2020-2021年河南省三门峡市某校高二（下）3月月考数学（文）试卷

这是一份2020-2021年河南省三门峡市某校高二（下）3月月考数学（文）试卷，共8页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


1. 设3+2iz=2，则z的虚部为( )
A.−413B.613C.−413iD.413

2. 如图，把空间中直线与平面的位置关系①直线在平面内；②直线不在平面内；③直线与平面相交；④直线与平面平行，依次填入结构图中的A，B，C，D中，则正确的填写顺序是( )

A.①③②④B.②①③④C.③②①④D.①②③④

3. 我国著名数学家李善兰与英国传教士伟烈亚力合译的《代数学》是一部介绍西方符号代数学的数学著作，《代数学》中多处使用汉语化的表现形式表达数学运算法则，如用“天四天三=天三天天三=天一”来表示”x4x3=x3xx3=x”，用“(甲⊥乙)​三=甲​三⊥ 三甲​二乙⊥ 三甲乙​二⊥乙​三”来表示“(x+y)3=x3+3x2y+3xy2+y3”．那么下列表述中所有正确的序号是( )
①“天八天二=天二天六天二=天六一”表示“ x8x2=x2x6x2=x6”；
②“天二〇天一七=天一七天三天一七=天三一”表示“ x20x17=x17x3x17=x3；
③“（甲⊥乙）​二=甲​二⊥二甲乙⊥乙​二”表示“x+y2=x2+2xy+y2”．
A.①②③B.②③C.①③D.①②

4. 假设有两个分类变量X，Y，它们的可能取值分别为x1,x2，y1,y2，其2×2列联表如下，则选项中各组数据最有可能说明“X与Y有关系”的是( )
A.a=10,b=10,c=25,d=5B.a=15,b=10,c=10,d=15
C.a=20,b=5,c=10,d=15D.a=25,b=10,c=5,d=10

5. 在复平面内，复数10i3+i对应的点的坐标为( )
A.(−1, 3)B.(1, 3)C.(3, 1)D.(3, −1)

6. 运行如图所示的程序框图，若输出S的值为240，则判断框中可以填( )

A.n<3？B.n<2？C.n<4？D.n<5？

7. 已知变量y关于x的回归方程为y=2x−1，变量y与z负相关，则( )
A.x与y正相关，x与z负相关B.x与y正相关，x与z正相关
C.x与y负相关，x与z负相关D.x与y负相关，x与z正相关

8. 进位制是一种记数方式，故亦称进位记数法，可以用有限的数字符号代表所有的数值．对于任何一个数，我们可以用不同的进位制来表示．比如：十进数57（10），可以用二进制表示为111001（2），也可以用五进制表示为212（5），它们所代表的数值都是一样的．把k进制数按位权形式展开多项式和的形式，求其最后的和，就是其对应的十进制数——简称“按权求和”．如图所示的是一个把K进制数A（共有N位）化十进制数B的程序框图，若输入的A，K，N分别为125，6，3，则空白框中应填入的运算式和输出的B依次为( )

A.B=B+M⋅Ki−1，B=48B.B=B+M⋅Ki−1，B=53
C.B=B+M⋅Ki，B=53D.B=B+M⋅Ki，B=318

9. 在线性回归模型中，相关指数R2表示解释变量x对于预报变量y变化的贡献率，下列关于相关指数R2的说法，正确的是（ ）
A.R2越小，表示模型的拟合效果越好
B.R2∈0,+∞
C.若R2≈0.86，表明“y的差异有86%是由x引起的”
D.R2越大，残差平方和越大

10. 观察下面各等高条形图，其中两个分类变量关系最强的是( )
A.B.
C.D.

11. 已知复数z=x+yix,y∈R，且|z−2|=2，则y+2x的最大值为（ ）
A.3B.−23C.−2+3D.2+3

12. 如图所示的是某小朋友在用火柴拼图时呈现的图形，其中第1个图形用了3根火柴，第2个图形用了9根火柴，第3个图形用了18根火柴，……，按此规律，则第2021个图形用的火柴根数为（ ）

A.2019×2020B.2019×2021C.3030×2021D.3033×2021
二、填空题

若复数a2−4+(a+2)i为纯虚数，则实数a=________．
三、解答题

已知复数z1=2−i，z2=3+2i．
(1)若复数z1+az2在复平面上对应的点在第三象限，求实数a的取值范围．

(2)若z=z2z1，求z的共轭复数z．

2020年4月底，随着新冠疫情防控进入常态化，为了促进消费复苏增长，某市开展“五一消费黄金周”系列活动，并发放亿元电子消费券，活动过后，随机抽取了50人，对是否使用过电子消费券进行调查，结果如下表：
若以年龄40岁为分界点，由以上统计数据完成下面2×2列联表，并判断是否有95%的把握认为使用电子消费券与年龄是否低于40岁有关．
参考数据：
K2=nad−bc2a+bc+da+cb+d，其中n=a+b+c+d．

