2021-2022学年福建省龙岩市上杭三中九年级（下）第一次段考数学试卷（含解析）

2021-2022学年福建省龙岩市上杭三中九年级（下）第一次段考数学试卷

副标题

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）

1. 实数，，，中，无理数是

A.  B.  C.  D.

2. 新型冠状病毒平均直径为纳米，即厘米．用科学记数法表示为

A.  B.  C.  D.

3. 一个几何体的三视图如图所示，该几何体是

A. 正方体
B. 圆锥
C. 三棱柱
D. 四棱柱

4. 下列运算正确结果为的是

A.  B.  C.  D.

5. 如果一个多边形的内角和等于，这个多边形是

A. 四边形 B. 五边形 C. 六边形 D. 七边形

6. 下列判断正确的是

A. 甲乙两组学生身高的平均数均为，方差分别为，则甲组学生的身高较整齐
B. 了解某品牌灯泡的使用寿命用全面调查的方法
C. 将油滴入水中，油会浮在水面上，属于随机事件
D. 在一个不透明的袋子中装有个红球，个白球，搅匀后从中随机摸出个球是红球，属于随机事件

7. 我国古代数学著作九章算术卷七有下列问题：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数、物价几何？”意思是：现在有几个人共同出钱去买件物品，如果每人出钱，则剩余钱；如果每人出钱，则不足钱，问有多少人？物品的价格是多少？设有人，物品的价格为元，可列方程组为

A.  B.  C.  D.

8. 如图，四边形内接于，，为中点，，则等于

A.
B.
C.
D.

9. 如图，等边三角形边长为、、分别是边、上的点，将沿折叠，点恰好落在边上的点处，若，则的长是

A.
B.
C.
D.

10. 抛物线过点，点到抛物线对称轴的距离记为，满足，则实数的取值范围是

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

11. ______．
12. 分解因式：______．
13. 甲、乙、丙三位同学随机站在一排，则甲、乙相邻的概率为______．
14. 在平面直角坐标中，已知点，将点绕原点顺时针旋转得到点，则点的坐标为______．
15. 在边长为的小正方形网格中，点、、、都在这些小正方形的顶点上，、相交于点，则______．
     

16. 如图，矩形的面积为，反比例函数的图象与矩形的两边、分别交于点、，则四边形的面积最大值为______．
    
    
     

三、解答题（本大题共9小题，共72.0分）

17. 解不等式组：并把解集在数轴上表示数来．
    
    
    
    
    
    
     
18. 先化简，再求值：，其中．
    
    
    
    
    
    
     
19. 如图，正方形中，对角线所在的直线上有两点、，满足，连接、、、，求证：≌．
    
     

20. 如图，在中，．
    求作的外接圆；要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹
    若，，求的长．

21. 某服装商店计划销售一种男士衬衫，已知销售件这种男士衬衫的成本每件元，售价每件元，且，与的关系分别为，为正整数
    若该商店某日销售这种男士衬衫的利润为元，求当日销售量；
    求可获得的最大日利润．
    
    
    
    
    
    
     
22. 某中学采用随机的方式对学生掌握安全知识的情况进行测评，并按成绩高低分成优、良、中、差四个等级进行统计，绘制了下面两幅尚不完整的统计图请根据有关信息解答：
    
    接受测评的学生共有______ 人，扇形统计图中“优”部分所对应扇形的圆心角为______ ，并补全条形统计图；
    若该校共有学生人，请估计该校对安全知识达到“良”及“良”以上程度的人数；
    测评成绩前五名的学生恰好个女生和个男生，现从中随机抽取人参加市安全知识竞赛，请用树状图或列表法求出抽到个女生的概率．
    
    
    
    
    
    
     
23. 如图，在正方形中，点在边上，连接，的平分线与边交于点，与的延长线交于点设．
    
    若，，求线段的长．
    连接，若，
    求证：点为边的中点．
    求的值．
    
    
    
    
    
    
     
24. 如图，线段是的直径，弦于点，点是弧上任意一点，，．
    
    求的半径的长度；
    如图直线交直线于点，直线交于点，连接交于点，求的值．
    
    
    
