得，，
∴F（，），
①如图2中，当EF＝OF时，过点F作FH⊥OE于点H，则OH＝OE，

∴＝a，
解得，a＝0（舍去）或a＝，
经检验，a＝是分式方程的解，
∴C（，0）．
②如图3中，当OE＝OF时，则OF＝a，

过点F作FH⊥OC于点H．
∵F（，），
∴FH＝OH，
∴FH＝OF＝a，
∴＝a，
解得，a＝0（舍去）或a＝，
经检验，a＝是分式方程的解，
∴C（，0）．
③当OE＝EF时，过点E作EK⊥OF于点K，则OK＝OF＝FH，

由△EOK∽△OFH，可得OE＝OK＝5FH，即FH＝OE，
∴＝a，
解得，a＝0（舍去）或a＝，
经检验，a＝是分式方程的解，
∴C（，0），
综上所述，满足条件的点C的坐标为（，0）或（，0）或（，0）．



【点评】本题属于反比例函数综合题，考查了反比例函数的性质，一次函数的性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数构建方程解决问题．
2．（2021秋•天府新区期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x+b与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点A（3，n），与y轴交于点B（0，﹣2），点P是反比例函数y＝（x＞0）的图象上一动点，过点P作直线PQ∥y轴交直线y＝x+b于点Q，设点P的横坐标为t，且0＜t＜3，连接AP，BP．
（1）求k，b的值．
（2）当△ABP的面积为3时，求点P的坐标．
（3）设PQ的中点为C，点D为x轴上一点，点E为坐标平面内一点，当以B，C，D，E为顶点的四边形为正方形时，求出点P的坐标．


【考点】反比例函数综合题．菁优网版权所有
【专题】反比例函数及其应用；图形的全等；等腰三角形与直角三角形；运算能力；推理能力．
【分析】（1）将点B代入y＝x+b，求得b，进而求得y＝x﹣2，将A点坐标代入求得n；
（2）表示出PQ的长，根据PQ•（xA﹣xB）＝3求得t，进而得出点P的坐标；
（3）分为BC是边，点D在x轴正半轴上和在负半轴上，以及BC为对角线．当BC为边时，点D在x轴正半轴上时，过点C作CF⊥y轴，作DG⊥CF，证明△BCF≌△CGD，进而得出CF＝OF，从而求得t的值，另外两种情况类似方法求得．
【解答】解：（1）∵直线y＝x+b过点B（0，﹣2），
∴0+b＝﹣2，
∴b＝﹣2，
∵直线y＝x﹣2过点A（3，n），
∴n＝3﹣2＝1，
∴A（3，1），
∵y＝过点A（3，1），
∴k＝xy＝3×1＝3；
（2）∵P（t，），Q（t，t﹣2），A（3，1），B（0，﹣2），
∴PQ＝，
∵S△APB＝S△APQ+S△BPQ＝（xA﹣xB），
∴×3＝3，
∴t＝，
∴P（，）；
（3）如图1，

∵P（t，），Q（t，t﹣2），
∴C（t，），
当BC是边，点D在x轴正半轴上，
作CF⊥OB于F，作DG⊥CF于G，
∴∠BFC＝∠G＝90°，
∴∠FBC+∠FCB＝90°，
∵∠BCD＝90°，
∴∠DCG+∠FCB＝90°，
∴∠FBC＝∠DCG，
∵BC＝CD，
∴△BFC≌△CGD（AAS），
∴CF＝DG，
∵OF＝DG，
∴OF＝CF，
∴，
∴t1＝1，t2＝﹣3（舍去），
∴P（1，3）
如图2，

当点D在x轴的负半轴上时，
由上知：BG＝DF＝2，
∴t＝2，
∴P（2，），
当BC是对角线时，

当BC是对角线时，点D在x轴负半轴上时，
可得：CF＝OD，DF＝OB＝2，
∴＝2﹣t，
∴t＝1，
∴P（1，3），
如图4，

CE＝DF＝2，DE＝BF，
∴t+2＝，
∴t1＝2﹣3，t2＝﹣2﹣3（舍去），
当t＝2﹣3时，y＝＝2+3，
∴P（2﹣3，2+3），
综上所述：P（2，）或（1，3），（2﹣3，2+3）．
【点评】本题考查了待定系数法求一次函数和反比例函数关系式，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是正确分类，画出图形，找出列方程的等量关系．
3．（2021秋•铁西区期末）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点B的坐标为（4，2），OA，OC分别在x轴和y轴正半轴上，连接OB．将△OAB绕点O逆时针旋转，得到△ODE，点A的对应点为点D，点B的对应点为点E，且点E在y轴正半轴上，OD与CB相交于点F，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点F，交AB于点G．
（1）点F的坐标为 　（1，2）　；k＝　2　；
（2）连接FG，求证：△OCF∽△FBG；
（3）点M在直线OD上，点N是平面内一点，当四边形GFMN是正方形时，请直接写出点N的坐标．

【考点】反比例函数综合题．菁优网版权所有
【专题】待定系数法；反比例函数及其应用；矩形 菱形 正方形；图形的相似；几何直观；应用意识．
【分析】（1）过D作DH⊥OE于H，根据B的坐标为（4，2），将△OAB绕点O逆时针旋转，得到△ODE，可得OH＝2HD，设D横坐标为m，则D的纵坐标为2m，可得直线OD为y＝2x，即可得F（1，2），将F（1，2）代入y＝得k＝2；
（2）连接FG、OG，反比例函数y＝，得G（4，），利用勾股定理逆定理可得∠OFG＝90°，即知∠OFC＝90°﹣∠BFG＝∠BGF，即可证明△OCF∽△FBG；
（3）设M（x，2x），可得（x﹣1）2+（2x﹣2）2＝，解得M（，5）或（﹣，﹣1），由平移性质即可得N（，）或N'（，﹣）．
【解答】解：（1）过D作DH⊥OE于H，如图：

∵B的坐标为（4，2），
∴BC＝OA＝4，OC＝AB＝2，
∵将△OAB绕点O逆时针旋转，得到△ODE，
∴DE＝AB＝2，OD＝OA＝4，∠ODE＝90°，
∴tan∠DOE＝＝，
∴＝，即OH＝2HD，
设D横坐标为m，则D的纵坐标为2m，
设直线OD为y＝tx，
则2m＝t•m，
∴t＝2，
∴直线OD为y＝2x，
在y＝2x中令y＝2得x＝1，
∴F（1，2），
将F（1，2）代入y＝得：
k＝2，
故答案为：（1，2），2；
（2）连接FG、OG，如图：

由（1）知反比例函数为y＝，
在y＝中，令x＝4得y＝，
∴G（4，），
∵F（1，2），O（0，0），
∴OF2＝12+22＝5，OG2＝42+（）2＝，FG2＝（4﹣1）2+（﹣2）2＝，
∴OF2+FG2＝5+＝＝OG2，
∴∠OFG＝90°，
∴∠OFC＝90°﹣∠BFG＝∠BGF，
又∠OCF＝∠GBF，
∴△OCF∽△FBG；
（3）如图：

由（2）知：GF⊥OD，FG2＝，
∴∠GFM＝90°，FG＝，
∵四边形GFMN是正方形，
∴FM＝FG，
设M（x，2x），而F（1，2），
∴（x﹣1）2+（2x﹣2）2＝，
解得x＝或x＝﹣，
∴M（，5）或（﹣，﹣1），
由正方形性质可得：当F（1，2）平移到M（，5），同样的平移G（4，）平移到N，
∴N（，），
当F（1，2）平移到M'（﹣，﹣1），同样的平移G（4，）平移到N'，
∴N'（，﹣），
综上所述，N的坐标为（，）或（，﹣）．
【点评】本题考查反比例函数综合应用，涉及待定系数法、相似三角形判定、正方形性质与应用等知识，解题的关键是用含字母的代数式表示相关点坐标、相关线段的长度．
4．（2021秋•冷水滩区月考）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，菱形OABC顶点A的坐标为（1，）．
（1）求过点B的反比例函数y＝的解析式；
（2）点P在反比例函数上，点D在x轴上，当以P、D、O三点构成的三角形为等边三角形时，求点P、D的坐标；
（3）反向延长OB，与反比例函数在第三象限交于点F，点Q是x轴上的一点，当以F、Q、B三点构成的三角形为直角三角形时，直接写出Q点的坐标．

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【专题】数形结合；分类讨论；待定系数法；反比例函数及其应用；等腰三角形与直角三角形；几何直观；应用意识．
【分析】（1）过点A作AE⊥x轴于E，过B作BG⊥x轴于G，由A（1，），可得AO＝＝2，根据四边形OABC是菱形，即得B（3，），故反比例函数解析式为y＝；
（2）过点A作AE⊥x轴于E，作直线OA交反比例函数图象于P，过P作PH⊥x轴于H，作OP关于直线PH的对称直线交x轴于点D，由OE＝1，OA＝2，得∠OAE＝30°，∠AOE＝60°，根据OP关于直线PH的对称直线交x轴于点D，得∠OPD＝60°，故△OPD是等边三角形，设直线OA为y＝k'x，把（1，）代入得直线OA为y＝x，解即得P（，3）或P'（﹣，﹣3），由对称性可知D（2，0）或D'（﹣2，0）；
∴P（，3），D（2，0）或P（﹣，﹣3），D（﹣2，0）；
（3）根据B（3，），反向延长OB，与反比例函数在第三象限交于点F，得F（﹣3，﹣），设Q（t，0），则BQ2＝（t﹣3）2+3，FQ2＝（t+3）2+3，①以BF为斜边时，可得（t﹣3）2+3+（t+3）2+3＝48，即可解得Q（2，0）或（﹣2，0），②以BQ为斜边时，同理可得Q（﹣4，0），③以FQ为斜边时，可得Q（4，0）．
【解答】解：（1）过点A作AE⊥x轴于E，过B作BG⊥x轴于G，如图：

