专题05 实数中的数学思想-【专题突破】2021-2022学年七年级数学下学期重难点及章节分类精品讲义(人教版)

专题训练（五）实数中的数学思想

1．先填写表，通过观察后再回答问题：

(1)表格中x＝                  ，y＝         ；

(2)从表格中探究a与数位规律，并利用这个规律解决下面两个问题：

①已知≈3.16，则≈                                ；

②已知＝8.973，若＝89.73，用含m的代数式表示b，则b＝         ；

(3)试比较与a的大小．

【答案】(1)0.1，10 (2)①31.6；② (3)当时，；当时，；当时，；当时，

【详解】(1)解：根据题意得：；

(2)解：根据题意得：当a扩大100倍时，扩大10倍，

①∵≈3.16，∴；

②∵＝8.973，＝89.73，

∴；

(3)当时，，此时；

当时，，此时；

当时，根据a与数位规律得：；

当时，根据a与数位规律得：；

综上所述，当时，；当时，；当时，；当时，．

2．观察下列各式：2，3，4．

(1)类比上述式子，再写出一个同类型的式子；

(2)你能用字母n（n是正整数）表示其中的规律吗？并给出证明．

【答案】(1)；(2)规律n（n＞1）

【详解】(1)解：根据前几个等式的变化规律，则有；

(2)解：∵2=2，3=3，4=4．

∴规律为：n（n＞1），

证明：

=n（n＞1）．

3．阅读下列解题过程：；；；…

(1)______，________．

(2)观察上面的解题过程，则________（n为自然数）

(3)利用这一规律计算：．

【答案】(1)，   ；(2)；(3)

【详解】(1)解：，，故答案是：，；

(2)解：===，

故答案是：;

(3)解：原式．

4. 比较大小：和．

【答案】

【详解】∵||，||，（）2，（）2，而，

∴．

5．通过估算比较与的大小。

【答案】

【详解】∵2，

∴，

∴．

6．求方程(x－3)2＝9中x的值．

【答案】x的值为0或－12

【详解】两边开平方得x－3=±3，

①当x－3=3时，解得x=12；②当x－3=－3时，解得x=0．

∴x的值为0或－12．

7．求x的值：4（x﹣1）2＝25．

【答案】x或x

【详解】∵4（x﹣1）2＝25，

∴（x﹣1）2，

∴x﹣1或x﹣1，

解得：x或x．

8．在有理数和对应点在数轴上如图所示：

（1）大小比较：、、、、用“<”连接；

（2）化简：．

【答案】（1）a＜−b＜b＜−a；（2）−2-a．

【详解】（1）根据数轴上点的特点可得：a＜−b＜b＜−a；

（2）根据数轴给出的数据可得：a＜0，a＋b＜0，a−b＜0，b−1＜0，

则

=

＝−a−b−（b−a）−2（1−b）-a

＝−a−b−b＋a−2＋2b-a＝−2-a．

9．如图，已知．

（1）说出数轴上点所表示的数；

（2）比较点所表示的数与的大小．

【答案】（1）点表示；（2）

【详解】（1），即数轴上点所表示的数是；

（2），

，即比较点所表示的数大于．

10．下面是小李探索的近似值的过程：我们知道面积是2的正方形的边长是，易知，因此可设，可画出如图示意图．

由图中面积计算，，

另一方面由题意知，所以．

略去，得方程，解得，即．

(1)仿照上述方法，探究的近似值．（画出示意图，标明数据，并写出求解过程）

(2)仿照上述方法，在的基础上，再探究一次，使求得的的近似值更加准确，精确到0.01（画出示意图，标明数据，并写出求解过程）

【答案】(1)，理由见详解；(2)，理由见详解．

【详解】（1）设，如图，面积为5的正方形分成2个小正方形和2个矩形，

∵S正方形=x2+2×2•x+4，而S正方形=5，

∴x2+2×2•x+4=5，略去x2，得方程4x+4=5，解得x=0.25，即；

(2)解：∵x2＞0，

∴2x+1＜2，

∴x＜0.5，

∴．

∴设，示意图如图所示．

由面积公式，可得x2+2x（1.5-x）+2=1.52，

整理，得-x2+3x+2=2.25，

略去x2，得方程3x+2=2.25，

解得x=0.0833…．即 ．