    
    
    
     
25. 已知抛物线过点．
    若点也在该抛物线上，求，满足的关系式；
    该抛物线上任意不同两点，都满足：当时，；当时，，抛物线与轴交于点，，若为等腰直角三角形．
    求抛物线的解析式；
    点与点关于点对称，点在抛物线上，点关于抛物线对称轴的对称点为，若直线与抛物线存在另一交点，求证：，，三点在同一条直线上．
    
    
    
    
    
    
    
    

答案和解析

1.【答案】

【解析】

解：是分数，是有理数；
是无限不循环小数，是无理数；
是有限小数，是有理数；
，是整数，是有理数．
无理数是．
故选：．
根据无理数的定义进行判断即可得出答案．
本题主要考查了无理数，熟练掌握无理数的定义进行求解是解决本题的关键．
 

2.【答案】

【解析】

解：，
故选：．
绝对值小于的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
此题主要考查用科学记数法表示较小的数，关键是掌握科学记数法表示较小的数的方法．
 

3.【答案】

【解析】

解：由几何体的左视图和俯视图都是长方形，
故该几何体是一个柱体，
又俯视图是一个三角形，
该几何体是三棱柱．
故选：．
根据一个几何体左视图和俯视图都是长方形，可判断该几何体是柱体，进而根据主视图的形状，可判断柱体形状，得到答案．
本题考查的知识点是三视图，如果有两个视图为三角形，该几何体一定是锥，如果有两个矩形，该几何体一定柱，其底面由第三个视图的形状决定．
 

4.【答案】

【解析】

解：、原式，故A不符合题意．
B、原式，故B不符合题意．
C、原式，故C符合题意．
D、与不是同类项，故不能合并，故D不符合题意．
故选：．
根据整式的乘除运算以及同底数幂的乘方即可求出答案．
本题考查同底数幂的乘除法以及积的乘方，本题属于基础题型．
 

5.【答案】

【解析】

解：设所求正边形边数为，
则，
解得．
故选：．
根据边形的内角和为得到，然后解方程即可．
本题考查根据多边形的内角和计算公式求多边形的边数，解答时要会根据公式进行正确运算、变形和数据处理．
 

6.【答案】

【解析】

解：、甲乙两组学生身高的平均数均为，方差分别为，，
，
乙组学生的身高较整齐，本选项说法错误，不符合题意；
B、了解某品牌灯泡的使用寿命用抽样调查的方法，本选项说法错误，不符合题意；
C、将油滴入水中，油会浮在水面上，属于必然事件，本选项说法错误，不符合题意；
D、在一个不透明的袋子中装有个红球，个白球，搅匀后从中随机摸出个球是红球，属于随机事件，本选项说法正确，符合题意；
故选：．
根据方差的性质、全面调查和抽样调查、随机事件判断即可．
本题考查的是方差、全面调查和抽样调查、随机事件，掌握它们的概念和性质是解题的关键．
 

7.【答案】

【解析】

解：设有人，物品的价格为元，
根据题意得：，
故选：．
根据“每人出钱，则剩余钱；如果每人出钱，则差钱”列出方程组即可．
本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组以及数学常识，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
 

8.【答案】

【解析】

【分析】
本题考查了圆周角定理，圆心角、弧、弦之间的关系等知识点，能根据定理求出是解此题的关键．
求出，根据圆周角的度数求出它所对的的度数，求出的度数，再求出答案即可．
【解答】
解：为中点，
，
，
，
，
圆周角，
对的的度数是，
的度数是，
对的圆周角的度数是，
故选：．  

9.【答案】

【解析】

解：是等边三角形，
，，
沿折叠落在边上的点上，
≌，
，，，
设，，，，
，，
，
，，
，，
，
，
∽，
，
即，
解得：，
即，
故选：．
根据折叠得出，，，设，，求出，证∽，进而利用相似三角形的性质解答即可．
本题考查了等边三角形性质，折叠性质，相似三角形的性质和判定，主要考查学生运用定理进行推理和计算的能力，题目综合性比较强，有一定的难度．
 

