初中数学人教版七年级下册第七章 平面直角坐标系综合与测试课时训练

第08讲 平面直角坐标系高频考点及2021中考真题链接（解析版）

第一部分 知识网络

第二部分  高频考点典例剖析及针对练习

高频考点1 探索确定平面上物体位置的方法

 考点解读：平面内确定一个点的位置常用的方法有有序数对和方位角加距离，不管使用哪种方法来确定位置，至少需要两个数据．

典例1 如图，点A表示2街与4大道的十字路口，点B表示4街与2大道的十字路口，如果用(2，4)→(2，3)→(3，3)→(4，3)→(4，2)表示A到B的途径，请你用同样的方法表示A到B的其他途径______________．

解：显然A到B的途径不惟一.如，除了用(2，4)→(2，3)→(3，3)→(4，3)→(4，2)表示A到B的途径，还可以用(2，4)→(3，4)→(3，3)→(4，3)→(4，2)表示A到B的途径，等等．

点睛：题目中明确要求表示A到B的其他途径，有些同学错解成B到A的其他途径.

 典例2 小华去杭州旅游，通过查看地图，他知道下面的信息：

（1）“雷峰塔”他现在所在地的北偏东30°的方向，距离此处3km的地方；

（2）“净慈寺”在他现在所在地的北偏西45°的方向，距离此处2.4km的地方；

（3）“双头桥”在他现在所在地的南偏东27°的方向，距离此处1.5km的地方．

根据这这些信息，请你帮助小明完成这张表示各处位置的简图．

解：如图7－2所示，其中A处表示雷峰塔，B处表示净慈寺，C处表示双头桥．

点睛：利用方向角＋距离表示物体位置时，选取的参照点不同，所得的方位角和距离也不同．

典例3 李明设计的广告模板草图如图所示（单位：米）．李明想通过电话征求陈伟的意见．假如你是李明，你将如何把这个图形告知陈伟呢？

思路引领：以左下角的点为坐标原点建立直角坐标系，则有坐标（0，0）（7，0）（7，3）（3，3）（0，5）（3，5）．

解：如图7－2－1－10，

在平面直角坐标系中顺次连接（0，0）（7，0）（7，3）（3，3）（0，5）（3，5）得到的几何图形．

题眼直击：用坐标表示几何图形．

点睛：建立平面直角坐标系，将关键点的坐标告诉陈伟就行了，选择的原点不同，建立的平面直角坐标系就不同，关键点的坐标也就不同．

针对训练1

1．如图，小明从点O出发，先向西走40米，再向南走30米到达点M，如果点M的位置用(－40，－30)表示，那么(10，20)表示的位置是________．

答案：点B  点拨：从点M的运动可知每格表示10米．

2．如图，如果所在的位置坐标为(－1,－2)，所在的位置坐标为(2,－2)，则所在位置坐标为         。

 答案：（－3，3） 点拨：由图看出，“炮”在“士”的水平距离左2处，垂直距离上5处，所以“炮”的横坐标是－1－2＝－3，纵坐标是－2+5＝3，即（－3，3）．

3．如图，正方形ABCD的边长为4，点A的坐标为（–1，1），AB平行于x轴，则点C的坐标为______

思路引领：因正方形ABCD的边长为4，点A的坐标为（–1，1），易得点B、D两点的坐标为（3，1）、（－1，5），又因为CD平行x轴，BC平行于y轴，则点C的坐标为（3，5）．

答案：（3，5）

高频考点2 平面直角坐标系与点的坐标

考点解读：平面直角坐标系是学习一次函数、反比例函数和二次函数的基础，这部分内容也是中考考查的重要内容．

 平面直角坐标系由两条互相垂直的数轴组成，这两条数轴将坐标平面分成四个象限，象限内点的坐标和坐标轴上的点的坐标有如下特征：

 平面直角坐标系中一些特殊点的坐标特征：

　 ①第一、三象限两坐标轴夹角平分线上的点的横、纵坐标相等，一般记作（a，a）；

　 ②第二、四象限两坐标轴夹角平分线上的点的横、纵坐标互为相反数，一般记作（a，－a）．

③与坐标轴平行的直线上的点的坐标特点：x轴平行的直线上各点的纵坐标都相同；与y轴平行的直线上各点的横坐标都相同．

典例4 若点M（1，）在第四象限内，则的取值范围是             ．

思路引领：根据题意，得2a－1＜0，解得．

答案：．

点睛：因为第四象限内点的坐标特征是x＞0，y＜0，由此可得到关于a的不等式（组），解不等式（组）可得到a的取值范围.

