2022北京石景山区高三下学期一模考试数学试题含答案

石景山区2022年高三统一练习

数学

本试卷共6页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将答题卡交回.

第一部分（选择题共40分）

一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.

1. 设全集，集合，则（）

A.  B.

C.  D.

2. 若复数满足，则 (　　)

A. 1 B.  C.  D.

3. 从1，2，3，4，5中不放回地抽取2个数，则在第1次抽到偶数的条件下，第2次抽到奇数的概率是()

A.  B.  C.  D.

4. 设是直线，，是两个不同的平面，下列命题中正确的是（）

A. 若，，则

B. 若，，则

C. 若，，则

D. 若，，则

5. 已知圆C：，过点的直线l与圆C交于A，B两点，则弦长度的最小值为（）

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

6. 函数的图象大致为（）

A.  B.

C.  D.

7. 在等差数列中，，设数列的前项和为，则（）

A. 12 B. 99 C. 132 D. 198

8. 在中，，若，则的大小是（）

A.  B.  C.  D.

9. “”是“在上恒成立”的（）

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

10. 设A，B为拋物线C：上两个不同的点，且直线过抛物线的焦点，分别以A，B为切点作抛物线的切线，两条切线交于点．则下列结论：

①点一定在拋物线的准线上；

②；

③的面积有最大值无最小值．

其中，正确结论的个数是（）

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

第二部分（非选择题共110分）

二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.

11. 函数的定义域是_________．

12. 的展开式中的系数是______.（用数字填写答案）

13. 正项数列满足，．若，，则的值为_________．

14. 设点，分别为椭圆C：的左，右焦点，点是椭圆上任意一点，若使得成立的点恰好是4个，则实数的一个取值可以为_________．

15. 已知非空集合A，B满足：，，函数对于下列结论：

①不存在非空集合对，使得为偶函数；

②存在唯一非空集合对，使得为奇函数；

③存无穷多非空集合对，使得方程无解．

其中正确结论的序号为_________．

三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步稆或证明过程.

16. 已知函数只能同时满足下列三个条件中的两个：

①函数的最大值为2；

②函数的图象可由的图象平移得到；

③函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为．

（1）请写出这两个条件的序号，说明理由，并求出的解析式；

（2）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，求面积的最大值．

17. 某学校高一 、高二 、高三三个年级共有 名教师，为调查他们的备课时间情况，通过分层

抽样获得了名教师一周的备课时间 ，数据如下表（单位 ：小时）：

（1）试估计该校高三年级的教师人数 ；

（2）从高一年级和高二年级抽出的教师中，各随机选取一人，高一年级选出的人记为甲 ，高二年级选出的人记为乙 ，求该周甲的备课时间不比乙的备课时间长的概率 ；

（3）再从高一、高二、高三三个年级中各随机抽取一名教师，他们该周的备课时间分别是（单位： 小时），这三个数据与表格中的数据构成的新样本的平均数记为，表格中的数据平均数记为 ，试判断与的大小. （结论不要求证明）

18. 如图1，在平面四边形中，，，，．将沿翻折到的位置，使得平面平面，如图2所示．

（1）设平面与平面的交线为，求证：；

（2）在线段上是否存在一点（点不与端点重合），使得二面角的余弦值为，请说明理由．

19. 设函数．

（1）若，

①求曲线在点处的切线方程；

②当时，求证：．

（2）若函数在区间上存在唯一零点，求实数的取值范围．

20. 已知椭圆C：短轴长等于，离心率．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）过右焦点作斜率为的直线，与椭圆交于A，B两点，线段的垂直平分线交轴于点，判断是否为定值，请说明理由．