已知数列an满足a1=2，anan+1+1=2an．
(1)证明：{1an−1}为等差数列．

(2)记数列lnan的前n项和为Sn，证明：Sn>lnn．

已知实数p，q满足p3+q3=16，用反证法证明p+q≤4．

近年来，共享单车进驻城市，促进绿色出行引领时尚先锋．某公司计划对未开通共享单车的A县城进行车辆投放，为了确定车辆投放量，对过去在其他县城的投放量情况以及年使用人次进行了统计，得到了投放量x（单位：千辆）与年使用人次y（单位：千次）的数据如下表所示，根据数据绘制投放量x与年使用人次y的散点图如图所示．

(1)观察散点图，可知两个变量不具有线性相关关系，拟用对数函数模型y=a+blgx或指数函数模型y=c⋅dxc>0,d>0对两个变量的关系进行拟合，请问哪个模型更适宜作为投放量x与年使用人次y的回归方程类型（给出判断即可，不必说明理由），并求出y关于x的回归方程；

(2)根据(1)中求得的回归方程，求此回归模型投放量为5千辆时的残差e．
参考数据：
其中vi=lgyi，v=17i=1nvi，取100.6=4，6.7728=0.24．
参考公式：对于一组数据u1,v1,u2,v2，…，un,vn，其回归直线v=a+βu的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为β=i=1nuivi−nuvi=1nui2−nu2，a=v−βu．

已知1(1)证明：bea
(2)证明：ea+b2参考答案与试题解析
2020-2021年河南省三门峡市某校高二（下）3月月考数学（文）试卷
一、选择题
1.
【答案】
A
【考点】
复数代数形式的乘除运算
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：因为3+2iz=2，
所以z=23+2i=23−2i3+2i3−2i=613−413i，
所以z的虚部为−413．
故选A．
2.
【答案】
D
【考点】
空间中直线与平面之间的位置关系
结构图应用
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：因为空间中直线与平面的位置关系包括直线在平面内和直线不在平面内两种情况，
其次，直线不在平面内又包括直线与平面相交和直线与平面平行两种情况，
所以依次填入结构图中的A，B，C，D是①②③④．
故选D．
3.
【答案】
A
【考点】
中国古代数学瑰宝
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：由题知，“天四天三=天三天天三=天一”来表示“x4x3=x3xx3=x”，
相当于同底数幂相除，底数不变，指数相减，所以①、②正确．
由“(甲⊥乙)​三=甲​三⊥ 三甲​二乙⊥ 三甲乙​二⊥乙​三”来表示“(x+y)3=x3+3x2y+3xy2+y3”可知⊥是加法，
所以③是完全平方公式，正确．
故选A.
4.
【答案】
C
【考点】
变量间的相关关系
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：比较各选项中|ad−bc|的值，
A中，|50−250|=200，
B中，|225−100|=125，
C中，|300−50|=250，
D中，|250−50|=200．
故选C．
5.
【答案】
B
【考点】
复数代数形式的乘除运算
复数的代数表示法及其几何意义
【解析】
由10i3+i=10i(3−i)(3+i)(3−i)=1+3i，能求出在复平面内，复数10i3+i对应的点的坐标．
【解答】
解：∵ 10i3+i=10i(3−i)(3+i)(3−i)
=30i+1010=1+3i，
∴ 在复平面内，复数10i3+i对应的点的坐标为(1, 3).
故选B.
6.
【答案】
C
【考点】
程序框图
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：S=27=128，n=6，
S=128+26=192，n=5，
S=192+25=224，n=4，
S=224+24=240，n=3，
满足条件，输出240，即可填入n<4?．
故选C.
7.
【答案】
A
【考点】
线性相关关系的判断
两个变量的线性相关
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：因为直线y=2x−1的斜率大于0，所以x与y正相关．
因为y与z负相关，可设z=by+a，b<0，
则z=by+a=2bx−b+a，故x与z负相关．
故选A．
8.
【答案】
B
【考点】
程序框图
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：由题意知，运算框应填入B=B+M⋅Ki−1，执行程序框图，
输出的B=5×60+2×61+1×62=53．
故选B．
9.
【答案】
C
【考点】
相关系数
回归分析
回归分析的初步应用
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：R2越大，表示回归的效果越好，故A错误；
R2∈0,1，故B错误；
因为 R2=1−i=1nyi−yi2i=1nyi−y2中，i=1n(yi−y)2为确定的数，所以R2越大，意味着残差平方和i=1nyi−yi2越小，故D错误．
故选C．
10.
【答案】
B
【考点】
两个变量的线性相关
【解析】

