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2020-2021学年四川省遂宁市某校高二（下）7月1日周考数学试卷
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这是一份2020-2021学年四川省遂宁市某校高二（下）7月1日周考数学试卷，共5页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 双曲线x2a2−y2b2=1a>0,b>0的一条渐近线方程为y=x ，则此双曲线的离心率为（ ）
A.2B.2C.3D.3
2. 已知a，b为实数，则“a3A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分又不必要条件
3. 曲线fx=x3−x在点−1,f−1处的切线方程为( )
A.2x+y+2=0B.2x+y−2=0C.2x−y+2=0D.2x−y−2=0
4. 若f(x)=x2+mlnx在(2, +∞)是增函数，则实数m的取值范围为（ ）
A.[−8, +∞)B.(−8, +∞)C.(−∞, −8)D.(−∞, −8]
5. 阿基米德（公元前287年—212年）是古希腊伟大的物理学家、数学家、天文学家，不仅在物理学方面贡献巨大，还享有“数学之神”的称号．抛物线上任意两点A，B处的切线交于点P，称△PAB为“阿基米德三角形”．当线段AB经过抛物线焦点F时，△PAB具有以下特征：
①P点必在抛物线的准线上；②△PAB为直角三角形，且PA⊥PB；③PF⊥AB.若经过抛物线y2=4x焦点的一条弦为AB，阿基米德三角形为△PAB，且点P的纵坐标为4，则直线AB的方程为（ ）
A.x−2y−1=0B.2x+y−2=0C.x+2y−1=0D.2x−y−2=0
6. 已知函数fx=lnxx−a，gx=3lnx−axlnx，若方程fx=gx有2个不同的实数解，则实数a的取值范围是（ ）
A.−∞,0B.0,1e
C.−∞,0∪e,+∞D.e,+∞
二、填空题
两对夫妇各带一个小孩乘坐6个座位的游览车，游览车每排只有一个座位．为安全起见，车的首尾两座一定要坐两位爸爸，两个小孩一定要相邻．那么，这6人的排座方法种数为________．（用数字作答）
三、解答题
已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c在x=−23与x=1时都取得极值．
(1)求a，b的值与函数f(x)的单调区间；
(2)若对x∈[−1, 2]，不等式f(x)
2020年新年伊始，新型冠状病毒来势汹汹，疫情使得各地学生在寒假结束之后无法返校，教育部就此提出了线上教学和远程教学，停课不停学的要求也得到了家长们的赞同．各地学校开展各式各样的线上教学，某地学校为了加强学生爱国教育，拟开设国学课，为了了解学生喜欢国学是否与性别有关，该学校对100名学生进行了问卷调查，得到如下列联表：
(1)请将上述列联表补充完整，并判断能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为喜欢国学与性别有关系？
(2)针对问卷调查的100名学生，学校决定从喜欢国学的人中按分层抽样的方法随机抽取6人成立国学宣传组，并在这6人中任选2人作为宣传组的组长，设这两人中女生人数为X，求X的分布列和数学期望．
参考数据：
K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，n=a+b+c+d．
参考答案与试题解析
2020-2021学年四川省遂宁市某校高二（下）7月1日周考数学试卷
一、选择题
1.
【答案】
B
【考点】
双曲线的渐近线
双曲线的离心率
【解析】
根据双曲线的渐近线方程建立方程关系，结合双曲线的离心率公式进行计算即可．
【解答】
解：双曲线x2a2−y2b2=1a>0,b>0的一条渐近线方程是y=bax，
即为y=x，即ba=1，
则b2=a2
则双曲线的离心率为e=ca=a2+b2a2=2.
故选B．
2.
【答案】
C
【考点】
充分条件、必要条件、充要条件
【解析】
利用函数y＝x3，y＝2x在R上单调递增即可得出．
【解答】
解：由于函数y=x3，y=2x在R上单调递增，
∴ “a3∴ “a3故选C．
3.
【答案】
C
【考点】
利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：f′(x)=3x2−1,
当x=−1时，f′(x)=3−1=2.
f(−1)=(−1)3−(−1)=0.
故f(x)在(−1，f(−1))处的切线方程为
y=2(x+1)，即2x−y+2=0.
故选C.
4.
