第21讲代数新定义专题-2021-2022学年七年级数学下册常考点（数学思想+解题技巧+专项突破+精准提升）

这是一份第21讲代数新定义专题-2021-2022学年七年级数学下册常考点（数学思想+解题技巧+专项突破+精准提升），文件包含第21讲人教版七年级数学下代数新定义专题解析版-2021-2022学年七年级数学下册常考点数学思想+解题技巧+专项突破+精准提升docx、第21讲人教版七年级数学下代数新定义专题原卷版-2021-2022学年七年级数学下册常考点数学思想+解题技巧+专项突破+精准提升docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共31页， 欢迎下载使用。

第21讲 专题 人教版七年级数学下代数新定义（解析版）
专题诠释
“新定义”题型问题成为近年来中考的热点。所谓“新定义”题型，就是在问题中定义了学生还没有学过的一些新概念、新符号、新运算，学生须在已有的知识基础上读懂题意，理解新定义，再根据新定义进行运算，推理解决问题。“新定义”题型能有效地考查学生的自学能力、思维能力、运用新知识解决问题的能力。
“新定义”题型对于一些习惯于听讲然后再练的学生，一旦碰到没有讲过的“新”题型，就蒙了，傻眼了，思维短路了。
解决新定义题型关键是把握两点：意识根据问题原型的特点寻求问题解决的方法，二是根据变化的问题情境，认真思考探究，合理进行思想方法的迁移。
第一部分 典例剖析+针对训练
类型一 “新运算”型专题
典例1请你阅读如图框内老师的新定义运算规定，然后解答下列各小题．
（1）若x⊕y＝1，x⊕2y＝﹣2，分别求出x和y的值；
（2）若x满足x⊕2≤0，且3x⊕（﹣8）＞0，求x的取值范围．

思路引领：（1）根据定义新运算得到二元一次方程组，再解方程组即可求解；
（2）根据定义新运算得到一元一次不等式组，再解不等式组即可求解．
解：（1）根据题意得4x−3y=14x−3×2y=−2，
解得x=1y=1；
（2）根据题意得4x−3×2≤04×3x−3×(−8)＞0，
解得﹣2＜x≤32．
故x的取值范围是﹣2＜x≤32．
点睛：此题考查解一元一次不等式组，二元一次方程组，熟练掌握解一元一次不等式组，二元一次方程组的方法是解本题的关键．
针对训练1
1．已知一种新运算定义为：a⊙b＝a•b﹣|a﹣2|，则不等式组(−2)⊙x＞2x⊙12≥−8的非正整数解有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
思路引领：根据“⊗”的运算方法对各小题整理，再根据一元一次不等式组的解法求解即可．
解：根据新运算定义得−2x−4＞2①12x−|x−2|≥−8②，
解不等式①得，x＜﹣3，
解不等式②得，2＜x≤20或﹣4≤x≤2，
所以，不等式组的解集是﹣4≤x＜﹣3，
不等式组(−2)⊙x＞2x⊙12≥−8的非正整数解为﹣4一个，
故选：A．
点睛：本题考查了解一元一次不等式组，读懂题目信息，理解“⊗”的运算方法是解题的关键．
2.对于任意实数m，n，定义一种运算m※n＝mn－m－n＋3，例如：3※5＝3×5－3－5＋3.请根据上述定义解决问题：若a＜2※x＜7，且关于x的解集中有两个整数解，则a的取值范围是 .
答案：4≤a＜5
3.在实数范围内定义一种新运算“⊕”，其运算规则为：a⊕b＝2a＋3b.如：1⊕5＝2×1＋3×5＝17，则不等式x⊕4＜2的解集为 .