典例5 点A（m＋3，m＋1）在x轴上，则A点的坐标为（   ）

A （0，－2）     B、（2，0）   C、（4，0）   D、（0，－4）

思路引领：由点A在x轴上可知y＝0，即m＋1＝0，解得m＝ －1，所以m＋3＝2，所以A点坐标为（2，0）．

答案：B．

点睛：在根据点所在象限或坐标轴确定字母取值时，先根据坐标系内点的坐标特点确定，坐标的正负，然后列出不等式（或方程）解答，同时也可利用这一特点由点的坐标确定点所在的象限．

针对训练2

4．点A(2，3)到x轴的距离为____；点B(－4，0)到y轴的距离为____；点C到x轴的距离为1，到y轴的距离为3，且在第三象限，则C点坐标是________.
答案：3；4；（﹣3，﹣1）

5．已知A(1，2)，B(x，y)，AB∥y轴，且B到x轴距离为4，则点B的坐标是___________.
答案：（1,4）或（1，-4）

6．直角坐标系xOy中，在y轴上有一点P，且OP＝5，则点P的坐标为________________.

答案：（0,5）或（0，-5）

7．(1)已知点A(－3＋a，2a＋9)在第二象限，且到x轴的距离为5，则点a的值是____；
(2)点P(x，y)在第四象限，且|x|＝5，|y|＝4，则P点的坐标是________；
(3)点P(a，a2－9)在x轴负半轴上，则P点的坐标是_______；
(4)已知点A(m，－2)，点B(3，m－1)，且直线AB∥x轴，则m的值为____.

答案：（1）－2 （2）（5，﹣4） （3）（﹣3，0） （4）﹣1

高频考点3 图形的变换与点的坐标变化

考点解读：本章主要探索了图形的平移与坐标变化之间的规律，另外课本习题里面对图形的翻折、轴对称变换前后坐标变化规律也进行了一些简单的拓展，这部分内容是中考考查的重要内容之一．

典例6在平面直角坐标系中，将点A（1，2）的横坐标乘以－1，纵坐标不变，得到点A′，则点A与点A′的关系是

 A．关于x轴对称             B．关于y轴对称  

 C．关于原点对称             D．将点A向x轴负方向平移一个单位得点A´

答案：B

点睛：横坐标乘以－1后，即横坐标变为原来的相反数，而纵坐标不变．可以在坐标系描出点A和A′，观察图形即可得到正确答案．

典例7 已知△ABC在平面直角坐标系中的位置如图7－3所示，将△ABC向右平移6个单位，则平移后A点的坐标是（    ）

 A．（－2，1） B．（2，1）  C．（2，－1）    D．（－2，－1）

 图7－3

答案：B

点睛：△ABC经过向右平移6个单位长度，则点A（－4，1）同样向右平移6个单位长度，可知点A的横坐标加6，纵坐标不变，根据平移后A点的坐标是（－4＋6，1）即（2，1）．

针对训练3

8．如图，三角形ABC经过一定的变换得到三角形 A′B′C′，如果三角形ABC上点P的坐标为(a，b)，那么点P变换后的对应点P′的坐标为___________.

答案：（a＋5,b+4）

9．将点P(－3，y)向下平移3个单位，再向左平移2个单位得到点Q(x，－1)，则xy＝_____.
答案：﹣10

10．如图，点A，B的坐标为(－2，0)，(0，－1)，若将线段AB平移至CD，则x＋y的值为____.

答案：2

高频考点4 平移作图及求坐标系中的几何图形面积

典例8  (1)写出三角形ABC的各个顶点的坐标；

(2)试求出三角形ABC的面积；

(3)将三角形先向左平移5个单位长度，再向下平移4个单位长度，画出平移后的图形.

解：(1)A(0，2)，B(4，3)，C(3，0)；
(2)S=4×3-×2×3-×1×4-×1×3=5.5；
(3)如图所示△A′B′C′为所求.

点睛：在坐标系中求图形的面积应从两方面去把握：

(1)  通常用割或补的方法将要求图形转化为一些特殊的图形，去间接计算面积.

(2)  需要将已知点的坐标转化为线段的长度，以满足求面积的需要.

典例9 如图，已知点A(－2，1)，B(1，－3)，C(3，4)，求△ABC的面积.

解：S△ABC=S矩形CDEF－S△ACD－S△ABE－S△BCF=CD·DE－AD·CD－AE·BE－BF·CF=5×7－×3×5－×4×3－×2×7=14.5

点睛：△ABC的每一条边都与坐标轴不平行，因此以△ABC的任意一边为底边都不容易求△ABC的面积.为此，构造矩形CDEF(C为矩形的顶点，A、B分别在矩形的两边上，矩形的各边与左边轴平行)，D、E、F的坐标分别为D（－2，4）、E（－2，－3）、F（3，－3），然后用矩形的面积减去四个三角形的面积即可求得△ABC的面积．

针对训练4

11.已知A(1，4)，B(－4，0)，C(2，0)，则△ABC的面积是____.

答案：12

12.如图，直角三角形ABC的直角边BC＝AC，且B(3，2)，C(3，－2)，求点A的坐标及三角形ABC的面积.

