人教版八年级下册19.2.3一次函数与方程、不等式导学案

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知识精讲
知识点01 一次函数与一元一次方程的关系
一次函数（≠0，为常数），当函数＝0时，就得到了一元一次方程，此时自变量的值就是方程＝0的解.所以解一元一次方程就可以转化为：当某一个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值.
从图象上看，这相当于已知直线（≠0，为常数），确定它与轴交点的横坐标的值.
注意：
（1）求一次函数与x轴的交点，令y=0，解出x即为与x轴交点的横坐标；
（2）一次函数（≠0，为常数）是一个关于x和y的二元一次方程，这个方程有无数组解，但若已知x的值（或y的值），即可求出y的值（或x的值）；
（3）若一次函数，满足等式 或，则函数必过点（m,n）;同理，若一次函数图像上有个点（m，n），则二元一次方程有一组解为；
知识点02 一次函数与二元一次方程组
每个二元一次方程组都对应两个一次函数，于是也对应两条直线.
从“数”的角度看，解方程组相当于考虑自变量为何值时两个函数的值相等，以及这时的函数为何值；从“形”的角度看，解方程组相当于确定两条直线交点的坐标.
注意：
（1）两个一次函数图象的交点与二元一次方程组的解的联系是：在同一直角坐标系中，两个一次函数图象的交点坐标就是相应的二元一次方程组的解.
反过来，以二元一次方程组的解为坐标的点一定是相应的两个一次函数的图象的交点.如一次函数与图象的交点为(3，－2)，则就是二元一次方程组的解.
（2）当二元一次方程组无解时，相应的两个一次函数在直角坐标系中的直线就没有交点，则两个一次函数的直线就平行.
反过来，当两个一次函数直线平行时，相应的二元一次方程组就无解.如二元一次方程组无解，则一次函数与的图象就平行，反之也成立.
（3）当二元一次方程组有无数组解时，则相应的两个一次函数在直角坐标系中的直线重合，反之也成立.
知识点03 方程组解的几何意义
1．方程组的解的几何意义：方程组的解对应两个函数的图象的交点坐标．
2．根据坐标系中两个函数图象的位置关系，可以看出对应的方程组的解情况：
根据交点的个数，看出方程组的解的个数；
根据交点的坐标，求出（或近似估计出）方程组的解．
3．对于一个复杂方程组，特别是变化不定的方程组，用图象法可以很容易观察出它的解的个数．
能力拓展
考法01 由一次函数求方程的解
【典例1】直线y＝ax+b（a≠0）过点A（0，2），B（1，0），则关于x的方程ax+b＝0的解为（ ）
A．x＝0B．x＝2C．x＝1D．x＝3
【答案】C
【解析】
【分析】
关于x的方程ax+b＝0的解为y＝ax+b图象与x轴交点的横坐标，再根据直线过点B(1，0)即可求解．
【详解】
解：方程ax+b＝0的解，即为函数y＝ax+b图象与x轴交点的横坐标，
∵直线y＝ax+b过B（1，0），
∴方程ax+b＝0的解是x＝1，
故选：C．
【点睛】
本题考查了一次函数与一元一次方程的关系，属于基础题．
【即学即练】若一次函数的图象如图所示，则关于的一元一次方程的解是______．
【答案】
【解析】
【分析】
一次函数与关于的一元一次方程的解是一次函数，当时，的值，由图像即可的出本题答案．
【详解】
解：∵由一次函数的图像可知，当 时，，
∴关于的一元一次方程的解就是．
故答案是：x=2．
【点睛】
本题主要考查了一次函数与关于的一元一次方程的解关系的知识，掌握一次函数，当时，的值就是关于的一元一次方程的解，是解答本题的关键．
【即学即练】一次函数（k、b为常数，且k≠0）的图象如图所示．根据图象信息可求得关于的方程的解为 ________．

【答案】；
【解析】
【分析】
直接结合图象求解出一次函数的解析式，再列出一元一次方程即可求解出值．
【详解】
∵一次函数过点，
∴，解得，
∴一次函数的解析式为：，
列方程，解得．
故答案为：．
【点睛】
本题考查了一次函数与一元一次方程的应用，能结合图象确定一次函数解析式，再列方程是解答本题的关键．
【即学即练】在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b（k、b为常数，且k≠0）的图象如图所示，根据图象中的信息可求得关于x的方程kx+b＝﹣1的解为_____．
【答案】x＝﹣2．
【解析】
【分析】
运用待定系数法求出函数的解析式，再把y＝﹣1代入，即可求出x的值.