∵A（1，），
∴OE＝1，AE＝，
在Rt△AOE中，AO2＝OE2+AE2，
∴AO＝＝＝2，
∵四边形OABC是菱形，
∴AO＝AB＝OC＝2，AB∥x轴
∴EG＝AB＝2，
∴OG＝OE+EG＝1+2＝3，
∴B（3，），
∵过B点的反比例函数解析式为y＝，把B点坐标代入得k＝3，
∴反比例函数解析式为y＝；
（2）过点A作AE⊥x轴于E，作直线OA交反比例函数图象于P，过P作PH⊥x轴于H，作OP关于直线PH的对称直线交x轴于点D，如图：

由（1）知：OE＝1，OA＝2，
∴OE＝OA，
∴∠OAE＝30°，∠AOE＝60°，
∵AE⊥x轴于E，PH⊥x轴于H，
∴∠OPH＝∠OAE＝30°，
∵OP关于直线PH的对称直线交x轴于点D，
∴∠DPH＝∠OPH＝30°，
∴∠OPD＝60°，
∴△OPD是等边三角形，
设直线OA为y＝k'x，把（1，）代入得k'＝，
∴直线OA为y＝x，
解得或，
∴P（，3）或P'（﹣，﹣3），
当P（，3）时，由对称性可知D（2，0），
当P'（﹣，﹣3）时，同理可得D'（﹣2，0）；
∴P（，3），D（2，0）或P（﹣，﹣3），D（﹣2，0）；
（3）如图：

∵B（3，），反向延长OB，与反比例函数在第三象限交于点F，
∴F（﹣3，﹣），
∴BF2＝48，
设Q（t，0），则BQ2＝（t﹣3）2+3，FQ2＝（t+3）2+3，
①以BF为斜边时，BQ2+FQ2＝BF2，
∴（t﹣3）2+3+（t+3）2+3＝48，
解得t＝2或t＝﹣2，
∴Q（2，0）或（﹣2，0），
②以BQ为斜边时，BF2+FQ2＝BQ2，
∴48+（t+3）2+3＝（t﹣3）2+3，
解得t＝﹣4，
∴Q（﹣4，0），
③以FQ为斜边时，BF2+BQ2＝FQ2，
∴48+（t﹣3）2+3＝（t+3）2+3，
解得t＝4，
∴Q（4，0），
综上所述，Q的坐标为：（2，0）或（﹣2，0）或（﹣4，0）或（4，0）．
【点评】本题考查反比例函数的综合应用，解题的关键是用含字母的代数式表示相关点坐标和相关线段的长度．
5．（2021•广东模拟）如图1，两个全等的等腰直角三角形按如图方式放置在平面直角坐标系中，OA在x轴上，已知∠COD＝∠OAB＝90°，，反比例函数（x＞0）的图象经过点B．
（1）求k的值；
（2）把△OCD沿射线OB移动，当点D落在（x＞0）图象上时，求点D经过的路径长度；
（3）如图2，点O与点M关于点A成中心对称，连接BM，把△OBM绕点B逆时针旋转α（0o＜α＜45o）得到△O'BM'，BO'所在直线与x轴交于点Q，BM'所在直线与反比例函数（x＞0）交于点P，试问，是否存在α的一个值，使得BQ＝BP，若存在，请求出点P的坐标及tanα的值，若不存在，请说明理由．

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【专题】反比例函数及其应用．
【分析】（1）由△AOB和△OCD全等，且为等腰直角三角形，，可得．所以点B的坐标为．由点B在反比例函数上可得k的值；
（2）平移后与反比例函数图象的交点为D′，由平移性质可知DD'∥OB，过点D'作D'E⊥x轴于点E，交DC于点F，设CD交y轴于点G．设D'横坐标为t，则OE＝GF＝t．所以D′F＝DF＝t+1．所以D′E＝D′F+EF＝t+2．所以D′（t，t+2）．因为D′在反比例函数图象上，所以t（t+2）＝2，解得或（舍去）．所以，．则，由此可得结论；
（3）当BQ＝BP，连接PM．又BO＝BM，∠OBQ＝∠MBP，所以△BQO≌△BPM（SAS）．所以∠PMB＝∠BOQ＝45°．因为点O与点M关于点A成中心对称，所以BM＝BO，MO＝2AO＝2．则∠BMO＝∠BOQ＝45°．所以∠PMO＝∠BMO+∠PMB＝45°+45°＝90°．则点P的横坐标为2．则．过点P作PH⊥BM于点H．在Rt△PMH中，∠PMH＝45°，PM＝，所以＝2．可得BH＝BM﹣HM＝2﹣＝．在Rt△BPH中，tanα＝tan∠PBH＝．
【解答】解：（1）∵△AOB和△OCD全等，且为等腰直角三角形，，
∴．
∴点B的坐标为．
代入得k＝2．
（2）如图1，设平移后与反比例函数图象的交点为D′，由平移性质可知DD'∥OB，过点D'作D'E⊥x轴于点E，交DC于点F，设CD交y轴于点G．
∵，∠AOB＝∠COG＝45°，

∴OG＝GC＝GD＝1．
∴点D的坐标为（﹣1，1）．
设D'横坐标为t，则OE＝GF＝t．
∴D′F＝DF＝t+1．
∴D′E＝D′F+EF＝t+2．
∴D′（t，t+2）．
∵D′在反比例函数图象上，图1，
∴t（t+2）＝2，解得或（舍去）．
∴，．
∴，
即点D经过的路径长度为．
（3）如图2，存在．理由如下：

当BQ＝BP，连接PM．
又BO＝BM，∠OBQ＝∠MBP，
∴△BQO≌△BPM（SAS）．
∴∠PMB＝∠BOQ＝45°．
∵点O与点M关于点A成中心对称，图2
∴BM＝BO，MO＝2AO＝2．
∴∠BMO＝∠BOQ＝45°．
∴∠PMO＝∠BMO+∠PMB＝45°+45°＝90°．
∴点P的横坐标为2．
由（1）知，反比例函数解析式为，
∴点P的纵坐标为．
∴．
如图2，作PH⊥BM于点H．
在Rt△PMH中，∠PMH＝45°，PM＝，
∴PH＝MH＝．
∵＝2．
∴BH＝BM﹣HM＝2﹣＝．
在Rt△BPH中，tanα＝tan∠PBH＝．
【点评】本题考查的是反比例函数综合运用，涉及到一次函数，等腰直角三角形的性质与判定等知识点，此类题目的关键是，借助旋转的性质及等腰直角三角形的性质确定图象上点的坐标，进而求解．
6．（2021秋•锦江区校级期中）如图1，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝kx+与双曲线y＝交于A、B两点，直线AB分别交x轴、y轴于C、D两点，且S△COD＝．
（1）求一次函数的解析式；
（2）如图2，E的坐标为（6，0），将线段DO沿y轴向上（或向下）平移得线段D′O′，在移动过程中，是否存在某个位置使AD′+EO′的值最小？若存在，求出AD′+EO′的最小值及此时点O′的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）如图3，在（2）的条件下，将直线OA沿x轴平移，平移过程中在第一象限交y＝的图象于点M（M可与A重合），交x轴于点N．在平移过程中，是否存在某个位置使以M、N、E和平面内某一点P为顶点的四边形为菱形且以MN为菱形的边？若存在，请直接写出P的坐标；若不存在，请说明理由．
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【专题】几何综合题；推理能力．
【分析】（1）求出C，D两点坐标，可得结论；
（2）作点A关于y轴的对称点A′，作A′A″∥OD，且A′A″＝OD，连接EA″交y轴于点O′，此时AD′+EO′的值最小，求出直线EA″的解析式，可得结论；
（3）分三种情形：如图3﹣1中，当点N在点E的左侧时，MN＝ME．如图3﹣2中，当MN＝ME时，如图3﹣3中，当点N在点E的右侧时，MN＝EN，分别构建方程求解即可．
【解答】解：（1）∵直线y＝kx+与y轴交于点D，
∴D（0，），
∴OD＝，
∵S△COD＝，
∴•OC•OD＝，
∴×OC×＝，
∴OC＝5，
∴C（﹣5，0），
把C（﹣5，0）代入y＝kx+，得到k＝，
∴直线AB的解析式为y＝x+；

（2）由，解得或，
∴A（3，4），B（﹣8，﹣），
作点A关于y轴的对称点A′，作A′A″∥OD，且A′A″＝OD，连接EA″交y轴于点O′，此时AD′+EO′的值最小，

∵E（6，0），A″（﹣3，），
∴AD′+EO′的值最小为A''E＝＝，
直线EA″的解析式为y＝﹣x+1，
∴O′（0，1）；

（3）如图3﹣1中，当点N在点E的左侧时，MN＝ME

过点M作MH⊥x轴于点H，
∵tan∠MNH＝＝，
∴可以设HN＝3k，MH＝4k，则MN＝5k，
∴NE＝MN＝5k，
∴EH＝2k，
∴M（6﹣2k，4k），
∴（6﹣2k）×4k＝12，
解得k＝，此时P（，6+2）或（，6﹣2）．
如图3﹣2中，当MN＝ME时，

此时M（6﹣3m，4m），
∴（6﹣3m）×4m＝12，
解得m＝1，
此时P（3，﹣4）．
如图3﹣3中，当点N在点E的右侧时，MN＝EN，

此时M（6+8n，4n），
∴（6+8n）×4n＝12，
解得n＝（负根已经舍弃），
可得P（，）
综上所述，满足条件的点P的坐标为（4，﹣3）或（，）或（，6+2）或（，6﹣2）．
【点评】本题属于反比例函数综合题、考查了运用待定系数法求函数解析式、一次函数的应用、轴对称最短问题、菱形的性质，等腰三角形性质等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题，学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．
7．（2021秋•渝中区校级月考）如图，已知直线y＝x+1与双曲线y＝交于A、B两点，且A点坐标为（a，2）．
（1）求双曲线解析式及B点坐标．
（2）将直线y＝x+1向下平移一个单位得直线l，P是y轴上的一个动点，Q是l上的一个动点，求AP+PQ的最小值．
（3）若点M为y轴上的一个动点，N为平面内一个动点，当以A、B、M、N为顶点的四边形是矩形时，直接写出N点坐标．