答案：x＜－5
类型二 “新概念”型
典例2 新定义，若关于x，y的二元一次方程组①a1x+b1y=c1a2x+b2y=c2的解是x=x0y=y0，关于x，y的二元一次方程组②e1x+f1y=d1e2x+f2y=d2的解是x=x1y=y1，且满足|x1−x0x0|≤0.1，|y1−y0y0|≤0.1，则称方程组②的解是方程组①的模糊解，关于x，y的二元一次方程组x+y=2m+22x−y=10m+4的解是方程组x+y=10x+3y=−10的模糊解，则m的取值范围是 　 　．
思路引领：先求出两个方程组的解，再根据“模糊解”的定义列出不等式组，解得m的取值范围便可．
解：解方程组x+y=2m+22x−y=10m+4得，x=4m+2y=−2m，
解方程组x+y=10x+3y=−10得，x=20y=−10，
∵二元一次方程组x+y=2m+22x−y=10m+4的解是方程组x+y=10x+3y=−10的模糊解，
∴|4m+2−2020|≤0.1，|−2m+1010|≤0.1，
解得4≤m≤5，4.5≤m≤5.5，
所以4.5≤m≤5．
故答案为4.5≤m≤5．
点睛：本题考查了新定义，二元一次方程组的解，解绝对值不等式，考查了学生的阅读理解能力、知识的迁移能力以及计算能力，难度适中．正确理解“模糊解”的定义是解题的关键．
针对训练2
4.对于平面直角坐标系xOy中的点P(a，b)，若点P′的坐标为(a＋kb，ka＋b)(其中k为常数，且k≠0)，则称点P′为点P的“k属派生点”.例如：P(1，4)的“2属派生点”为P′(1＋2×4，2×1＋4)，即P′(9，6).若点P在x轴的正半轴上，点P的“k属派生点”为P′点，且线段PP′的长度为线段OP长度的3倍，则k的值 .
答案：±3
5．喜欢探索数学知识的小明遇到一个新的定义：对于三个互不相等的正整数，若其中任意两个数乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“老根数”，其结果中最小的整数称为“最小算术平方根”，最大的整数称为“最大算术平方根”．例如：1，4，9这三个数，1×4=2，1×9=3，4×9=6，其结果分别为2，3，6都是整数，所以1，4，9这三个数称为“老根数”，其中“最小算术平方根”是2，“最大算术平方根”是6．
（1）请证明：2，8，50这三个数是“老根数”，并求出任意两个数乘积的最小算术平方根与最大算术平方根；
（2）已知16，a，36，这三个数是“老根数”，且任意两个数乘积的算术平方根中，最大算术平方根是最小算术平方根的2倍，求a的值．
思路引领：（1）根据“老根数”“最小算术平方根”“最大算术平方根”的意义求解即可；
（2）分三种情况进行解答即可，即a＜16，16＜a＜36，a＞36，分别列方程求解即可．
（1）证明：因为2×8=4，2×50=10，8×50=20，
所以2，8，50这三个数是“老根数”；
其中最小算术平方根是4，最大算术平方根是20；
（2）解：当a＜16时，则2a×16=16×36，
解得a＝9，
当16＜a＜36时，则216a=36a，解得a＝0，不合题意舍去；
当a＞36时，则216×36=36a，
解得a＝64，
综上所述，a＝9或a＝64．
点睛：本题考查算术平方根，理解“老根数”、“最小算术平方根”、“最大算术平方根”的意义是正确解答的前提，求出“任意两个数乘积的算术平方根”是解决问题的关键．
类型三 “新方程”型
典例3新定义：如果一元一次方程的解是一元一次不等式组的解集中的一个，则称该一元一次方程为该不等式组的关联方程．
（1）在方程①2x﹣1＝0，②x+1＝0，③x﹣（3x+1）＝﹣5中，不等式组−x+3＞x−43x−1＞−x+2的关联方程是 　 　；（填序号）
（2）若不等式组x−2＜11+x＞−3x+6的一个关联方程的解是整数，则这个关联方程可以是 　 　；（写出一个即可）
（3）若方程6﹣x＝2x，7+x＝3（x+13）都是关于x的不等式组x＜2x−mx−2≤m的关联方程，直接写出m的取值范围．
思路引领：（1）解方程和不等式组，根据关联方程的定
义可得答案；
（2）解不等式组求出其整数解，再根据关联方程的定义写出以此整数为解的方程可得答案；
