初中数学第八章 二元一次方程组综合与测试习题

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第13讲 含参二元一次方程（组）的字母系数求值策略（解析版）
第一部分 专题典例+针对训练
类型一 利用解相同求字母系数的值
典例1 若关于x、y的方程组的解，也是方程3x＋2y＝17的解，则m为（ ）．
A．3 B．1 C．－1 D．2
思路引领一：把m看作已知数，用含m的代数式表示x、y，然后把x、y的值代入3x＋2y＝17中，得到一个关于m的一元一次方程，解这个一元一次方程即可求出m的值；
解法一：
①－②，得：3y＝－6m，即y＝－2m
把y＝－2m代入①，得：x－4m＝3m，解得：x＝7m．
把x＝7m、y＝－2m代入3x＋2y＝17，得：
21m－4m＝17，解得：m＝1．
思路引领二：由前面方程组消去m，得到一个关于x、y的二元一次方程，然后这个二元一次方程和后面的方程组成一个方程组，解出x、y的值，然后代入求出m的值．
解法二：
①×3－②，得：2x＋7y＝0
∴，解这个方程组，得：
把代入①，得：7－4＝3m，解得：m＝1．
点睛：如果把m看作未知数，则共有三个未知数：x、y、m，共有三个方程，我们应该设法消去一个未知数，将三元一次方程组转化为二元一次方程组后再解决问题．
典例2（2021春•饶平县校级期末）已知关于x、y的方程组3x−y=54ax+5by=−26与2x+3y=−4ax−by=8有相同的解，求a、b的值．
思路引领：根据已知条件，知x，y的值适合四个方程，故可以联立解方程组3x−y=52x+3y=−4，求得x，y的值后，再联立解方程组4ax+5by=−26ax−by=8，从而求解．
解：根据题意得3x−y=52x+3y=−4，
解得x=1y=−2，
把x=1y=−2代入含有a，b的两个方程得4a−10b=−26a+2b=8，
解得a=149b=299．
点睛：考查了二元一次方程组的解，此题首先联立方程组求得x，y的值，再进一步得到关于a，b的方程组计算求解．
针对训练1
1．（2021秋•甘州区校级期末）已知方程组2x+5y=−6ax−by=−4与方程组3x−5y=16bx+ay=−8的解相同．求（2a+b）2004的值．
思路引领：首先把方程组重新组合成为2x+5y=−6①3x−5y=16②，解出方程组的解，代入a+b=−2−a+b=−4，解出a、b再代入（2a+b）2004求值．
解：因为两个方程组的解相同，所以解方程组可化为2x+5y=−6①3x−5y=16②，
①+②得5x＝10，
解得x＝2，
把x＝2代入①得y＝﹣2，
∴此方程组的解x=2y=−2；
代入a+b=−2−a+b=−4，
解得a=1b=−3；
∴原式＝（2×1﹣3）2004＝1．
点睛：本题主要考查了二元一次方程组的解，熟练掌握解二元一次方程组的方法加减消元法，把方程组重新组合是解题关键．
类型二 利用解出错求字母系数的值
典例3 甲、乙两位同学在解方程组时，甲看错了第一个方程解得，乙看错了第二个方程解得，求的值
思路引领： 甲看错了第一个方程，说明第二个方程没有错，从而得到，乙看错了第二个方程，那么第一个方程没有看错，从而得到；将它们组成二元一次方程组求出的值
解 根据题意得
解这个方程组得
题眼直击：二元一次方程组解的意义，解二元一次方程组．
点睛：本题要一定弄清楚题意，看错第一个方程的意思是“第二个方程的解是”；看错第二个方程的意思是“第一个方程有一个解是”
针对训练2
2．（2018春•靖江市校级期中）在解方程组ax+by=2cx−7y=8时，哥哥正确地解得x=3y=−2.，弟弟因把c写错而解得x=−2y=2.．求：
（1）a+b+c的值．
（2）弟弟把c写错成了什么数？
思路引领：（1）把两个解代入方程组得出三个方程，组成方程组，求出方程组的解，代入即可求出答案；