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【专题】代数几何综合题；推理能力．
【分析】（1）利用待定系数法求出点A的坐标，再求出双曲线的解析式，构建方程组确定交点B的坐标；
（2）首先判断出直线l是一三象限的角平分线，过点O作OT⊥直线l交AB于点T，作点Q关于y轴的对称点Q′，连接PQ′，考点AP+PQ＝QP+PQ′≥AT，求出AT，可得结论；
（3）分三种情形：①当∠BAM＝90°时．②当∠ABM＝90°时．③当∠AMB＝90°时，设M（0，m），设AB的中点为J（﹣，），利用勾股定理构建方程求出m，即可解决问题．
【解答】解：（1）∵直线y＝x+1经过点A（a，2），
∴2＝a+1，
∴a＝1，
∴A（1，2），
∵双曲线y＝经过点A（1，20，
∴k＝2，
∴双曲线的解析式为y＝，
由，解得或，
∴B（﹣2，﹣1）；

（2）如图1中，

∵直线y＝x+1向下平移一个单位得直线l，
∴直线l是一三象限的角平分线，
过点O作OT⊥直线l交AB于点T，作点Q关于y轴的对称点Q′，连接PQ′，
∴AP+PQ＝QP+PQ′≥AT，
由题意A（（1，2），T（﹣，），
∴AT＝＝
∴AP+PQ的最小值为；

（3）如图2中，

①当∠BAM＝90°时，M1（0，3），N1（﹣3，0）．
②当∠ABM＝90°时，M2（0，﹣3），N2（3，0）．
③当∠AMB＝90°时，设M（0，m），设AB的中点为J（﹣，），
∵AB＝＝3，
∴AJ＝JB＝JM＝，
∴（﹣）2+（﹣m）2＝（）2，
解得m＝，
∴M3（0，），M4（0，），
∵JN3＝JM3，JN4＝JM4，
∴N3（﹣1，），N4（﹣1，），
综上所述，满足条件的点N的坐标为（﹣3，0）或（3，0）或（﹣1，）或（﹣1，）．
【点评】本题属于反比例函数综合题，考查了反比例函数的性质，一次函数的性质，待定系数法，矩形的判定和性质，垂线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，把最值问题转化为垂线段最短，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．
8．（2021•亭湖区校级一模）材料：帕普斯借助函数给出了一种“三等分锐角”的方法，具体如下：
①建立平面直角坐标系，将已知锐角∠AOB的顶点与原点O重合，角的一边OB与x轴正方向重合；
②在平面直角坐标系里，绘制函数y＝的图象，图象与已知角的另一边OA交于点P；
③以P为圆心，2OP为半径作弧，交函数y＝的图象于点R；
④分别过点P和R作x轴和y轴的平行线，两线相交于点M、Q；
⑤连接OM，得到∠MOB，这时∠MOB＝∠AOB．
根据以上材料解答下列问题：
（1）设点P的坐标为（a，），点R的坐标为（b，），则点M的坐标为 　（b，）　；
（2）求证：点Q在直线OM上；
（3）求证：∠MOB＝∠AOB；
（4）应用上述方法得到的结论，如何三等分一个钝角（用文字简要说明）．

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【专题】代数几何综合题；推理能力．
【分析】（1）由点P的坐标为（a，），PM∥x轴，可得点M的纵坐标为，由点R的坐标为（b，），RM∥y轴，可得点M的横坐标为b，即可求解；
（2）先求出直线OM解析式和点Q坐标，将点Q坐标代入解析式即可判断点Q是否在直线OM上；
（3）连接PR，交OM于点S，由矩形的性质可得∠1＝∠2，由2PO＝PR＝2PS，可得PS＝PO，可得∠4＝∠3＝2∠2，由平行线的性质可得∠2＝∠5，即可得结论；
（4）可以按照题意叙述的方法进行作图即可（方法不唯一）．
【解答】（1）解：如图，

∵点P的坐标为（a，），PM∥x轴，
∴点M的纵坐标为，
∵点R的坐标为（b，），RM∥y轴，
∴点M的横坐标为b，
∴点M（b，），
故答案为：（b，）．

（2）证明：设直线OM解析式为：y＝kx，
∵点M（b，），
∴＝bk，
∴k＝，
∴直线OM解析式为：y＝x，
∵分别过点P和R作y轴和x轴的平行线，两直线相交于点Q，
∴点Q（a，），
∵当x＝a时，y＝×a＝，
∴点Q在直线OM上；

（3）证明：连接PR，交OM于点S，

由题意得四边形PQRM是矩形，
∴PR＝QM，SP＝PR，SM＝QM，
∴SP＝SM，
∴∠1＝∠2，
∴∠3＝∠1+∠2＝2∠2，
∵PR＝2PO，
∴PS＝PO，
∴∠4＝∠3＝2∠2，
∵PM∥x轴，
∴∠2＝∠5，
∴∠AOB＝∠4+∠5＝3∠5，
即∠MOB＝∠AOB；

（4）解：如图，设边OA与函数y＝﹣（x＜0）的图象交于点P，以点P为圆心，2OP的长为半径作弧，
在第四象限交函数y＝﹣（x＞0）的图象于点R，
过点P作x轴的平行线，过点R作y轴的平行线，两直线相交于点M，连接OM，则∠MOB＝∠AOB．

【点评】本题是反比例函数综合题，考查了反比例函数的性质，矩形的性质，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键．
9．（2021•沙坪坝区校级开学）如图1，在平面直角坐标系xOy中，双曲线y＝（k≠0）与直线y＝ax+b（a≠0）交于A、B两点，直线AB分别交x轴、y轴于C、D两点，E为x轴上一点．已知OA＝OC，A点坐标为（3，4）．
（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）如图2，将线段DO沿y轴平移得线段D′O′，在移动过程中，是否存在某个位置使|BO′﹣AD′|的值最大？若存在，求出|BO′﹣AD′|的最大值及此时点O′的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）如图3，在x轴取一点E（5，0），将直线OA沿x轴正半轴平移，平移过程中在第一象限交y＝（k≠0）的图象于点M（M可与A重合），交x轴于点N．在平移过程中，是否存在某个位置使以M、N、E和平面内某一点P为顶点的四边形为菱形且以MN为菱形的边？若存在，请直接写出P的坐标；若不存在，请说明理由．

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【专题】代数几何综合题；压轴题；动点型；分类讨论；运算能力；推理能力；应用意识．
【分析】（1）先求出点C坐标，运用待定系数法将A、C两点坐标代入y＝ax+b，可求得直线AB的解析式，把点A（3，4）代入y＝中，即可求得反比例函数的解析式；
（2）先求得D（0，），如图2中，把点A向下平移个单位得A1（3，），作点B关于y轴的对称点B1，则有|BO′﹣AD′|＝|B1O′﹣A1O′|≤A1B1，运用两点间距离公式可求得A1B1＝，利用待定系数法可求得直线A1B1的解析式为y＝x+，令x＝0，即可求得点O′的坐标；
（3）直线OA的解析式为y＝x，设平移后直线MN的解析式为y＝x+b，设M（m，），则＝m+b，推出b＝﹣m，直线MN的解析式为y＝x+﹣m，可得N（m﹣，0）．再根据题意分两种情形分别构建方程即可解决问题．
【解答】解：（1）∵A（3，4），
∴OA＝＝5，
∵OA＝OC，
∴OC＝5，
∴C（﹣5，0），
将A、C两点坐标代入y＝ax+b，得：，
解得：，
∴直线AB的解析式为y＝x+，
把点A（3，4）代入y＝中，得4＝，
∴k＝12，
∴反比例函数的解析式为y＝；
（2）在y＝x+中，令x＝0，得y＝，
∴D（0，），
∴OD＝，
如图2，把点A向下平移个单位得A1（3，），
作点B关于y轴的对称点B1，则有|BO′﹣AD′|＝|B1O′﹣A1O′|≤A1B1，
由，得或，
∴B（﹣8，﹣），
∴B1（8，﹣），
∴A1B1＝＝，
设直线A1B1的解析式为y＝a′x+b′，将A1（3，），B1（8，﹣）代入，
得：，
解得：，
∴直线A1B1的解析式为y＝x+，
令x＝0，得y＝，
O′（0，），
∴|BO′﹣AD′|的最大值为，此时点O′的坐标为（0，）；
（3）∵直线OA的解析式为y＝x，设平移后直线MN的解析式为y＝x+b，
设M（m，），
则＝m+b，
∴b＝﹣m，
∴直线MN的解析式为y＝x+﹣m，
令y＝0，得到x＝m﹣，
∴N（m﹣，0）．
∵以M、N、E、P为顶点的四边形是以MN为边的菱形，
∴可分以下两种情况：
①当MN与NE为菱形的邻边时，MN＝NE，（5﹣m+）2＝（）2+（）2，
整理得：（5﹣m）2﹣18•（5﹣m）•﹣＝0，
∴（5﹣m+）（5﹣m﹣）＝0，
∴5﹣m+＝0，解得m＝8或﹣3（舍去），
或5﹣m﹣＝0，解得m＝3或2（舍去），
∴m＝3或8，
当m＝3时，M（3，4），此时P（8，4）；
当m＝8时，M（8，），此时P（，）；
②当MN与ME为菱形的邻边时，MN＝ME，（）2+（）2＝（m﹣5）2+（）2，
解得m＝或（舍去），
∴M（，）．此时N（5，0）与点E（5，0）重合，不能构成菱形，
综上所述，满足条件的点P的坐标为（8，4）或（，）．