（3）解方程和不等式组，再根据关联方程的概念可得答案．
解：（1）解方程2x﹣1＝0得x=12；解方程x+1＝0得x＝﹣1；解方程x﹣（3x+1）＝﹣5得x＝2；
解不等式组−x+3＞x−43x−1＞−x+2得34＜x＜72，
∴不等式组−x+3＞x−43x−1＞−x+2的关联方程是③；
故答案为：③；
（2）解不等式x﹣2＜1，得：x＜3，
解不等式1+x＞﹣3x+6，得：x＞54，
则不等式组的解集为54＜x＜3，
∴其整数解为2，
则该不等式组的关联方程可以为2x﹣4＝0．（答案不唯一）；
故答案为：2x﹣4＝0；
（3）解方程6﹣x＝2x得x＝2，
解方程7+x＝3（x+13）得x＝3，
解关于x的不等式组x＜2x−mx−2≤m得m＜x≤m+2，
∵方程6﹣x＝2x、7+x＝3（x+13）都是关于x的不等式组x＜2x−mx−2≤m的关联方程，
∴1≤m＜2．
点睛：本题主要考查解一元一次方程和一元一次不等式组，熟练掌握解一元一次方程和一元一次不等式组的技能是解题的关键．
针对练习3
6．如果两个二元一次方程只有一个未知数的系数不同，那么由这两个方程构成的二元一次方程组叫做和谐方程组．如：y−2x=6y−3x=6，就是和谐方程组．
（1）下列方程组是和谐方程组的是（　　）
A．−x+y=4x+y=−1；B．2x−2y=5x−2y=6；C．m−4n=5m−3n=5．
（2）请你补全和谐方程组y+2x=3()，并求解．
思路引领：（1）根据“和谐方程组”的概念进行判断；
（2）根据“和谐方程组”的概念进行填空．
解：（1）A．−x+y=4x+y=−1中的常数项不同，不是和谐方程组，故不符合题意；
B．2x−2y=5x−2y=6中另一个未知数的系数和常数项均不同，不是和谐方程组，故不符合题意；
C．m−4n=5m−3n=5符合和谐方程组的概念，故符合题意．
故答案是：C．
（2）根据题意知，y+3x=32y+3x=3符合题意，（答案不唯一）．
解这个方程组可得：x=1y=0．
点睛：本题主要考查了二元一次方程组的定义，解题的关键是弄清楚“和谐方程组”的概念．
类型四 阅读材料题型中的新定义
典例4 阅读下列材料解答问题：
新定义：对非负数x“四舍五入”到个位的值记为＜x＞，即：当n为非负整数时，如果n−12≤x＜n+12，
则＜x＞＝n；反之，当n为非负整数时，如果＜x＞＝n，则n−12≤x＜n+12．例如：
＜0.1＞＝＜0.49＞＝0，＜1.51＞＝＜2.48＞＝2，＜3＞＝3，＜4.5＞＝＜5.25＞＝5，…
试解决下列问题：
（1）①＜π+2.4＞＝　 　（π为圆周率）；
②如果＜x﹣1＞＝2，则数x的取值范围为 　 　；
（2）求出满足＜x＞=54x﹣1的x的取值范围．
思路引领：（1）①利用对非负实数x“四舍五入”到个位的值记为＜x＞，进而得出＜π+2.4＞的值；
②利用对非负实数x“四舍五入”到个位的值记为＜x＞，进而得出x的取值范围；
（2）利用＜x＞=54x﹣1，设54x＝k，k为整数，得出关于k的不等关系求出即可．
解：（1）由题意可得：＜π+2.4＞＝6；
故答案为：6，
②∵＜x﹣1＞＝2，
∴1.5≤x﹣1＜2.5，
∴2.5≤x＜3.5；
故答案为：2.5≤x＜3.5；
（2）∵x≥0，54x﹣1为整数，设54x＝k，k为整数，
则x=45k，
∴＜45k＞＝k﹣1，
∴k﹣1−12≤45k＜k﹣1+12，k≥0，
∴52≤k≤152，
∴k＝3，4，5，6，7，
则x=125，165，4，245，285．
点睛：此题主要考查了新定义以及一元一次不等式组的应用，根据题意正确理解＜x＞的意义是解题关键．
针对训练4
7．【阅读新知】
定义：如果一个数的平方等于﹣1，记为i2＝﹣1，这个数i叫做虚数单位，那么和我们所学的实数对应起来叫做复数，表示a+bi（a，b为实数），a叫做这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部，它的加、减、
乘法等运算和法则与实数的运算类似．
例如计算：i3＝i2•i＝﹣1•i＝﹣i；
（12+i）+（13﹣14i）＝（12+13）+（1﹣14）i＝25﹣13i；
