2022年甘肃省酒泉市瓜州二中中考数学模拟试卷（含解析）

2022年甘肃省酒泉市瓜州二中中考数学模拟试卷

副标题

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）

1. 的倒数是

A.  B.  C.  D.

2. 我国冬奥会于年月日在北京，张家口等地召开，并在此之前进行了冬奥会会标征集活动，以下是部分参选作品，其文字上方的图案是中心对称图形的是

A.  B.  C.  D.

3. 一张普通纸的厚度约为，用科学记数法表示，正确的结果为

A.  B.  C.  D.

4. 下列计算结果是的是

A.  B.  C.  D.

5. 如图，将平行四边形沿对角线折叠，使点落在点处，若，为

A.
B.
C.
D.

6. 若分式的值等于，则的值为

A.  B.  C.  D.

7. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是

A.  B.
C.  D.

8. 如图，内接于，，是的直径．则的度数是

A.
B.
C.
D.

9. 某品牌连衣裙经过两次降价，每件零售价由元降为元．已知两次降价的百分率都为，那么满足的方程是

A.  B.
C.  D.

10. 如图，是等腰直角三角形，，，点是边上一动点，沿的路径移动，过点作于点，设，的面积为，则下列能大致反映与函数关系的图象是

A.  B.
C.  D.

二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）

11. 分解因式：____________．
12. 关于的一元二次方程有两个不相等的的实数根，则的取值范围是______．
13. 已知一个正多边形的内角是，则这个正多边形的边数是______．
14. 使代数式有意义的实数的取值范围为______．
15. 将抛物线向右平移个单位，再向下平移个单位，得到抛物线的解析式为______．
16. 如图，为的直径，弦于点，已知，，则的半径为______．
    
    
     

17. 如图，一次函数与的图象交于点，则关于的不等式的解集为______．
    
     

18. 下列图形都是由同样大小的黑色三角形按一定规律所组成的，其中第个图形中一共有个黑色三角形，第个图形中一共有个黑色三角形，第个图形中一共有个黑色三角形，，按此规律排列下去，第个图形中黑色三角形的个数是______．

三、解答题（本大题共10小题，共66.0分）

19. 计算：
    
    
    
    
    
    
     
20. 先化简，再求值：，其中
    
    
    
    
    
    
     
21. 如图，已知锐角中，．
    
    请在图中用无刻度的直尺和圆规作图：作的平分线；作的外接圆；不写作法，保留作图痕迹
    在的条件下，若，的半径为，则 ______ 如需画草图，请使用图
    
    
    
    
    
    
     
22. 一只不透明的袋子中装有个白球和个红球，这些球除颜色外都相同．
    搅匀后从袋子中任意摸出个球，摸到红球的概率是多少？
    搅匀后先从袋子中任意摸出个球，记录颜色后不放回，再从袋子中任意摸出个球，用画树状图或列表的方法列出所有等可能的结果，并求出两次都摸到白球的概率．
    
    
    
    
    
    
     
23. 为了了解某市中学生每天课外阅读所用的时间情况，从某市各校中抽取了一部分学生进行问卷调查，并将结果绘制成不完整的频数分布表和频数分布直方图如图

根据以上信息，回答问题：
表中______，______；
请补全频数分布直方图；
若某区中学生总数为人，试估计某区中学生每天课外阅读时间超过小时的人数．

24. 酒泉老城区的西南隅，耸立着一座古城门晋城门，它是东晋时期酒泉郡治驻地福禄县城的南门．某校数学社团的同学们使用卷尺和自制的测角仪测量晋城门的高度如图，他们在地面一条水平道路上架设测角仪，先在点处测得晋城门最高点的仰角为，然后沿方向前进到达点处，测得点的仰角为，测角仪的高度为．
    求晋城门最高点距离地面的高度结果精确到参考数据：，，，；
    “景点简介”显示，晋城门的高度为请计算本次测量结果的误差，并提出一条减小误差的合理化建议．

25. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点、两点．
    求一次函数表达式；
    求的面积．

26. 如图，正方形中，是上的一点，连接，过点作，垂足为点，延长交于点，连接．
    求证：．
    若正方形边长是，，求的长．
     

27. 如图，在中，，以为直径作，交于点，点是延长线上的一点．且．
    求证：与相切；
    若，，求的长．

28. 如图，抛物线经过点，，连接，点是第一象限内抛物线上一动点．
    求抛物线的表达式；
    过点作轴的垂线，交于点，判断是否存在点，使得以、、为顶点的三角形是直角三角形，若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由；
    点与点关于轴对称，连接，，，当点运动到什么位置时，的面积最大？求面积的最大值及此时点的坐标．
    
    
    
    
    
    
    
    

答案和解析

1.【答案】

【解析】

解：的倒数是．
故选：．
根据倒数的定义即可得出答案．
本题考查了倒数，掌握乘积为的两个数互为倒数是解题的关键．
 

2.【答案】

【解析】

解：图形均不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转度后和原图形完全重合，所以不是中心对称图形，图形能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转度后和原图形完全重合，所以是中心对称图形，
故选：．
把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，据此进行判断即可．
此题主要考查了中心对称图形的概念．中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与原图重合．
 