【点评】本题属于反比例函数综合题、考查了运用待定系数法求函数解析式、一次函数的应用、轴对称最短问题、菱形的性质，等腰三角形性质等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题，学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．
10．（2021春•沙坪坝区校级期末）如图，点A，B是反比例函数y1＝（x＜0）图象上的两个点，连接AB，过点A作AC⊥x轴，垂足为点C，直线BC的解析式为y＝，且B的横坐标为﹣4若原点O关于点A的对称点为点M，且点M在函数y2＝上．
（1）求反比例函数y1＝和y2＝的解析式；
（2）若点D在函数y2＝（x＜0）图象上，连接BD，AD，且满足S△ABD＝S△ABC，求点D的坐标；
（3）若动点P在函数y2＝的图象上，在平面内是否存在点N，使得以A、B、P、N为顶点组成的四边形是以AB为边的矩形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

【考点】反比例函数综合题．菁优网版权所有
【专题】存在型；反比例函数及其应用；推理能力．
【分析】（1）由直线BC的解析式为y＝，结合条件求出点B，再求出点A，利用中点求出点M，代入y2求出m，得到两个函数的解析式；
（2）过点D作DE⊥x轴交AB于点E，已知A、B、C三点坐标，求出△ABC的面积，设点D的坐标，表示出线段DE，利用S△ABD＝S△ABC，求出DE，再求出点D的坐标；
（3）分情况讨论，①以AP为边时，AP⊥AB；②以AP为对角线时，BP⊥AB，再结合矩形的中心对称性，求出点N．
【解答】解：（1）对直线y＝，当x＝﹣4时，y＝；当y＝0时，x＝﹣1，
∴B（﹣4，），C（﹣1，0），
∴k＝﹣4×＝﹣2，
∴y1＝，
∵AC⊥x轴于点C，
∴点A的横坐标为﹣1，
∴A（﹣1，2），
∵点O和点M关于点A对称，
∴点M（﹣2，4），
∴m＝﹣2×4＝﹣8，
∴y2＝．
（2）∵A（﹣1，2），B（﹣4，），C（﹣1，0），
∴S△ABC＝AC•|xA﹣xB|，AB＝，
设直线AB的解析式为：y＝kx+b（k≠0），
把A（﹣1，2），B（﹣4，）代入得：，
解得：，
∴AB：y＝x+，
过点D作DE⊥x轴，交AB于点E，
∴S△ABD＝S△AED+S△BED＝DE•|xD﹣xB|+DE•|xA﹣xD|＝DE•|xA﹣xB|，
∵S△ABD＝S△ABC，
∴DE＝AC＝×2＝，
设点D（x，）（x＜0），
∴E（x，x+），
∴DE＝﹣x﹣＝，
解得：x1＝﹣，x2＝﹣3，
∴D1（﹣，），D2（﹣3，）．
（3）设P（a，），N（p，q），
①以AP为边时，AB⊥AP，则：，
即，解得：，
∵AB⊥AP，
∴AB2+AP2＝BP2，
∴（）2+（a+1）2+（﹣2﹣）2＝（a+4）2+（﹣﹣）2，
解得：a1＝2，a2＝﹣2，
∴，，
∴N1（﹣1，﹣），N2（﹣5，），
②以BP为边时，AB⊥BP，则：，
即，解得：，
∵AB⊥BP，
∴AB2+BP2＝AP2，
∴（﹣1+4）2+（2﹣）2+（a+4）2+（﹣﹣）2＝（a+1）2+（﹣﹣2）2，
解得：a3＝﹣+，a4＝﹣﹣，
∴，，
∴N3（，），N4（，），
综上所述：存在点N1（﹣1，﹣），N2（﹣5，），N3（，），N4（，），使得以A、B、P、N为顶点组成的四边形是以AB为边的矩形．

【点评】本题考查了反比例函数的解析式求解，中心对称性，三角形的面积和矩形的判定与性质．第一问的关键是求出点B、C的坐标，第二问的关键是找到△ABC和△ABD的面积之间的关系，第三问的关键是利用矩形的中心对称性和矩形的内角是直角列出方程组．
11．（2021春•高新区期末）定义：有一组对边平行，有一个内角是它对角的一半的凸四边形叫做半对角四边形，如图1，直线l1∥l2，点A，D在直线l1上，点B，C在直线l2上，若∠BAD＝2∠BCD，则四边形ABCD是半对角四边形．
（1）如图2，点E是矩形ABCD的边AD上一点，AB＝1，AE＝2．若四边形ABCE为半对角四边形，求AD的长：
（2）如图3，以▱ABCD的顶点C为坐标原点，边CD所在直线为x轴，对角线AC所在直线为y轴，建立平面直角坐标系．点E是边AD上一点，满足BC＝AE+CE．求证：四边形ABCE是半对角四边形；
（3）在（2）的条件下，当AB＝AE＝2，∠B＝60°时，将四边形ABCE向左平移a（a＞0）个单位后，恰有两个顶点落在反比例函数y＝的图象上，求k的值．

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【专题】几何综合题；推理能力．
【分析】（1）根据半对角四边形的定义可得出∠BCE＝45°，进而可得出∠DEC＝∠DCE＝45°，由等角对等边可得出CD＝DE＝1，结合AD＝AE+DE即可求出AD的长；
（2）由平行四边形的性质可得出BC∥AD，BC＝AD＝AE+ED＝AE+CE，进而可得出CE＝ED，根据等腰三角形的性质及三角形外角的性质可得出∠AEC＝2∠EDC＝2∠B，再结合半对角四边形的定义即可证出四边形ABCE是半对角四边形；
（3）由平行四边形的性质结合AB＝AE＝2，∠B＝60°可得出点A，B，E的坐标，分点A，E落在反比例函数图象上及点B，E落在反比例函数图象上两种情况考虑：（i）利用平移的性质及反比例函数图象上点的坐标特征可得出关于a的一元一次方程，解之即可得出a值，再利用反比例函数图象上点的坐标特征可求出k值；（ii）同（i）可求出k值．综上，此题得解．
【解答】解：（1）∵四边形ABCE为半对角四边形，
∴∠BCE＝45°，
∴∠DEC＝∠DCE＝45°，
∴CD＝DE＝1，
∴AD＝AE+DE＝3．

（2）证明∵四边形ABCD为平行四边形，
∴BC∥AD，BC＝AD＝AE+ED＝AE+CE，
∴CE＝ED，
∴∠AEC＝2∠EDC＝2∠B，
又∵AE∥BC，
∴四边形ABCE是半对角四边形；

（3）由题意，可知：点A的坐标为（0，6），点B的坐标为（2，6），点E的坐标为（﹣，3）．
（i）当点A，E向左平移a（a＞0）个单位后落在反比例函数的图象上时，﹣a•6＝（﹣﹣a）•3，
解得：a＝，
∴k＝﹣6a＝﹣6；
（ii）当点B，E向左平移a（a＞0）个单位后落在反比例函数的图象上时，（2﹣a）•6＝（﹣﹣a）•3，
解得：a＝5，
∴k＝3（﹣﹣a）＝﹣18．
综上所述：k的值为为﹣6或﹣18．


【点评】本题考查了解直角三角形、等腰三角形的性质、三角形外角的性质、平行四边形的性质、反比例函数图象上点的坐标特征以及解一元一次方程，解题的关键是：（1）利用半对角四边形的定义及矩形的性质，求出DE＝1；（2）利用等腰三角形的性质、三角形外角的性质以及平行四边形的性质，找出∠AEC＝2∠B；（3）分点A，E落在反比例函数图象上和点B，E落在反比例函数图象上两种情况，求出k的值．
12．（2021•金华）背景：点A在反比例函数y＝（k＞0）的图象上，AB⊥x轴于点B，AC⊥y轴于点C，分别在射线AC，BO上取点D，E，使得四边形ABED为正方形．如图1，点A在第一象限内，当AC＝4时，小李测得CD＝3．
探究：通过改变点A的位置，小李发现点D，A的横坐标之间存在函数关系．请帮助小李解决下列问题．
（1）求k的值．
（2）设点A，D的横坐标分别为x，z，将z关于x的函数称为“Z函数”．如图2，小李画出了x＞0时“Z函数”的图象．
①求这个“Z函数”的表达式．
②补画x＜0时“Z函数”的图象，并写出这个函数的性质（两条即可）．
③过点（3，2）作一直线，与这个“Z函数”图象仅有一个交点，求该交点的横坐标．

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【专题】代数几何综合题；推理能力．
【分析】（1）求出点A的坐标，利用待定系数法求出k即可．
（2）①求出点A的坐标，再代入反比例函数的解析式即可．
②利用描点法画出图象，根据函数图象可得结论（答案不唯一）．
③由题意可知直线的解析式为z＝kx+2﹣3k，构建方程组，利用Δ＝0，求出k可得结论，另外直线x＝3也符合题意．
【解答】解：（1）∵AC＝4，CD＝3，
∴AD＝AC﹣CD＝1，
∵四边形ABED是正方形，
∴AB＝1，
∵AC⊥y轴，AB⊥x轴，
∴∠ACO＝∠COB＝∠OBA＝90°，
∴四边形ABOC是矩形，
∴OB＝AC＝4，
∴A（4，1），
∴k＝4．