【详解】
把（0，1）和（2，3）代入y＝kx+b得： ，
解得：k＝1，b＝1，
即y＝x+1，
当y＝﹣1时，x+1＝﹣1，
解得：x＝﹣2，
故答案为x＝﹣2．
【点睛】
本题考查用待定系数法求一次函数解析式，比较简单，熟练掌握待定系数法是解答本题的关键.
【即学即练】一次函数y＝kx＋b(k≠0)中，x与y的部分对应值如下表：
那么，一元一次方程kx＋b＝0在这里的解为________．
【答案】x＝1
【解析】
【分析】
此题实际上是求当y=0时，所对应的x的值．
【详解】
根据上表中的数据值，当y=0时，x=1，
即一元一次方程kx+b=0的解是x=1．
故答案是：x=1．
【点睛】
本题考查了一次函数与一元一次方程，认真体会一次函数与一元一次方程及一元一次不等式之间的内在联系，理解一次函数的增减性是解决本题的关键．
【即学即练】已知直线y＝（2m＋4）x＋m－3，求
（1）当m________时，y随x的增大而增大；
（2）当m________时，函数图象与y轴的交点在x轴下方；
（3）当m________时，函数图象经过原点；
（4）当m________时，这条直线平行于直线y＝－x．
【答案】（1）＞-2；（2）＜3；（3）=3；（4）=．
【解析】
【分析】
（1）根据函数的性质可得2m＋4＞0，解不等式即可；
（2）根据直线交于y轴的负半轴，可得m－3＜0，解不等式即可；
（3）直线过原点，可得m－3=0，解方程即可，
（4）根据两直线平行k值相等，可得2m＋4=-1，解方程即可．
【详解】
解：（1）∵直线y＝（2m＋4）x＋m－3，y随x的增大而增大；
∴2m＋4＞0
解得m＞-2，
故答案为＞-2；
（2）∵直线y＝（2m＋4）x＋m－3图象与y轴的交点在x轴下方；
∴m－3＜0；
解得m＜3,
故答案为＜3；
（3）∵直线y＝（2m＋4）x＋m－3图象经过原点，
∴m－3=0，
解得m=0，
故答案=3；
（4）∵直线y＝（2m＋4）x＋m－3平行于直线y＝－x．
∴2m＋4=-1，
解得，
故答案为=．
【点睛】
本题考查一次函数的性质，一元一次不等式的解法，一元一次方程的解法，掌握一次函数的有关性质是解题关键．
考法02 两直线的交点（由一次函数求解方程组）
【典例2】若直线y=x+a和直线y=x+b的交点坐标为(m，8)，则a+b=_________．
【答案】16
【解析】
【详解】
把(m，8)代入直线y=x+a和直线y=x+b有，8=-m+a,8=m+b,
两个式子相加有a+b=16.
【典例3】x=___________时，函数y=3x-2与函数y=5x+1有相同的函数值．
【答案】-
【解析】
【详解】
本题考查了函数值.根据有相同的函数值，也就是y的值相等解答
解：由题意得：3x-2=5x+1
解得：x=-
【即学即练】两个-一次函数和的图象的交点坐标是________.