【答案】
A
【考点】
利用导数研究函数的单调性
【解析】
求出函数的导数，问题转化为m≥−2x2在(2, +∞)恒成立，求出m的范围即可．
【解答】
解：f′(x)=2x+mx，
若f(x)=x2+mlnx在(2, +∞)上是增函数，
则2x+mx≥0在(2, +∞)上恒成立，
即m≥−2x2在(2, +∞)上恒成立，
由y=−2x2在(2, +∞)的最大值是−8，
故m≥−8，
故选A．
5.
【答案】
A
【考点】
直线与抛物线结合的最值问题
抛物线的性质
斜率的计算公式
【解析】
本题考查了抛物线的性质，直线与抛物线的位置关系，直线方程的求法.
【解答】
解：由题意得，F(1,0)，准线为x=−1，
由特征①③及已知得，P点坐标为(−1,4)，
则kPF=4−0−1−1=−2，
由特征②③得kAB=12，
又F(1,0)，
所以直线AB的方程为y=12x−12，
即x−2y−1=0.
故选A.
6.
【答案】
B
【考点】
利用导数研究函数的单调性
根的存在性及根的个数判断
利用导数研究函数的极值
函数的零点与方程根的关系
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：由题意得：lnxx−a=3(lnx−ax)lnx=31−axlnx,
令t=lnxx，则t−a=31−at，即(t−3)(t−a)=0，
由t(x)=lnxx，则t′(x)=1−lnxx2,
所以易得t(x)在(0,e)上单调递增，(e,+∞)上单调递减，且tmax(x)=t(e)=1e,
当x趋于0时，t(x)趋于无穷小；
当x趋于无穷大时，0故t=3时无解，t=a有两个解，
所以0故选B．
二、填空题
【答案】
24
【考点】
分步乘法计数原理
【解析】
根据题意，分3步进行分析：①、先分派两位爸爸，必须一首一尾，由排列数公式可得其排法数目，②、两个小孩一定要排在一起，用捆绑法将其看成一个元素，③、将两个小孩与两位妈妈进行全排列，由排列数公式可得其排法数目，由分步计数原理计算可得答案．
【解答】
解：根据题意，分3步进行分析，
①先分派两位爸爸，车的首尾两座一定要坐两位爸爸，有A22=2种排法，
②两个小孩一定要相邻，将其看成一个元素，考虑其顺序有A22=2种排法，
③将两个小孩与两位妈妈进行全排列，有A33=6种排法，
则共有2×2×6=24种排法.
故答案为：24.
三、解答题
【答案】
解：(1)f(x)=x3+ax2+bx+c，
f′(x)=3x2+2ax+b，
由f′(−23)=129−43a+b=0，f′(1)=3+2a+b=0，
解得，a=−12，b=−2，
f′(x)=3x2−x−2=(3x+2)(x−1)，函数f(x)的单调区间如下表：
所以函数f(x)的递增区间是(−∞, −23)和(1, +∞)，递减区间是(−23, 1)．
(2)f(x)=x3−12x2−2x+c，x∈[−1,2]，
当x=−23时，f(x)=2227+c为极大值，而f(2)=2+c，
所以f(2)=2+c为最大值．
要使f(x)f(2)=2+c．
解得c<−1或c>2．
【考点】
利用导数研究函数的最值
函数恒成立问题
利用导数研究函数的极值
利用导数研究函数的单调性
【解析】
（1）求出f′(x)，因为函数在x=−23与x=1时都取得极值，所以得到f′(−23)=0且f′(1)=0联立解得a与b的值，然后把a、b的值代入求得f(x)及f′(x)，然后讨论导函数的正负得到函数的增减区间；
（2）根据（1）函数的单调性，由于x∈[−1, 2]恒成立求出函数的最大值值为f(2)，代入求出最大值，然后令f(2)【解答】
解：(1)f(x)=x3+ax2+bx+c，
f′(x)=3x2+2ax+b，
由f′(−23)=129−43a+b=0，f′(1)=3+2a+b=0，
解得，a=−12，b=−2，
f′(x)=3x2−x−2=(3x+2)(x−1)，函数f(x)的单调区间如下表：
所以函数f(x)的递增区间是(−∞, −23)和(1, +∞)，递减区间是(−23, 1)．
(2)f(x)=x3−12x2−2x+c，x∈[−1,2]，
当x=−23时，f(x)=2227+c为极大值，而f(2)=2+c，
所以f(2)=2+c为最大值．
要使f(x)f(2)=2+c．
解得c<−1或c>2．
【答案】
解：(1)补充完整的列联表如下：
K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
=100×(20×10−40×30)260×40×50×50
≈16.67>10.828，
∴ 在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为喜欢国学与性别有关系．
(2)喜欢国学的共60人，按分层抽样的抽取6人，则每人被抽中的概率均为110，
从而需抽取男生2人，女生4人，X的所有可能取值为0，1，2，
P(X=0)=C22C62=115，
P(X=1)=C41C21C62=815，
P(X=2)=C42C62=25，
∴ X的分布列为：
E(X)=0×115+1×815+2×25=43．
【考点】
离散型随机变量的期望与方差
离散型随机变量及其分布列
独立性检验
【解析】