（2）①由题意，A（x，x﹣z），
∴x（x﹣z）＝4，
∴z＝x﹣．

②图象如图所示．

性质1：x＞0时，y随x的增大而增大．
性质2：图象是中心对称图形．

③设直线的解析式为z＝kx+b，
把（3，2）代入得到，2＝3k+b，
∴b＝2﹣3k，
∴直线的解析式为z＝kx+2﹣3k，
由，消去z得到，（k﹣1）x2+（2﹣3k）x+4＝0，
当k≠1时，当Δ＝0时，（2﹣3k）2﹣4（k﹣1）×4＝0，
解得k＝或2，
当k＝时，方程为x2﹣x+4＝0，解得x1＝x2＝6．
当k＝2时，方程为x2﹣4x+4＝0，解得x1＝x2＝2．
当k＝1时．方程的解为x＝4，符合题意，
另外直线x＝3，也符合题意，此时交点的横坐标为3，
综上所述，满足条件的交点的横坐标为2或3或4或6．
【点评】本题属于反比例函数综合题，考查了反比例函数的性质，一元二次方程等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，学会把问题转化为方程组，再利用一元二次方程的根的判别式解决问题，属于中考压轴题．
13．（2021•惠东县模拟）如图，直线AC与函数y＝﹣的图象相交于点A（﹣1，m），与x轴交于点C（5，0）．
（1）求m的值及直线AC的解析式；
（2）直线AE在直线AC的上方，满足∠CAE＝∠CAO，求直线AE的解析式；
（3）若D是线段AC上一点将OD绕点O逆时针旋转90°得到OD'，点D'恰好落在函数y＝﹣的图象上，求点D的坐标．

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【专题】反比例函数及其应用；运算能力；推理能力．
【分析】（1）将x＝﹣1代入反比例函数解析式即可求出m，再根据A、C两点坐标即可求出直线AC的解析式；
（2）根据∠CAE＝∠CAO，构造三角形全等，在AE上找到令一点的坐标即可求出直线AE的解析式；
（3）根据题意数形结合，利用三角形全等表示出D和D'的坐标再代入反比例函数解析式中即可求出D点坐标．
【解答】解：（1）将点A（﹣1，m）代入函数y＝﹣中得：
m＝＝6，
设直线AC的解析式为y＝kx+b（k≠0），经过A（﹣1，6），C（5，0）两点，将其代入得：
，
解得：，
∴直线AC的解析式为：y＝﹣x+5；
（2）在AE上截取AF，使得AF＝AO，则：

在△ACO和△ACF中，
，
∴△ACO≌△ACF（SAS），
∴AF＝AO＝＝，
在y＝﹣x+5中，令y＝0，则x＝5，
∴OC＝CF＝5
设F（a，b），
∴AF＝，FC＝，
∴，
解得：或（舍去），
∴点F坐标为（5，5），
设直线AE的解析式为：y＝k'x+b'（k'≠0），经过点F（5，5），点A（﹣1，6），将其代入得：
，
解得：，
∴直线AE的解析式：y＝﹣，
解法二：∵直线AC的解析式为：y＝﹣x+5；
∴∠ACO＝45°，
∴△ACO≌△ACF，
∴OC＝CF＝5，∠ACF＝∠ACO＝45°，
∴∠OCF＝90°，
∴F坐标为（5，5），
接下来同上．

（3）设OD绕点O逆时针旋转90°得到OD'，则∠DOD'＝90°，过点D作DN⊥x轴交于点N，过点D'作D'M⊥x轴交于点M，

∵∠D'OM+∠DON＝90°，∠D'OM+∠OD'M＝90°，
在△D'OM和△ODN中，
，
∴△D'OM≌△ODN（AAS），
∴DN＝OM，NO＝D'M，
设D（d，﹣d+5），则：DN＝OM＝﹣d+5，NO＝D'M＝d，
∵点D'在第二象限，
∴D'（d﹣5，d）且在y＝上，
∴d＝﹣，
解得：d1＝2，d2＝3，
经检验符合题意，
∴D坐标为（2，3）或（3，2）．
【点评】本题考查反比例函数的综合性质，熟练反比例函数性质，数形结合，构造全等三角形将点的坐标进行转换是解题的关键．
14．（2021•饶平县校级模拟）如图1，平面直角坐标系xOy中，A（4，3），反比例函数y＝（k＞0）的图象分别交矩形ABOC的两边AC，AB于E、F两点（E、F不与A重合），沿着EF将矩形ABOC折叠使A、D两点重合．
（1）AE＝　4﹣　（用含有k的代数式表示）；
（2）如图2，当点D恰好落在矩形ABOC的对角线BC上时，求CE的长度；
（3）若折叠后，△ABD是等腰三角形，求此时点D的坐标．

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【专题】压轴题；应用意识．
【分析】（1）根据点A的坐标可得点E的纵坐标为3，所以得CE＝，从而得AE的长；
（2）如图2中，连接AD交EF于M，想办法证明△AEF∽△ACB，推出EF∥BC，再利用平行线的性质和等腰三角形的判定证明AE＝EC＝2即可；
（3）分三种情况讨论：①AD＝BD，②AD＝AB，③AB＝BD，分别计算DN和BN的长确定点D的坐标即可解答．
【解答】解：（1）∵四边形ABOC是矩形，且A（4，3），
∴AC＝4，OC＝3，
∵点E在反比例函数y＝上，
∴E（，3），
∴CE＝，
∴AE＝4﹣；
故答案为：4﹣；
（2）如图2，∵A（4，3），
∴AC＝4，AB＝3，
∴，
∴点F在y＝上，
∴F（4，），
∴＝，
∴＝，
∵∠A＝∠A，
∴△AEF∽△ACB，
∴∠AEF＝∠ACB，
∴EF∥BC，
∴∠FED＝∠CDE，
连接AD交EF于M点，

∴△AEF≌△DEF，
∴∠AEM＝∠DEM，AE＝DE，
∴∠FED＝∠CDE＝∠AEF＝∠ACB，
∴CE＝DE＝AE＝AC＝2；
（3）过D点作DN⊥AB，
①当BD＝AD时，如图3，有∠AND＝90°，AN＝BN＝AB＝，

∴∠DAN+∠ADN＝90°，
∵∠DAN+∠AFM＝90°，
∴∠ADN＝∠AFM，
∴tan∠ADN＝tan∠AFM＝，
∴，
∵AN＝，
∴DN＝，
∴D（4﹣，），即D（，）；
②当AB＝AD＝3时，如图4，

在Rt△ADN中，tan∠ADN＝tan∠AFM＝，
∴，
∴AN＝AD＝＝，
∴BN＝3﹣AN＝3﹣＝，
∵DN＝AN＝＝，
∴D（4﹣，），即D（，）；
③当AB＝BD时，△AEF≌△DEF，
∴DF＝AF，
∴DF+BF＝AF+BF，即DF+BF＝AB，
∴DF+BF＝BD，
此时D、F、B三点共线且F点与B点重合，不符合题意舍去，
∴AB≠BD，
综上所述，所求D点坐标为（，）或（，）．
【点评】本题属于反比例函数综合题，考查了反比例函数的性质，相似三角形的判定和性质，翻折的性质，矩形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．
15．（2021•罗湖区）如图，点A、B分别在x轴和y轴的正半轴上，以线段AB为边在第一象限作等边△ABC，，且CA∥y轴．
（1）若点C在反比例函数的图象上，求该反比例函数的解析式；
（2）在（1）中的反比例函数图象上是否存在点N，使四边形ABCN是菱形，若存在请求出点N坐标，若不存在，请说明理由．
（3）在（1）的条件下，点P在第一象限的反比例函数图象上，当四边形OAPB的面积最小时，求出P点坐标．

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【专题】几何综合题；应用意识．
【分析】（1）如图1中，作CD⊥y轴于D．首先证明四边形OACD是矩形，利用反比例函数k的几何意义解决问题即可．
（2）如图2中，作BD⊥AC于D，交反比例函数图象于N，连接CN，AN．求出D的坐标，证明四边形ABCN是菱形即可．
（3）如图3中，连接PB，PA，OP．设P（a，）．可得S四边形OAPB＝S△POB+S△POA＝×1×a+××＝a+＝（﹣）2+，由此即可解决问题．
【解答】解：（1）如图1中，作CD⊥y轴于D．

∵CA∥y轴，CD⊥y轴，
∴CD∥OA，AC∥OD，
∴四边形OACD是平行四边形，
∵∠AOD＝90°，
∴四边形OACD是矩形，
∴k＝S矩形OACD＝2S△ABC＝2，
∴反比例函数的解析式为y＝．

（2）如图2中，作BD⊥AC于D，交反比例函数图象于N，连接CN，AN．

∵△ABC是等边三角形，面积为，设CD＝AD＝m，则BD＝m，
∴×2m×m＝，
∴m＝1或﹣1（舍弃），
∴B（0，1），C（，，2），A（，0），
∴N（2，1），
∴BD＝DN，
∵AC⊥BN，
∴CB＝CN，AB＝AN，
∵AB＝BC，
∴AB＝BC＝CN＝AN，
∴四边形ABCN是菱形，
∴N（2，1）．

（3）如图3中，连接PB，PA，OP．设P（a，）．

S四边形OAPB＝S△POB+S△POA＝×1×a+××＝a+＝（﹣）2+，
∴当a＝时，四边形OAPB的面积最小，
解得a＝或﹣（舍弃），
此时P（，）．
【点评】本题属于反比例函数综合题，考查了反比例函数的性质，等边三角形的性质，菱形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，学会利用参数解决问题，属于中考压轴题．
16．（2020秋•罗湖区校级期末）如图，在同一平面直角坐标系中，直线y＝x+2和双曲线y＝相交于A、B两点．

