2020-2021学年四川省江油市某校高二（下）4月月考数学（文）试卷

这是一份2020-2021学年四川省江油市某校高二（下）4月月考数学（文）试卷，共5页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


1. 曲线y=12x2−2x在点1,−32处的切线的倾斜角为( )
A.−135∘B.45∘C.−45∘D.135∘

2. 已知复数z满足z+31−i=6−4i（i为虚数单位），则z的共轭复数所对应的点在( )
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

3. 下列说法正确的是( )
A.命题“若a≥b，则a2≥b2”的逆否命题为“若a2≤b2， 则a≤b”
B.“x=1”是“x2−3x+2=0”的必要不充分条件
C.若p∧q为假命题，则p，q均为假命题
D.对于命题p:∀x∈R，x2+x+1>0，则¬p:∃x0∈R，x02+x0+1≤0

4. 若1−i（i是虚数单位）是关于x的方程x2+2px+q=0(p，q∈R)的一个解，则p+q=( )
A.−3B.−1C.1D.3

5. 已知命题p：“∀∈[1, e]，a>lnx”，命题q：“∃x∈R，x2−4x+a=0”，若“p∧q”是真命题，则实数a的取值范围是( )
A.(1, 4]B.(0, 1]C.[−1, 1]D.(4, +∞)

6. 已知函数fx=1−xax+lnx，若函数fx在[1,+∞)上为增函数，则正实数a的取值范围是( )
A.1,+∞B.[1,+∞)C.0,+∞D.[0,+∞)

7. 对于函数f(x)=x3+ax2−x+1的极值情况，4位同学有下列说法：甲：该函数必有2个极值；乙：该函数的极大值必大于1；丙：该函数的极小值必小于1；丁：方程f(x)=0一定有三个不等的实数根． 这四种说法中，正确的个数是( )
A.1个B.2个C.3个D.4个

8. 定义在0,+∞上的可导函数fx满足f′x⋅x0的解集为( )
A.0,2B.0,2∪2,+∞
C.2,+∞D.0,3∪3,+∞
二、填空题

若f′(2)=3，则limΔx→0f2+2Δx−f2Δx=________．
三、解答题

设命题p：实数x满足x2−4ax+3a2<0，命题q：实数x满足|x−3|<1.
(1)若a=1，且p∨q为真，求实数x的取值范围；

(2)若a>0，且¬p是 ¬q 的充分不必要条件，求实数a的取值范围.