（1）补充完整的列联表，求出K2≈16.67>10.828，从而在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为喜欢国学与性别有关系．
（2）喜欢国学的共60人，按分层抽样的抽取6人，则每人被抽中的概率均为110，从而需抽取男生2人，女生4人，X的所有可能取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和E(X)．
【解答】
解：(1)补充完整的列联表如下：
K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
=100×(20×10−40×30)260×40×50×50
≈16.67>10.828，
∴ 在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为喜欢国学与性别有关系．
(2)喜欢国学的共60人，按分层抽样的抽取6人，则每人被抽中的概率均为110，
从而需抽取男生2人，女生4人，X的所有可能取值为0，1，2，
P(X=0)=C22C62=115，
P(X=1)=C41C21C62=815，
P(X=2)=C42C62=25，
∴ X的分布列为：
E(X)=0×115+1×815+2×25=43．喜欢国学
不喜欢国学
合计
男生
20
50
女生
10
合计
100
P(K2≥k0)
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k0
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
x
(−∞, −23)
−23
(−23, 1)
1
(1, +∞)
f′(x)
+
0
−
0
+
f(x)
↑
极大值
↓
极小值
↑
x
(−∞, −23)
−23
(−23, 1)
1
(1, +∞)
f′(x)
+
0
−
0
+
f(x)
↑
极大值
↓
极小值
↑
喜欢国学
不喜欢国学
合计
男生
20
30
50
女生
40
10
50
合计
60
40
100
X
0
1
2
P
115
815
25
喜欢国学
不喜欢国学
合计
男生
20
30
50
女生
40
10
50
合计
60
40
100
X
0
1
2
P
115
815
25
1. 双曲线x2a2−y2b2=1a>0,b>0的一条渐近线方程为y=x ，则此双曲线的离心率为（ ）
A.2B.2C.3D.3
2. 已知a，b为实数，则“a3
C.充要条件D.既不充分又不必要条件
3. 曲线fx=x3−x在点−1,f−1处的切线方程为( )
A.2x+y+2=0B.2x+y−2=0C.2x−y+2=0D.2x−y−2=0
4. 若f(x)=x2+mlnx在(2, +∞)是增函数，则实数m的取值范围为（ ）
A.[−8, +∞)B.(−8, +∞)C.(−∞, −8)D.(−∞, −8]
5. 阿基米德（公元前287年—212年）是古希腊伟大的物理学家、数学家、天文学家，不仅在物理学方面贡献巨大，还享有“数学之神”的称号．抛物线上任意两点A，B处的切线交于点P，称△PAB为“阿基米德三角形”．当线段AB经过抛物线焦点F时，△PAB具有以下特征：
①P点必在抛物线的准线上；②△PAB为直角三角形，且PA⊥PB；③PF⊥AB.若经过抛物线y2=4x焦点的一条弦为AB，阿基米德三角形为△PAB，且点P的纵坐标为4，则直线AB的方程为（ ）
A.x−2y−1=0B.2x+y−2=0C.x+2y−1=0D.2x−y−2=0
6. 已知函数fx=lnxx−a，gx=3lnx−axlnx，若方程fx=gx有2个不同的实数解，则实数a的取值范围是（ ）
A.−∞,0B.0,1e
C.−∞,0∪e,+∞D.e,+∞
二、填空题
两对夫妇各带一个小孩乘坐6个座位的游览车，游览车每排只有一个座位．为安全起见，车的首尾两座一定要坐两位爸爸，两个小孩一定要相邻．那么，这6人的排座方法种数为________．（用数字作答）
三、解答题
已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c在x=−23与x=1时都取得极值．
(1)求a，b的值与函数f(x)的单调区间；
(2)若对x∈[−1, 2]，不等式f(x)
2020年新年伊始，新型冠状病毒来势汹汹，疫情使得各地学生在寒假结束之后无法返校，教育部就此提出了线上教学和远程教学，停课不停学的要求也得到了家长们的赞同．各地学校开展各式各样的线上教学，某地学校为了加强学生爱国教育，拟开设国学课，为了了解学生喜欢国学是否与性别有关，该学校对100名学生进行了问卷调查，得到如下列联表：
(1)请将上述列联表补充完整，并判断能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为喜欢国学与性别有关系？
(2)针对问卷调查的100名学生，学校决定从喜欢国学的人中按分层抽样的方法随机抽取6人成立国学宣传组，并在这6人中任选2人作为宣传组的组长，设这两人中女生人数为X，求X的分布列和数学期望．
参考数据：
K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，n=a+b+c+d．
参考答案与试题解析
2020-2021学年四川省遂宁市某校高二（下）7月1日周考数学试卷
一、选择题
1.