（1）连接AO、BO，求出△AOB的面积．
（2）已知点E在双曲线y＝上且横坐标为1，作EF垂直于x轴垂足为F，点H是x轴上一点，连接EH交双曲线于点I，连接IF并延长交y轴于点G，若点G坐标为（0，﹣），请求出H点的坐标．
（3）已知点M在x轴上，点N是平面内一点，以点O、E、M、N为顶点的四边形是菱形，请你直接写出N点的坐标．
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【专题】几何综合题；应用意识．
【分析】（1）根据S△AOB＝S△AOC+S△OCB，求解即可解决问题．
（2）求出直线FG的解析式，构建方程组求出点I的坐标，求出直线EH的解析式即可解决问题．
（3）分三种情形：当OM1是菱形的对角线时，E，N1关于x轴对称，可得N1（1，﹣8）．当OM为菱形的边时，可得N2（1+，8），N4（1﹣，8）．当OE为菱形的对角线时，求出点M3的坐标即可解决问题．
【解答】解：（1）如图1中，设AB交y轴于C．

由，解得或，
∴A（2，4），B（﹣4，﹣2），
∵直线AB交y轴于C（0，2），
∴S△AOB＝S△AOC+S△OCB＝×2×2+×2×4＝6．

（2）如图2中，

由题意E（1，8），F（1，0），
∵G（0，﹣），
∴直线FG的解析式为y＝x﹣，
由，解得或，
∴I（，），
∴直线EH的解析式为y＝x+
令y＝0，解得x＝，
∴H（，0）．

（3）如图3中，

∵E（1，8），
∴OE＝＝，
当OM1是菱形的对角线时，E，N1关于x轴对称，可得N1（1，﹣8）．
当OM为菱形的边时，可得N2（1+，8），N4（1﹣，8）．
当OE为菱形的对角线时，连接M3N3交OE于T，EN3交y轴于P．
∵M3N3⊥OE，
∴∠OTM3＝90°，
∵∠POE＝∠TM3O，
∴sin∠POE＝sin∠OM3T，
∴＝，
∴OM3＝，
∴M3（，0），
∵TN3＝TM3，T（，4），
∴可得N3（﹣，8），
综上所述，满足条件的点N的坐标为（1，﹣8）或（1+，8）或（1﹣，8）或（﹣，8）．
【点评】本题属于反比例函数综合题，考查了反比例函数的性质，一次函数的性质，菱形的判定和性质等知识，解题的关键是学会根据一次函数，利用方程组确定交点坐标，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．
17．（2020秋•罗湖区校级期末）如图1，已知点A（a，0），B（0，b），且a、b满足+（a+b+3）2＝0，平行四边形ABCD的边AD与y轴交于点E，且E为AD中点，双曲线y＝经过C、D两点．

（1）a＝　﹣1　，b＝　﹣2　；
（2）求D点的坐标；
（3）点P在双曲线y＝上，点Q在y轴上，若以点A、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，试求满足要求的所有点Q的坐标；
（4）以线段AB为对角线作正方形AFBH（如图3），点T是边AF上一动点，M是HT的中点，MN⊥HT，交AB于N，当T在AF上运动时，的值是否发生改变？若改变，求出其变化范围；若不改变，请求出其值，并给出你的证明．
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【专题】压轴题；运算能力；推理能力．
【分析】（1）先根据非负数的性质求出a、b的值；
（2）故可得出A、B两点的坐标，设D（1，t），由DC∥AB，可知C（2，t﹣2），再根据反比例函数的性质求出t的值即可；
（3）由（2）知k＝4可知反比例函数的解析式为y＝，再由点P在双曲线y＝上，点Q在y轴上，设Q（0，y），P（x，），再分以AB为边和以AB为对角线两种情况求出x的值，故可得出P、Q的坐标；
（4）连NH、NT、NF，易证NF＝NH＝NT，故∠NTF＝∠NFT＝∠AHN，∠TNH＝∠TAH＝90°，MN＝HT由此即可得出结论．
【解答】解：（1）∵+（a+b+3）2＝0，且≥0，（a+b+3）2≥0，
∴，
解得：．
故答案是：﹣1；﹣2；

（2）∴A（﹣1，0），B（0，﹣2），
∵E为AD中点，
∴xD＝1，
设D（1，t），
又∵四边形ABCD是平行四边形，
∴C（2，t﹣2）．
∴t＝2t﹣4．
∴t＝4．
∴D（1，4）；

（3）∵D（1，4）在双曲线y＝上，
∴k＝xy＝1×4＝4．
∴反比例函数的解析式为y＝，
∵点P在双曲线y＝上，点Q在y轴上，
∴设Q（0，y），P（x，），
①当AB为边时：如图1所示：

若ABPQ为平行四边形，则＝0，解得x＝1，此时P1（1，4），Q1（0，6）；
如图2所示：

若ABQP为平行四边形，则＝，解得x＝﹣1，此时P2（﹣1，﹣4），Q2（0，﹣6）；
②如图3所示：

当AB为对角线时：AP＝BQ，且AP∥BQ；
∴＝，解得x＝﹣1，
∴P3（﹣1，﹣4），Q3（0，2）；
综上所述，Q1（0，6）；Q2（0，﹣6）；Q3（0，2）；

（4）如图4，连接NH、NT、NF，

∵MN是线段HT的垂直平分线，
∴NT＝NH，
∵四边形AFBH是正方形，
∴∠ABF＝∠ABH，
在△BFN与△BHN中，
，
∴△BFN≌△BHN（SAS），
∴NF＝NH＝NT，
∴∠NTF＝∠NFT＝∠AHN，
四边形ATNH中，∠ATN+∠NTF＝180°，而∠NTF＝∠NFT＝∠AHN，
所以，∠ATN+∠AHN＝180°，所以，四边形ATNH内角和为360°，
所以∠TNH＝360°﹣180°﹣90°＝90°．
∴MN＝HT，
∴＝．
即的定值为．
【点评】本题考查的是反比例函数综合题，涉及到用待定系数法求反比例函数的解析式、正方形的性质、等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等相关知识，难度较大．
18．（2021春•婺城区校级期末）如图，直线y＝﹣x+2与反比例函数y＝（k≠0）的图象交于A（a，3）、B（3，b）两点，直线AB交y轴于点C、交x轴于点D．

（1）请直接写出a＝　﹣1　，b＝　﹣1　，反比例函数的解析式为　y＝﹣　．
（2）在x轴上是否存在一点E，使得∠EBD＝∠OAC，若存在请求出点E的坐标，若不存在，请说明理由．
（3）点P是x轴上的动点，点Q是平面内的动点，是以A、B、P、Q为顶点的四边形是矩形，若存在请求出点Q的坐标，若不存在请说明理由．
【考点】反比例函数综合题．菁优网版权所有
【专题】代数几何综合题．
【分析】（1）利用待定系数法即可解决问题；
（2）分两种情形：①当点E与O重合时，∠EBD＝∠OAC，此时E（0，0）．②作BE′∥OA，则∠E′BD＝∠OAC，分别求解即可解决问题；
（3）分四种情形画出图形，分别求解即可解决问题；
【解答】解：（1）∵A（a，3）、B（3，b）两点在y＝﹣x+2上，
∴a＝﹣1，b＝﹣1，
∴A（﹣1，3），（3，﹣1），
∵A（﹣1，3）在y＝上，
∴k＝﹣3．
∴反比例函数的解析式为y＝﹣，
故答案为﹣1，﹣1，y＝﹣．

（2）如图1中，连接OB．

∵A（﹣1，3），B（3，﹣1），
∴OA＝OB＝，
∴∠OAC＝∠OBD，
∴当点E与O重合时，∠EBD＝∠OAC，此时E（0，0）．
作BE′∥OA，则∠E′BD＝∠OAC，
由题意D（2，0），
∴AD＝＝3，BD＝＝，
∵BE′∥OA，
∴＝，
∴＝，
∴DE′＝，
∴OE′＝，
∴E′（，0），
综上所述，满足条件的点E坐标为（0，0）或（，0）．

（3）存在．如图2中：

①当四边形AP1Q1B是矩形时，易知P1（﹣4，0），
点B（3，﹣1）向左平移3个单位，向下平移3个单位得到Q1（0，﹣4）；
②当四边形BP2Q2A是矩形时，P2（4，0），
点A（3．﹣1）向右平移一个单位，向上平移一个单位得到Q2（0，4）．
③当AB是矩形的对角线时，设AB的中点为R（1，1），设P3（m，0），
∵RP＝2，
∴（1﹣m）2+12＝（2）2，
∴m＝1+或1﹣，
∴P3（1﹣，0），P4（1+），
∴Q3（1+，2），Q4（1﹣，2），
综上所述，满足条件的点Q坐标为（0，﹣4）或（0，4）或（1+，2）或（1﹣，2）．
【点评】本题属于反比例函数综合题，考查了待定系数法，一次函数的应用，矩形的判定和性质，平行线的性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．
19．（2021•南海区模拟）如图，点A是反比例函数y＝（m＜0）位于第二象限的图象上的一个动点，过点A作AC⊥x轴于点C；M为是线段AC的中点，过点M作AC的垂线，与反比例函数的图象及y轴分别交于B、D两点．顺次连接A、B、C、D．设点A的横坐标为n．
（1）求点B的坐标（用含有m、n的代数式表示）；
（2）求证：四边形ABCD是菱形；
（3）若△ABM的面积为2，当四边形ABCD是正方形时，求直线AB的函数表达式．

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【专题】综合题．
【分析】（1）由点A在双曲线上，确定出A坐标，进而得出点B的纵坐标，即可得出结论；
（2）由（1）得到的点B，D，M的坐标判断出MB＝MD，AM＝MC，得出四边形ABCD是平行四边形，再用BD⊥AC即可；
（3）由（2）结合AC＝BD建立方程求出n，m，从而得到点B，A坐标即可．
【解答】解：（1）当x＝n时，y＝，
∴A（n，）．
由题意知，BD是AC的中垂线，
∴点B的纵坐标为．
∴把y＝代入y＝得x＝2n，
∴B（2n，）．
（2）证明：∵BD⊥AC，AC⊥x轴，
∴BD⊥y轴，由（1）知，B（2n，），A（n，），
∴D（0，），M（n，），
∴BM＝MD＝﹣n，
∵AC⊥x轴，
∴C（n，0），
∴AM＝CM，
∴四边形ABCD是平行四边形．
又∵BD⊥AC，
∴平行四边形ABCD是菱形．