【答案】
【解析】
【分析】
把两个函数解析式联立解关于x、y的二元一次方程组即可．
【详解】
解：联立两函数解析式得：，
解得：，
∴交点坐标为（-3，11）．
故答案为（-3，11）．
【点睛】
本题考查了两直线的交点坐标的求法，联立两直线解析式然后解方程组即可，是常用的方法，需熟练掌握．
【即学即练】已知一次函数与的图象交于点P，则点P的坐标为______．
【答案】(3,0)
【解析】
【分析】
解方程组，可得交点坐标.
【详解】
解方程组
，
得
，
所以，P(3,0)
故答案为(3,0)
【点睛】
本题考核知识点：求函数图象的交点. 解题关键点：解方程组求交点坐标.
【即学即练】如图，直线y＝ax＋b与直线y＝cx＋d相交于点(2，1)，则关于x的一元一次方程ax＋b＝cx＋d的解为__________．
【答案】x＝2
【解析】
【详解】
观察图象，∵直线y＝ax＋b与直线y＝cx＋d相交于点(2，1)，
∴关于x的一元一次方程ax＋b＝cx＋d的解为直线y＝ax＋b与直线y＝cx＋d交点的横坐标，
即x＝2，
故答案为：x=2.
【即学即练】直线与的图象如图所示，则方程组的解是________．
【答案】
【解析】
【分析】
根据一次函数与二元一次方程组的关系，交点坐标即为方程组的解．
【详解】
由图可知，交点坐标为（-2，1），
所以，方程组的解是，
故答案为.
【点睛】
本题考查了一次函数与二元一次方程（组），涉及了函数解析式与图象的关系，满足解析式的点就在函数的图象上，在函数的图象上的点，就一定满足函数解析式．函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解．
考法03 一次函数与坐标轴的交点
【典例4】直线与轴交点坐标为__________．
【答案】
【解析】
【分析】
利用一次函数图象上点的坐标特征，令y=0，求x，即为直线与x轴的交点坐标．
【详解】
解：当y=0时，，解得：
∴直线与轴交点坐标为
故答案为：．
【点睛】
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，利用数形结合思想解题是关键．
【典例5】如图，已知直线l1：y＝2x+1、直线l2：y＝﹣x+7，直线l1、l2分别交x轴于B、C两点，l1、l2相交于点A．
（1）求A、B、C三点坐标；
（2）求△ABC的面积．
【答案】(1) A（2，5），B（﹣0.5，0），C（7，0）； (2).
【解析】
【分析】
（1）联立两直线解析式，解方程即可得到点A的坐标，两直线的解析式令y＝0，求出x的值，即可得到点A、B的坐标；
（2）根据三点的坐标求出BC的长度以及点A到BC的距离，然后根据三角形的面积公式计算即可求解．
【详解】
解：（1）直线l1：y＝2x+1、直线l2：y＝﹣x+7联立得，，
解得，
∴交点为A（2，5），
令y＝0，则2x+1＝0，﹣x+7＝0，
解得x＝﹣0.5，x＝7，
∴点B、C的坐标分别是：B（﹣0.5，0），C（7，0）；
（2）BC＝7﹣（﹣0.5）＝7.5，
∴S△ABC＝×7.5×5＝．
故答案为(1) A（2，5），B（﹣0.5，0），C（7，0）； (2).