（5+i）×（3﹣4i）＝15﹣20i+3i﹣4i2＝15﹣17i+4＝19﹣17i．
【应用新知】
（1）填空：i6＝　 　；i9＝　 　．
（2）计算：①3i（2+i）；②（1+3i）（1﹣3i）．
（3）请将5+i5−i化简成a+bi的形式．
思路引领：（1）原式利用题中的新定义计算即可求出值；
（2）原式利用题中的新定义计算即可求出值；
（3）原式利用题中的新定义计算即可求出值．
解：（1）i6＝i2×i2×i2＝﹣1；
i9＝i2×i2×i2×i2×i＝i；
故答案为：﹣1；i；
（2）①原式＝6i+3i2＝6i﹣3；
②原式＝1﹣9i2＝1+9＝10；
（3）原式=(5+i)2(5−i)(5+i)=25+10i+i225−i2=24+10i26=1213+513i．
点睛：此题考查了实数的运算，弄清题中的新定义是解本题的关键．
第二部分 专题提优训练
1.为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文→密文(加密)，接收方由密文→明文(解密)，已知加密规则为：明文a，b，c，d对应密文a＋2b，2b＋c，2c＋3d，4d.当接收方收到密文14，9，23，28时，则解密得到的明文是( )
A.7，6，1，4 B.6，4，1，7 C.4，6，1，7 D.1，6，4，7
答案：B
2.在平面直角坐标系中，对于任意三点A，B，C的“矩面积”，给出如下定义：“水平底”a指任意两点横坐标差的最大值；“铅垂高”h指任意两点纵坐标差的最大值，则“矩面积”S＝ah，例如，三点坐标分别为A(－1，1)，B(2，5)，C(3，－1).则“水平底”a＝4，“铅垂高”h＝6，“矩面积”S＝ah＝24，已知点A(1，3)，B(－2，－1)，C(m，0)的“矩面积”不超过18，则m的取值范围是 .
答案：－≤m≤
3.令a、b两数中较大的数记作max|a，b|，如max|2，3|＝3，已知k为正整数且使不等式max|2k＋1，－k＋5|≤5成立，则k的值是 .
答案：2或1
4．对于正实数a，b作新定义：a⊙b＝2a−b，若25⊙x2＝4，则x的值为　 　．
解：由题意可得：225−x2=4，
则10﹣|x|＝4，
解得：x＝±6．
故答案为：±6．
5．新定义：对非负数x“四舍五入”到个位的值记为（x）．即当n为非负整数时，若n−12≤x＜n+12，则（x）＝n．如（0.46）＝0，（3.67）＝4．给出下列关于（x）的结论：
①（1.493）＝1；
②（2x）＝2（x）；
③若（12x−1）＝4，则x的取值范围是9≤x＜11；
④当x≥0，m为非负整数时，有（m+2013x）＝m+（2013x）；
其中正确的结论有 　 　（填写所有正确的序号）．
解：①（1.493）＝1，故①符合题意；
②（2x）≠2（x），例如当x＝0.3时，（2x）＝1，2（x）＝0，故②不符合题意；
③若（12x﹣1）＝4，则4−12≤12x﹣1＜4+12，解得：9≤x＜11，故③符合题意；
④m为非负整数，故（m+2013x）＝m+（2013x），故④符合题意；
综上可得①③④正确．
故答案为：①③④．
6．一种新定义运算为：对于任意两个数a与b，a※b＝2a+b，若4※x＝26，则2x=　 　．
解：4※x＝26
8+x＝26
x＝18，
2x=2×18=36=6，
故答案为：6．
7．对于正实数a，b作新定义：a*b＝ba−a+b，在此定义下，若9*x＝55，则x的值为　 　．
解：依题意得
9*x＝x9−9+x＝55，
解得：x＝16．
故答案为：16．
8.我们用[x]表示不大于x的最大整数，如：[－3.2]＝－4，[－3]＝3，[0.8]＝0，[2.4]＝2，则关于x的方程2x－3[x]＋＝0的解为 .
答案：6或7
简析：提示：2x－3[x]＝－，若x≤0，则2x－3[x]≥0，不成立，∴x＞0，且x不为整数；
解法1：设x＝m＋n，其中m为正整数，0≤n＜1，[x]＝m，
∴2m＋2n－3m＝－，得n＝m－，∴0≤m－＜1，≤m＜.
∵m为正整数，∴m＝6或7.
当m＝6时，n＝；当m＝7时，n＝，∴x＝6或7.