（3）当四边形ABCD是正方形时，△ABM为等腰直角三角形．
∴AM＝BM，
∵△ABM的面积为2，
∴S△ABM＝AM2＝2，
∴AM＝BM＝2．
∵M为线段AC的中点，
∴AC＝2AM＝4，BD＝2BM＝4，
∴2n＝﹣4，＝4，
∴A（﹣2，4），B（﹣4，2）．
设直线AB的解析式为y＝kx+b，
∴，
∴，
直线AB的函数表达式为y＝x+6．
【点评】此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，菱形的性质，正方形的性质，等腰三角形的性质，三角形的面积公式，解本题的关键是用m，n表示出点A，B，D，M的坐标．
20．（2021春•黄浦区期末）已知：如图，平面直角坐标系中有一个等腰梯形ABCD，且AD∥BC，AB＝CD，点A在y轴正半轴上，点B、C在x轴上（点B在点C的左侧），点D在第一象限，AD＝3，BC＝11，梯形的高为2，双曲线y＝经过点D，直线y＝kx+b经过A、B两点．
（1）求点A、B、C、D的坐标；
（2）求双曲线y＝和直线y＝kx+b的解析式；
（3）点M在双曲线上，点N在y轴上，如果四边形ABMN是平行四边形，求点N的坐标．

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【分析】（1）首先过点D作DH⊥x轴于点H，由AD∥BC，AB＝CD，易得四边形AOHD是矩形，证得Rt△ABO≌Rt△DCH，又由AD＝3，BC＝11，梯形的高为2，即可求得答案；
（2）由双曲线y＝过点D，直线y＝kx+b过点A，B，直接利用待定系数法求解即可求得答案；
（3）由四边形ABMN是平行四边形，可得点M的横坐标为﹣4，继而求得点M的坐标，又由AN＝BM，求得答案．
【解答】解：（1）如图1，过点D作DH⊥x轴于点H．
∵AD∥BC，AB＝CD，
∴四边形ABCD是等腰梯形，
∵AO⊥x轴，
∴四边形AOHD是矩形，
∴AO＝DH，AD＝OH，∠AOB＝∠DHC＝90°，
在Rt△ABO和Rt△DCH中，
，
∴Rt△ABO≌Rt△DCH（HL）．
∴BO＝CH，
∵梯形的高为2，
∴AO＝DH＝2．
∵AD＝3，BC＝11，
∴BO＝4，OC＝7．
∴A（0，2），B（﹣4，0），C（7，0），D（3，2）；

（2）∵双曲线y＝经过点D（3，2），
∴m＝xy＝6．
∴双曲线的解析式为：y＝，
∵直线y＝kx+b经过A（0，2）、B（﹣4，0）两点，
得：，
∴解得：．
∴直线的解析式为：y＝x+2；

（3）如图2，∵四边形ABMN是平行四边形．
∴BM∥AN且BM＝AN．
∵点N在y轴上，
∴过点B作x轴的垂线与双曲线y＝的交点即为点M．
∴点M的坐标为M（﹣4，﹣），
∴BM＝．
∴AN＝BM＝，
∴ON＝OA﹣AN＝，
∴点N的坐标为N（0，）．


【点评】此题属于反比例函数综合题．考查了待定系数求函数解析式、全等三角形的判定与性质、等腰梯形的性质、矩形的判定与性质以及平行四边形的性质等知识．注意准确作出辅助线是解此题的关键．
21．（2021•武进区校级自主招生）如图，直线y＝mx+4与反比例函数y＝（k＞0）的图象交于点A、B，与x轴、y轴分别交于D、C，tan∠CDO＝2，AC：CD＝1：2．
（1）求反比例函数解析式；
（2）联结BO，求∠DBO的正切值；
（3）点M在直线x＝﹣1上，点N在反比例函数图象上，如果以点A、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形，求点N的坐标．

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【分析】（1）先求出C点坐标，再由tan∠CDO＝2可得出D点坐标，进而可得出直线y＝mx+4的解析式，根据AC：CD＝1：2可得出A点坐标，进而得出反比例函数的解析式；
（2）过点O作OE⊥AB于点E，根据直角三角形的面积公式求出OE的长，再由△ODE∽△CDO得出DE的长，根据锐角三角函数的定义即可得出结论；
（3）设M（﹣1，y），N（x，），再分AB、AN、AM为平行四边形的对角线即可得出结论．
【解答】解：（1）∵直线y＝mx+4与y轴交于点C，
∴C（0，4）．
∵tan∠CDO＝2，
∴OD＝2，即D（﹣2，0），
∴﹣2m+4＝0，解得m＝2，CD＝＝2，
∴直线y＝mx+4的解析式为y＝2x+4．
设A（x，2x+4），
∵AC：CD＝1：2，
∴AC＝，
∴＝，解得x＝±1，
∵点A在第一象限，
∴x＝1，
∴A（1，6）．
∵点A在反比例函数y＝的图象上，
∴k＝6，
∴反比例函数的解析式为y＝；

（2）过点O作OE⊥AB于点E，
∵OD＝2，OC＝4，CD＝2，
∴OE＝＝＝．
∵∠ODE＝∠ODE，∠OED＝∠COD，
∴△ODE∽△CDO，
∴＝，即DE＝＝＝．
∵，解得或，
∴B（﹣3，﹣2）．
∴BD＝＝，
∴BE＝BD+DE＝+＝，
∴tan∠DBO＝＝＝．

（3）设M（﹣1，y），N（x，），
∵A（1，6），B（﹣3，﹣2），
∴当AB为平行四边形的对角线时，＝，解得x＝﹣1，
∴N（﹣1，﹣6）；
当AN为平行四边形的对角线时，x+1＝﹣3﹣1，解得x＝﹣5，
∴N（﹣5，﹣）；
当AM为平行四边形的对角线时，0＝x﹣3，解得x＝3，
∴N（3，2）．
综上所述，N（﹣1，﹣6）或（﹣5，﹣）或（3，2）．

【点评】本题考查的是反比例函数综合题，涉及到反比例函数图象上点的坐标特点、平行四边形的判定及锐角三角函数的定义等知识，在解答（3）时要注意进行分类讨论．
22．（2021•罗湖区校级模拟）如图，矩形OABC的顶点A，C分别在x，y轴的正半轴上，点F是边BC上的一个动点（不与点B，C重合），过点F的反比例函数y＝（x＞0）的图象与边AB交于点E（4，n），AB＝2．
（1）若点D为对角线OB的中点，反比例函数在第一象限内的图象又经过点D．
①求反比例函数的解析式和n的值；
②将矩形OABC折叠，使点O与点F重合，折痕分别与x，y轴正半轴交于点H，G，求线段OG的长．
（2）连接EF，OE，当点F运动到什么位置时，四边形OCFE的面积最大，其最大值为多少？

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【分析】（1）①由D为OB的中点，以及B坐标求出D坐标，把D代入反比例解析式求出k的值，确定出反比例解析式，把E坐标代入反比例解析式求出n的值即可；
②由折叠的性质得到三角形OGH与三角形FGH全等，利用全等三角形的对应边相等得到OG＝FG，由F在反比例图象上，确定出F坐标，进而求出CF的长，在三角形CFG中，设OG＝FG＝x，可得CG＝2﹣x，利用勾股定理求出x的值，即为OG的长；
（2）设F（x，2），则E（4，x），再由S四边形OCFE＝S矩形OABC﹣S△BEF﹣S△OAE即可得出结论．
【解答】解：（1）①∵D为OB中点，B（4，2），
∴D（2，1），
把D（2，1）代入y＝中，得1＝，即k＝2，
∴反比例函数解析式为y＝，
把E（4，n）代入反比例解析式得：n＝＝；
②由F（1，2），得到CF＝1，
由折叠得：△OGH≌△FGH，
∴OG＝FG，
∵OC＝AB＝2，
设OG＝FG＝x，得到CG＝2﹣x，
在Rt△CFG中，由勾股定理得：FG2＝CG2+CF2，即x2＝（2﹣x）2+1，
整理得：4x＝5，
解得：x＝，
则OG＝；

（2）∵设F（x，2），则E（4，x），
∴S四边形OCFE＝8﹣（2﹣x）（4﹣x）﹣×2x
＝﹣x2+x+4
＝﹣（x﹣2）2+5．
∴F（2，2）时，四边形OCFE的面积最大，最大值为5．
【点评】此题属于反比例函数综合题，涉及的知识有：待定系数法确定反比例函数解析式，坐标与图形性质，勾股定理，锐角三角函数定义，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．
23．（2021•香洲区校级一模）如图1，已知直线y＝2x分别与双曲线y＝、y＝（x＞0）交于P、Q两点，且OP＝2OQ．
（1）求k的值．
（2）如图2，若点A是双曲线y＝上的动点，AB∥x轴，AC∥y轴，分别交双曲线y＝（x＞0）于点B、C，连接BC．请你探索在点A运动过程中，△ABC的面积是否变化？若不变，请求出△ABC的面积；若改变，请说明理由；
（3）如图3，若点D是直线y＝2x上的一点，请你进一步探索在点A运动过程中，以点A、B、C、D为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求出此时点A的坐标；若不能，请说明理由．