已知函数fx=lnx−ax+1a∈R.
(1)若函数fx的图象在x=1处的切线l垂直于直线y=x，求实数a的值及直线l的方程；

(2)求函数fx的单调区间；

(3)若x>1，求证： lnx参考答案与试题解析
2020-2021学年四川省江油市某校高二（下）4月月考数学（文）试卷
一、选择题
1.
【答案】
D
【考点】
直线的倾斜角
直线的斜率
导数的几何意义
【解析】
根据导数的几何意义，求出函数的导数在x=1处的导数f′，即该函数在点1,−32处的切线斜率；接下来根据切线的斜率为倾斜角的正切值，结合特殊角的三角函数值即可得到答案．
【解答】
解：y′=x−2，
∴y=12x2−2x在点1,−32 处的斜率为：
k=1−2=−1，
∵tan135∘=−1，
∴倾斜角为135∘．
故选D．
2.
【答案】
D
【考点】
复数的代数表示法及其几何意义
复数的运算
【解析】
把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．
【解答】
解：由z+31−i=6−4i，
得z=6−4i1−i−3=2+i，
∴ z=2−i，
则z的共轭复数所对应的点的坐标为2,−1，在第四象限．
故选D．
3.
【答案】
D
【考点】
命题的真假判断与应用
复合命题及其真假判断
命题的否定
全称命题与特称命题
必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】
本题主要考查了命题的真假判断与应用的相关知识点，需要掌握两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系才能正确解答此题．
【解答】
解：A，命题“若a≥b，则a2≥b2”的逆否命题为
“若a2B，若x=1，则x2−3x+2=0；反之，若x2−3x+2=0，
则x=1或x=2，
∴ “x=1”是“x2−3x+2=0”的充分不必要条件，故B错误；
C，若p∧q为假命题，则p真q假，p假q真或者p，q均为假命题，故C错误；
D，命题p:∀x∈R，x2+x+1>0，则¬p:∃x0∈R，x02+x0+1≤0，
故D正确．
故选D.
4.
【答案】
C
【考点】
一元二次方程的根的分布与系数的关系
复数代数形式的乘除运算
复数代数形式的加减运算
【解析】
利用实系数一元二次方程“虚根成对原理”及根与系数的关系即可得出．
【解答】
解：∵ 1−i（i是虚数单位）是关于x的方程x2+2px+q=0(p，q∈R)的一个解，
∴ 1+i是此方程的另一个解．
根据根与系数的关系，得1+i+1−i=−2p,(1+i)(1−i)=q,
解得p=−1,q=2,
∴ p+q=−1+2=1．
故选C．
5.
【答案】
A
【考点】
逻辑联结词“或”“且”“非”
【解析】
先求出命题p，q成立的等价条件，利用命题“p∧q”为真命题，确定实数a的取值范围
【解答】
解：若命题p：“∀∈[1, e]，a>lnx，为真命题，
则a>lne=1，
若命题q：“∃x∈R，x2−4x+a=0”为真命题，
则Δ=16−4a≥0，解得a≤4，
若命题“p∧q”为真命题，
则p，q都是真命题，
则a>1，a≤4，
解得：1故实数a的取值范围为(1, 4]．
故选A．
6.
【答案】
B
【考点】
已知函数的单调性求参数问题
利用导数研究函数的单调性
【解析】
求fx的导数f′x，利用f′x判定fx的单调性，求出fx的单调增区间，即得正实数a的取值范围．
【解答】
解：∵fx=1−xax+lnxa>0，
∴f′x=ax−1ax2x>0，
令f′x=0，得x=1a，
∴当x∈0,1a时，则f′x<0；
当x∈1a,+∞时，则f′x>0，
∴fx在0,1a上单调递减，在1a,+∞上单调递增.
∵函数fx在区间[1,+∞)上是增函数，
∴1a≤1，
又a>0，
∴a≥1，
∴实数a的取值范围是[1,+∞)．
故选B．
7.
【答案】
C
【考点】
命题的真假判断与应用
函数在某点取得极值的条件
【解析】
f′(x)=3x2+2ax−1，显然，判别式(2a)2−4×3×(−1)=4a2+12>0，故f′(x)有两个不相等的零点x1，x2，且一正一负，不妨设0【解答】
解：f(x)=x3+ax2−x+1，则f′(x)=3x2+2ax−1，
Δ=(2a)2−4×3×(−1)=4a2+12>0，
故f′(x)有两个不相等的零点x1，x2，且一正一负.
设x1<0二次函数f′(x)=3x2+2ax−1，开口向上，
在(−∞, x1)上为正，(x1, x2)上为负，(x2, +∞)上为正，
即函数f(x)=x3+ax2−x+1在(−∞, x1)，(x2, +∞)上单调递增，
在(x1, x2)上单调递减，
则函数f(x)必有两个极值点，x=x1处是极大值点，x=x2处是极小值点．
由以上性质作函数f(x)=x3+ax2−x+1的大致图象如图，
由图1，图2可知：甲正确；乙正确；丙正确；丁不正确．
故选C．
8.
