2022届内蒙古海拉尔第二中学高三上学期第三次阶段考数学（文）试题含解析

2022届内蒙古海拉尔第二中学高三上学期第三次阶段考

数学（文）试题

一、单选题

1．设集合，.则（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】利用补集和交集的定义直接求解.

【详解】因为，，

所以，

故选：C.

2．已知复数（为虚数单位），则（       ）

A．i B． C． D．1

【答案】B

【分析】根据复数的除法运算求解即可.

【详解】因为，

所以，

故选：B

3．下列结论中正确的是

A．“”是“”的必要不充分条件

B．命题“若，则.”的否命题是“若，则”

C．“”是“函数在定义域上单调递增”的充分不必要条件

D．命题：“，”的否定是“，”

【答案】D

【详解】“”则一定有“”，反之时，故推不出．故是充分不必要条件．故选项不对．

B．命题“若，则.”的否命题是：若，则 故选项不对．

C．“”是“函数在定义域上单调递增”的充要条件，故选项不对．

D．命题：“，”的否定是“，”，只否结论不否条件．故正确．

故答案为D．

4．已知直线与平行，则实数a的值为

A．－1或2 B．0或2 C．2 D．－1

【答案】D

【分析】根据两直线平行，列方程，求的a的值.

【详解】已知两直线平行，可得a•a -（a+2）=0，即a2-a-2=0，解得a=2或-1．

经过验证可得：a=2时两条直线重合，舍去．

∴a=-1．

故选D

【点睛】对于直线

若直线

5．记Sn为等比数列{an}的前n项和．若a5–a3=12，a6–a4=24，则=（       ）

A．2n–1 B．2–21–n C．2–2n–1 D．21–n–1

【答案】B

【分析】根据等比数列的通项公式，可以得到方程组，解方程组求出首项和公比，最后利用等比数列的通项公式和前项和公式进行求解即可.

【详解】设等比数列的公比为，

由可得：，

所以，

因此.

故选：B.

【点睛】本题考查了等比数列的通项公式的基本量计算，考查了等比数列前项和公式的应用，考查了数学运算能力.

6．函数的部分图象大致为

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据函数的性质和函数值的取值情况进行分析、判断可得结论．

【详解】因为，

所以函数为偶函数，

故函数的图象关于轴对称，故可排除A，C；

又当，，所以，故可排除B．

从而可得选项D正确．

故选D．

【点睛】本题考查用排除法判断函数图象的形状，解题的关键是根据函数的解析式得到函数为偶函数，进而得到图象的对称情况，然后再通过判断函数值的方法求解．

7．将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则下列说法正确的是（     ）

A．图象关于直线对称

B．图象关于点对称

C．在上的最大值为

D．的单调递减区间为

【答案】C

【分析】由函数的平移过程可得，再应用代入法验证对称轴、对称中心判断A、B；求上对应范围，结合正弦函数的性质求值域判断C，由正弦函数的单调性，应用整体法求的单调递减区间判断D.

【详解】由题设，，

，故不关于对称，A错误；

，故不关于对称，B错误；

在上，，则，即在上的最大值为，C正确；

令，，则，，故在，上递减，D错误.

故选：C

8．若，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】将不等式变为，根据的单调性知，以此去判断各个选项中真数与的大小关系，进而得到结果.

【详解】由得：，

令，

为上的增函数，为上的减函数，为上的增函数，

，

，，，则A正确，B错误；

与的大小不确定，故CD无法确定.

故选：A.

【点睛】本题考查对数式的大小的判断问题，解题关键是能够通过构造函数的方式，利用函数的单调性得到的大小关系，考查了转化与化归的数学思想.

