人教版八年级数学下册同步精品讲义 第20课 一次函数的应用（教师版+学生版）学案

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第20课 一次函数的应用

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课程标准
1. 能从实际问题的图象中获取所需信息；
2. 能够将实际问题转化为一次函数的问题并准确的列出一次函数的解析式；
3. 能利用一次函数的图象及其性质解决简单的实际问题；
4. 提高解决实际问题的能力．认识数学在现实生活中的意义，发展运用数学知识解决实际问题的能力．
知识精讲

知识点01 数学建模的一般思路
数学建模的关键是将实际问题数学化，从而得到解决问题的最佳方案、最佳策略.在建模的过程中，为了既合乎实际问题又能求解，这就要求在诸多因素中抓住主要因素进行抽象化简，而这一过程恰是我们的分析、抽象、综合、表达能力的体现.函数建模最困难的环节是将实际情景通过数学转化为什么样的函数模型.
知识点02 正确认识实际问题的应用
在实际生活问题中，如何应用函数知识解题，关键是建立函数模型，即列出符合题意的函数解析式，然后根据函数的性质综合方程（组）、不等式（组）及图象求解.
注意：
要注意结合实际，确定自变量的取值范围，这是应用中的难点，也是中考的热门考点.
知识点03 选择最简方案问题

分析问题的实际背景中包含的变量及对应关系，结合一次函数的解析式及图象，通过比较函数值的大小等，寻求解决问题的最佳方案，体会函数作为一种数学模型在分析解决实际问题中的重要作用.

能力拓展


考法01 简单的实际问题
【典例1】某市为了鼓励居民节约用水，决定实行两级收费制度．若每月用水量不超过14吨（含14吨），则每吨按政府补贴优惠价m元收费；若每月用水量超过14吨，则超过部分每吨按市场价n元收费．小明家3月份用水20吨，交水费49元；4月份用水18吨，交水费42元．
（1）求每吨水的政府补贴优惠价和市场价分别是多少？
（2）设每月用水量为x吨，应交水费为y元．请写出y与x之间的函数关系式．
【答案】（1）每吨水的政府补贴优惠价为2元，市场价是3.5元；（2）.
【解析】
【分析】
(1)由20=14+6，18=14+4，根据题意列方程组求解即可；
(2)分用水量不大于14吨和大于14吨两种情形求解即可.
【详解】
(1)根据题意，得，
解方程组，得，
答：每吨水的政府补贴优惠价为2元，市场价是3.5元；
(2)当0x≤14时，
y=2x；
当x＞14时，
y=2×14+3.5（x-14）
=3.5x-21；
∴y与x之间的函数关系式为.
【点睛】
本题考查了二元一次方程组的应用，函数关系式的确定，把生活实际问题转化为数学的方程组模型和函数模型是解题的关键.
【即学即练】如图OB、AB分别表示甲、乙两名同学运动的一次函数图象，图中s和t分别表示运动路程和时间，已知甲的速度比乙快，下列说法：①甲让乙先跑12米；② 甲的速度比乙快1.5米/秒；③ 8秒钟内，乙在甲前面；④ 8 秒钟后，甲超过了乙，其中正确的说法是（ ）