解：∵ B(3，2)，C(3，-2)
∴ BC∥y轴，且BC=2-(-2)=4
∴ AC=BC=4   ∴ 三角形ABC面积是×4×4=8
∵ AC⊥BC   ∴ AC⊥y轴
∴ 点A的横坐标为-(4-3)=-1，纵坐标为-2
∴ 点A坐标为(-1，-2)

13.如图，已知点A(0，3)，B(2，1)，C(3，4). 在x轴上是否存在点P，使△OCP的面积为△ABC面积的1.5倍？说明理由.

解：作CD⊥y轴，BE⊥y轴，CM⊥x轴.
∵ S△ABC=S梯形EBCD-S△AEB-S△ADC  =×(3+2)×3-×2×2-×1×3=4
∴ S△OCP=1.5S△ABC=6，即OP×CM=6
又∵ CM=4，∴ OP=3
∴ 点P的坐标为(3，0)或(-3，0)

第三部分  2021中考真题链接

一、选择题

1．(3分)(2021年湖北省荆州市中考数学试卷；)（2021荆州）若点P（a+1，2﹣2a）关于x轴的对称点在第四象限，则a的取值范围在数轴上表示为（　　）

A．    B． 

C． D．

答案：C

解析：本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式组的解集的应用，能根据题意得出不等式组是解此题的关键．由P点关于x轴的对称点在第四象限，得出不等式组，求出不等式组的解集，即可得出选项．

解：∵点P（a+1，2﹣2a）关于x轴的对称点在第四象限，

∴点P在第一象限，

∴，解得：﹣1＜a＜1，

在数轴上表示为：，故选：C．

2．(3分)(2021年海南中考数学试卷；)(2021·海南) 如图，点A、B、C都在方格纸的格点上，若点A的坐标为（0，2），点B的坐标为（2，0），则点C的坐标是（　　）

A．（2，2） B．（1，2） C．（1，1） D．（2，1）

答案：D

解析：本题考查了直角坐标系、点的坐标，解题的关键是确定坐标系的原点的位置．观察方格纸中点C的位置，不难发现其坐标应为（2，1），故应选择D.

3．（2021•凉山州）在平面直角坐标系中，将线段AB平移后得到线段A'B'，点A（2，1）的对应点A'的坐标为（﹣2，﹣3），则点B（﹣2，3）的对应点B'的坐标为（　　）

A．（6，1） B．（3，7） C．（﹣6，﹣1） D．（2，﹣1）

答案：C

解析：本题考查了坐标与图形的平移，先确定出平移规律是解题的关键．∵A（2，1）平移后得到点A′的坐标为（﹣2，﹣3），∴向下平移了4个单位，向左平移了4个单位，∴B（﹣2，3）的对应点B'的坐标为（﹣2﹣4，3﹣4），即（﹣6，﹣1）．故选：C．

4．(3分)(2021年成都中考数学试卷；)（2021•成都）在平面直角坐标系xOy中，点M（﹣4，2）关于x轴对称的点的坐标是（　　）

A．（﹣4，2） B．（4，2） C．（﹣4，﹣2） D．（4，﹣2）

答案：C

解析：本题考查了关于轴对称点的性质，点M（﹣4，2）关于x轴对称的点的坐标是（﹣4，﹣2）．因此本题选C．

二、填空题

5．(3分)(2021年湖北省宜昌市中考数学试卷；)（2021宜昌）如图，在平面直角坐标系中，将点A（﹣1，2）向右平移2个单位长度得到点B，则点B关于x轴的对称点C的坐标是       　．

答案：（1，﹣2）

解析：本题考查了点的平移以及关于x轴对称点的性质，正确掌握横纵坐标的符号关系是解题关键．直接利用平移的性质得出B点坐标，再利用关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数，即可得出答案．

解：∵将点A（﹣1，2）向右平移2个单位长度得到点B，

∴B（1，2），则点B关于x轴的对称点C的坐标是（1，﹣2）．

6．(2分)(2021年青海中考数学试卷；)(2021·青海) 已知点A（2m﹣5，6﹣2m）在第四象限，则m的取值范围是       ．

答案： m＞3

解析：本题考查了坐标系内点的坐标符号特点及解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．∵A（2m﹣5，6﹣2m）在第四象限，∴，解得m＞3，，因此本题答案为m＞3．

分值：2

7．(3分)(2021年广西柳州市中考数学试卷；)（2021·广西柳州）在x轴，y轴上分别截取OA＝OB，再分别以点A，B为圆心，以大于AB长为半径画弧，两弧交于点P．若点P的坐标为（a，2），则a的值是__________．

答案：2或－2

解析：本题考查了角平分线的性质及平面直角坐标系的相关知识，由题意可知点P在平面直角坐标系中的某个象限的角平分线上，由角平分线上的点到角的两边距离相等，知点P的横、纵坐标的绝对值相等，从而有，解得a＝±2．故答案为2或－2．