（2）把弟弟因把c写错而解得x=−2y=2.代入cx﹣7y＝8，得到关于c的方程，解方程即可求解．
解：（1）∵哥哥正确地解得x=3y=−2.，弟弟因把c写错而解得x=−2y=2.，
∴代入得：3a﹣2b＝2，3c+14＝8，﹣2a+2b＝2，
即3a−2b=2①3c+14=8②−2a+2b=2③，
解方程②得：c＝﹣2，
①+③得：a＝4，
把a＝4代入①得：12﹣2b＝2，
b＝5，
∴a+b+c＝4+5+（﹣2）＝7．
（2）∵弟弟因把c写错而解得x=−2y=2.，
∴﹣2c﹣7×2＝8，
解得c＝﹣11．
故弟弟把c写错成了﹣11．
点睛：本题考查了二元一次方程组得解，关键是得出关于a，b，c的方程组．
类型三 利用解满足的条件求字母系数的值
典例4 k为何值时，方程组中x与y互为相反数，并求出方程组的解．
思路引领： 根据“x与y互为相反数”将y都换成x，这样就把方程组转化成关于x、k的二元一次方程组，从而求出x、k的值，将x、k的值代入方程组任一方程中，求出y的值
解 因为x与y互为相反数，所以
将代入方程组中得

解这个方程组得
将代入方程中
得
所以二元一次方程组的解
点睛：要充分运用题目中的条件，不能总想着先求方程组，含有参数k的方程的解法是比较复杂的，我们尽量应用“x与y互为相反数”的条件将题目简化.
针对训练3
3．（2017春•湖里区校级月考）已知关于x、y的方程组x+y=m+1x−y=3m−1．若方程组的解满足3x﹣4y＝1，求m的值；
思路引领：由方程组解出x、y，再代入3x﹣4y＝1即可解决问题．
解：（1）由方程组x+y=m+1x−y=3m−1，解得x=2my=1−m
∵3x﹣4y＝1，
∴3×2m﹣4（1﹣m）＝1，解得m＝0.5；
点睛：本题考查解二元一次方程组、解一元一次方程，熟练掌握运算法则和求方程组的解是本题的关键．
类型四 利用解的个数求字母系数的值或取值范围
典例5 确定a、b的值使二元一次方程组4x+y=5ax+2y=b．
（1）有无数个解；
（2）无解；
（3）有唯一解．
思路引领：（1）当系数满足4a=12=5b时，方程组有无数个解，从而确定a，b的值；
（2）当系数满足4a=12≠5b时，方程组无解，从而确定a，b的值；
（3）当系数4a≠12时，方程组有唯一解，从而确定a，b的值．
解：（1）∵系数满足4a=12=5b时，方程组有无数个解，
∴a＝8，b＝10．
（2）∵系数满足4a=12≠5b时，方程组无解，
∴a＝8，b≠10．
（3）∵系数4a≠12时，方程组有唯一解，
∴a≠8，b为任何实数．
点睛：此题考查了二元一次方程组的解的存在的三种情形，从系数的关系上能够看到方程组解的个数．
针对训练4
4．（2018春•秦淮区期末）二元一次方程组有可能无解．例如方程组x+2y=1①2x+4y=3②无解，原因是：将①×2得2x+4y＝2，它与②式存在矛盾，导致原方程组无解．若关于x、y的方程组x+ay=b2x+3y=4无解，则a、b须满足的条件是　 ．
思路引领：①×2得2x+2ay＝2b，根据方程组无解得出2a＝3且2b≠4，解之可得．
解：x+ay=b①2x+3y=4②，
①×2，得：2x+2ay＝2b，
由题意知2a＝3且2b≠4，
解得：a=32且b≠2，
故答案为：a=32且b≠2．
点睛：本题主要考查解二元一次方程组，解题的关键是理解并掌握方程组无解的情况．
5．关于x，y的方程组x+ay+1=0bx−2y+1=0有无数组解，则a，b的值为　　．
思路引领：由方程组有无数组解，得到各系数对应相等，求出a与b的值即可．
解：∵关于x，y的方程组x+ay+1=0bx−2y+1=0有无数组解，
∴a＝﹣2，b＝1．
故答案为：﹣2，1
点睛：此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值．
