2020-2021学年浙江省温州市某校高二（下）3月周练数学试卷

这是一份2020-2021学年浙江省温州市某校高二（下）3月周练数学试卷，共8页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


1. 已知集合A=0,1，B=y|y=3x−2x,x∈A，则A∩B=（ ）
A.0B.1C.0,1D.⌀

2. 已知复数z满足|z|−z=1+i （i为虚数单位），则z=（ ）
A.iB.−iC.1−iD.1+i

3. 若实数x，y满足约束条件x−y+1≥0，x+y−1≥0，y≥−1，则z=x2+y2 的取值范围是（ ）
A.12,+∞B.22,+∞C.0,5D.0,5

4. 某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积（单位：cm3）是（ ）

A.24B.30C.47D.67

5. 若x∈R，k∈Z，则“|x−kπ|<π4”是“|tanx|<1”的（ ）
A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件
C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

6. 已知数列an的前n项和为Sn，且an>0，n∈N*，若数列an和{Sn}都是等差数列，则下列说法不正确的是（ ）
A.an+Sn是等差数列B.{an⋅Sn}是等差数列
C.an2 是等比数列D.Sn2是等比数列

7. 已知函数fx=x⋅ex−e−x+x2，若fxA.xy>0B.xy<0C.x+y>0D.x+y<0

8. 设a>0，若随机变量ξ的分布列如下：
则下列方差值中最大的是（ ）
A.DξB.D(|ξ|)C.D2ξ−1D.D2|ξ|+1

9. 已知函数fx=ex−1−1,x≥1，lnx,0①存在a,b∈R，函数gx没有零点；②存在a,b∈R，函数gx恰有三个零点；③任意b∈R，存在a>0，函数gx恰有一个零点；④任意a>0，存在b∈R，函数gx 恰有二个零点；
A.1个B.2个C.3个D.4个
二、填空题

已知双曲线x2a2−y22=1的离心率e=3，则双曲线的焦点坐标是________；渐近线方程是________.

已知函数fx=sinωx+φω>0,0<φ<π2，且f0=32，则φ=________；若fx 与gx=|sinx|的周期相同，则ω=________．

若多项式x6+2x7=a0+a11+x+a21+x2+⋯+a61+x6+a71+x7 ，则a0=________；a6=________．

某单位把15只同种型号的口罩分给甲、乙、丙三人（每人至少1只），且三人领到的口罩只数互不相同，则不同的分发方案有________种；甲恰好领到3只口罩的概率为________．

我国古代数学家僧一行应用“九服晷影算法”在《大衍历》中建立了晷影长l与太阳天顶距θ(0∘≤θ≤80∘)的对应数表，这是世界数学史上较早的一张正切函数表，根据三角学知识可知，晷影长度l等于表高h与太阳天顶距θ正切值的乘积，即l=h⋅tanθ．若对同一“表高”两次测量，“晷影长”分别是“表高”的2倍和3倍（所成角记θ1,θ2），则tan(θ1+θ2)=______．

已知e1→，e2→，e3→是平面向量，且e1→，e2→是互相垂直的单位向量，若对任意λ∈R 均有|e3→+λe1→|的最小值为|e3→−e2→|，则|e1→+3e2→−e3→|+|e3→−e2→|的最小值为________.
三、解答题

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b=c⋅csA+a2．
(1)求角C的大小；

(2)若c=23，△ABC的面积为3，分别求a+b，sinA+sinB的值．

如图，在三棱锥A−BCD中， △ABC是边长为3的等边三角形，CD=CB，CD⊥平面ABC，点M、N分别为AC、CD的中点，点P为线段BD上一点，且BM//平面APN．

(1)求证：BM⊥AN；

(2)求直线AP与平面ABC所成角的正弦值．

如图，已知抛物线y2=4x的焦点为F，过F作斜率为kk>0的直线交抛物线于Ax1,y1、Bx2,y2两点，且y1>0，弦AB中垂线交x轴于点T，过A作斜率为−k的直线交抛物线于另一点C．