10.【答案】

【解析】

解：抛物线，
对称轴为直线，
点到抛物线对称轴的距离记为，满足，
，
，
，
把代入得：
，
，
，
，
，
故选：．
求得抛物线的对称轴，根据点到抛物线对称轴的距离记为，满足，即可得到，解得，把代入得：，得到，所以，解得即可．
本题考查了二次函数的性质，解决本题的关键是根据点到抛物线对称轴的距离记为，满足，得到．
 

11.【答案】

【解析】

解：，
故答案为：．
根据负整数指数幂的定义：为正整数求解即可．
本题考查了负整数指数幂的定义，解题时牢记定义是关键，此题基础性较强，易于掌握．
 

12.【答案】

【解析】

解：．
直接把公因式提出来即可．
本题主要考查提公因式法分解因式，准确找出公因式是解题的关键．
 

13.【答案】

【解析】

解：人排成一排，所有的站法有甲乙丙、甲丙乙、丙甲乙、丙乙甲、乙甲丙、乙丙甲、共计种，
其中甲乙相邻的只有种，
则甲、乙相邻的概率为．
故答案为：．
排成一排，所有的站法有共计种，其中甲乙相邻的只有种，由此能求出甲乙相邻的概率．
本题考查概率的求法，是基础题，解题时要注意列举法的合理运用
 

14.【答案】

【解析】

解：如图，点的坐标为，
故答案为：．

利用旋转变换的性质正确作出图形，可得结论．
本题考查坐标与图形变化旋转，解题的关键是正确作出图形，利用图象法解决问题即可．
 

15.【答案】

【解析】

解：设右下角顶点为点，取的中点，连接，，如图所示．
点为的中点，点为的中点，
，
．
在中，，，，
，
，
，
．
故答案为：．
设右下角顶点为点，取的中点，连接，，由点为的中点、点为的中点可得出，进而可得出，在中，由可得出，再利用余弦的定义即可求出的值，此题得解．
本题考查了解直角三角形、勾股定理逆定理、余弦的定义、中位线以及平行线的性质，构造出含有一个锐角等于的直角三角形是解题的关键．
 

16.【答案】

【解析】

解：设，则，，，
，，
四边形的面积

，

当时，四边形的面积最大，最大面积为．
故答案为：．
设，则，根据反比例函数图象上点的坐标特征得，，所以，，根据三角形面积公式和反比例函数系数的几何意义，利用四边形的面积得到四边形的面积，然后根据二次函数的最值问题求解．
本题考查了反比例函数系数的几何意义：在反比例函数图象中任取一点，过这一个点向轴和轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值在反比例函数的图象上任意一点象坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是，且保持不变．
 

17.【答案】

解：，
解得，
解得，
用数轴表示为：

所以不等式组的解集为．
 

【解析】

分别解两个不等式，然后确定不等式组的解集，最后利用数轴表示其解集．
本题考查了解一元一次不等式组和在数轴上表示不等式组的解集，能根据不等式的解集求出不等式组的解集是解此题的关键．
 

18.【答案】

解：


，
当时，原式．
 

【解析】

根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后将的值代入化简后的式子即可．
本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式除法和减法的运算法则．
 

19.【答案】

解：四边形是正方形，
，，
，
，
在与中
，
≌．
 

【解析】

根据正方形的性质得，，由等角的补角性质得，最后根据证明即可．
本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质，补角的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
 

20.【答案】

解：如图，即为所求作．

连接．
，，
的长．
 

【解析】

作线段的垂直平分线垂足为，以为圆心，为半径作即可．
利用弧长公式计算即可．
本题考查作图复杂作图，三角形的外接圆，弧长公式等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
 

21.【答案】

解：根据题意得，，
即，
解得：，，
答：该商店某日销售这种男士衬衫的利润为元，当日销售量为件或件；
设可获得的日利润为元，
根据题意得，，
，
答：可获得的最大日利润为元．
 