类型五 利用整数解求字母系数的值
典例6 m为正整数，已知二元一次方程组mx+2y=103x−2y=0有整数解，求m的值．
思路引领：利用加减消元法易得x、y的解，由x、y均为整数可解得m的值．
解：关于x、y的方程组：mx+2y=10①3x−2y=0②，
①+②得：（3+m）x＝10，即x=103+m③，
把③代入②得：y=153+m④，
∵方程的解x、y均为正整数，
∴m+3是大于3的整数
∴3+m既能整除10也能整除15，即3+m＝5，解得m＝2．
故m的值为2．
点睛：本题考查了二元一次方程组的解法，涉及到因式分解相关知识点，解二元一次方程组有加减法和代入法两种，一般选用加减法解二元一次方程组较简单．
针对训练5
6．（2019春•西湖区校级月考）若关于x，y的方程组x−y=2mx+y=6有非负数整数解，求正整数m．
思路引领：根据解二元一次方程求得x、y的非负整数解，然后将x、y的值代入方程组的第二个方程中求解即可．
解：解方程组x−y=2mx+y=6得，x=8m+1y=8m+1−2，
∵关于x，y的方程组x−y=2mx+y=6有非负数整数解，
∴m+1＝4或2或1，
∴m＝3或1或0（舍去），
答：正整数m为1、3．
点睛：本题考查了解二元一次方程，解题关键是熟练进行二元一次方程的非负整数解的求法．
第二部分 专题提优训练
1．（2021春•漳平市月考）已知x=3y=−2是方程组ax+by=3bx+ay=−7的解，求代数式（a+b）（a﹣b）的值．
思路引领：把x与y的值代入方程组求出a与b的值，把a+b＝﹣4，a﹣b＝2代入原式计算即可求出值．
解：把x=3y=−2代入方程组得：3a−2b=3①3b−2a=−7②，
①+②得：a+b＝﹣4，
①﹣②得：5a﹣5b＝10，即a﹣b＝2，
则（a+b）（a﹣b）＝（﹣4）×2＝﹣8．
点睛：此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值．
2．（2021秋•高陵区月考）已知关于x，y的方程组3x+5y=3a−x−3y=12，若该方程组的解x，y的值互为相反数，求a的值和方程组的解．
思路引领：由x、y互为相反数得x＝﹣y，即用y表示x，达到消元的效果，代入方程组方程②即求出y的值，再代入①求a的值．
解：∵x、y的值互为相反数
∴x＝﹣y，代入方程组得：
−3y+5y=3a①y−3y=12②，
解②得：﹣2y＝12，
∴y＝﹣6，
∴x＝6，
把y＝﹣6代入①得：﹣3×（﹣6）+5×（﹣6）＝3a，
解得：a＝﹣4，
∴方程组的解为x=6y=−6．
点睛：本题考查了解二元一次方程组的方法，要熟练掌握，注意代入消元法的应用．
3．（2019春•海阳市期中）若方程组2x−y3−2y=62(2x+y)=1−32y的解满足方程2ax﹣3by＝26．求正整数a，b的值
思路引领：求出方程组的解，代入已知方程计算即可求出a与b的值．
解：方程组整理得：2x−7y=18①8x+7y=2②，
①+②得：10x＝20，
解得：x＝2，
把x＝2代入①得：y＝﹣2，
把x=2y=−2代入方程得：2a+3b＝13，
解得：a=13−3b2，
当b＝1时，a＝5；b＝3时，a＝2．
点睛：此题考查了二元一次方程组的解，以及二元一次方程的解，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
4．（2019春•冠县期中）当m取什么整数时，关于x，y的二元一次方程组2x−my=6①x−3y=0②的解是正整数？
思路引领：由第二个方程得到x＝3y，然后利用代入消元法求出y，再根据方程组的解是正整数求出m的值即可．
解：2x−my=6①x−3y=0②
由②得，x＝3y③，
③代入①得，6y﹣my＝6，
∴y=66−m，
∵方程组的解是正整数，