【点睛】
本题考查了两直线的相交问题，联立两直线的解析式，解方程即可得到交点的坐标，求直线与x轴的交点坐标，令y＝0即可，求直线与y轴的交点坐标，令x＝0求解．
【即学即练】如图，直线AD:与轴交于点，直线与轴、轴分别交于、两点，并与直线交于点．
（1）求点的坐标；
（2）求四边形的面积．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】
（1）把与联立组成二元一次方程组，解出的值，即可求出点D的坐标，
（2）分别求出点A，B，C的坐标，可得AB=5，BC=2,再分别求出和的面积，利用二者的面积差可求四边形面积．
【详解】
（1）直线AD与直线BC交于点D，
可列方程组：，
解得，
∴，
（2）∵直线与轴、轴分别交于、两点，
∴，，
∵直线中，当时，，解得，
∴，
又∵，
∴四边形的面积，
．
【点睛】
本题考查了两直线相交的问题，关键是掌握两直线相交时，就是联立两个函数解析式，组成方程组，解出方程组即可得到交点坐标．
考法04 函数图像法解方程
【典例6】根据一次函数y＝kx＋b的图象，直接写出下列问题的答案：
（1）关于x的方程kx＋b＝0的解；
（2）当时，代数式k＋b的值；
（3）关于x的方程kx＋b＝－3的解．
【答案】（l）；（2）；（3）
【解析】
【分析】
（1）利用函数图象写出函数值为0时对应的自变量的值即可；
（2）利用函数图象写出x＝1时对应的函数值即可；
（3）利用函数图象写出函数值为−3时对应的自变量的值即可．
【详解】
解：（1）当x＝2时，y＝0，
所以方程kx＋b＝0的解为：x＝2；
（2）当x＝1时，y＝−1，
所以代数式k＋b的值为−1；
（3）当x＝−1时，y＝−3，
所以方程kx＋b＝−3的解为：x＝−1．
【点睛】
本题考查了一次函数与一元一次方程，利用数形结合是求解的关键．
【即学即练】某校数学兴趣小组根据学习函数的经验，对函数的图象和性质进行了探究，探究过程如下：自变量x的取值范围是全体实数，x与y的几组对应值如下表：
(1)表中a的值为___；
(2)以每组对应值作为一个点的坐标，在平面直角坐标系中描出表中的所有点，并按照自变量从小到大的顺序连线，画出该函数的图象；
(3)进一步探究函数图象，发现：函数图象与x轴有___个交点，因此方程的解是___．
【答案】(1)-1
(2)见解析
(3)2；x1=−3，x2=1
【解析】
【分析】
（1）当x=-2时，y=|-2+1|-2=-1，则a=-1．
（2）描出表中以各对对应值为坐标的部分点，然后连线．
（3）根据函数图象即可得到结论．
(1)
解：当x=-2时，y=|-2+1|-2=-1，则a=-1．
故答案为：-1．
(2)
解：描点，连线，函数图象如图所示．
；
(3)解：进一步探究函数图象，发现：函数图象与x轴有2个交点，因此方程|x+1|-2=0的解是：x1=−3，x2=1．
故答案为：2；x1=−3，x2=1．
【点睛】
本题主要考查了函数图象和性质，函数图象上点的坐标特征，数形结合是解决本题关键．
【即学即练】请根据学习“一次函数”时积累的经验和方研究函数的图象和性质，并解决问题．

（1）填空：
①当x＝0时， ；
②当x＞0时， ；
③当x＜0时， ；
（2）在平面直角坐标系中作出函数的图象；
（3）观察函数图象，写出关于这个函数的两条结论；
（4）进一步探究函数图象发现：
①函数图象与轴有 个交点，方程有 个解；
②方程有 个解；
③若关于的方程无解，则的取值范围是 ．
【答案】（1）2；-x+2，x+2；（2）见解析；（3）函数图象关于y轴对称；当x=0时，y有最大值2；（4）①2 2；②1；③．
【解析】
【分析】
（1）利用绝对值的意义，分别代入计算，即可得到答案；
（2）结合（1）的结论，画出分段函数的图像即可；
（3）结合函数图像，归纳出函数的性质即可；
（4）结合函数图像，分别进行计算，即可得到答案；
【详解】
解：（1）①当x＝0时，；
②当x＞0时，；
③当x＜0时，；
故答案为：2；x+2；x+2；
（2）函数y＝|x|+2的图象，如图所示：
（3）函数图象关于y轴对称；
当x=0时，y有最大值2．（答案不唯一）
（4）①函数图象与轴有2个交点，方程有2个解；
②方程有1个解；
③若关于的方程无解，则的取值范围是．
故答案为：2；2；1；．
【点睛】
本题考查了一次函数的图像和性质，绝对值的意义，解题的关键是熟练掌握题意，正确的画出图像．
分层提分
题组A 基础过关练
1．如图，直线y=ax+b过点A（0，2）和点B（﹣3，0），则方程ax+b=0的解是（ ）
A．x=2B．x=0C．x=﹣1D．x=﹣3
【答案】D
【解析】
【详解】
∵方程ax+b=0的解是直线y=ax+b与x轴的交点横坐标，
∴方程ax+b=0的解是x=-3.
