2022届重庆市育才中学高三上学期高考适应性考试（五）数学试题含解析

2022届重庆市育才中学高三上学期高考适应性考试（五）

数学试题

一、单选题

1．已知全集，A＝{1，3，4}，B＝{2，4，6}，则(A)B＝（       ）

A．{2，5} B．{2，6} C．{2，5，6} D．{2，4，5，6}

【答案】D

【分析】先化简全集，再根据集合的运算求解即可.

【详解】，则，所以.

故选：D

2．设，是虚数单位，则“”是“复数为纯虚数”的（       ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】根据纯虚数定义依次判断充分性和必要性即可得到结论.

【详解】若，则或；

当时，为实数，此时复数不是纯虚数，充分性不成立；

若复数为纯虚数，则且，此时，必要性成立；

“”是“复数为纯虚数”的必要不充分条件.

故选：B.

3．某机构为调查网游爱好者是否有性别差异，通过调研数据统计：500名男性中有200名爱玩网游，在400名女生中有50名爱玩网游.若要确定网游爱好是否与性别有关时，用下列最适合的统计方法是（       ）

A．均值 B．方差 C．独立性检验 D．回归分析

【答案】C

【分析】根据独立性检验原理即可求解.

【详解】由题意可知，“爱玩网游”与“性别”是两类变量，其是否有关，

应用独立性检验判断.

故选：C.

4．数列满足＝，＝1，＝2，则＝（       ）

A． B．1 C．4 D．8

【答案】C

【分析】利用数列的递推关系，求出，，，，，发现

数列呈周期性变化进而可以求出.

【详解】由＝，＝1，＝2，得，

，，，，

，所以数列的周期为.

所以.

故选：C.

5．函数（φ＞0）一个周期内的图象（含端点）如下图所示，P是这个周期内的最高点，A，B分别是在此周期内f (x)图象与x轴相交的第一个和最后一个交点，则tan∠APB＝（       ）

A．10 B．8 C． D．

【答案】B

【分析】根据题意过点作轴交于点，再结合三角函数的周期公式即可求出，进而求出，利用图象可知 ，

分别在和中，求出，利用两角和的正切公式即可求解.

【详解】由，得，即，

过点作轴交于点，如图所示

，由图象可知 .

在中，，

在中，，

所以

.

故选：B.

6．我国古代数学家赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，后人称为“赵爽弦图”.他用数形结合的方法给出了勾股定理的证明，极富创新意识.“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，如图，若大正方形的面积是25，小正方形的面积是1，则（       ）

A．16 B．15 C．12 D．9

【答案】A

【分析】设，根据勾股定理求得，得出，再根据数量积的定义可求.

【详解】因为大正方形的面积是25，小正方形的面积是1，,

设，则，

在中，，即，解得或（舍去），

，

.

故选：A.

7．已知a＝ln 1.4，b＝0.4，，则a，b，c的大小关系是（       ）

A．a＞c＞b B．c＞a＞b C．b＞c＞a D．c＞b＞a

【答案】D

【分析】构造函数利用导数可证明，据此可得，再由对数的运算性质可得，即可得解.

【详解】设，则，当时，，

所以函数在上单调递减，所以，

故当时，，即，

所以当时，，故，

又,

所以.

故选：D

8．已知函数，a，b，c分别为的内角A，B，C所对的边，且则下列不等式一定成立的是（       ）

A．  B．f (cos A)≤f (cos B)

C．f (sin A)≥f (sin B) D．f (sin A)≥f (cos B)

【答案】D

【分析】先利用余弦定理和基本不等式求得，从而得到.由和在上的单调性得到,，而大小不确定，大小不确定.

利用复合函数的单调性法则判断出在上单调递减.对四个选项一一验证：

对于A、D：因为，所以f (sin A)≥f (cos B).即可判断；

对于B、C：因为大小不确定，大小不确定.

【详解】因为a，b，c分别为的内角A，B，C所对的边，且

由余弦定理得：

利用基本不等式可得：，所以，

所以.