A．① ② B．① ③ ④ C．② ③ D．① ② ③ ④
【答案】D
【解析】
【分析】
根据图形可以得出乙比甲先跑了12米，甲的速度比乙快1.5米/秒，8秒钟内，乙在甲前面，8秒钟后，甲超过了乙．
【详解】
解：①由图形，t＝0时，甲在乙前边12米，即甲让乙先跑12米，故①正确；
②当t＝8秒时，甲追上了乙，所以甲的速度比乙快12÷8＝1.5米/秒，故②正确；
③8秒钟内，AB在OB的上面，即可知乙在甲前面，故③正确；
④8秒钟内，AB在OB的下面，即可知甲超过了乙，故④正确．
故选D．
【点晴】
本题考查了一次函数的运用，结合图形求解．在做题中一定要注意数形结合的思想，是解决很多问题的基本思路，图形可清楚的说明很多问题．
考法02 方案选择问题
【典例2】某办公用品销售商店推出两种优惠方法：①购1个书包，赠送1支水性笔；②购书包和水性
笔一律按9折优惠．书包每个定价20元，水性笔每支定价5元．小丽和同学需买4个书包，
水性笔若干支（不少于4支）．
（1）分别写出两种优惠方法购买费用y（元）与所买水性笔支数x（支）之间的函数关系式；
（2）对的取值情况进行分析，说明按哪种优惠方法购买比较便宜；
（3）小丽和同学需买这种书包4个和水性笔12支，请你设计怎样购买最经济．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析
【解析】
【详解】
解：
(1)设按优惠方法①购买需用y1元,按优惠方法②购买需用y2元
y1=(x−4)×5+20×4=5x+60，
y2=(5x+20×4)×0.9=4.5x+72.
(2)分为三种情况：①∵设y1=y2，
5x+60=4.5x+72，
解得：x=24，
∴当x=24时，选择优惠方法①，②均可；
②∵设y1>y2，即5x+60>4.5x+72，
∴x>24.当x>24整数时,选择优惠方法②;
③当设y1 ∴x<24
∴当4⩽x<24时,选择优惠方法①.
(3) 因为需要购买4个书包和12支水性笔，而12<24，
购买方案一：用优惠方法①购买，需5x+60=5×12+60=120元；
购买方案二：采用两种购买方式，用优惠方法①购买4个书包，
需要4×20=80元，同时获赠4支水性笔；       
用优惠方法②购买8支水性笔，需要元．
共需80+36=116元．显然116<120．                       
最佳购买方案是：
用优惠方法①购买4个书包，获赠4支水性笔；再用优惠方法②购买8支水性笔．
【即学即练】联通公司手机话费收费有A套餐(月租费15元，通话费每分钟0.1元)和B套餐(月租费0元，通话费每分钟0.15元)两种．设A套餐每月话费为(元)，B套餐为(元)，月通话时间为x分钟．
(1)分别表示出与x，与x的函数关系式；
(2)月通话时间多长时，A，B两种套餐收费一样？
(3)某客户每月的通话时间大概是500分钟，他应该选择哪种套餐更省钱？
(4)如果某公司规定员工的话费最多是200元，他应该选择哪种套餐？
【答案】（1）y1=0.1x+15，y2=0.15x；（2）300分钟；（3）A套餐；（4）A套餐．
【解析】
【分析】
(1)根据A套餐的收费为月租加上话费，B套餐的收费为话费列式即可；
(2)根据两种收费相同列出方程，求解即可；
(3)由当时A套餐更省钱，即当x＞300时，A套餐优惠；否则B套餐优惠，据此解答即可；
(3)令y1=200和y2=200元，分别求得x，选x较大的实惠．
【详解】
解：(1)由题意可知，A套餐的收费方式：，
B套餐的收费方式为：．
(2)由，得，
解得，
即月通话时间为300分钟时，A，两种套餐收费一样．
(3)当时A套餐更省钱，
即，解得
因为500＞300分钟时，
所以他应选选A套餐；
（4）令y1=200，有200=0.1x+15，解得：x=1850；
令y2=200，有200=0.15x，解得：x≈1333；
∵1850＞1333
∴应选择A套餐．
【点睛】
本题考查一次函数的应用，明确题意、找出所求问题需要的条件并列出相应的方程和不等式是解答本题的关键．
【典例3】某家电销售商城电冰箱的销售价为每台元，空调的销售价为每台元，每台电冰箱的进价比每台空调的进价多元，商场用元购进电冰箱的数量与用元购进空调的数量相等．
（1）求每台电冰箱与空调的进价分别是多少？
（2）现在商场准备一次购进这两种家电共台，设购进电冰箱台，这台家电的销售总利润元，要求购进空调数量不超过电冰箱数量的倍，且购进电冰箱不多于台，请确定获利最大的方案以及最大利润．
（3）实际进货时，厂家对电冰箱出厂价下调元，若商店保持这两种家电的售价不变，请你根据以上信息及（2）中条件，设计出使这台家电销售总利润最大的进货方案．
【答案】（1）每台空调的进价为元，则每台电冰箱的进价为元；（2）当购进电冰箱台，空调台获利最大，最大利润为元；（3）当时，购进电冰箱台，空调台销售总利润最大；当时，，各种方案利润相同；当时，购进电冰箱台，空调台销售总利润最大
【解析】
【分析】
设每台空调的进价为元，则每台电冰箱的进价为元，根据商城用元购进电冰箱的数量与用元购进空调的数量相等”，列出方程，即可解答；
设购进电冰箱台，这台家电的销售总利润为元，则，由题意：购进空调数量不超过电冰箱数量的倍，且购进电冰箱不多于台，列出不等式组，解得，再由为正整数，的，，，，，，，即合理的方案共有种，然后由一次函数的性质，确定获利最大的方案以及最大利润；
当电冰箱出厂价下调元时，则利润，分三种情况讨论：当；当时；当；利用一次函数的性质，即可解答．
【详解】
解：设每台空调的进价为元，则每台电冰箱的进价为元，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
，
答：每台空调的进价为元，则每台电冰箱的进价为元．
设购进电冰箱台，这台家电的销售总利润为元，
则，
根据题意得：，
解得：，
为正整数，
，，，，，，，
合理的方案共有种，
即电冰箱台，空调台；
电冰箱台，空调台；
电冰箱台，空调台；
电冰箱台，空调台；
电冰箱台，空调台；
电冰箱台，空调台；
电冰箱台，空调台；
，，
随的增大而减小，
当时，有最大值，最大值为：元，
答：当购进电冰箱台，空调台获利最大，最大利润为元．
当厂家对电冰箱出厂价下调元，若商店保持这两种家电的售价不变，
则利润，
当，即时，随的增大而增大，
，
当时，这台家电销售总利润最大，即购进电冰箱台，空调台；
当时，，各种方案利润相同；
当，即时，随的增大而减小，
，，
当时，这台家电销售总利润最大，即购进电冰箱台，空调台；
答：当时，购进电冰箱台，空调台销售总利润最大；
当时，，各种方案利润相同；
当时，购进电冰箱台，空调台销售总利润最大．
【点睛】
本题考查了列分式方程的应用、一元一次不等式组的应用以及一次函数的应用，找准数量关系，正确列出分式方程和一元一次不等式组是解题的关键．
【典例4】某送奶公司计划在三栋楼之间建一个取奶站，三栋楼在同一条直线，顺次为A楼、B楼、C楼，其中A楼与B楼之间的距离为40米，B楼与C楼之间的距离为60米．已知A楼每天有20人取奶，B楼每天有70人取奶，C楼每天有60人取奶，送奶公司提出两种建站方案．
方案一：让每天所有取奶的人到奶站的距离总和最小；
方案二：让每天A楼与C楼所有取奶的人到奶站的距离之和等于B楼所有取奶的人到奶站的距离之和．
(1)若按照方案一建站，取奶站应建在什么位置?
(2)若按照方案二建站，取奶站应建在什么位置?
【答案】（1）按方案一建奶站，取奶站应建在B楼处．（2）按方案二建奶站，取奶站应建在距A楼80米处．
【解析】
【分析】
（1）设取奶站建在距A楼米处，所有取奶的人到奶站的距离总和为米，分0≤≤40和40＜≤100两种情况表示出y的值，结合一次函数的增减性和取值范围取最小值.
（2）设取奶站建在距A楼米处，分0≤≤40和40＜≤100两种情况列出方程，解方程即可（需省略不符合题意的解）.
【详解】
.解：(1)设取奶站建在距A楼米处，所有取奶的人到奶站的距离总和为米．
①当0≤≤40时，
＝20＋70(40－)＋60(100－)＝－1l0＋8800．
∴当＝40时，的最小值为4 400．
②当40＜≤100时，
＝20＋70(－40)＋60(100－)＝30＋3200．
此时，的值大于4400．
因此按方案一建奶站，取奶站应建在B楼处．
(2)设取奶站建在距A楼米处．
①当0≤≤40时，20＋60(100－)＝70(40－)，
解得x=-<0（舍去）．
②当40＜≤100时，20＋60(100－)＝70(－40)，
解得＝80，因此按方案二建奶站，取奶站应建在距A楼80米处．
【点睛】
本题考察用一次函数解决实际问题，用一元一次方程解决实际问题.能分类讨论是解决此题的关键，另外还需要掌握一次函数的性质，能根据函数的增减性，结合自变量的取值范围确定函数的最值.
分层提分