解法2：设[x]＝t (t为正整数)，x＝t－，
由x－1≤[x]＜x得，t－≤t＜t－，解得≤t＜.
∴t＝6或7，x＝6或7.
解法3：设[x]＝m＋n，其中m为正整数，0≤n＜1，[x]＝m，
∴2m＋2n－3m＝－，∴m－2n＝.
∵0≤2n＜2，m为正整数，m－2n＝＝6－＝7－，
∴m＝6，n＝或m＝7，n＝，∴x＝m＋n＝6或7.
9．新定义：对非负实数x“四舍五入”到个位的值记为＜x＞，即：当n为非负整数时，如果n−12≤x＜n+12，则＜x＞＝n；反之，当n为非负整数时，如果＜x＞＝n，则n−12≤x＜n+12．如＜0＞＝＜0.48＞＝0，＜0.64＞＝＜1.499＞＝1，＜2＞＝2，＜3.5＞＝＜4.12＞＝4，…试解决下列问题：
（1）填空：①＜π＞＝　 　；
②如果＜2x﹣1＞＝3，则实数x的取值范围为　 　．
（2）求满足＜x＞=43x的所有非负实数x的值．
（3）若关于x的不等式组2x−43≤x−1＜a＞−x＞0的整数解恰有3个，求a的取值范围．
思路引领：（1）①利用对非负实数x“四舍五入”到个位的值记为＜x＞，进而得出＜π＞的值；
②利用对非负实数x“四舍五入”到个位的值记为＜x＞，进而得出x的取值范围；
（2）利用＜x＞=43x设设43x＝k，k为整数，得出关于k的不等关系求出即可；
（3）首先将＜a＞看作一个字母，解不等式组进而根据整数解的个数得出a的取值范围．
解：（1）①由题意可得：＜π＞＝3；
故答案为：3，
②∵＜2x﹣1＞＝3，
∴2.5≤2x﹣1＜3.5，
∴1.75≤x＜2.25；
故答案为：1.75≤x＜2.25；
（2）∵x≥0，43x为整数，设43x＝k，k为整数，
则x=34k，
∴＜34k＞＝k，
∴k−12≤34k＜k+12，k≥0，
∴0≤k≤2，
∴k＝0，1，2，
则x＝0，34，32．
（3）解不等式组得：﹣1≤x＜＜a＞，
由不等式组整数解恰有3个得，1＜＜a＞≤2，
故1.5≤a＜2.5．
点睛：此题主要考查了新定义以及一元一次不等式组的应用，根据题意正确理解＜x＞的意义是解题关键．
10．（2019秋•海珠区校级期中）如果一对数m，n，满足m3+n4=m+n3+4，我们称这一对数m，n为“友好数对”，记为（m，n）；如果一对数a，b，满足a+b＝7，我们称这一数对a，b为“和气数对”，记为[a，b]．
（1）若（m，1）是“友好数对”，则m＝　 ；
（2）若（m，n）是“友好数对”，则m＝　 　；（用含n的代数式表示）
（3）若有一数对x，y既是“友好数对”，也是“和气数对”，求x，y的值；
（4）若（m，n）是“友好数对”，[a，b]是“和气数对”，求代数式3m−7n4−[4（a﹣n）﹣m]﹣4b的值．
思路引领：（1）由“友好数对”的定义可得关于m的一元一次方程，求解即可；
（2）由“友好数对”的定义可得关于m和n的二元一次方程，将m用含n的式子表示出来即可；
（3）由“友好数对”及“和气数对”的定义可得关于x和y的二元一次方程组，求解即可；
（4）由“友好数对”的定义可得关于m和n的二元一次方程，将其变形整理；由和气数对”的定义可得a+b＝7，然后将m与n的关系式及a与b的关系式代入代数式3m−7n4−[4（a﹣n）﹣m]﹣4b求值即可．
解：（1）由“友好数对”的定义得：
m3+14=m+13+4=m+17，
解得：m=−916．
故答案为：−916；
（2）由“友好数对”的定义得：
m3+n4=m+n3+4=m7+n7，
∴m3−m7=n7−n4=−3n28，
∴m=−916n，
故答案为：−916n；
（3）由题意得：
x3+y4=x+y3+4①x+y=7②，
将②代入①得：4x+3y＝12，
∴x+3（x+y）＝12，
∴x+3×7＝12，
∴x＝﹣9，
∴﹣9+y＝7，
∴y＝16．
∴x＝﹣9，y＝16；
（4）∵（m，n）是“友好数对”，
∴m3+n4=m+n3+4，
∴28m+21n＝12m+12n，
∴16m+9n＝0．