因为，所以，所以,

所以.

因为在上单调递增，在上单调递减，

所以,,

即,.

由于A、B大小不确定，所以大小不确定，大小不确定.

当x>0时，.

因为在上单调递增，所以在上单调递减，所以在上单调递减；

因为在上单调递增，所以在上单调递减，所以在上单调递减.

对于A、D：因为，所以f (sin A)≥f (cos B).故A错误，D正确.

对于B、C：因为大小不确定，大小不确定，所以B、C不能确定.

故选：D

【点睛】在解三角形中，选择用正弦定理或余弦定理，可以从两方面思考：

(1)从题目给出的条件，边角关系来选择；

(2)从式子结构来选择．

二、多选题

9．双曲线C的渐近线方程为y＝±2x，则其离心率是（       ）

A． B． C．2 D．

【答案】AD

【分析】讨论焦点的位置，由渐近线方程求，再求双曲线的离心率.

【详解】当焦点在轴时，由渐近线方程可知，则，

当焦点在轴时，由渐近线方程可知，则，.

故选：AD

10．已知m，n是不重合的直线，α，β，γ是不重合的平面，则下列命题一定正确的是（       ）

A．若α∥β，γ∥β，则α∥γ B．若α∥β，m⊥α，则m⊥β

C．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β D．若mα，nα，m∥β，n∥β，则α∥β

【答案】AB

【分析】可以直接判断选项AB正确；C. α∥β或相交，所以该选项错误； D. α∥β或相交，所以该选项错误.

【详解】解：A. 若α∥β，γ∥β，则α∥γ，所以该选项正确；

B. 若α∥β，m⊥α，则m⊥β，所以该选项正确；

C. 若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β，也有可能相交，所以该选项错误.

D. 若mα，nα，m∥β，n∥β，则α∥β或相交，所以该选项错误.

故选：AB

11．已知函数f (x)，若对于函数f (x)上任意一点A，都存在异于原点O的另一点B，使＝0，则称f(x)为“正交函数”.下列四个函数中，是“正交函数”的是（       ）

A．f (x)＝ B．f (x)＝cos x＋1 C．f (x)＝ln x D．f (x)＝－2

【答案】ABD

【分析】根据“正交函数”的定义，只需判断各选项中的函数与在相邻的象限上是否有交点，应用数形结合法即可确定答案.

【详解】由题意，要使f(x)为“正交函数”，则与在相邻的象限上有交点即可，

A：与的图象如下图示，符合；

B：与的图象如下图示，符合；

C：与的图象如下图示，只有一个交点，不符合；

D：与的图象如下图示，符合；

故选：ABD

12．一个平面α斜截一个足够高的圆柱，与圆柱侧面相交的图形为椭圆E.若圆柱底面圆半径为r，平面α与圆柱底面所成的锐二面角大小为θ，则下列对椭圆E的描述中，正确的是（       ）

A．短轴为2r，且与θ大小无关 B．离心率为cos θ，且与r大小无关

C．焦距为2r tan θ D．面积为

【答案】ACD

【分析】由题设可得短轴长，长轴长，进而求出焦距、离心率，根据椭圆与底面圆的投影关系确定椭圆面积.

【详解】由题意，椭圆短轴长，而长轴长随变大为变长且，

所以，故，焦距为，

由椭圆在底面投影即为底面圆，则等于圆的面积与椭圆面积的比值，

所以椭圆面积为.

综上，A、C、D正确，B错误.

故选：ACD

三、填空题

13．二项式的展开式中常数项为_________．

【答案】24

【详解】试题分析：二项式展开式的通项公式为．令，得，所以二项式的展开式中常数项为．

【解析】二项式定理．

14．古希腊数学家阿波罗尼斯（Apollonius of Perga，约公元前262~190年）发现：平面上两定点A，B，则满足的动点M的轨迹是一个圆，后人称这个圆为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.在直角坐标系xOy中，已知，动点M满足，则面积的最大值为_________.