题组A 基础过关练
1．油箱中存油20升，油从油箱中均匀流出，流速为0.2升/分钟，则油箱中剩余油量 Q(升)与流出时间t(分钟)的函数关系是(       )
A．Q＝0.2t B．Q＝20﹣0.2t
C．t＝0.2Q D．t＝20﹣0．2Q
【答案】B
【解析】
【分析】
根据“油箱中剩余的油量=原有存油量-流出的油量”结合题中已知条件列式表达即可．
【详解】
由题意可得：Q=20-0.2t．
故选B．
【点睛】
读懂题意，知道“油箱中剩余的油量=原有存油量-流出的油量”是解答本题的关键．
2．汽车由A市驶往相距120km的B市，它的平均速度是30km/h，则汽车距B市的路程s(km)与行驶时间t(h)的函数关系式及自变量的取值范围是                            （        ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据题意列出函数关系式即可.
【详解】
∵它的平均速度是30km/h，
∴汽车距B市的路程s(km)与行驶时间t(h)的函数关系式及自变量的取值范围是
故选D.
【点睛】
此题主要考查一次函数的关系式，解题的关键是根据题意找到等量关系.
3．一根弹簧原长12 cm，它所挂的重量不超过10 kg，并且挂重1 kg就伸长1.5 cm，写出挂重后弹簧长度y(cm)与挂重x(kg)之间的函数关系式是(　　)
A．y＝1.5(x＋12)(0≤x≤10) B．y＝1.5x＋12(0≤x≤10)
C．y＝1.5x＋12(x≥0) D．y＝1.5(x－12)(0≤x≤10)
【答案】B
【解析】
【分析】
根据函数的概念：函数中的每个值x，变量y按照一定的法则有一个确定的值y与之对应，解答即可．
【详解】
解：设挂重为x，则弹簧伸长为1.5x，
挂重后弹簧长度y（cm）与挂重x（kg）之间的函数关系式是：
y=1.5x+12   （0≤x≤10）．
故选：B．
【点睛】
关键在于根据题意列出等式，然后再变形为要求的形式．
4．甲、乙两人骑车从学校出发，先上坡到距学校6千米的A地，再下坡到距学校16千米的B地，甲、乙两人行驶的路程y（千米）与时间x（小时）之间的函数关系如图所示，若甲、乙两人同时从B地按原路返回到学校，返回时，甲和乙上、下坡的速度仍保持不变，则下列说法错误的是（       ）