故选D.
2．如图，过A点的一次函数的图象与正比例函数y=2x的图象相交于点B，则这个一次函数的解析式是（ ）
A．y=2x+3B．y=x﹣3C．y=2x﹣3D．y=﹣x+3
【答案】D
【解析】
【详解】
解：设一次函数解析式为：y=kx+b，
∵过点A的一次函数的图象过点A（0，3），与正比例函数y=2x的图象相交于点B（1，2），
∴可得出方程组，
解得，
则这个一次函数的解析式为y=﹣x+3．
故选：D．
3．用图象法解某二元一次方程组时，在同一直角坐标系中作出相应的两个一次函数的图象（如图所示），则所解的二元一次方程组是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】
【详解】
解：设过点（1，1）和（0，-1）的直线解析式为y=kx+b，
则，解得，
所以过点（1，1）和（0，-1）的直线解析式为y=2x-1；
设过点（1，1）和（0，2）的直线解析式为y=mx+n，
则，即得，
所以过点（1，1）和（0，2）的直线解析式为y=-x+2，
所以所解的二元一次方程组为，
故选：D．
4．若以二元一次方程x+2y﹣b=0的解为坐标的点（x，y）都在直线y=﹣x+b﹣1上，则常数b=（ ）
A．B．2C．﹣1D．1
【答案】B
【解析】
【分析】
直线解析式乘以2后和方程联立解答即可．
【详解】
因为以二元一次方程x+2y﹣b=0的解为坐标的点（x，y）都在直线y=﹣x+b﹣1上，
直线解析式乘以2得2y=﹣x+2b﹣2，变形为：x+2y﹣2b+2=0，
所以﹣b=﹣2b+2，
解得：b=2，
故选B．
【点睛】
本题考查一次函数与二元一次方程问题，关键是直线解析式乘以2后和方程联立解答．
5．数形结合是解决数学问题常用的思想方法．如图，直线y=x+5和直线y=ax+b,相交于点P ,根据图象可知，方程x+5=ax+b的解是（ ）
A．x=20B．x=5C．x=25D．x=15
【答案】A
【解析】
【分析】
两直线的交点坐标为两直线解析式所组成的方程组的解．
【详解】
解：由图可知：
直线y=x+5和直线y=ax+b交于点P（20，25），
∴方程x+5=ax+b的解为x=20．
故选：A．
【点睛】
本题主要考查了一次函数与一元一次方程：任何一元一次方程都可以转化为ax+b=0 （a，b为常数，a≠0）的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值．从图象上看，相当于已知直线y=ax+b确定它与x轴的交点的横坐标的值．
6．在平面直角坐标系中，O为坐标原点．若直线y＝x+3分别与x轴、直线y＝﹣2x交于点A、B，则△AOB的面积为（ ）
A．2B．3C．4D．6
【答案】B
【解析】
【分析】
根据方程或方程组得到A(﹣3，0)，B(﹣1，2)，根据三角形的面积公式即可得到结论．
【详解】
解：在y＝x+3中，令y＝0，得x＝﹣3，
解得，，
∴A(﹣3，0)，B(﹣1，2)，
∴△AOB的面积＝3×2＝3，
故选：B．
【点睛】
本题考查了两直线与坐标轴围成图形的面积，求出交点坐标是解题的关键．
7．已知方程的解是，则函数的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
由方程的解是可得函数的图象与x轴的交点坐标为，据此判断即可．
【详解】
解：因为方程的解是，所以函数的图象与x轴的交点坐标为．
故选C．
【点睛】
本题考查了一次函数与一次方程的关系，解题的关键是正确理解方程的解是函数的图象与x轴的交点坐标为，注意方程与函数及函数图象的转化.