【答案】13

【分析】根据题意求点的方程与边，利用圆上的点到直线的最远距离为圆心到直线的距离加上半径，即可求出边的高，进而求出面积的最大值.

【详解】设点，

，故点的方程为.

直线的方程为

圆心到直线的距离.

设点到边的高为，

的最大值为.

故答案为：13.

15．已知双曲线C：的右顶点为A，右焦点为F，直线x－my＝0与双曲线左、右支分别交于M、N两点，其中＋＝2，M，A，P三点共线，则双曲线的渐近线方程为_________.

【答案】y＝2x

【分析】由题设令、，且是的中点，由中点公式求坐标，再由M，A，P三点共线及斜率两点式列方程求双曲线参数关系，进而可得渐近线方程.

【详解】由题设，，，若，则，且，

又＋＝2，即是的中点，故，

因为M，A，P三点共线，则，可得，

所以，故渐近线方程为.

故答案为：.

四、双空题

16．已知定点F(0,1)，点M为曲线C：上的动点.写出一条直线l，使得M到l的距离d与|MF|的差为定值，则l的方程可以是_________；此时d－|MF|＝_________.（答案不唯一，写出满足条件的一个结果即可）

【答案】     y＝－1(答案不唯一)     0(答案不唯一)

【分析】根据抛物线定义判断直线l与曲线C的准线位置关系，即可得l的方程，进而确定距离差.

【详解】由题设，曲线C的准线为，焦点为，

由抛物线定义，抛物线上的点到准线距离与到焦点的距离相等，

所以使动点M到l的距离d与|MF|的差为定值，直线l只需平行于准线即可(重合亦可)，

如：直线l为时，d－|MF|＝0.

故答案为：，0. (答案不唯一)

五、解答题

17．已知数列的前项和为，满足，，.

(1)记，求的通项公式；

(2)记，求的前63项和.

【答案】(1)；

(2).

【分析】(1)根据给定的递推公式变形可得是等差数列，利用等差数列定义求解作答.

(2)由(1)的结论求出的通项，再借助裂项相消法计算作答.

【详解】(1)数列的前项和为，因时，，则，

于是得，而，则当时，，数列是等差数列，

首项，公差，则有，

所以的通项公式.

(2)由(1)知，，，

，

所以的前63项和为.

18．已知中，为中线，，.

(1)若，求边的长；

(2)当面积最大时，求的值.

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）在中，利用正弦定理可知，利用余弦定理可求得；

（2）设，，利用余弦定理和基本不等式可求得，由此可确定面积最大值及取最大值的条件，进而得到；根据，利用正弦定理可求得结果.

【详解】(1)在中，，，

由正弦定理得：，则，

；

由余弦定理得：，

；

(2)为中点，；

设，，

由余弦定理得：，

解得：（当且仅当时取等号），

又，，

，此时，，

由正弦定理得：，

.

19．如图，在底面是菱形的四棱锥P－ABCD中，∠ABC＝60°，PA＝AC＝a，PB＝PD＝a，点E在PD上，且PE＝2ED.

(1)在棱PC上是否存在一点F，使BF∥平面AEC？如存在，求的值；如不存在，请说明理由；

(2)求与平面所成角的正弦值.

【答案】(1)存在，

(2)

【分析】根据题意建立如图所示空间直角坐标系，

（1）假设存在点F，使∥平面，求出平面的法向量，利用即可求解；

（2）利用（1）写出的坐标，求得平面的法向量和直线方向向量，利用向量的夹角公式即可求解.

【详解】(1)由ABCD为菱形，∠ABC＝60°，，则，

因，PB＝PD＝，则PA⊥AB，PA⊥AD，,

所以PA⊥平面ABCD.

以A为原点，AC所在直线为x轴，AP所在直线为z轴，与平面PAC垂直的直线为y轴建立

如图所示空间直角坐标系，则，，，， .

由PE＝2ED，得，即.