A．乙经过小时追上甲
B．甲的速度为12km/h
C．在返回途中二人相遇时离A地的距离是4km
D．乙上坡的速度为10km/h
【答案】C
【解析】
【分析】
首先求出甲，乙两人的上下坡速度，上坡时甲与乙之间的距离是越来越大的，甲在乙前面，到了下坡乙追上甲，设小时乙追上甲，列出方程即可解决问题．
【详解】
乙上坡的速度为：（千米/小时），下坡的速度为：（ 千米/小时）
甲的速度为：（千米/小时），
上坡时，甲与乙之间的距离是越来越大的，甲在乙的前面，到了下坡乙追上甲，设小时乙追上甲，则：，
解得：（小时），
此时距离A地的距离为：（千米），
综上所述：A，B，D正确，C错误，
故选：C．
【点睛】
本题考查了一次函数的应用，速度，时间，路程之间的关系等知识，解题的关键是理解题意，学会构建方程解决问题．
5．甲、乙两车从A地出发，沿同一路线驶向B地．甲车先出发匀速驶向B地，40min后，乙车出发，匀速行驶一段时间后，在途中的货站装货耗时半小时．由于满载货物，为了行驶安全，速度减少了50km/h，结果与甲车同时到达B地．甲乙两车距A地的路程y（km）与乙车行驶时间x（h）之间的函数图象如图所示，则下列说法中正确的有（     ）
①；②甲的速度是60km/h；③乙出发80min追上甲；④乙刚到达货站时，甲距B地180km．


A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】A
【解析】
【分析】
由线段DE所代表的意思，结合装货半小时，可得出a的值，从而判断出①成立；结合路程=速度×时间，能得出甲车的速度，从而判断出②成立；设出乙车刚出发时的速度为x千米/时，则装满货后的速度为（x-50）千米/时，由路程=速度×时间列出关于x的一元一次方程，解出方程即可得知乙车的初始速度，由甲车先跑的路程÷两车速度差即可得出乙车追上甲车的时间，从而得出③成立；由乙车刚到达货站的时间，可以得出甲车行驶的总路程，结合A、B两地的距离即可判断④也成立．综上可知①②③④皆成立．
【详解】
∵线段DE代表乙车在途中的货站装货耗时半小时，
∴a=4+0.5=4.5(小时)，即①成立；
40分钟=小时，
甲车的速度为460÷(7+)=60(千米/时)，
即②成立；
设乙车刚出发时的速度为x千米/时,则装满货后的速度为(x−50)千米/时，
根据题意可知：4x+(7−4.5)( x−50)=460，
解得：x=90.
乙车发车时,甲车行驶的路程为60×23=40(千米)，
乙车追上甲车的时间为40÷(90−60)=(小时), 小时=80分钟，即③成立；
乙车刚到达货站时,甲车行驶的时间为(4+)小时，
此时甲车离B地的距离为460−60×(4+)=180(千米)，
即④成立.
综上可知正确的有：①②③④.
故选A.
【点睛】
本题考查一次函数的应用——行程问题，解决此类题的关键是，要读懂图象，看清横纵坐标所代表的数学量，及每段图象所代表的情况.
6．甲无人机从地面起飞，乙无人机从距离地面20m高的楼顶起飞，两架无人机同时匀速上升10s．甲、乙两架无人机所在的位置距离地面的高度y（单位：m）与无人机上升的时间x（单位：s）之间的关系如图所示．下列说法正确的是（ ）

A．5s时，两架无人机都上升了40m
B．10s时，两架无人机的高度差为20m
C．乙无人机上升的速度为8m/s
D．10s时，甲无人机距离地面的高度是60m
【答案】B
【解析】
【分析】
根据题意结合图象运用待定系数法分别求出甲、乙两架无人机距离地面的高度y（米）和上升的时间x（分）之间的关系式，进而对各个选项作出判断即可．
【详解】
解：设甲的函数关系式为，把(5，40)代入得：，解得，
∴，
设乙的函数关系式为，把(0，20) ，(5，40)代入得：
，解得，
∴，
A、5s时，甲无人机上升了40m，乙无人机上升了20m，不符合题意；
B、10s时，甲无人机离地面80m，
乙无人机离地面60m，相差20m，符合题意；
C、乙无人机上升的速度为m/s，不符合题意；
D、10s时，甲无人机距离地面的高度是80m．
故选：B．
【点睛】
本题考查了一次函数的应用，涉及的知识有：待定系数法求一次函数解析式，一次函数的性质，读懂图形中的数据是解本题的关键．
7．小李同学长大后当上了个体老板，一次他准备租用甲、乙两种货车将200吨货物运回眉山卖给厂家，两种货车的载货量和租金如下表所示：