(1)若y1=4，求点B的坐标；

(2)记△ABT、△ABC的面积分别为S1、S2，若S2=4S1，求点A的坐标．
参考答案与试题解析
2020-2021学年浙江省温州市某校高二（下）3月周练数学试卷
一、选择题
1.
【答案】
C
【考点】
交集及其运算
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：由题意B=y|y=3x−2x，x∈A=0,1，
所以A∩B=0,1.
故选C．
2.
【答案】
B
【考点】
复数代数形式的混合运算
复数的模
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：令 z=a+bi，
因为|z|−z=1+i，所以a2+b2−a+bi=1+i，
即a2+b2−a−bi=1+i，
所以a2+b2−a=1,−b=1,解得a=0,b=−1,
所以 z=−i.
故选B．
3.
【答案】
A
【考点】
简单线性规划
求线性目标函数的最值
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：作出可行域，如图阴影部分，
是一个开放的区域（射线BA，线段BC，射线CD围成的开放区域），
x2+y2 表示可行域内点到原点距离的平方，
原点O到直线x+y−1=0 的距离为d=|0+0−1|2=22，
所以x2+y2的最小值为222=12，无最大值，
所以z=x2+y2的取值范围是 12,+∞.
故选A．
4.
【答案】
D
【考点】
由三视图求体积
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：由三视图可知几何体为图中的四棱锥 P−CDD1E，
由题得 AD=42−32=7 ，所以几何体的高为7，
所以该几何体的体积为13×12×2+4×6×7=67.
故选D．
5.
【答案】
C
【考点】
必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：|x−kπ|<π4，即−π4|tanx|<1，即−1所以|x−kπ|<π4是|tanx|<1 的充要条件．
故选C．
6.
【答案】
D
【考点】
等差数列的性质
等比数列的性质
数列递推式
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：因为数列an和Sn都是等差数列，an=Sn−Sn−1 ，
所以可判断an为定值，所以数列an是公差为0的等差数列，即an−an−1=0．
对A，an+Sn−an−1+Sn−1=Sn−Sn−1+an−an−1=an，
所以数列an+Sn是等差数列；
对B，an⋅Sn−an−1⋅Sn−1=an⋅Sn−an⋅Sn−1=an2 ，所以数列an⋅Sn是等差数列；
对C， an2an−12=an2an2=1 ，所以数列an2 是等比数列；
对D，设an=a，则Sn=na,Sn2=n2a2，则
Sn2Sn−12=n2a2n−12a2=n2n−12，所以数列Sn2不是等比数列.
故选D．
7.
【答案】
A
【考点】
利用导数研究函数的单调性
奇偶性与单调性的综合
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：由题得函数的定义域为R．
f−x=−x⋅e−x−ex+x2=xex−e−x+x2=fx，
所以函数是偶函数．
当x>0时，f′x=ex−1ex+xex+xe−x+2x，
因为x>0，所以f′x>0，所以函数fx在0,+∞上单调递增，
因为函数是偶函数，所以函数fx在−∞,0上单调递减，在0,+∞ 上单调递增．
如果x>0，y>0，则 x+y>0，
因为fx如果x<0,y<0，则x+y<0，所以x>y>x+y，与已知相符；
如果x>0,y<0，因为fx所以fy>fx+y，与已知矛盾；
如果x<0,y>0，因为fxx+y>0，
所以fy>fx+y ，与已知矛盾；
当x,y之中有一个为零时，不妨设y=0，fx+y=fx，
fx故选A．
8.
【答案】
C
【考点】
离散型随机变量的期望与方差
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：由题意a+2a+3a=1，a=16，
Eξ=−1×16+0×13+2×12=56，E|ξ|=1×16+0×13+2×12=76，Dξ=16×−1−562+13×0−562+12×2−562=5336，
D|ξ|=16×1−762+13×0−762+12×2−762=2936，
D(ξ)>1>D(|ξ|)，D2ξ−1=4×5336=539，D2|ξ|+1=4×2936=299，
其中D2ξ−1最大．
故选C．
9.
【答案】
B
【考点】
函数零点的判定定理
函数的零点与方程根的关系
利用导数研究与函数零点有关的问题
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：由题意可知，函数gx 的零点个数等价于 y=fx 与y=ax+b 图像的交点个数，
y=fx 的图像如图所示，在0,+∞ 上单调递增，值域为R，