【答案】
B
【考点】
双曲线的渐近线
双曲线的离心率
【解析】
根据双曲线的渐近线方程建立方程关系，结合双曲线的离心率公式进行计算即可．
【解答】
解：双曲线x2a2−y2b2=1a>0,b>0的一条渐近线方程是y=bax，
即为y=x，即ba=1，
则b2=a2
则双曲线的离心率为e=ca=a2+b2a2=2.
故选B．
2.
【答案】
C
【考点】
充分条件、必要条件、充要条件
【解析】
利用函数y＝x3，y＝2x在R上单调递增即可得出．
【解答】
解：由于函数y=x3，y=2x在R上单调递增，
∴ “a3
3.
【答案】
C
【考点】
利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：f′(x)=3x2−1,
当x=−1时，f′(x)=3−1=2.
f(−1)=(−1)3−(−1)=0.
故f(x)在(−1，f(−1))处的切线方程为
y=2(x+1)，即2x−y+2=0.
故选C.
4.
【答案】
A
【考点】
利用导数研究函数的单调性
【解析】
求出函数的导数，问题转化为m≥−2x2在(2, +∞)恒成立，求出m的范围即可．
【解答】
解：f′(x)=2x+mx，
若f(x)=x2+mlnx在(2, +∞)上是增函数，
则2x+mx≥0在(2, +∞)上恒成立，
即m≥−2x2在(2, +∞)上恒成立，
由y=−2x2在(2, +∞)的最大值是−8，
故m≥−8，
故选A．
5.
【答案】
A
【考点】
直线与抛物线结合的最值问题
抛物线的性质
斜率的计算公式
【解析】
本题考查了抛物线的性质，直线与抛物线的位置关系，直线方程的求法.
【解答】
解：由题意得，F(1,0)，准线为x=−1，
由特征①③及已知得，P点坐标为(−1,4)，
则kPF=4−0−1−1=−2，
由特征②③得kAB=12，
又F(1,0)，
所以直线AB的方程为y=12x−12，
即x−2y−1=0.
故选A.
6.
【答案】
B
【考点】
利用导数研究函数的单调性
根的存在性及根的个数判断
利用导数研究函数的极值
函数的零点与方程根的关系
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：由题意得：lnxx−a=3(lnx−ax)lnx=31−axlnx,
令t=lnxx，则t−a=31−at，即(t−3)(t−a)=0，
由t(x)=lnxx，则t′(x)=1−lnxx2,
所以易得t(x)在(0,e)上单调递增，(e,+∞)上单调递减，且tmax(x)=t(e)=1e,
当x趋于0时，t(x)趋于无穷小；
当x趋于无穷大时，0
所以0
二、填空题
【答案】
24
【考点】
分步乘法计数原理
【解析】
根据题意，分3步进行分析：①、先分派两位爸爸，必须一首一尾，由排列数公式可得其排法数目，②、两个小孩一定要排在一起，用捆绑法将其看成一个元素，③、将两个小孩与两位妈妈进行全排列，由排列数公式可得其排法数目，由分步计数原理计算可得答案．
【解答】
解：根据题意，分3步进行分析，
①先分派两位爸爸，车的首尾两座一定要坐两位爸爸，有A22=2种排法，
②两个小孩一定要相邻，将其看成一个元素，考虑其顺序有A22=2种排法，
③将两个小孩与两位妈妈进行全排列，有A33=6种排法，
则共有2×2×6=24种排法.