甲种货车
乙种货车
载货量（吨/辆）
25
20
租金（元/辆）
2000
1800

请问：李老板最少要花掉租金（       ）．A．15000元 B．16000元 C．18000元 D．20000元
【答案】B
【解析】
【分析】
设需要租用甲种货车x辆，则租用乙种货车辆，需要的费用为y元，用x将y表示出来，进行判断即可．
【详解】
解：设需要租用甲种货车x辆，则租用乙种货车辆，需要的费用为y元，根据题意得：
，
∵，
∴，
∴当时，y最小，最小值为：
（元），
即李老板最少要花掉租金16000元，故B正确．
故选：B．
【点睛】
本题主要考查了一次函数的应用，列出一次函数的解析式是解题的关键．
8．联通公司推出两种手机收费方案．方案一：月租费36元，本地通话话费元/分；方案二：不收月租费，本地通话费为元/分．设小明的爸爸一个月通话时间为分钟．小明爸爸一个月通话时间为多少时，选择方案一比方案二优惠（       ）
A．60分钟 B．70分钟 C．72分钟 D．80分钟
【答案】D
【解析】
【分析】
设小明的爸爸一个月通话时间为分钟，可得方案一：，方案二：，根据当方案一比方案二优惠知，求解即可．
【详解】
方案一：月租费36元，本地通话话费元/分；
方案二：不收月租费，本地通话费为元/分．
设小明的爸爸一个月通话时间为分钟．
方案一： ，
方案二：，
当方案一比方案二优惠，则 ，
解得： ．
故选：D．
【点睛】
本题考查了一元一次不等式、一次函数的应用，正确理解题意，列出不等式是解题的关键．
题组B 能力提升练
9．甲骑摩托车从A地去B地，乙开汽车从B地去A地，同时出发，匀速行驶，各自到达终点后停止，设甲、乙两人间距离为s（单位：千米），甲行驶的时间为t（单位：小时），s与t之间的函数关系如图所示，有下列结论：
①出发1小时时，甲、乙在途中相遇；
②出发1.5小时时，乙比甲多行驶了60千米；
③出发3小时时，甲、乙同时到达终点；
④甲的速度是乙速度的一半．
其中，正确结论的个数是（　　）

A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】B
【解析】
【详解】
解：由图象可得：出发1小时，甲、乙在途中相遇，故①正确；

甲骑摩托车的速度为：120÷3=40（千米/小时），设乙开汽车的速度为a千米/小时，
则，
解得：a=80，
∴乙开汽车的速度为80千米/小时，
∴甲的速度是乙速度的一半，故④正确；
∴出发1．5小时，乙比甲多行驶了：1．5×（80﹣40）=60（千米），故②正确；
乙到达终点所用的时间为1．5小时，甲得到终点所用的时间为3小时，故③错误；
∴正确的有①②④，共3个，
故选B．
10．某市出租车价格是这样规定的：不超过2千米付车费5元，超过的部分按每千米1.6元收费，已知李老师乘出租车行驶了x（）千米，付车费y元，则所付车费y元与出租车行驶的路程x千米之间的关系式为____________．
【答案】(x>2)
【解析】
【分析】
根据题意表述：不超过2公里，付车费5元，超过的部分按每千米1.6元收费，及x>2，可表示出y与x的函数关系．
【详解】
解：由题意得，李老师乘出租车行驶了x（x>2）千米，
故可得：y=5+（x-2）×1.6=1.6x+1.8(x>2)．
故答案为：y=1.6x+1.8(x>2)．
【点睛】
本题考查了根据实际问题列函数关系式的知识，解答本题的关键是仔细审题，知道收费标准，另外题意中的x>2是很有用的一个条件，不要忽略．
11．元旦期间，大兴商场搞优惠活动，其活动内容是：凡在本商场一次性购买商品超过100元者，超过100元的部分按8折优惠．在此活动中，小明到该商场一次性购买单价为60元的礼盒（）件，则应付款（元）与商品数（件）之间的关系式，化简后的结果是______．
【答案】y=48x+20（x＞2）##y=20+48x（x＞2）
【解析】
【分析】
根据已知表示出买x件礼盒的总钱数以及优惠后价格，进而得出等式即可．
【详解】
解：∵凡在该商店一次性购物超过 100元者，超过100元的部分按8折优惠，李明到该商场一次性购买单价为60元的礼盒x（x＞2）件，
∴李明应付货款y（元）与礼盒件数x（件）的函数关系式是：
y=（60x-100）×0.8+100=48x+20（x＞2），
故答案为：y=48x+20（x＞2）．
【点睛】
本题主要考查了根据实际问题列一次函数解析式，根据已知得出货款与礼盒件数的等式是解题关键．
12．如果购买荔枝所付金额y（元）与购买数量x（千克）之间的函数图像由线段OA与射线AB组成（如图所示），那么购买3千克荔枝需要付______元．