21. 若数列中存在三项，按一定次序排列构成等比数列，则称“等比源数列”．

（1）已知数列为4，3，2，1，数列为1，2，6，24，分别判断，否为“等比源数列”，并说明理由；

（2）已知数列通项公式为，判断是否为“等比源数列”，并说明理由；

（3）已知数列为单调递增的等差数列，且，，求证为“等比源数列”．

【1题答案】

【答案】A

【2题答案】

【答案】D

【3题答案】

【答案】D

【4题答案】

【答案】D

【5题答案】

【答案】B

【6题答案】

【答案】D

【7题答案】

【答案】C

【8题答案】

【答案】C

【9题答案】

【答案】B

【10题答案】

【答案】C

【11题答案】

【答案】

【12题答案】

【答案】

【13题答案】

【答案】

【14题答案】

【答案】0（答案不唯一）

【15题答案】

【答案】①③

16【答案】（1）满足①③，

（2）

【小问1详解】

（1）分析条件知①②矛盾，②③矛盾，故满足的条件为①③，

由③知，则

故

【小问2详解】

，由，由余弦定理得，当且仅当时等号成立

又，故面积最大值为

【17题答案】

【答案】（1）；（2）；（3）．

【详解】试题分析：（1）直接根据分层抽样方法，可得高三年级的教师共有（人）；（2）根据互斥事件、独立事件的概率公式求解；（3）分别求出三组总平均值，以及新加入的三个数的平均数为9，比较大小即可.

试题解析：（1）抽出的20位教师中，来自高三年级的有8名，

根据分层抽样方法，高三年级的教师共有（人）

（2）设事件为 “甲是现有样本中高一年级中的第个教师”，，

事件“乙是现有样本中高二年级中的第个教师”，，

由题意知：，，

设事件为“该周甲的备课时间比乙的备课时间长”，由题意知，

所以

故；

（3），，

三组总平均值，

新加入的三个数的平均数为9，比小，

故拉低了平均值，∴．

【18小问1详解】

证明：延长相交于点，连接，则为平面与平面的交线.

证明如下：

由平面平面，，平面，

且平面平面，所以平面，

又由，所以平面，

因为平面，所以，所以.

【小问2详解】

解：由（1）知：，

以为坐标原点，以所在的直线分别为轴、轴和轴建立空间直角坐标系，如图所示，

可得，则，

设其中，则，所以，

设平面的法向量为，则，

令，可得，所以，

又由平面，所以平面的一个法向量为，

则，解得，

所以存在点为的中点时，使得二面角的余弦值为.

19【小问1详解】

解：①当时，，可得，

则，

可得曲线在点处的切线方程，即.

②令，

则，

当，可得，在单调递减，

又因为，所以，即，即，

即当时，．

【小问2详解】

解：由函数，可得，

令，

当时，，即，在区间上单调递增，

因为，所以，

所以函数在区间上没有零点，不符合题意；

当时，函数的图象开口向上，且对称轴为，

由，解得，

当时，在区间上恒成立，

即，在区间上单调递减，

因为，所以，

所以函数在区间上没有零点，不符合题意；

综上可得，

设使得，

当时，，，单调递减；

当时，，，单调递增，

因为，要使得函数在区间上存在唯一零点，

则满足，解得，

所以实数的取值范围为.

20【小问1详解】

解：由椭圆C：的短轴长等于，离心率．

可得，解得，所以椭圆的方程为.

【小问2详解】

解：由椭圆的方程，可得右焦点，设直线的方程为，

联立方程组，整理得，

可得，

所以，则，即，

则中垂线的方程为，

令，可得，所以，

又由

，

所以（定值）.

21【小问1详解】

是“等比源数列”，不是“等比源数列”．

中“”构成等比数列，所以是“等比源数列”；

中“”，“”，“”，“”均不能构成等比数列，所以不是“等比源数列”．

【小问2详解】

不是“等比源数列”．

假设是“等比源数列”，因为是单调递增数列，即中存在的（）三项成等比数列，也就是，即，

，两边时除以得，

等式左边为偶数，

等式右边为奇数．

所以数列中不存在三项按一定次序排列构成等比数列．

综上可得不是“等比源数列”．

小问3详解】

证明：因为等差数列单调递增，所以．

因为则，且，所以数列中必有一项．

为了使得为“等比源数列”，只需要中存在第项，第项（），

使得成立，即，

即成立．

当，时，上式成立．所以中存在成等比数列．所以，数列为“等比源数列”．