∵[a，b]是“和气数对”，
∴a+b＝7，
∴3m−7n4−[4（a﹣n）﹣m]﹣4b
＝3m−7n4−4a+4n+m﹣4b
＝4m+94n﹣（4a+4b）
=14（16m+9n）﹣4（a+b）
＝0﹣4×7
＝﹣28．
点睛：本题考查了一元一次方程、二元一次方程组在新定义习题中的应用及代数式求值，读懂题中的定义并熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
11．（2020春•江阴市校级期中）当m、n都是实数，且满足2m﹣n＝6时，我们就称（m﹣1，n2+1）为和谐数对．
（1）请判断（2，﹣4）是否为和谐数对？
（2）已知关于x、y的方程组x+y=6x−y=2a，当a为何值时，以方程组的解为数对，即（x，y）是否为和谐数对？请说明理由．
思路引领：（1）利用题中的新定义判断即可；
（2）表示出方程组的解，根据题中的新定义判断即可．
解：（1）根据题意得：m−1=2n2+1=−4，
解得：m=3n=−10，
代入得：2m﹣n＝6+10＝16≠6，
则（2，﹣4）不是和谐数对；
（2）x+y=6①x−y=2a②，
①+②得：2x＝2a+6，
解得：x＝a+3，
把x＝a+3代入①得：y＝3﹣a，
根据题意得：m−1=a+3n2+1=3−a，
解得：m=a+4n=4−2a，
代入得：2m﹣n＝2a+8﹣4+2a＝4a+4，
当4a+4＝6，即a=12时，满足2m﹣n＝6，即以方程组的解为数对即（x，y）为和谐数对．
点睛：此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值．
12．对于正实数a，b作新定义：a*b＝ba−a+b．在此定义下，若9*x＝55，则x的值为多少？
思路引领：根据a*b＝ba−a+b，以及9*x＝55，可得：9x﹣9+x＝55，据此求出x的值为多少即可．
解：∵a*b＝ba−a+b，9*x＝55，
∴9x﹣9+x＝55，
∴4x＝64，
解得x＝16．
点睛：此题主要考查了定义新运算，以及实数的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．
13．喜欢探索数学知识的小明遇到一个新的定义：对于三个正整数，若其中任意两个数乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“和谐组合”，其结果中最小的整数称为“最小算术平方根”，最大的整数称为“最大算术平方根”．例：1，4，9这三个数，1×4=2，1×9=3，4×9=6，其结果分别为2，3，6，都是整数，所以1，4，9三个数称为“和谐组合”，其中最小算术平方根是2，最大算术平方根是6．
（1）请证明2，18，8这三个数是“和谐组合”，并求出最小算术平方根和最大算术平方根．
（2）已知9，a，25三个数是“和谐组合”，且最大算术平方根是最小算术平方根的3倍，求a的值．
思路引领：（1）对于三个正整数，若其中任意两个数乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“和谐组合”，其结果中最小的整数称为“最小算术平方根”，最大的整数称为“最大算术平方根”；
（2）分三种情况讨论：①当9≤a≤25时，②当a≤9＜25时，③当9＜25≤a时，分别依据“和谐组合”的定义进行计算即可．
解：（1）∵2×18=6，2×8=4，18×8=12，
∴2，18，8这三个数是“和谐组合”，
∴最小算术平方根是4，最大算术平方根是12．
（2）分三种情况讨论：
①当9≤a≤25时，25a=39a，
解得a＝0（不合题意）；
②当a≤9＜25时，9×25=39a，
解得a=259（不合题意）；
③当9＜25≤a时，25a=39×25，
解得a＝81，
综上所述，a的值为81．
点睛：本题主要考查了算术平方根，一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个正数x叫做a的算术平方根．