【答案】56
【解析】
【分析】
运用待定系数法求出线段AB所丰直线解析式，再把x=3代入解析式，求出相应的y的值即可．
【详解】
解：设AB的解析式为，
将，代入得，
，
解得：，
∴，
当时，．
故答案为：56．
【点睛】
本题考查了一次函数的应用，解决本题的关键是求出线段射线AB的函数解析式．
13．现防疫已成为常态化，防疫包成为每个家庭的必需品，某药品商店配制防疫包进行售卖，防疫包包含一次性医用口罩，医用棉签，消毒液，医用橡胶手套若干个，一包医用棉签的成本价为一个医用口罩的4倍，一瓶消毒液和一副医用手套成本价之和为一包医用棉签成本价的3倍，一瓶消毒液成本价与一副医用手套成本价之差为一个医用口罩的2倍．商店根据需求配置甲，乙，丙三种防疫包，甲包含若干个医用口罩（个数介于10和20之间），1包医用棉签，1瓶消毒液，2副医用手套，乙包含5个医用口罩，含5个医用手套，2包医用棉签，一瓶消毒液，3副医用手套，丙包含4个医用口罩，1包医用棉签，2瓶消毒液，2副医用手套，每种防疫包的成本等于四种物品的成本之和，每个甲种防疫包利润率为，丙种防疫包利润率为，乙种防疫包利润率为甲和丙的平均数．一小区过年为360户业主每户分发一个防疫包作为新年礼物，从该商店购买甲种防疫包100个，最终商店获得的总利润率等于单个乙防疫包的利润率．经调查，三种防疫包中更受欢迎的是乙防疫包，为了更多购买乙防疫包，则该小区购买丙种防疫包__________个．
【答案】100
【解析】
【分析】
先将甲乙丙三种防疫包列表，设口罩成本价为m，一包医用棉签的成本价为4m，一瓶消毒液成本为a,一副医用手套成本价b，根据等量关系一瓶消毒液和一副医用手套成本价之和为一包医用棉签成本价的3倍，一瓶消毒液成本价与一副医用手套成本价之差为一个医用口罩的2倍．列方程组解方程组得出，求出甲乙丙的成本，根据总获利等于三种防疫包利润之和，列等式得出，根据，列不等式，解不等式即可．
【详解】
解：

口罩
棉签
手套
消毒液
甲
10~20
1
2
1
乙
5
2
5
1
丙
4
1
3
2

设口罩成本价为m，一包医用棉签的成本价为4m，
设一瓶消毒液成本为a,一副医用手套成本价b，
根据题意，
解得，
设乙种防疫包购进n个，丙360-100-n=(260-n)个，甲防疫包中x个口罩，
甲防疫包成本4m+10m+7m+xm31m=(21+x)m，
乙防疫包成本5m+8m+35m+5m=53m，
丙防疫包成本4m+4m+21m+10m=39m，
∵每个甲种防疫包利润率为，丙种防疫包利润率为，
乙种防疫包利润率为．
，整理得39n+100x=8040，
∴，
∵，即，
解得，
∵三种防疫包中更受欢迎的是乙防疫包，
∴n=160，
丙：260-n=100，
∴该小区购买丙种防疫包100个，
故答案为100．
【点睛】
本题考查列代数式，列二元一次方程组解应用题，成本，利率，利润三者关系，函数关系式，列不等式组，解不等式组，最值，平均数，掌握列代数式，列二元一次方程组解应用题，成本，利率，利润三者关系，函数关系式，列不等式组，解不等式组，最值，平均数是解题关键．
14．在平面直角坐标系中，点A（－2，4），点B（4，2），点P为x轴上一动点，当PA＋PB的值最小时，此时点P的坐标为____________．
【答案】（2，0）
【解析】
【分析】
作点B关于x轴的对称点B'，连接AB′交x轴于点P，则点P即为所求．此时，PA+PB的值最小，可得出B′（4，-2），利用待定系数法求出AB′的解析式，即可得点P的坐标．
【详解】
作点B关于x轴的对称点B'，连接AB′交x轴于点P，则点P即为所求．此时，PA+PB的值最小，