【答案】
A
【考点】
利用导数研究函数的单调性
【解析】
令gx=fxx，由于x⋅f′x【解答】
解：由题意知，定义在0,+∞上的可导函数fx满足f′x⋅x∴ f′x⋅x−fx<0，
令gx=fxx，
∴ g′x=f′x⋅x−fxx2<0，
∴ gx在0,+∞上单调递减，
∵ g2=f22=0，
∴ fxx>0=f22，
∴ 0故选A．
二、填空题
【答案】
6
【考点】
极限及其运算
【解析】
根据题意，由极限的性质以及导数的定义可得limΔx→0f(2+2Δx)−f(2)Δx=2limΔx→0f(2+2Δx)−f(2)2Δx=2f′(2)，即可得答案．
【解答】
解：根据题意，
limΔx→0f(2+2Δx)−f(2)Δx
=2limΔx→0f(2+2Δx)−f(2)2Δx=2f′(2)=6．
故答案为：6．
三、解答题
【答案】
解：(1)由x2−4a+3a2<0，得x−3ax−a<0，
当a=1时，
解得1即p为真时，实数x的取值范围是{x|1由|x−3|<1，得−1解得2即q为真时，实数x的取值范围是{x|2若p∨q为真，
则实数x的取值范围是{x|1(2)由x2−4ax+3a2<0，得x−3ax−a<0，
又a>0，
则不等式x−3ax−a<0的解集为{x|a由¬p是¬q的充分不必要条件可知，
q是p的充分不必要条件，
即{x|2则a≤2且3a≥4，
解得43≤a≤2，
故实数a的取值范围是a|43≤a≤2.
【考点】
复合命题及其真假判断
一元二次不等式的解法
绝对值不等式
根据充分必要条件求参数取值问题
【解析】
(1)求出p，q为真命题的x的范围，取交集得答案；
(2)由¬p是¬q的充分不必要条件，则q是p的充分不必要条件，再由两集合端点值间的关系列不等式组求解．
【解答】
解：(1)由x2−4a+3a2<0，得x−3ax−a<0，
当a=1时，
解得1即p为真时，实数x的取值范围是{x|1由|x−3|<1，得−1解得2即q为真时，实数x的取值范围是{x|2若p∨q为真，
则实数x的取值范围是{x|1(2)由x2−4ax+3a2<0，得x−3ax−a<0，
又a>0，
则不等式x−3ax−a<0的解集为{x|a由¬p是¬q的充分不必要条件可知，
q是p的充分不必要条件，
则{x|2即a≤2且3a≥4，
解得43≤a≤2，
故实数a的取值范围是a|43≤a≤2.
【答案】
(1)解：∵ fx=lnx−ax+1a∈R，定义域为0,+∞，
∴ f′x=1x−a，
∴ 函数fx的图象在x=1处的切线l的斜率k=f′1=1−a，
∵ 切线l垂直于直线y=x，
∴ 1−a=−1，∴ a=2，
∴ fx=lnx−2x+1，f1=−1，∴ 切点为1,−1，
∴ 切线l的方程为y+1=−x−1，即x+y=0.
(2)解：由(1)可知，f′x=1x−a，x>0，
当a≤0时，f′x=1x−a>0，
此时fx的单调递增区间是0,+∞；
当a>0时，f′x=1x−a=1−axx=−ax−1ax；
若00；
若x>1a，则f′x<0；
此时， fx的单调递增区间是0,1a，单调递减区间是1a,+∞ .
综上所述，当a≤0时， fx的单调递增区间是0,+∞；
当a>0时， fx的单调递增区间是0,1a，单调递减区间是1a,+∞ .
(3)证明：由(2)知，当a=1时， fx=lnx−x+1在1,+∞上单调递减，
∴ x>1时， fx∴ x>1时， lnx−x+1<0，即lnx【考点】
利用导数研究曲线上某点切线方程
利用导数研究函数的单调性
导数在最大值、最小值问题中的应用
利用导数研究不等式恒成立问题
【解析】
（1）函数求导得f′1=1−a，进而得切线方程 .
（2）函数求导f′x=1x−a，讨论a≤0,a>0两种情况 .
（3）令a=1，由fx单调性，求最值即可证得．
【解答】
(1)解：∵ fx=lnx−ax+1a∈R，定义域为0,+∞，
∴ f′x=1x−a，
∴ 函数fx的图象在x=1处的切线l的斜率k=f′1=1−a，
∵ 切线l垂直于直线y=x，
∴ 1−a=−1，∴ a=2，
∴ fx=lnx−2x+1，f1=−1，∴ 切点为1,−1，
∴ 切线l的方程为y+1=−x−1，即x+y=0.
(2)解：由(1)可知，f′x=1x−a，x>0，
当a≤0时，f′x=1x−a>0，
此时fx的单调递增区间是0,+∞；
当a>0时，f′x=1x−a=1−axx=−ax−1ax；
若00；
若x>1a，则f′x<0；
此时， fx的单调递增区间是0,1a，单调递减区间是1a,+∞ .
综上所述，当a≤0时， fx的单调递增区间是0,+∞；
当a>0时， fx的单调递增区间是0,1a，单调递减区间是1a,+∞ .
(3)证明：由(2)知，当a=1时， fx=lnx−x+1在1,+∞上单调递减，
∴ x>1时， fx∴ x>1时， lnx−x+1<0，即lnx

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