【考点】反比例函数综合题；平行四边形的性质；相似三角形的判定与性质；解分式方程；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题．菁优网版权所有
【专题】综合题．
【分析】（1）先求出点P的坐标，再从条件OP＝2OQ出发，构造相似三角形，求出点Q的坐标，就可求出k的值．
（2）设点A的坐标为（a，b），易得b＝，结合条件可用a的代数式表示点B、点C的坐标，进而表示出线段AB、AC的长，就可算出△BAC的面积是一个定值．
（3）以点A、B、C、D为顶点的四边形为平行四边形可分成两类：①AC为平行四边形的一边，②AC为平行四边形的对角线；然后利用平行四边形的性质建立关于a的方程，即可求出a的值，从而求出点A的坐标．
【解答】解：（1）过点Q作QE⊥x轴，垂足为E，过点P作PF⊥x轴，垂足为F，如图1，
联立，
解得：或．
∵x＞0，
∴点P的坐标为（2，4）．
∴OF＝2，PF＝4．
∵QE⊥x轴，PF⊥x轴，
∴QE∥PF．
∴△OEQ∽△OFP．
∴＝＝．
∵OP＝2OQ，
∴OF＝2OE＝2，PF＝2EQ＝4．
∴OE＝1，EQ＝2．
∴点Q的坐标为（1，2）．
∵点Q（1，2）在双曲线y＝上，
∴k＝1×2＝2．
∴k的值为2．
（2）如图2，
设点A的坐标为（a，b），
∵点A（a，b）在双曲线y＝上，
∴b＝．
∵．AB∥x轴，AC∥y轴，
∴xC＝xA＝a，yB＝yA＝b＝．
∵点B、C在双曲线y＝上，
∴xB＝＝，yC＝．
∴点B的坐标为（，），点C的坐标为（a，）．
∴AB＝a﹣＝，AC＝﹣＝．
∴S△ABC＝AB•AC
＝××
＝．
∴在点A运动过程中，△ABC的面积不变，始终等于．
（3）①AC为平行四边形的一边，
Ⅰ．当点B在点Q的右边时，如图3，
∵四边形ACBD是平行四边形，
∴AC∥BD，AC＝BD．
∴xD＝xB＝．
∴yD＝2xD＝．
∴DB＝﹣．
∵AC＝﹣＝，
∴＝﹣．
解得：a＝±2．
经检验：a＝±2是该方程的解．
∵a＞0，
∴a＝2．
∴b＝＝．
∴点A的坐标为（2，）．
Ⅱ．当点B在点Q的左边且点C在点Q的右边时，如图4，
∵四边形ACDB是平行四边形，
∴AC∥BD，AC＝BD．
∴xD＝xB＝．
∴yD＝2xD＝．
∴DB＝﹣．
∵AC＝，
∴＝﹣，
解得：a＝±2．
经检验：a＝±2是该方程的解．
∵a＞0，
∴a＝2．
∴b＝＝4．
∴点A的坐标为（2，4）．
②AC为平行四边形的对角线，
此时点B、点C都在点Q的左边，如图5，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD．
∴yD＝yC＝．
∴xD＝＝．
∴CD＝﹣a．
∵AB＝a﹣＝，
∴＝﹣a．
解得：a＝±．
经检验：a＝±是该方程的解．
∵a＞0，
∴a＝．
∴b＝＝4．
∴点A的坐标为（，4）．
综上所述：当点A、B、C、D为顶点的四边形为平行四边形时，此时点A的坐标为（2，）或（2，4）或（，4）．





【点评】本题考查了反比例函数图象与一次函数图象的交点、用待定系数法求反比例函数的解析式、相似三角形的判定与性质、解分式方程等知识，还考查了分类讨论的思想，有一定的综合性．
24．（2021•杭锦旗二模）如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点O与坐标原点重合，顶点A，C分别在坐标轴上，顶点B的坐标为（4，2），过点D（0，3）和E（6，0）的直线分别与AB，BC交于点M，N．
（1）求直线DE的解析式和点M的坐标；
（2）若反比例函数y＝的图象经过点M，求该反比例函数的解析式，并通过计算判断点N是否在该函数的图象上；
（3）若反比例函数y＝（x＞0）的图象与△MNB有公共点，请直接写出k的取值范围；
（4）若将△MNB放置于平面直角坐标系中：使斜边在横轴上，直角顶点B在反比例函数y＝的图象上，试求出N点的坐标．

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【专题】反比例函数及其应用；矩形 菱形 正方形．
【分析】（1）设直线DE的解析式是y＝kx+b，把D、E的坐标代入即可求出直线的解析式，把y＝2代入即可求出M的坐标．
（2）把M的坐标代入反比例函数解析式求出即可，把x＝4代入直线的解析式即可求出N的坐标．
（3）求出反比例函数的图象过B点的k值，即可求出答案．
（4）求出直角三角形MBN的斜边上的高BL，根据相似求出LN，即可求出N的坐标．
【解答】解：（1）设直线DE的解析式是y＝kx+b，
把D、E的坐标代入得：，
解得：k＝﹣，b＝3，
∴直线DE的解析式是：y＝﹣x+3，
∵矩形AOCB，B（4，2），
∴把y＝2代入y＝﹣x+3得：x＝2，
∴M的坐标是（2，2）．

（2）把M（2，2）代入y＝得：k＝4，
即反比例函数的解析式是y＝，
∵B（4，2），
∴把x＝4代入y＝﹣x+3得：y＝1，
∴N的坐标是（4，1），
把N的坐标代入y＝得：左边＝4，右边＝4，左边＝右边，
即点N在反比例函数的图象上．

（3）把B（4，2）代入y＝得：k＝8，
∵反比例函数y＝过M、N点，
∴若反比例函数y＝（x＞0）的图象与△MNB有公共点，k的取值范围是4≤k≤8．

（4）过B作BL⊥MN于L，
在△MNB中，BM＝4﹣2＝2，BN＝2﹣1＝1，
由勾股定理得：NM＝＝，
S△MNB＝BM×BN＝MN×BL，
∴2×1＝×BL，
∴BL＝，
如图所示：

∵直角顶点B在反比例函数图象上，
∴B的纵坐标是，代入y＝得：横坐标是2，
∴OL＝2，
∵△MNB是直角三角形，BL⊥MN于L，
∴△BLN∽△MBN，
∴＝，
∴＝，
∴LN＝，
∴ON＝OL+LN＝2+＝或ON＝OL﹣LN＝2﹣＝（此时N在M的左边），
∴N的坐标是（，0）或（，0）．

【点评】本题考查了用待定系数法求一次和反比例函数的解析式，函数图象上点的坐标特征，勾股定理，三角形的面积，矩形的性质的应用，主要考查学生综合运用性质进行推理和计算的能力，有一定的难度．
25．（2020•雨花区校级模拟）定义：点P（a，b）关于原点的对称点为P'，以PP'为边作等边△PP'C，则称点C为P的“等边对称点”．

（1）若P（1，），求点P的“等边对称点”的坐标；
（2）平面内有一点P（1，2），若它其中的一个“等边对称点”C在第四象限时，请求此C点的坐标；
（3）若P点是双曲线y＝（x＞0）上一动点，当点P的“等边对称点”点C在第四象限时．
①如图（1），请问点C是否也会在某一函数图象上运动？如果是，请求出此函数的解析式；如果不是，请说明理由；
②如图（2），已知点A（1，2），B（2，1），点G是线段AB上的动点，点F在y轴上，若以A、G、F、C这四个点为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点C的纵坐标yC的取值范围．
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【专题】代数几何综合题；推理能力．
【分析】（1）P（1，）则P'（﹣1，﹣），可求PP'＝4，设C（m，n），有PC＝P'C＝4，通过解方程可得m＝﹣n，再进行运算即可；
（2）P（1，2）则P'（﹣1，﹣2），可求PP'＝2；设C（a，b），有PC＝P'C＝2，通过解方程可得a＝﹣2b，再进行运算即可；
（3）①设P（c，）则P'（﹣c，﹣），可求PP'＝2；设C（s，t），有PC＝P'C＝PP'，通过解方程可得s＝﹣，t＝±c，令，消元c即可得xy＝﹣6；
②当AG为平行四边形的边时，G与B重合时，为一临界点通过平移可求得C（1，﹣6），yc≤﹣6；当AG为平行四边形的对角线时，G与B重合时，求得C（3，﹣2），G与A重合时，C（2，﹣3），此时﹣3＜yc≤﹣2．
【解答】解：（1）∵P（1，），
∴P'（﹣1，﹣），
∴PP'＝＝4，
设C（m，n），
∴等边△PP′C，
∴PC＝P'C＝4，
∴＝＝4，
∴m＝﹣n，
∴n＝±，
∴C（3，﹣）或C（﹣3，）．

（2）∵P（1，2），
∴P'（﹣1，﹣2），
∴PP'＝2，
设C（a，b），
∴等边△PP′C，
∴PC＝P'C＝2，
∴＝＝2，
∴a＝﹣2b，
∴b＝±，
∴C（2，﹣）或C（﹣2，），
∵C在第四象限，
∴C（2，﹣）．

（3）①设P（c，），
∴P'（﹣c，﹣），
∴PP'＝PC，
设C（s，t），
PC＝P'C＝2，
∴＝＝2，
∴s＝﹣，
∴t2＝3c2，
∴t＝±c，
∴C（﹣，c）或C（，﹣c），
∴点C在第四象限，c＞0，
∴C（，﹣c），
令，
∴xy＝﹣6，即y＝﹣（x＞0）．

②当AG为平行四边形的边时，G与B重合时，
通过平移可求得点C的横坐标为1，
∵xy＝﹣6，
∴C（1，﹣6），
∴yc≤﹣6．
当AG为平行四边形的对角线时，G与B重合时，
通过平移可知点C的横坐标为3，
∵xy＝﹣6，
∴C（3，﹣2），
G与A重合时，同法可得C（2，﹣3），
此时﹣3＜yc≤﹣2，
综上所述：yc≤﹣6或﹣3＜yc≤﹣2．