故答案为：24.
三、解答题
【答案】
解：(1)f(x)=x3+ax2+bx+c，
f′(x)=3x2+2ax+b，
由f′(−23)=129−43a+b=0，f′(1)=3+2a+b=0，
解得，a=−12，b=−2，
f′(x)=3x2−x−2=(3x+2)(x−1)，函数f(x)的单调区间如下表：
所以函数f(x)的递增区间是(−∞, −23)和(1, +∞)，递减区间是(−23, 1)．
(2)f(x)=x3−12x2−2x+c，x∈[−1,2]，
当x=−23时，f(x)=2227+c为极大值，而f(2)=2+c，
所以f(2)=2+c为最大值．
要使f(x)
解得c<−1或c>2．
【考点】
利用导数研究函数的最值
函数恒成立问题
利用导数研究函数的极值
利用导数研究函数的单调性
【解析】
（1）求出f′(x)，因为函数在x=−23与x=1时都取得极值，所以得到f′(−23)=0且f′(1)=0联立解得a与b的值，然后把a、b的值代入求得f(x)及f′(x)，然后讨论导函数的正负得到函数的增减区间；
（2）根据（1）函数的单调性，由于x∈[−1, 2]恒成立求出函数的最大值值为f(2)，代入求出最大值，然后令f(2)
解：(1)f(x)=x3+ax2+bx+c，
f′(x)=3x2+2ax+b，
由f′(−23)=129−43a+b=0，f′(1)=3+2a+b=0，
解得，a=−12，b=−2，
f′(x)=3x2−x−2=(3x+2)(x−1)，函数f(x)的单调区间如下表：
所以函数f(x)的递增区间是(−∞, −23)和(1, +∞)，递减区间是(−23, 1)．
(2)f(x)=x3−12x2−2x+c，x∈[−1,2]，
当x=−23时，f(x)=2227+c为极大值，而f(2)=2+c，
所以f(2)=2+c为最大值．
要使f(x)
解得c<−1或c>2．
【答案】
解：(1)补充完整的列联表如下：
K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
=100×(20×10−40×30)260×40×50×50
≈16.67>10.828，
∴ 在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为喜欢国学与性别有关系．
(2)喜欢国学的共60人，按分层抽样的抽取6人，则每人被抽中的概率均为110，
从而需抽取男生2人，女生4人，X的所有可能取值为0，1，2，
P(X=0)=C22C62=115，
P(X=1)=C41C21C62=815，
P(X=2)=C42C62=25，
∴ X的分布列为：
E(X)=0×115+1×815+2×25=43．
【考点】
离散型随机变量的期望与方差
离散型随机变量及其分布列
独立性检验
【解析】
（1）补充完整的列联表，求出K2≈16.67>10.828，从而在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为喜欢国学与性别有关系．
（2）喜欢国学的共60人，按分层抽样的抽取6人，则每人被抽中的概率均为110，从而需抽取男生2人，女生4人，X的所有可能取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和E(X)．
【解答】
解：(1)补充完整的列联表如下：
K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
=100×(20×10−40×30)260×40×50×50
≈16.67>10.828，
∴ 在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为喜欢国学与性别有关系．
(2)喜欢国学的共60人，按分层抽样的抽取6人，则每人被抽中的概率均为110，
从而需抽取男生2人，女生4人，X的所有可能取值为0，1，2，
P(X=0)=C22C62=115，
P(X=1)=C41C21C62=815，
P(X=2)=C42C62=25，
∴ X的分布列为：
E(X)=0×115+1×815+2×25=43．喜欢国学
不喜欢国学
合计
男生
20
50
女生
10
合计
100
P(K2≥k0)
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k0
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
x
(−∞, −23)
−23
(−23, 1)
1
(1, +∞)
f′(x)
+
0
−
0
+
f(x)
↑
极大值
↓
极小值
↑
x
(−∞, −23)
−23
(−23, 1)
1
(1, +∞)
f′(x)
+
0
−
0
+
f(x)
↑
极大值
↓
极小值
↑
喜欢国学
不喜欢国学
合计
男生
20
30
50
女生
40
10
50
合计
60
40
100
X
0
1
2
P
115
815
25
喜欢国学
不喜欢国学
合计
男生
20
30
50
女生
40
10
50
合计
60
40
100
X
0
1
2
P
115
815
25
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