且f′x=ex−1,x≥1,1x,0对于①，当a≤0时，恒有交点；当a>0时，当x→0时， gx→−∞，
当x→+∞时， gx→+∞,由零点存在性定理可得gx有零点，所以①错误；
对于②，在拐点1,0 处的切线方程为y=x−1，取直线y=ax−1,a>1，
此时会有3个交点，所以②正确；
对于③，由②可知，取直线y=ax+b,0对于④，由③可知，当0故选B．
二、填空题
【答案】
±3,0,y=±2x
【考点】
双曲线的渐近线
双曲线的离心率
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：依题意ca=3，b2=2，c2=a2+b2,
解得a=1，b=2，c=3，
双曲线的焦点在x轴上，所以焦点坐标为±3,0，
渐近线方程为y=±2x．
故答案为：±3,0;y=±2x.
【答案】
π3,2
【考点】
三角函数的周期性及其求法
由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：因为f0=32，所以f0=sinφ=32，
因为0<φ<π2，所以 φ=π3；
因为gx=|sinx|的周期为T=π，
所以可知函数fx的周期为T=π，所以ω=2.
故答案为： π3；2．
【答案】
−1,−13
【考点】
二项式系数的性质
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：令x=−1 ，可得a0=−16+2−17=1−2=−1，
由x6+2x7=1+x−16+21+x−17，
故含 1+x6 的项为C601+x6−10+2C711+x6−1，
所以 a6=1+2C71×−1=1−14=−13.
故答案为：−1；−13．
【答案】
72,19
【考点】
古典概型及其概率计算公式
列举法计算基本事件数及事件发生的概率
【解析】
选写出按x【解答】
解：设正整数x,y,z满足x2,3,10,2,4,9,2,5,8,2,6,7,3,4,8,3,5,7,4,5,6，共12个，
每一种情形都有6种分发方案，因此不同的分发方案有12×6=72，
其中甲恰好分到3只的可能是按（甲，乙，丙）格式列举为：
3,1,11,3,2,10,3,4,8,3,5,7,3,11,1,3,10,2,3,8,4,3,7,5，方案数为8，
所求概率为P=872=19.
故答案为：72；19.
【答案】
−1
【考点】
两角和与差的正切公式
【解析】
根据题意，分别写出tanθ1=2,tanθ2=3，然后利用两角和的正切公式计算即可．
【解答】
解：由题意l=h⋅tanθ，“晷影长”分别是“表高”的2倍和3倍时，tanθ1=2,tanθ2=3，
所以tanθ1+θ2=tanθ1+tanθ21−tanθ1⋅tanθ2=2+31−2×3=−1.
故答案为：−1．
【答案】
3
【考点】
平面向量数量积的运算
平面向量的基本定理及其意义
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：|e3→+λe1→|2=|e3→|2+2λe1→e3→+λ2|e1→|2
≥|e3→−e2→|2=|e3→|2−2e2→e3→+|e2→|2，
即λ2+2λe1→e3→+2e2→e3→−1≥0 ，
所以Δ=4e1→e3→2−42e2→e3→−1=0，
即(e1→e3→)2−2e2→e3→+1=0，
设e1→为x轴的方向向量，e2→为y轴的方向向量，
所以e3→=xe1→+ye2→，对应的坐标为x,y，
所以x2−2y+1=0，得x2=2y−12,
|e1→+3e2→−e3→|+|e3→−e2→|=|(1,3)−(x,y)|+|(x,y)−(0,1)|，
因为x2=2y−12为抛物线x2=2y向上平移12个单位，
所以焦点坐标为0,1，准线为y=0，所以点x,y到0,1的距离与到y=0的距离相等， |1,3−x,y|+|x,y−0,1|=|1−x,3−y|+|y|≥|3−y|+|y|=3，
当且仅当x=y=1时，取最小值．
故答案为：3．
三、解答题
【答案】
解：(1)∵ sinB=sinC⋅csA+12sinA
∴ 2sinA+C=2sinC⋅csA+sinA，
∴ 2sinAcsC=sinA．
∵ A∈0,π，∴ sinA≠0，
∴ csC=12.
∵ C∈0,π，∴ C=π3.
(2)∵ 12absinC=3 ，
∴ ab=23sinC=4.
又∵ c2=a2+b2−2abcsC，
∴ 12=a2+b2−ab=a+b2−3ab,
∴ a+b2=12+3ab=24，
∴ a+b=26,
∴ sinA+sinB=sinCc⋅a+b=14×26=62．
【考点】
正弦定理
三角函数中的恒等变换应用
两角和与差的正弦公式
余弦定理
三角形的面积公式
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)∵ sinB=sinC⋅csA+12sinA
∴ 2sinA+C=2sinC⋅csA+sinA，
∴ 2sinAcsC=sinA．
∵ A∈0,π，∴ sinA≠0，
∴ csC=12.
∵ C∈0,π，∴ C=π3.