3.【答案】

【解析】

解：．
故选：．
绝对值小于的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
 

4.【答案】

【解析】

解：与不是同类项，故本选项不合题意；
B.，故本选项符合题意；
C.，故本选项不符合题意；
D.，故本选项不合题意．
故选：．
分别根据合并同类项法则，同底数幂的乘法法则，幂的乘方运算法则，同底数幂的除法法则，逐一判断即可．
本题主要考查了同底数幂的乘除法以及幂的乘方与积的乘方，熟记幂的运算法则是解答本题的关键．
 

5.【答案】

【解析】

解：根据翻折可知：，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
，
，
故选：．
根据翻折可得，根据平行四边形可得，所以，从而可得，进而求解．
本题考查了翻折变换、平行四边形的性质，解决本题的关键是利用翻折的性质．
 

6.【答案】

【解析】

【分析】
本题考查了分式的值为的条件，根据分式的值为，则分子为，分母不为解答即可．
【解答】
解：的值为，
且，
，
故选D．  

7.【答案】

【解析】

解：解不等式得，
解不等式得，
则不等式组的解集为，
故选：．
分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
 

8.【答案】

【解析】

解：，，
，
，
为的直径，
，
．
故选：．
由，，根据等腰三角形的性质，可求得的度数，又由圆周角定理，即可求得答案．
此题考查了圆周角定理以及等腰三角形的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．
 

9.【答案】

【解析】

解：设两次降价的百分率均是，由题意得：
满足方程为．
故选：．
若两次降价的百分率均是，则第一次降价后价格为元，第二次降价后价格为元，根据题意找出等量关系：第二次降价后的价格元，由此等量关系列出方程即可．
考查了列一元二次方程解应用题的问题，解应用题的关键是找出题目中的相等关系．正确理解降低率，每一次的降低率都是就上一年的基础而言．
 

10.【答案】

【解析】

【分析】
本题考查了动点问题的函数图象：函数图象是典型的数形结合，图象应用信息广泛，通过看图获取信息，不仅可以解决生活中的实际问题，还可以提高分析问题、解决问题的能力．解决本题的关键是利用分类讨论的思想求出与的函数关系式．
过点作于，利用等腰直角三角形的性质得到，，分类讨论：当时，如图，易得，根据三角形面积公式得到；当时，如图，易得，根据三角形面积公式得到，于是可判断当时，与的函数关系的图象为开口向上的抛物线的一部分，当时，与的函数关系的图象为开口向下的抛物线的一部分，然后利用此特征可对四个选项进行判断．
【解答】
解：过点作于，
是等腰直角三角形，
，，
当时，如图，

，
，
；
当时，如图，

，
，
，
故选：．  

11.【答案】

【解析】

【分析】
此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
首先将原式提取，再利用平方差公式分解即可．
【解答】
解：原式，
故答案为．  

12.【答案】

【解析】

解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
，
解得：．
故答案为：．
根据根的判别式和已知条件得出，再求出不等式的解集即可．
本题考查了根的判别式和解一元一次不等式，注意：已知一元二次方程、、为常数，，当时，方程有两个不相等的实数根，当时，方程有两个相等的实数根，当时，方程没有实数根．
 

13.【答案】

【解析】

【分析】
本题考查了多边形，利用多边形的内角和是解题关键．
根据多边形的内角和公式，可得答案．
【解答】
解：设多边形为边形，由题意得
，
解得，
故答案为．  

14.【答案】

【解析】

【分析】
本题考查了二次根式的意义和性质．概念：式子叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义，根据二次根式的被开方数是非负数即可解答．
【解答】
解：依题意得，
解得．
故答案是．  

15.【答案】

【解析】

解：将抛物线向右平移个单位，再向下平移个单位，所得到的抛物线解析式为，即．
故答案是：．
根据“左加右减，上加下减”的平移规律写出平移抛物线解析式．
主要考查了函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．
 

16.【答案】

【解析】

解：连接，
设的半径为，则，
，为的直径，
，
由勾股定理得，，即，
解得，，
则的半径为，
故答案为：．
连接，设的半径为，根据垂径定理求出，根据勾股定理列式计算，得到答案．
本题考查的是垂径定理、勾股定理，垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
 

17.【答案】

【解析】

解：把代入得，
解得，
则，
因为当时，，
所以关于的不等式的解集为．
故答案为．
先利用解析式确定点坐标，然后结合函数图象写出一次函数的图象在一次函数的图象上方所对应的自变量的范围即可．
本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数的值大于或小于的自变量的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线在轴上或下方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
 

18.【答案】

【解析】

解：第个图形中黑色三角形的个数，
第个图形中黑色三角形的个数，
第个图形中黑色三角形的个数，

第个图形中黑色三角形的个数为，
故答案为：．
根据已知图形得出第个图形中黑色三角形的个数为，据此可得．
本题主要考查图形的变化规律，解题的关键是得出第个图形中黑色三角形的个数为．
 