14．新定义：对于实数x，我们规定[x]表示不大于x的最大整数，例如[1.4]＝1，[2]＝2，[﹣3.5]＝﹣4，试解决下列问题：
（1）填空：
①[π]＝　 　（π为圆周率），
②如果[x﹣2]＝3，则实数x的取值范围 　 　；
（2）若点P（x，y）位于第一象限，其中x，y是方程组x+y=[a]+23x+4y=6[a]+3的解，求a的取值范围：
（3）若f（k）＝[k+14]﹣[k4]（k是正整数），例：f（3）＝[3+14]﹣[34]＝1．下列结论：
①f（1）＝0；②f（k+4）＝f（k）；③f（k+1）≥f（k）；④f（k）＝0或1．
正确的有 　 　（填序号）．
思路引领：（1）①根据规定[x]表示不大于x的最大整数，可得答案；
②根据规定可得3≤x﹣2＜4，解不等式组即可求解；
（2）解方程组得x=5−2[a]y=3[a]−3，由点P位于第一象限知5−2[a]＞03[a]−3＞0，据此得1＜[a]＜52，进一步求解即可；
（3）根据题意可以判断各个选项是否正确，从而可以解答本题．
解：（1）①根据题意知[π]＝3；
②∵[x﹣2]＝3，
∴3≤x﹣2＜4，
解得5≤x＜6，
故答案为：①3；②5≤x＜6．
（2）解关于x，y是方程组x+y=[a]+23x+4y=6[a]+3得x=5−2[a]y=3[a]−3，
∵点P位于第一象限，
∴5−2[a]＞03[a]−3＞0，
解得1＜[a]＜52，
则[a]＝2，
∴2≤a＜3；
（3）f（1）＝[1+14]﹣[14]＝0﹣0＝0，故①正确；
f（k+4）＝[k+4+14]﹣[k+44]＝[k+14+1]﹣[k4+1]＝[k+14]﹣[k4]＝f（k），故②正确；
当k＝3时，f（3+1）＝[4+14]﹣[44]＝1﹣1＝0，而f（3）＝1，故③错误；
当k＝3+4n（n为自然数）时，f（k）＝1，当k为其它的正整数时，f（k）＝0，所以④正确；
故答案为：①②④．
点睛：本题考查取整函数、解一元一次不等式组，解答本题的关键是明确题意，可以判断各个选项中的结论是否成立．
15．【知识重现】我们知道，在ax＝N中，已知底数a，指数x，求幂N的运算叫做乘方运算．例如23＝8；已知幂N，指数x，求底数a的运算叫做开方运算，例如38=2；
【学习新知】
现定义：如果ax＝N（a＞0且a≠1），即a的x次方等于N（a＞0且a≠1），那么数x叫做以a为底N的对数（logarithm），记作x＝logaN．其中a叫做对数的底数，N叫做真数，x叫做以a为底N的对数．例如log28＝3．零没有对数；在实数范围内，负数没有对数．
【应用新知】
（1）填空：在ax＝N，已知幂N，底数a（a＞0且a≠1），求指数x的运算叫做　 　运算；
（2）选择题：在式子log5125中，真数是　 　
A.3 B.5 C.10 D.125
（3）①计算以下各对数的值：log39；log327；log3243．
②根据①中计算结果，请你直接写出logaM，logaN，loga（MN）之间的关系．（其中a＞0且a≠1，M＞0，N＞0）
思路引领：根据阅读材料中的方法将各式计算，找出关系即可．
解：（1）填空：在ax＝N，已知幂N，底数a（a＞0且a≠1），求指数x的运算叫做对数运算；
（2）选择题：在式子log5125中，真数是D，
A.3 B.5 C.10 D.125；
故答案为：（1）对数；（2）D
（3）①计算以下各对数的值：log39＝log332＝2；log327＝log333＝3；log3243＝log335＝5；
②根据①中计算结果，请你直接写出logaM，logaN，loga（MN）之间的关系．（其中a＞0且a≠1，M＞0，N＞0），
关系式为：logaM+logaN＝loga（MN）．
点睛：此题考查了实数的运算，弄清题中的新定义是解本题的关键．