8．直线y=－2x+m与直线y=2x－1的交点在第四象限，则m的取值范围是（ ）
A．m＞－1B．m＜1C．－1＜m＜1D．－1≤m≤1
【答案】C
【解析】
【详解】
解：联立，
解得 ，
∵交点在第四象限，∴ ，
解不等式①得，m＞﹣1，解不等式②得，m＜1，
所以，m的取值范围是﹣1＜m＜1．
故选C．
题组B 能力提升练
9．如图，已知直线y＝ax+b和直线y＝kx交于点P，则关于x，y的二元一次方程组的解是_____．
【答案】.
【解析】
【分析】
直接根据函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解得到答案．
【详解】
解：∵直线y＝ax+b和直线y＝kx交点P的坐标为（1，2），
∴关于x，y的二元一次方程组的解为．
故答案为．
【点睛】
此题考查一次函数与二元一次方程（组），解题关键在于利用图象求解.
10．若方程和的公共解是，则直线与直线的交点坐标是________.
【答案】（2，－1）
【解析】
【分析】
根据二元一次方程组的解与一次函数交点的关系解答即可．
【详解】
若方程和的公共解是，则直线与直线的交点坐标是（2，－1）．
故答案为（2，－1）．
【点睛】
本题考查了二元一次方程组的解与一次函数交点的关系．熟练掌握两者的关系是解答本题的关键．
11．直线与直线的交点坐标是________.
【答案】
【解析】
【分析】
根据二元一次方程组的解与一次函数交点的关系解答即可．
【详解】
解得：，
∴直线与直线的交点坐标是（2，5）．
故答案为（2，5）．
【点睛】
本题考查了二元一次方程组的解与一次函数交点的关系．熟练掌握两者的关系是解答本题的关键．
12．观察下表，知方程的解是________．
【答案】
【解析】
【分析】
设，要求方程的解，就是求函数当y=2450时对应的x的值，观察表格即可得出.
【详解】
解：设，由题中所给表格，可知当时，，所以方程的解是．
【点睛】
本题考查了一次函数与一元一次方程的关系，本题重在理解，即要求方程的解，就是求函数当y=2450时对应的x的值，前者是从数的角度，后者是从形的角度，数形结合，相得益彰.
13．已知正比例函数的图象与一次函数的图象相交于点P，点A是x轴上一点，且，则点A的坐标是______.
【答案】或
【解析】
【分析】
联立两函数的解析式，可求得P点坐标，△POA中，以OA为底，P点纵坐标的绝对值为高，可求出△POA的面积表达式，已知了其面积为6，可求出OA的长，即A点横坐标的绝对值，由此可求出A点坐标．
【详解】
解：由解得
所以正比例函数的图象与一次函数的图象的交点P的坐标为，
所以，
解得，
所以点A的坐标是或.
故答案为或.
【点睛】
本题考查了函数图象交点和图形面积的求法．函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解．
题组C 培优拔尖练
14．如图，在平面直角坐标系中，直线的表达式为，点的坐标分别为
（1）求直线的表达式；
（2）求点的坐标.
【答案】（1）直线的表达式为；（2）点的坐标为
【解析】
【分析】
（1）利用待定系数法即可得到直线AB的表达式；
（2）联立解析式成方程组，解方程组即可得到点P的坐标．
【详解】
设直线的表达式为
由点的坐标分别为，可知
解得
∴直线的表达式为
由题意，得
解得
所以点的坐标为
【点睛】
此题主要考查了一次函数图象相交问题，以及待定系数法求一次函数解析式，熟练掌握是解题的关键.