19.【答案】

解：


．
 

【解析】

先化简各式，然后再进行计算即可．
本题考查了负整数指数幂，零指数幂，实数的运算，特殊角的三角函数值，准确熟练地化简各式是解题的关键．
 

20.【答案】

解：当时，
原式





 

【解析】

根据分式的运算法则即可求出答案．
本题考查分式的运算，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型．
 

21.【答案】

解：如图，射线，即为所求．


 

【解析】

解：连接，设射线交于．
，平分，
，，
，
，
，
．
故答案为：．
利用尺规作出的角平分线，作线段的垂直平分线交于点，以为圆心，为半径作即可．
连接，设射线交于利用勾股定理求出，，再利用勾股定理求出，可得结论．
本题考查作图复杂作图，解直角三角形，三角形的外接圆等知识，解题的关键是正确作出图形，利用勾股定理解决问题．
 

22.【答案】

解：袋子中装有个白球和个红球，共有个球，
摸到红球的概率是；

根据题意画图如下：

共有种等情况数，其中两次都摸到白球的有种，
则两次都摸到白球的概率是．
 

【解析】

直接根据概率公式即可得出答案；
根据题意画出树状图得出所有等情况数和两次都摸到白球的情况，然后根据概率公式即可得出答案．
此题考查的是树状图法求概率，树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

23.【答案】

解：，，
故答案为：、；
对应频数为，
补全图形如下：

人，
该校学生每天课外阅读时间超过小时的人数约人．
 

【解析】

由的频数及频率可得的值，用对应频数除以的值即可得出的值；
根据频数之和等于总数求出的频数即可补全图形；
总人数乘以样本中每天课外阅读时间超过小时的人数所占比例即可．
本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力；利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．
 

24.【答案】

解：过点作，交延长线于点，交于点，设．
在中，，
，
，
．
在中，，
，，
解得：，
由题意，易知四边形为矩形，
，


．
答：晋城门的高度约为．
本次测量的误差为：，宜多测量几次，取这几次计算结果的平均数，可以尽可能地减小误差．
 

【解析】

过作于，延长交于，则四边形，四边形是矩形，于是得到，，求得，设，得到，解直角三角形即可得到结论；
建议为：为了减小误差可以通过多次测量取平均值的方法．
本题考查了解直角三角形的应用--仰角俯角问题，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形．
 

25.【答案】

解：把，代入，得，，
，，
把，代入得
，解得，
一次函数解析式为；


时，，
，
．
 

【解析】

本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，也考查了待定系数法求函数解析式．
先利用反比例函数解析式确定点和点坐标，然后利用待定系数法求一次函数解析式；
先求的长，根据面积和可得结论．
 

26.【答案】

解：证明：四边形是正方形，
，，
，
，
，
，
，
在和中，
，
≌，
；
，
由得：≌，
，
，
四边形是正方形，
，，
由勾股定理得：．
 

【解析】

此题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，本题证明≌是解本题的关键．
根据证明≌，可得结论；
根据得：≌，则，最后利用勾股定理可得的长．
 

27.【答案】

证明：连接，

为的直径，
，
，
，
，
，
，
，
即，
是圆的半径，
与相切；
解：，，
，
，
，
是等边三角形，
，
在中，，
，
，
在中，，
．
 

【解析】

要证明与相切，想到连接，只要证明即可，根据直径所对的圆周角是直角可得，从而得，再根据等边对等角和已知证出即可解答；
根据已知可得，从而求出，进而得是等边三角形，然后在中，利用锐角三角函数求出的长，最后在中即可解答．
本题考查了切线的判定与性质，含度角的直角三角形，直线和圆的位置关系，圆周角定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
 

28.【答案】

解：抛物线经过点，，
把点，代入解析式得：
，
解得，
二次函数的解析式为：；
设，
是直角三角形，，
分两种情况讨论：
当时，轴，当时，，
解得：，舍或，
；
当时，则有轴，如图，

点的纵坐标为，
，
解得：，舍或，
；
当时，过点作轴，垂足为，如图，
则，，，
，
，
，
∽，
，
即，
解得：舍或，
，
综上所述，当以为顶点的三角形是直角三角形时，点的坐标为或；
设的延长线交与点，

，点与点关于轴对称，
，
设直线的表达式为：，
把，代入得：
，
解得，
直线的表达式为：，
设点，
则，
，
，
，有最大值，且，
当时，的面积最大，最大面积是，
此时，，
综上所述，面积的最大值是，点的坐标是．
 

【解析】

运用待定系数法直接求解即可；
分两种情况：时，列方程求解即可；，过点作轴，垂足为，证明∽即可得解；
根据对称性求出点的坐标，运用待定系数法求出直线的解析式，设点，，求出的长，运用面积法得到的二次函数关系式，配方求解即可．
本题主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结台的综合能力的培养要会利用数形结台的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系，利用面积公式得出二次函数是解的关键．