【解答】
解：四个选项中，即等高的条形图中x1，x2所占比例相差越大，则分类变量x，y关系越强.
故选B.
11.
【答案】
D
【考点】
点到直线的距离公式
复数的模
简单线性规划
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：因为|z−2|=2，
所以x−22+y2=2，
即x−22+y2=2．
设过点0,−2与圆x−22+y2=2相切的直线方程为l：y=kx−2，
则|2k−2|k2+1=2，
整理得k2−4k+1=0，
解得k=2±3，
故y+2x的最大值为2+3．
故选D．
12.
【答案】
D
【考点】
数列的应用
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：由图可知第1个图形用了3=3×1×1+12根火柴，
第2个图形用了9=3×2×2+12根火柴，
第3个图形用了18=3×3×3+12根火柴，……，
归纳得，第n个图形用了31+2+3+⋯+n=3nn+12根火柴，
当n=2021时，3nn+12=3033×2021．
故选D．
二、填空题
【答案】
2
【考点】
复数的基本概念
【解析】
利用复数概念求解．
【解答】
解：∵ 复数a2−4+(a+2)i是纯虚数，
∴ a2−4=0,a+2≠0,
解得a=2．
故答案为：2．
三、解答题
【答案】
解：(1)因为z1=2−i，z2=3+2i，
所以z1+az2=2−i+a3+2i=2+3a+2a−1i．
因为复数z1+az2在复平面上对应的点在第三象限，
所以2+3a<0,2a−1<0,
解得a<−23，
即实数a的取值范围为(−∞,−23)．
(2)因为z=z2z1=3+2i2−i=3+2i2+i2−i2+i=4+7i5=45+75i，
所以z=45−75i．
【考点】
复数的代数表示法及其几何意义
复数代数形式的加减运算
复数代数形式的乘除运算
共轭复数
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)因为z1=2−i，z2=3+2i，
所以z1+az2=2−i+a3+2i=2+3a+2a−1i．
因为复数z1+az2在复平面上对应的点在第三象限，
所以2+3a<0,2a−1<0,
解得a<−23，
即实数a的取值范围为(−∞,−23)．
(2)因为z=z2z1=3+2i2−i=3+2i2+i2−i2+i=4+7i5=45+75i，
所以z=45−75i．
【答案】
解：列联表如下：
因为K2=50×8×22−18×2240×10×24×26≈3.926>3.841，
所以有95%的把握认为使用电子消费券与年龄是否低于40岁有关．
【考点】
独立性检验
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：列联表如下：
因为K2=50×8×22−18×2240×10×24×26≈3.926>3.841，
所以有95%的把握认为使用电子消费券与年龄是否低于40岁有关．
【答案】
证明：(1)因为anan+1+1=2an，
所以an+1=2−1an，
所以an+1−1=1−1an=an−1an，
所以1an+1−1=anan−1=an−1+1an−1=1+1an−1，
所以1an+1−1−1an−1=1．
因为a1=2，
所以1a1−1=1，
故数列{1an−1}是首项为1，公差为1的等差数列．
(2)由(1)知1an−1=n，
所以an=n+1n．
因为lnan=lnn+1n=lnn+1−lnn，
所以Sn=lna1+lna2+lna3+⋯+lnan
=ln2−ln1+ln3−ln2+ln4−ln3+⋯+lnn+1−lnn
=lnn+1>lnn．
【考点】
等差数列
等差数列的通项公式
数列与不等式的综合
数列的求和
【解析】
此题暂无解析
【解答】
证明：(1)因为anan+1+1=2an，
所以an+1=2−1an，
所以an+1−1=1−1an=an−1an，
所以1an+1−1=anan−1=an−1+1an−1=1+1an−1，
所以1an+1−1−1an−1=1．
因为a1=2，
所以1a1−1=1，
故数列{1an−1}是首项为1，公差为1的等差数列．
(2)由(1)知1an−1=n，
所以an=n+1n．
因为lnan=lnn+1n=lnn+1−lnn，
所以Sn=lna1+lna2+lna3+⋯+lnan
=ln2−ln1+ln3−ln2+ln4−ln3+⋯+lnn+1−lnn
=lnn+1>lnn．
【答案】
证明：假设p+q>4，则p>4−q，
所以p3>4−q3，
所以p3+q3>4−q3+q3=64−48q+12q2．
因为p3+q3=16，
所以16>64−48q+12q2，
即q2−4q+4=q−22<0，这与q−22≥0矛盾，
所以假设不成立，故p+q≤4．
【考点】