15．如图，直线的函数解析式为，且与轴交于点，直线经过点、，直线、交于点．
（1）求直线的函数解析式；
（2）求的面积；
（3）在直线上是否存在点，使得面积是面积的倍？如果存在，请求出坐标；如果不存在，请说明理由．
【答案】（1）；（2）3；（3）在直线上存在点或，使得面积是面积的倍．
【解析】
【分析】
（1）根据点A、B的坐标利用待定系数法即可求出直线l2的函数解析式；
（2）令y=-2x+4=0求出x值，即可得出点D的坐标，联立两直线解析式成方程组，解方程组即可得出点C的坐标，再根据三角形的面积即可得出结论；
（3）假设存在点P，使得△ADP面积是△ADC面积的1.5倍，根据两三角形面积间的关系|yP|=1.5|yC|=3，再根据一次函数图象上点的坐标特征即可求出点P的坐标．
【详解】
解：（1）设直线的函数解析式为，
将、代入，
，解得：，
直线的函数解析式为．
（2）联立两直线解析式成方程组，
，解得：，
点的坐标为．
当时，，
点的坐标为．
．
（3）假设存在．
面积是面积的倍，
，
当时，，
此时点的坐标为；
当时，，
此时点的坐标为．
综上所述：在直线上存在点或，使得面积是面积的倍．
故答案为（1）；（2）3；（3）在直线上存在点或，使得面积是面积的倍．
【点睛】
本题考查两条直线相交或平行问题、一次函数图象上点的坐标特征以及待定系数法求一次函数解析式，根据给定点的坐标利用待定系数法求出函数解析式是解题的关键．
16．如图，已知直线l1:y=-2x+4与x、y轴分别交于点N、C，与直线l2:y=kx+b(k≠0)交于点M，点M的横坐标为1，直线l2与x轴的交点为A(-2，0)
（1）求k，b的值;
（2）求四边形MNOB的面积.
【答案】（1）k= ，b= ；（2）
【解析】
【分析】
（1）根据待定系数法可求出解析式，得到k、b的值;
（2）根据函数解析式与坐标轴的交点，可利用面积公式求出四边形的面积.
【详解】
（1）M为l1与l2的交点
令M(1，y)，代入y=2x+4中，解得y=2，
即M(1，2)，
将M(1，2)代入y=kx+b，得k+b=2①
将A(-2，0)代入y=kx+b，得-2k+b=0②
由①②解得k=，b=
（2）解：由(1)知l2:y=x+ ，当x=0时
y= 即OB=
∴S△AOB= OA·OB= ×2× =
在y=-2x+4令y=0，得N(2，0)
又因为A(-2，0)，故AN=4
所以S△AMN= ×AN×ym= ×4×2=4
故SMNOB=S△AMN-S△AOB=4-=.
【点睛】
考查了两条直线的相交问题，以及一次函数图象的点的特征，要熟练掌握．
17．如图，一次函数的图象与，轴分别交于，两点，点与点关于轴对称.动点，分别在线段，上（点与点，不重合），且满足.
（1）求点，的坐标及线段的长度；
（2）当点在什么位置时，，说明理由；
（3）当为等腰三角形时，求点的坐标.
【答案】（1）10；（2）当点的坐标是时，；（3）点的坐标是或.
【解析】
【分析】
（1）利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点，的坐标，结合点与点关于轴对称可得出点的坐标，进而可得出线段的长度；
（2）当点的坐标是时，，由点，的坐标可得出的长度，由勾股定理可求出的长度，进而可得出，通过角的计算及对称的性质可得出，，结合可证出，由此可得出：当点的坐标是时，；
（3）分，及三种情况考虑：①当时，由（2）的结论结合全等三角形的性质可得出当点的坐标是时；②当时，利用等腰三角形的性质结合可得出，利用三角形外角的性质可得出，进而可得出此种情况不存在；③当时，利用等腰三角形的性质结合可得出，设此时的坐标是，在中利用勾股定理可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论.综上，此题得解.