(2)∵ 12absinC=3 ，
∴ ab=23sinC=4.
又∵ c2=a2+b2−2abcsC，
∴ 12=a2+b2−ab=a+b2−3ab,
∴ a+b2=12+3ab=24，
∴ a+b=26,
∴ sinA+sinB=sinCc⋅a+b=14×26=62．
【答案】
(1)证明：∵ CD⊥ 平面ABC， BM⊂ 平面ABC，
∴ CD⊥BM.
又∵ 正 △ABC中， AM=MC⇒BM⊥AC，
∴ BM⊥CDBM⊥ACCD∩AC=C⇒BM⊥平面ACD，
∴ BM⊥AN．
(2)解：连接MD交AN于G，连接PG，作 PH⊥BC 于H，连接AH，如图，
∵ 平面 ABC⊥平面BCD，平面ABC∩平面BCD=BC，PH⊥BC，
∴ PH⊥ 平面ABC，
∴ ∠PAH为AP与平面ABC所成角，
又∵ AN，DM都是△ACD 的中线，∴ G为△ACD的重心
又∵ BM//平面ABC，平面 BMD∩ 平面APN=PG，∴ BM//PG，
∴ P为BD的三等分点，PH=13CD=1，
∴ Rt△AHP中：PH=1，AH=AB2+BH2−2AB⋅BH⋅csπ3=7,AP=22
∴ sin∠PAH=PHAP=122=24．
【考点】
空间中直线与直线之间的位置关系
直线与平面所成的角
【解析】
此题暂无解析
【解答】
(1)证明：∵ CD⊥ 平面ABC， BM⊂ 平面ABC，
∴ CD⊥BM.
又∵ 正 △ABC中， AM=MC⇒BM⊥AC，
∴ BM⊥CDBM⊥ACCD∩AC=C⇒BM⊥平面ACD，
∴ BM⊥AN．
(2)解：连接MD交AN于G，连接PG，作 PH⊥BC 于H，连接AH，如图，
∵ 平面 ABC⊥平面BCD，平面ABC∩平面BCD=BC，PH⊥BC，
∴ PH⊥ 平面ABC，
∴ ∠PAH为AP与平面ABC所成角，
又∵ AN，DM都是△ACD 的中线，∴ G为△ACD的重心
又∵ BM//平面ABC，平面 BMD∩ 平面APN=PG，∴ BM//PG，
∴ P为BD的三等分点，PH=13CD=1，
∴ Rt△AHP中：PH=1，AH=AB2+BH2−2AB⋅BH⋅csπ3=7,AP=22
∴ sin∠PAH=PHAP=122=24．
【答案】
解：(1)设直线AB方程为x=my+1，
∴ x=my+1,y2=4x,⇒y2−4my−4=0⇒y1y2=−4，y1+y2=4m，
y1=4⇒y2=−1⇒x2=14，
即B14,−1.
(2)设Cx3,y3，
kAB=y1−y2x1−x2=y1−y2y12−y224=4y1+y2，
同理： kAC=4y1+y3 ，
∵ 直线AB与AC的斜率分别为 k,−k，
∴ 4y1+y2+4y1+y3=0⇒y1+y2+y1+y3=0⇒y3=−2y1−y2，
又∵ 直线AB方程为：y−y1=4y1+y2x−x1⇒4x−y1+y2y−4=0，
直线AB中垂线方程为：
y−y1+y22=−y1+y24x−x1+x22，
令y=0⇒xT=2+x1+x22=2+y128+y228，
又∵ S2=4S1⇒dC=4dT，dC=|4x3−y1+y2y3−4|16+y1+y22 ，dT=|4(2+y128+y228)−4|16+(y1+y2)2=8+y122+y222−416+(y1+y2)2，
∴ dCdT|4x3−(y1+y2)y3−4|8+y122+y222−4=|(2y1+y2)2+(y1+y2)(2y1+y2)−4|4+y122+y222=4.
又∵ y1y2=−4，
∴ 4=|6y12−32+32y12|4+y122+8y12⇒y12=12⇒A3,23.
【考点】
抛物线的性质
抛物线的标准方程
圆锥曲线的综合问题
直线的斜率
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)设直线AB方程为x=my+1，
∴ x=my+1,y2=4x,⇒y2−4my−4=0⇒y1y2=−4，y1+y2=4m，
y1=4⇒y2=−1⇒x2=14，
即B14,−1.
(2)设Cx3,y3，
kAB=y1−y2x1−x2=y1−y2y12−y224=4y1+y2，
同理： kAC=4y1+y3 ，
∵ 直线AB与AC的斜率分别为 k,−k，
∴ 4y1+y2+4y1+y3=0⇒y1+y2+y1+y3=0⇒y3=−2y1−y2，
又∵ 直线AB方程为：y−y1=4y1+y2x−x1⇒4x−y1+y2y−4=0，
直线AB中垂线方程为：
y−y1+y22=−y1+y24x−x1+x22，
令y=0⇒xT=2+x1+x22=2+y128+y228，
又∵ S2=4S1⇒dC=4dT，dC=|4x3−y1+y2y3−4|16+y1+y22 ，dT=|4(2+y128+y228)−4|16+(y1+y2)2=8+y122+y222−416+(y1+y2)2，
∴ dCdT|4x3−(y1+y2)y3−4|8+y122+y222−4=|(2y1+y2)2+(y1+y2)(2y1+y2)−4|4+y122+y222=4.
又∵ y1y2=−4，
∴ 4=|6y12−32+32y12|4+y122+8y12⇒y12=12⇒A3,23.ξ
−1
0
2
P
a
2a
3a