反证法与放缩法
【解析】
此题暂无解析
【解答】
证明：假设p+q>4，则p>4−q，
所以p3>4−q3，
所以p3+q3>4−q3+q3=64−48q+12q2．
因为p3+q3=16，
所以16>64−48q+12q2，
即q2−4q+4=q−22<0，这与q−22≥0矛盾，
所以假设不成立，故p+q≤4．
【答案】
解：(1)由散点图判断，指数函数模型y=c⋅dx适宜作为投放量x与年使用人次y的回归方程类型．
由y=c⋅dx，两边同时取常用对数得lgy=lg(c⋅dx)=lgc+xlgd．
设lgy=v，则v=lgc+xlgd．
因为x=4，v=1.56，i=17xi2=140，i=17xivi=50.45，
所以 lgd=i=17xivi−7xvi=17xi2−7x2=50.45−7×4×1.56140−7×42=6.7728≈0.24．
把(4,1.56)代入v=lgc+xlgd，得lgc=0.6，
所以v=0.6+0.24x，
所以lgy=0.6+0.24x，
则y=100.6+0.24x=4×100.24x，
故y关于x的回归方程为y=4×100.24x．
(2)若投入5千辆单车，
则年使用人次为4×101.2=64千人次，
则残差e=67−64=3千人次．
【考点】
可线性化的回归分析
求解线性回归方程
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)由散点图判断，指数函数模型y=c⋅dx适宜作为投放量x与年使用人次y的回归方程类型．
由y=c⋅dx，两边同时取常用对数得lgy=lg(c⋅dx)=lgc+xlgd．
设lgy=v，则v=lgc+xlgd．
因为x=4，v=1.56，i=17xi2=140，i=17xivi=50.45，
所以 lgd=i=17xivi−7xvi=17xi2−7x2=50.45−7×4×1.56140−7×42=6.7728≈0.24．
把(4,1.56)代入v=lgc+xlgd，得lgc=0.6，
所以v=0.6+0.24x，
所以lgy=0.6+0.24x，
则y=100.6+0.24x=4×100.24x，
故y关于x的回归方程为y=4×100.24x．
(2)若投入5千辆单车，
则年使用人次为4×101.2=64千人次，
则残差e=67−64=3千人次．
【答案】
证明：(1)要证bea令f(x)=exx，x∈(1,+∞)，
则f′(x)=exx−exx2=ex(x−1)x2>0，
所以f(x)在(1,+∞)上单调递增．
因为1所以eaa(2)要证e(a+b)2令eb−a2=x>1，所以只需证x因为x>1，所以lnx>0，
所以只要证2xlnx令g(x)=2lnx−x+1x，x∈(1,+∞)，
则g′(x)=2x−1−1x2=−(x−1)2x2<0，
所以g(x)在(1,+∞)上单调递减，
所以g(x)即2lnx−x+1x<0成立，
故e(a+b)2【考点】
利用导数研究函数的单调性
【解析】
此题暂无解析
【解答】
证明：(1)要证bea令f(x)=exx，x∈(1,+∞)，
则f′(x)=exx−exx2=ex(x−1)x2>0，
所以f(x)在(1,+∞)上单调递增．
因为1所以eaa(2)要证e(a+b)2令eb−a2=x>1，所以只需证x因为x>1，所以lnx>0，
所以只要证2xlnx令g(x)=2lnx−x+1x，x∈(1,+∞)，
则g′(x)=2x−1−1x2=−(x−1)2x2<0，
所以g(x)在(1,+∞)上单调递减，
所以g(x)即2lnx−x+1x<0成立，
故e(a+b)2y2
总计
x1
a
b
a+b
x2
c
d
c+d
总计
a+c
b+d
a+b+c+d
年龄（单位：岁）
[10,20)
[20,30)
[30,40)
[40,50)
[50,60)
[60,70)
抽取人数
3
9
12
13
9
4
使用过消费券的人数
2
8
12
10
7
1
年龄低于40岁的人数
年龄不低于40岁的人数
合计
使用过消费券的人数
没有使用过消费券的人数
合计
PK2≥k0
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k0
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
x
1
2
3
4
5
6
7
y
7
12
22
35
67
102
197
y
v
i=17xiyi
i=17xivi
63.14
1.56
2563
50.45
年龄低于40岁的人数
年龄不低于40岁的人数
合计
使用过消费券的人数
22
18
40
没有使用过消费券的人数
2
8
10
合计
24
26
50
年龄低于40岁的人数
年龄不低于40岁的人数
合计
使用过消费券的人数
22
18
40
没有使用过消费券的人数
2
8
10
合计
24
26
50