假设存在一点F，设，则，

设平面的一个法向量为，则

即，令，则

所以，

由∥平面，所以，

则，.即＝时，BF∥平面AEC，此时F为线段CP中点.

(2)由题意，平面的一个法向量，，

设与平面所成角的大小为，则

所以与平面所成角的正弦值为.

20．已知函数（a∈R）.

(1)当a＝2时，求f (x)的单调区间；

(2)若f (x)在区间(－3,1)内存在两个极值点，求a的取值范围.

【答案】(1)在(,－1)，(ln2,)上递增；在(－1,ln2)上递减；

(2)(1,2e－2).

【分析】（1）利用导数研究f (x)的单调区间.

（2）对函数求导得，将问题转化为y＝a与在 (－3,1)内有两个交点，再应用导数研究的单调性并确定其区间最值及边界值，进而可得a的范围.

【详解】(1)当a＝2时，由.

令，得或，故在，上递增；

令，得，故在上递减.

综上所述，f (x)在，上递增；在上递减.

(2)由题设，

由题意知：y＝a与在 (－3,1)内有两个交点.

由，，则在(－3,1)上递增.

而，，则在(－3,0)上，在(0,1)上，

所以在(－3,0)上递减，在(0,1)上递增

由g(－3)＝6－，g(0)＝1，g(1)＝2e－2，且g(－3)＞g(1).

故1＜a＜2e－2时，y＝a与g(x)＝的图象有两个交点.

即f (x)在(－3,1)上存在两个极值点时，a的取值范围为(1,2e－2).

21．某班科技活动小组在学校科技创新活动中，设计了一种班级电子显示屏的屏幕保护画面，采用班级活动照片组成的抽象符号“Y”和“C”随机地反复出现，每秒钟变化一次，每次变化只出现“Y”和“C”之一，并通过程序后台设置，使出现“Y”的概率为p，出现“C”的概率为q.这种屏保引起了某数学小组的关注，他们用数学的方法对这种屏保的变化特点展开研究，通过在一定时长里出现“Y”、“C”的频数估计出p与q的值；并在开始观察后，将第k次出现“Y”，记为；若出现“C”，则记为，同时令＝＋＋，并提出以下问题：

(1)当p＝，q＝时，求的分布列及数学期望；

(2)当且（i＝1，2，3，4）的概率最大时，求p，q.

【答案】(1)分布列见解析，

(2)p＝，q＝

【分析】（1）由题意，可得的取值为，，1，3，再分别求出概率就可以列出分布列和计算数学期望；

（2）当时，即前8秒出现“Y”的次数为5，出现“C”的次数为3.又已知（i＝1，2，3，4），分两种情况计算概率，然后再利用导数求解.

【详解】(1)的取值为，，1，3.

则，同理.

则的分布列为：

故.

(2)当时，即前8秒出现“Y”的次数为5，出现“C”的次数为3.

又已知（i＝1，2，3，4），则有：

若第1、3秒出现“Y”，则其余6秒可任意出现3次“Y”；

若第1、2秒出现“Y”，则第3秒出现“C”，则后5秒可任意出现3次“Y”；

故概率，

令，

，

当，当，

故在上单调递增，在上单调递减.

故当时，最大，此时，.

22．离心率为的椭圆C：的左、右焦点分别为，过右焦点且斜率为k的直线l与椭圆C交于A，B两点（A，B均不为椭圆的顶点），直线分别交y轴于M，N两点，.

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)若，求.

【答案】(1)

(2)或

【分析】（1）由题意，得到和，进而求得的值，即可求解；

（2）设直线，联立方程组求得，结合，求得 的表达式，得出，根据，求得的值，再根据椭圆的定义和焦半径公式，即可求解.

【详解】(1)解：由椭圆的离心率，可得，

又由椭圆的右焦点，可得，

所以，则，

所以椭圆的方程为.

(2)解：设直线，且，

联立方程组，整理得，

可得，

由，则有，故，同理，

则，

由，可得，

可得

整理的，解得或，

又由椭圆的定义，可得，

当时，可得；

当时，可得.