【解析】

根据“总利润每件的利润销售量”列方程即可得到结论；
设可获得的日利润为元，根据“总利润每件的利润销售量”列函数关系式，根据二次函数的性质即可得到结论．
本题考查了二次函数的应用，一元二次方程的应用，解题的关键是学会构建二次函数解决实际问题．
 

22.【答案】

【解析】

解：接受测评的学生共有人，扇形统计图中“优”部分所对应扇形的圆心角为，
等级为“良”的人数为人，
补全图形如下：

故答案为：，；

估计该校对安全知识达到“良”及“良”以上程度的人数为人；
画树状图得：

共有种等可能的结果，恰好抽到个女生的有种情况，
恰好抽到个女生的概率为．
根据等级为中的人数及其所占百分比可得总人数，用乘以“优”等级人数所占比例，根据四个等级人数之和等于总人数求出“良”的人数即可补全图形；
用总人数乘以“良”及“良”以上程度的人数所占比例即可；
画树状图列出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

23.【答案】

解：在正方形中，，
，
又平分，
，
，
，
，，点为的中点，
，
，
，
；
证明：，，
，
在和中
，
≌，
，
即点为的中点；
设，则，
由知，，
，，
，，，
，
∽，
，
，，
，
，
，，
．
 

【解析】

本题考查正方形的性质、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
根据，，可以得到、的长，然后根据正方形的性质，可以得到的长，再根据平行线的性质和角平分线的性质，可以得到的长，从而可以得到线段的长；
要证明点为边的中点，只要证明≌即可，然后根据题目中的条件，可以得到≌的条件，从而可以证明结论成立；
根据题意和三角形相似，可以得到和的比值，从而可以得到的值．
 

24.【答案】

解：如图，连接，

，
，
在中，，，，
，
；

如图，连接．

是直径，
，
，
，
，
，

∽，
，
，
相交弦定理，
．
的值为．
 

【解析】

在中，利用勾股定理即可解决问题；
由∽，推出，推出，又，推出，由此即可解决问题．
本题考查垂径定理、勾股定理、相似三角形的判定和性质、相交弦定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用转化的思想思考问题．
 

25.【答案】

解：抛物线过点，
，
又点也在该抛物线上，
，
；
当时，，
，，
当时，随的增大而增大；
同理：当时，随的增大而减小，
抛物线的对称轴为轴，开口向下，
，
抛物线与轴交于点，，为等腰直角三角形，
点，关于轴对称，
为等腰直角三角形，，
不妨设点在轴右侧，则点的坐标为，
点在抛物线上，且，，
，
，
抛物线的解析式为；
证法一：点是点关于点的对称点，
，
点的坐标为，
设点坐标为，则，
点坐标为，
设直线的表达式为，
则，
，
直线表达式为，
把代入，得，
解得，，
当时，；
当时，，
点坐标为，
设直线的表达式为，则，
，
直线的表达式为，
当时，，
这说明点在直线上，
，，三点在同一条直线上．
证法二：
点是点关于点的对称点，
，
点的坐标为，
设点坐标为，则，
点坐标为，
设直线的表达式为，则，
，
直线表达式为．
把代入，得，
解得，，
当时，；
当时，，
点坐标为，
设直线的表达式为，则，
，
直线的表达式为，
设直线的表达式为，则，
，
直线的表达式为，
直线，是同一条直线，即点，，三点在同一条直线上．
 

【解析】

将点，点代入抛物线即可求解；
由已知可得抛物线的对称轴为轴，开口向下，点，关于轴对称，不妨设点在轴右侧，则点的坐标为，由点在抛物线上，且，，所以，解得，则抛物线的解析式为；由点是点关于点的对称点，可求点，设点坐标为，则，则点坐标为，求出直线表达式为，把代入，得，，求出点，设直线的表达式为，则，则，直线的表达式为，当时，，这说明点在直线上，可证，，三点在同一条直线上．
本题考查二次函数的综合应用，熟练掌握二次函数的图象及性质，掌握利用直线解析式证明三点共线的方法是解题的关键．