9．平面向量，，满足，，在上的投影为5，则

A．2 B．4 C．8 D．10

【答案】B

【解析】由在上的投影为5，得，从而．

【详解】在上的投影为5，

，，

∴．

故选：B．

【点睛】本题考查了平面向量数量积的运算，属于基础题．

10．在中，点是的中点，过点的直线分别交直线，于不同两点，若，，为正数，则的最小值为

A．2 B． C． D．

【答案】A

【详解】

∵M、O、N三点共线，

∴， ，

故选A．

点睛：本题考查了平面向量共线定理，系数和等于1，再就是均值不等式的应用，1的妙用．对于向量中的，求系数问题，一般都是考查平面向量的共线定理和基本定理，寻求三点共线的条件，从而得到系数关系，再由不等式或者换元的方法得结果即可．

11．设F为双曲线C：（a>0，b>0）的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆x2+y2=a2交于P、Q两点．若|PQ|=|OF|，则C的离心率为

A． B．

C．2 D．

【答案】A

【分析】准确画图，由图形对称性得出P点坐标，代入圆的方程得到c与a关系，可求双曲线的离心率．

【详解】设与轴交于点，由对称性可知轴，

又，为以为直径的圆的半径，

为圆心．

，又点在圆上，

，即．

，故选A．

【点睛】本题为圆锥曲线离心率的求解，难度适中，审题时注意半径还是直径，优先考虑几何法，避免代数法从头至尾，运算繁琐，准确率大大降低，双曲线离心率问题是圆锥曲线中的重点问题，需强化练习，才能在解决此类问题时事半功倍，信手拈来．

12．函数有极小值，且极小值为0，则的最小值为（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】求得函数的导数，根据有极小值，得到，又由，求得，得到，利用导数求得函数的单调性与最值，即可求解.

【详解】由，可得，

因为有极小值，记为，则，即，

又由，所以，

即，所以.

设，

当时，，

所以在上单调递增，

当时，可得，

所以的最小值为.

故选：B.

二、填空题

13．已知则______．

【答案】

【详解】

14．若变量x，y满足约束条件则z=3x–y的最大值是___________.

【答案】9.

【分析】作出可行域，平移找到目标函数取到最大值的点，求出点的坐标，代入目标函数可得.

【详解】画出不等式组表示的可行域，如图所示，

阴影部分表示的三角形ABC区域，根据直线中的表示纵截距的相反数，当直线过点时，取最大值为9．

【点睛】本题考查线性规划中最大值问题，渗透了直观想象、逻辑推理和数学运算素养．采取图解法，利用数形结合思想解题．搞不清楚线性目标函数的几何意义致误，从线性目标函数对应直线的截距观察可行域，平移直线进行判断取最大值还是最小值．

15．双曲线：（，）的左顶点为，右焦点为，动点在双曲线上.当时，，则双曲线的渐近线方程为______.

【答案】

【分析】根据题意和所给条件可得，由此齐次式可得，再利用之间的关系求得即可得解.

【详解】设双曲线的半焦距为，则，因为，

所以，所以，即，故.

所以双曲线的渐近线方程为.

故答案为：.

16．已知数列的前项和是，，且，则数列的通项公式______.

【答案】

【解析】由可得,两边同除可得,即是首项为,公差为的等差数列,可求得,进而由求解即可,注意检验时的情况.

【详解】由题,因为,所以,两边同除可得,

因为,所以数列是首项为,公差为的等差数列,

所以,

所以,

当时,,

当时,,检验,不符合,

所以,

故答案为:

【点睛】本题考查构造法求通项公式,考查由与的关系求通项公式.

三、解答题

17．已知圆C经过点．

(1)求圆C的方程；

(2)若直线与圆C交于M、N两点，且，求m的值．

【答案】(1)

(2)

【分析】(1)设出圆C的方程，根据给定条件列出方程组求解即得.

(2)根据给定条件结合圆的弦长公式求出圆心C到直线MN的距离即可计算得解.

【详解】(1)设圆C的方程为：，依题意得：，解得，

所以圆C的方程为：.

(2)由(1)知，圆C的圆心C(4，-3)，r=5，因直线与圆C交于M、N两点，且，

则圆心C到直线MN距离，

由点到直线距离公式得，即，解得：，

所以m的值是.

18．已知数列的前项和为，，，，其中为常数.

(1)证明：；

(2)若为等差数列，求.