∵点B（4，2）．
∴B′（4，-2），
设直线AB′的解析式为y=kx+b，
∵点A（-2，4），点B′（4，-2）．
∴，
解得：，
∴直线AB′的解析式为y=-x+2，
当y=0时，-x+2=0，解得：x=2，
∴点P的坐标（2，0）；
【点睛】
本题主要考查最短路线问题；若两点在直线的同一旁，则需作其中一点关于这条直线的对称点．
题组C 培优拔尖练
15．为了加强训练，迎接中考体育考试，某校某班准备集体购买一批足球和排球，购买2个足球和5个排球需270元；购买4个足球和3个排球需260元．
(1)求足球和排球的单价各是多少？
(2)若某班上计划购买足球和排球共50个，且购买的排球数不低于足球数的3倍，求足球和排球各购买多少个时，所需费用最低？最低费用为多少？
【答案】(1)足球和排球的单价各是35，40元；
(2)足球和排球各购买12，38个时，所需费用最低，最低费用为1940元．
【解析】
【分析】
（1）设足球和排球的单价各是x，y元，根据题意，列二元一次方程组求解即可；
（2）设所需费用为w元，购买足球的个数为m个，则排球的个数为（50-m）个，根据题意列出w与m的函数关系式，利用函数的性质求解即可．
(1)
解：设足球和排球的单价各是x，y元，根据题意可得
，解得
答：足球和排球的单价各是35，40元；
(2)
解：设所需费用为w元，购买足球的个数为m个，则排球的个数为（50-m）个，
由题意可得：，解得，

∵
∴随的增大而减小，
又∵，且为整数
∴时，最小，为1940，
50-m=38
答：足球和排球各购买12，38个时，所需费用最低，最低费用为1940元．
【点睛】
此题考查了二元一次方程组的应用，一次函数的应用，解题的关键是理解题意，找到等量关系和不等式关系，正确列出方程、函数以及不等式．
16．某商场每周固定购进100套某种体育用品进行销售．经统计发现：当售价不超过20元时，该体育用品会全部售完；当售价达到45元时，该体育用品会无法售出；当售价不少于20元且不超过45元时，销量（套）是售价（元）的一次函数．
(1)求当时，与的函数关系式；
(2)当售价为多少元时，该体育用品的周销售额达到最大？并求出最大值．
【答案】(1)
(2)当售价为22.5元时，该体育用品的日销售额达到最大，最大值为2025元
【解析】
【分析】
（1）当20≤x≤45时，运用待定系数法可求出与的函数关系式；
（2）分两种情况，根据一次函数的性质可求解．
(1)
设当时，．
依题意得：当时，；当时，．
则，
解得．
∴当时，；
(2)
设周销售额为元．
当时，，随的增大而增大，
∴时，最大值为2000元．
当时，，
∴时，的最大值为2025元．
综上所述，当售价为22.5元时，该体育用品的日销售额达到最大，最大值为2025元．
【点睛】
本题考查的是一次函数在实际生活中的应用，求函数的最值时，注意自变量的取值范围．
17．为了迎接十四运的召开，绿色西安也将呈现在全国观众面前．市政想绿化某主干道中间的隔离带，准备在隔离带内种植甲、乙两种花卉，经市场调查，甲种花卉的种植费用y（元）与种植面积之间的函数关系如图所示，乙种花卉的种植费用为每平方米80元．

(1)请求出当甲种花卉种植面积不少于时，y与x之间的函数关系式；
(2)隔离带内甲、乙两种花卉的种植面积共，若甲种花卉的种植面积不少于，且不超过乙种花卉种植面积的2倍，设种植总费用为W元，求出W与x之间的函数关系式，并求出隔离带内种植花卉总费用最少为多少元？
【答案】(1)；
(2)，最少为5409000元．
【解析】
【分析】
（1）设y与x的函数关系式为，根据待定系数法求解即可；
（2）根据题意列出W与x的函数关系，并求出自变量x的取值范围，然后利用一次函数的性质求最小值即可．
(1)
解：当x≥300时，设y与x的函数关系式为，则
，
解得，
∴．
(2)
解：甲种花卉种植x，则乙种花卉种植（60000－x） ，
当x≥300时，种植总费用为