【详解】
解：（1）当时，，
点的坐标为；
当时，，解得：，
点的坐标为；
点与点关于轴对称，
点的坐标为，
.
（2）当点的坐标是时，，理由如下：
点的坐标为，点的坐标为，
，
.
，，，
.
和关于轴对称，
.
在和中，
.
当点的坐标是时，.
（3）分为三种情况：
①当时，如图1所示，由（2）知，当点的坐标是时，
，
此时点的坐标是；
②当时，则，
，
.
而根据三角形的外角性质得：，
此种情况不存在；
③当时，则，
，如图2所示.
设此时的坐标是，
在中，由勾股定理得：
，
，
解得：，
此时的坐标是.
综上所述：当为等腰三角形时，点的坐标是或.

【点睛】
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、两点间的距离、勾股定理、对称的性质、全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的性质，解题的关键是：（1）利用一次函数图象上点的坐标特征及对称的性质，找出点，，的坐标；（2）利用全等三角形的判定定理找出当点的坐标是时；（3）分，及三种情况求出点的坐标.
18．如图，已知一次函数y=﹣x+8的图象与x轴、y轴分别相交于点A、B，与一次函数y=x的图象相交于点C．
（1）求点C坐标．
（2）若点Q在直线AB上，且△OCQ的面积等于12，请求出点Q的坐标．
（3）小明在探究中发现：若P为x轴上一动点，将线段PC绕点P按顺时针方向旋转90°得线段PC'，在点P的运动过程中，点C′始终在某一直线上运动．请直接写出该直线所对应的函数关系式： ．
【答案】（1）点C的坐标为（4，3）；（2）Q点的坐标为（1，）或（7，﹣）；（3）y=x﹣7．
【解析】
【分析】
（1）解析式联立，解方程组即可求得C的坐标；
（2）求得A、B点的坐标，分两种情况讨论求得即可；
（3）设P的坐标为（m，0），作CM⊥x轴于M，C′N⊥x轴于N，通过证得△PCM≌△C′PN（AAS），求得C′（3+m，m-4），即可得出结论．
【详解】
（1）由方程组得，
∴点C的坐标为（4，3）；
（2）∵一次函数的图象与x轴、y轴分别相交于点A、B，
∴A（，0），B（0，8），
∵点Q在直线AB上，
∴设Q（x，），
当Q点在C的上方时，S△OCQ=S△OBC﹣S△OBQ=12，
∴×8×4﹣=12，解得，x=1，
∴此时Q的坐标为（1，）；
当Q点在线段AC上时，
S△OAC=××3=9.6<12，不存在，舍去；
当Q点在A的下方时，S△OCQ=S△OAC+S△OAQ=12，
∴××3+=12，解得，x=7，
∴此时Q的坐标为（7，﹣），
故Q点的坐标为（1，）或（7，﹣）；
（3）设P的坐标为（m，0），作CM⊥x轴于M，C′N⊥x轴于N，
∵C（4，3），
∴OM=4，CM=3，
∴PM=，
∵∠CPM+∠C′PN=90°=∠CPM+∠PCM，
∴∠C′PN=∠PCM，
在△PCM和△C′PN中，
，
∴△PCM≌△C′PN（AAS），
∴PN=CM=3，C′N=PM=4﹣m，
∴ON=3+m，
∴C′（3+m，m﹣4），
∴点C′始终在直线上y=x﹣7运动，
故答案为：y=x﹣7．
【点睛】
本题考查了两条直线相交问题，一次函数图像上点的坐标特征，三角形的面积，解题的关键：（1）解由解析式联立构成的方程组；（2）分类讨论；（3）表示出C′的坐标．课程标准
1. 能用函数观点看一次方程（组），能用辨证的观点认识一次函数与一次方程的区别与联系.
2. 在解决简单的一次函数的问题过程中，建立数形结合的思想及转化的思想．
x
－2
－1
0
1
2
y
9
6
3
0
－3
x
…
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
…
y
…
1
0
a
-2
-1
0
1
2
3
…