16．新定义：对非负数“四舍五入”到个位的值记为[x]，即当n为非负整数时，若n−12≤x＜n+12，则[x]＝n如：[0]＝[0.48]＝0，[0.64]＝[1.493]＝1，[2]＝2，[3.5]＝[4.12]＝4
试解决下列问题
（1）填空：①[π]＝　 　②若[x]＝3，则实数x的取值范围为 　 　；
（2）在关于x，y的方程组2x+y=1+3mx+2y=2中，若未知数x，y满足52≤x+y＜72，求[m]的值．
（3）当[2x﹣1]＝4时，若y＝4x﹣9，求y的最小值．
（4）求满足[x]=32x的所有非负实数x的值，请直接写出答案 　 　．
思路引领：（1）①π的十分位为1，应该舍去，所以精确到个位是3；②根据题意列不等式健康得到结论；
（2）解方程和不等式健康得到结论；
（3）根据题意列不等式健康得到结论；
（4）32x为整数，设这个整数为k，易得这个整数应在应在k−12和k+12之间，包括k−12，不包括k+12，求得整数k的值即可求得x的非负实数的值．
解：（1）①由题意可得：[π]＝3；
故答案为：3，
②∵[x]＝3，
∴2.5≤x＜3.5
故答案为：2.5≤x＜3.5；

（2）2x+y=1+3m①x+2y=2②
①+②得3x+3y＝3+3m，
∴x+y＝1+m，
∵52≤x+y＜72，
∴52≤1+m＜72，
∴32≤m＜52，
∴[m]＝2；
（3）∵[2x﹣1]＝4，
∴3.5≤2x﹣1＜4.5，
∴4.5≤2x＜5.5，
∴0≤4x﹣9＜2，
∵y＝4x﹣9，
∴y的最小值是0；
（4）∵x≥0，32x为整数，设32x＝k，k为整数，
则x=23k，
∴0＜23k＞＝k，
∴k−12≤23k＜k+12，k≥0，
∵−32≤k≤32，
∴k＝﹣1，0，1，
∴x＝0或23，
故答案为：0或23．
点睛：本题考查了一元一次不等式组的应用，解决本题的关键是理解：对非负实数x“四舍五入”到个位的值记为＜x＞，即：当n为非负整数时，如果n−12≤x＜n+12，则＜x＞＝n．
17．有一种用“☆”定义的新运算：对于任意实数a，b都有a☆b＝b2+a．例如7☆4＝42+7＝23．
（1）已知m☆2的结果是6，则m的值是多少？
（2）将两个实数n和n+2用这种新定义“☆”加以运算，结果为4，则n的值是多少？
思路引领：（1）已知代数式利用题中新定义化简列出方程，求出方程的解即可得到m的值；
（2）利用新定义列出方程，求出方程的解即可得到n的值．
解：（1）根据题中的新定义得：m☆2＝4+m＝6，
解得：m＝2；
（2）根据题意得：n☆（n+2）＝4，即（n+2）2+n＝4，
解得：n＝0或n＝﹣5；
（n+2）☆n＝n2+n+2＝4，
解得：n＝﹣2或n＝1，
则n＝0或﹣5或﹣2或1．
点睛：此题考查了实数的运算，弄清题中的新定义是解本题的关键．
18．新定义：对非负数x“四舍五入“到个位的值记为＜x＞，
即当n为非负数时，若n−12≤x＜n+12，则＜x＞＝n．
例如＜0＞＝＜0.49＞＝0，＜0.5＞＝＜1.49＞＝1，＜2＞＝2，＜3.5＞＝＜4.23＞＝4，…
试回答下列问题：
（1）填空：①＜9.6＞＝　 ；
②如果＜x＞＝2，实数x的取值范围是 　 　．
（2）若关于x的不等式组2x−43≤x−1＜m＞−x＞0的整数解恰有4个，求＜m＞的值；
（3）求满足＜65x＞＝x的所有非负实数x的值．
思路引领：（1）根据定义求解可得；
（2）先解不等式组，再根据不等式组的整数解个数得出＜m＞的范围，从而得出答案；
（3）根据新定义列出关于x的不等式组，解之可得．
解：（1）①＜9.6＞＝10；
②如果＜x＞＝2，实数x的取值范围是1.5≤x＜2.5；
故答案为：10、1.5≤x＜2.5；
（2）解不等式组得﹣1≤x＜＜m＞，
∵整数解恰有4个，
∴2＜＜m＞≤3，
∴＜m＞＝3；
（3）∵＜65x＞＝x，
∴x−12≤65x＜x+12，x≥0，
∴0≤x＜2.5，
∵x为非负整数，
∴x的值为0、1、2．
点睛：此题主要考查了新定义以及一元一次不等式的应用，根据题意正确理解＜x＞的意义是解题关键．