【答案】(1)证明见解析；

(2).

【分析】（1）利用关系可得，结合已知条件即可证结论.

（2）由题设及（1）结论，可得、，应用等差中项的性质求参数，进而判断为等差数列并写出通项公式，最后利用等差数列前n项和公式求.

【详解】(1)由题设，，，

两式相减得，又，

所以.

(2)由题设，，，可得，由(1)知：.

由为等差数列，则，解得λ＝4，故.

由此，是首项为1，公差为4的等差数列，则；

是首项为3，公差为4的等差数列，则；

所以是首项为1，公差为2的等差数列，即，

故.

19．如图，在斜△ABC中，角A、B、C   所对角的边分别为a、b、c，且，D为边BC上一点，，，.

（1）求角B的大小；

（2）求的面积.

【答案】（1）；（2）14.

【解析】（1）将条件式变形，结合余弦定理可求得，即可求得角的大小；

（2）设，在中由条件及正弦定理可求得，再由同角三角函数关系式求得，即可由正弦的和角公式求得，结合三角形面积公式即可求解.

【详解】（1）由题意，所以

结合余弦定理可求得，又因为，

所以.

（2）设.

在中，，，.

由正弦定理得，解得.因为，

所以为锐角，从而.

因此

.

所以的面积

.

【点睛】方法点睛：运用正弦定理与余弦定理在解三角形时，分析已知条件，注意边角关系，根据定理的特点，选择合适的公式是关键.

20．已知椭圆的离心率为，焦距为.斜率为的直线与椭圆有两个不同的交点.

（1）求椭圆M的方程；

（2）求的最大值.

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）根据离心率公式和焦距求的值，从而求椭圆M的方程；

（2）设出直线的方程，与椭圆方程联立消元写韦达定理，根据弦长公式求出，然后利用二次函数求最值.

【详解】（1）由题意得，解得.

所以椭圆M的方程为.

（2）设直线l的方程为，，

联立，得，

由，得，

   ，，

所以=，

易知当，即直线l过原点时，最大，最大值为.

21．已知

（1）当时，求不等式的解集；

（2）若时，，求的取值范围.

【答案】（1）；（2）

【分析】（1）根据，将原不等式化为，分别讨论，，三种情况，即可求出结果；

（2）分别讨论和两种情况，即可得出结果.

【详解】（1）当时，原不等式可化为；

当时，原不等式可化为，即，显然成立，

此时解集为；

当时，原不等式可化为，解得，此时解集为空集；

当时，原不等式可化为，即，显然不成立；此时解集为空集；

综上，原不等式的解集为；

（2）当时，因为，所以由可得，

即，显然恒成立；所以满足题意；

当时，，因为时， 显然不能成立，所以不满足题意；

综上，的取值范围是.

【点睛】本题主要考查含绝对值的不等式，熟记分类讨论的方法求解即可，属于常考题型.

22．已知函数.

（1）当时，求曲线在点处的切线方程；

（2）求函数的单调区间；

（3）若对任意的，都有成立，求a的取值范围.

【答案】（1）；（2）答案见解析；（3）.

【解析】（1）当时，求出函数的导数，利用导数的几何意义即可求曲线在点处的切线方程；

（2）求函数的导数，利用函数单调性和导数之间的关系即可求函数的单调区间；

（3）根据函数的单调性求出函数的最小值即可实数的取值范围．

【详解】解：（1）时，，， ，

曲线在点处的切线方程

（2）

①当时，恒成立，函数的递增区间为

②当时，令，解得或

所以函数的递增区间为，递减区间为

（3）对任意的，使成立，只需任意的，

①当时，在上是增函数，所以只需

而       所以满足题意；

②当时，，在上是增函数，

所以只需   而     所以满足题意；

③当时，，在上是减函数，上是增函数，

所以只需即可       而        从而不满足题意；

综合①②③实数的取值范围为.

【点睛】本题主要考查函数切线的求解，以及函数单调性和函数最值的求解，综合考查函数的导数的应用，属于中档题．