∴6﹣m＝1或6﹣m＝6或6﹣m＝2或6﹣m＝3，
解得m＝5或m＝0或m＝4或m＝3．
故m的值为：5或0或4或3时，方程组的解是正整数．
点睛：本题考查了二元一次方程组的解，用m表示出y，然后对6准确分解因数是解题的关键．
5．（2020秋•富川县期末）若关于x、y的二元一次方程组x+y=5k①x−y=9k②的解也是二元一次方程4x+5y＝36的解，求k的值．
思路引领：首先解关于x的方程组，求得x，y的值，然后代入方程4x+5y＝36，即可得到一个关于k的方程，从而求解．
解：①+②得：2x＝14k，解得：x＝7k．
将x＝7k代入①得：7k+y＝5k．
解得：y＝﹣2k．
∴方程组的解为x=7ky=−2k，
将x=7ky=−2k代入4x+5y＝36得：4×7k+5×（﹣2k）＝36，
解得：k＝2，
故k的值是2．
点睛：本题主要考查解二元一次方程组、二元一次方程的解，熟练掌握二元一次方程组的解法、二元一次方程的解的定义是解决本题的关键．
6．（2021秋•长丰县月考）已知关于x，y的二元一次方程组x+2y=a2x−y=1．
（1）当方程组的解为x=1y=1时，求a的值．
（2）当a＝﹣2时，求方程组的解．
（3）小冉同学模仿第（1）问，提出一个新解法：将x=−2y=−2代入方程x+2y＝a中，即可求出a的值．小冉提出的解法对吗？若对，请完成解答；若不对，请说明理由．
思路引领：（1）将x=1y=1代入方程组x+2y=a2x−y=1即可求a的值；
（2）用加减消元法求方程组的解即可；
（3）x=−2y=−2不是方程2x﹣y＝1的解，因此x=−2y=−2不是方程组的解．
解：（1）∵x=1y=1是方程组x+2y=a2x−y=1的解，
∴1+2×1＝a，
∴a＝3；
（2）∵a＝﹣2，
∴x+2y=−2①2x−y=1②，
②×2得，4x﹣2y＝2③，
①+③得，5x＝0，
∴x＝0，
将x＝0代入②得，y＝﹣1，
∴方程组的解为x=0y=−1；
（3）不正确，理由如下：
将x=−2y=−2代入方程2x﹣y＝1，
可得2×（﹣2）﹣（﹣2）＝﹣2≠1，
∴x=−2y=−2不是方程组的解，
∴解法不正确．
点睛：本题考查二元一次方程组的解，熟练掌握二元一次方程组的解与二元一次方程组的关系，会用加减消元法解二元一次方程组是解题的关键．
7．（2021秋•高新区期末）若方程组4x+3y=22①mx+(m−3)y=3②的解满足x＝2y，求m的值．
思路引领：先把x＝2y代入第一个方程求出y＝2，然后把x＝4，y＝2代入第二个方程即可求出m的值．
解：4x+3y=22①mx+(m−3)y=3②，
把x＝2y代入①得11y＝22，解得y＝2，
所以x＝4．
把x＝4，y＝2代入②得4m+2（m﹣3）＝3，
解得m＝1.5．
点睛：本题考查了二元一次方程组的解：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解．
8．（2021春•卧龙区校级月考）在解二元一次方程组ax+by=17cx−y=5时，甲同学因看错了b的符号，从而求得解为x=4y=3，乙同学因看漏了c，从而求得解为x=3y=2，求a+b+c的值．
思路引领：把方程组的两组解分别代入原方程组，把所得到的等式联立组成三元一次方程组，求出a、b、c的数值，问题得以解决．
解：由题意得方程组4a−3b=174c−3=53a+2b=17，
解得a=5b=1c=2，
则a+b+c＝8．
故答案为：8．
点睛：题主要考查二元一次方程组的解的问题，和解三元一次方程组．
9．（2021春•卧龙区校级月考）已知方程组2x+5y=−6ax−by=−4的解和方程组bx+ay=−83x−5y=16的解相同，求（2a+b）2021的值．
思路引领：联立两方程组中不含a与b的方程组成新的方程组，求出新方程组的解得到x与y的值，代入剩下的方程求出a与b的值，即可求出原式的值．