∵30000≤x≤2(60000－x)，
∴30000≤x≤40000．
∵中，k=20>0，W随x的增大而增大，
∴当x=30000时，W最小，总费用最小，
（元）．
答：隔离带内种植花卉总费用最少为5409000元．
【点睛】
本题考查了一次函数的性质及实际应用、一元一次不等式组的应用，根据一次函数的增减性求最小值是解题的关键．
18．经过此次新冠疫情，市民对自身防护非常重视．某药店根据市场需求购进A、B两种医用酒精进行销售，每瓶B种医用酒精比每瓶A种医用酒精进价多6元，用7000元购进A种医用酒精与用10000元购进B种医用酒精的瓶数相同．
(1)求A、B两种医用酒精的每瓶进价各是多少元？
(2)该药店计划购进A、B两种医用酒精共300瓶进行销售，其中A种瓶数不小于B种的瓶数的2倍，A种医用酒精每瓶售价18元，B种医用酒精每瓶售价25元，怎样安排进货才能使售完这300瓶医用酒精所获利润最大？最大利润是多少元？
(3)为满足不同顾客的需要，该药店准备新增购进进价为每瓶10元的C种医用酒精，A、B两种医用酒精仍按需购进，进价不变，A种医用酒精的瓶数是B种医用酒精的瓶数的4倍，共花费12000元，则该药店最多可以购进三种医用酒精共多少瓶？
【答案】(1)14元，20元
(2)购进A种医用酒精200瓶，则购进B种医用酒精100瓶时，才能使售完这300瓶医用酒精所获利润最大，最大利润是1300元
(3)797瓶
【解析】
【分析】
（1）设A种医用酒精的每瓶进价是x元，则B种医用酒精的每瓶进价是(x+6)元，购进A种医用酒精数量为，购进B种医用酒精数量为，以用7000元购进A种医用酒精与用10000元购进B种医用酒精的瓶数相同为等量关系，列方程为，求解即可；
（2）设购进A种医用酒精m瓶，则购进B种医用酒精(300-m)瓶，售完这300瓶医用酒精所获利润为w元，根据总利润等于销售A种医用酒精总利润+销售B种医用酒精总利润，列出一次函数关系式，再利用函数的性质求解最值即可；
（3）购进m瓶B种医用酒精，则购进4m瓶A种医用酒精，购进三种医用酒精共n瓶，根据购进三种医用酒精总价为12000元，列出n关于m的函数关系式，再根据A种医用酒精的瓶数是B种医用酒精的瓶数的4倍，m≥2(300-m)，解得：m≥200,由函数性质求解即可．
(1)
解：设A种医用酒精的每瓶进价是x元，则B种医用酒精的每瓶进价是(x+6)元,根据题意，得
，
解得：x=14，
经检验，x=14是方程的根，也符合题意，
∴x=14,x+6=14+6=20,
答：A种医用酒精的每瓶进价是14元，则B种医用酒精的每瓶进价是20元；
(2)
解：设购进A种医用酒精m瓶，则购进B种医用酒精(300-m)瓶，售完这300瓶医用酒精所获利润为w元，根据题意，得
W=(18-14)m+(25-20)(300-m)=-m+1500,
∵-1<0，
∴w随着m的增大而减少，
∵m≥2(300-m)，解得：m≥200,
∴当m=200时，w有最大值，最大值=-200+1500=1300，
300-200=100，
答：当购进A种医用酒精200瓶，则购进B种医用酒精100瓶时，才能使售完这300瓶医用酒精所获利润最大，最大利润是1300元；
(3)
解：购进m瓶B种医用酒精，则购进4m瓶A种医用酒精，购进三种医用酒精共n瓶，根据题意，得
14×4x+20x+10(n-x-4x)=12000,
解得：n=1200-,
∵n>x+4x，
∴1200->5x，
解得：x<157,
∵x为正整数，且为5的倍数，
∴x≤155,
∵-<0,
∴n随x的增大而减小，
∴当n=155时，n有最大值，最大值=1200-×155=797，
答：该药店最多可以购进三种医用酒精共797瓶．
【点睛】
本题考查分式方程与一次函数的实际应用，读懂题意，找等量关系列出方程和函数关系式是解题的关键．
19．为拓展学生视野，促进书本知识与生活实践的深度融合，某中学组织八年级全体学生开展研学活动．在此次活动中，若每名老师带队14名学生，则还剩10名学生没老师带；若每名老师带队15名学生，就有1名老师少带6名学生，现有甲、乙两种大型客车，它们的载客量和租金如表所示：
客车类型
甲型客车
乙型客车
载客量/（人/辆）
35
30
租金/（元/辆）
400
320

学校计划此次研学活动的租金总费用不超过3000元，且保证所有师生都有车坐，
(1)参加此次研学活动的老师和学生各有多少人？
(2)学校打算租甲型客车和乙型客车两种客车总共8辆车，学校共有几种租车方案？最少租车费用是多少？
【答案】(1)参加此次研学活动的老师有16人，学生有234人．
(2)学校共有4种租车方案，最少租车费用是2720元．
【解析】
【分析】
（1）设参加此次研学活动的老师有人，学生有人，根据“若每名老师带队14名学生，则还剩10名学生没老师带；若每名老师带队15名学生，就有1名老师少带6名学生”列出二元一次方程组，求解即可；
（2）设租甲型客车辆，则租乙型客车辆，根据“学校打算租甲型客车和乙型客车两种客车总共8辆车，学校计划此次研学活动的租金总费用不超过3000元”列出一元一次不等式组，求出m的范围，结合实际可得租车方案数，设租车总费用为元，即可得到w与m的函数关系式，再利用一次函数的性质即可得到答案．
(1)
设参加此次研学活动的老师有人，学生有人，由题意得
   
解得
所以，参加此次研学活动的老师有16人，学生有234人．
(2)
设租甲型客车辆，则租乙型客车辆，由题意得

解得
为正整数

共有4种租车方案
设租车总费用为元，由题意得

的值随的增大而增大
当时，的值最小，最小为元
所以，学校共有4种租车方案，最少租车费用是2720元．
【点睛】
本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用以及一次函数的应用，正确理解题意，找准数量关系是解题的关键．