解：联立得：2x+5y=−63x−5y=16，
①+②得：5x＝10，即x＝2，
把x＝2代入①得：y＝﹣2，
2a+2b=−42b−2a=−8，
解得：a＝1，b＝﹣3，
则原式＝﹣1．
点睛：此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值．
10．（2021春•岳麓区校级月考）已知关于x，y的方程组x+2y=5x−2y+mx+9=0
（1）请写出方程x+2y＝5的所有正整数解；
（2）若方程组的解满足x+y＝0，求m的值；
（3）m≠﹣3时，方程x﹣2y+mx+9＝0总有一个公共解，你能求出这个方程的公共解吗？
（4）如果方程组有整数解，求整数m的值．
思路引领：（1）把y看做已知数表示出y，进而确定出方程的正整数解即可；
（2）已知方程与方程组第一个方程联立求出x与y的值，进而求出m的值；
（3）方程变形后，确定出公共解即可；
（4）根据方程组有整数解，确定出整数m的值即可．
解：（1）方程x+2y＝5，
解得：x＝﹣2y+5，
当y＝1时，x＝3；y＝2，x＝1；
（2）联立得：x+2y=5x+y=0，
解得：x=−5y=5，
代入得：﹣5﹣10﹣5m+9＝0，
解得：m=−65；
（3）∵x﹣2y+mx+9＝0，即（1+m）x﹣2y+9＝0总有一个解，
∴方程的解与m无关，
∴mx＝0，x﹣2y+9＝0，
解得：x＝0，y=92，
则方程的公共解为x=0y=92；
（4）x+2y=5①x−2y+mx+9=0②，
①+②得：（m+2）x＝﹣4，
解得：x=−4m+2，
把x=−4m+2代入①得：y=5m+142m+4，
当m+2＝2，1，﹣2，﹣1，4，﹣4时，x为整数，此时m＝0．﹣1，﹣3，﹣4，2，﹣6，
当m＝﹣1时，y=92，不符合题意；
当m＝﹣3时，y=12，不符合题意；
当m＝2时，y＝3，符合题意；
当m＝﹣6时，y＝2，符合题意，
当m＝0时，y=72，不符合题意；
当m＝﹣4时，y=32，不符合题意，
综上，整数m的值为﹣6或2．
点睛：此题考查了二元一次方程组的解，二元一次方程的解，以及解二元一次方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
11．已知关于x，y的方程组2x+3y=6ax+6y=12，求当a为何值时，方程组有无数多组解？当a为何值时，只有一组解？
思路引领：用加减消元法消去y得到关于x的一次方程，根据方程解的情况，确定方程组解的情况．
解：2x+3y=6①ax+6y=12②，
②﹣①×2，得（a﹣4）x＝0．
当a＝4时，∵x有无数解．
∴方程组有无数多组解；
当a≠4时，∵x有唯一的解，
∴方程组只有一组解．
点睛：本题考查了二元一次方程组的解，掌握一元一次方程解的情况是解决本题的关键．
12．已知关于x的方程（3m+2n﹣8）x＝6m﹣7n﹣5有无数个解，求m、n的值．
思路引领：把方程整理成关于x的一般式方程，再根据方程有无数个解，未知项系数等于0，常数项等于0列式求解即可．
解：由原方程，得
（3m+2n﹣8）x﹣6m+7n+5＝0．
∵关于x的方程（3m+2n﹣8）x＝6m﹣7n﹣5有无数个解，
∴3m+2n−8=06m−7n−5=0，
解得，m=2n=1，即m、n的值分别是2和1．
点睛：本题考查了一元一次方程的解，根据方程有无数个解的定义，方程的未知项的系数与常数都等于0列出方程是解题的关键．
13．在关于x、y的方程组2x−3y+1=06x−my+3=0中，当m为何值时，这个方程组有无数个解．
思路引领：只有当两方程相等时，才有无数解，根据这一条件即可求得．
解：当两方程相等时，方程组有无数个解，
∴方程一乘以3得：6x﹣9y+3＝0，
要使两方程相等，则m＝9．
∴当m＝9时，这个方程组有无数个解．