2020-2021学年山东省德州市某校高二（下）4月月考数学试卷

这是一份2020-2021学年山东省德州市某校高二（下）4月月考数学试卷，共12页。试卷主要包含了选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 在数列an中，a1=2，a2=5，an+2+an=an+1n∈N+，则a5=（ ）
A.3B.−2C.−5D.3

2. 对两个具有线性相关关系的变量x和y进行统计时，得到一组数据1,0.3，2,4.7，3,m，4,8 ，通过这组数据求得回归直线方程为y=2.4x−2，则m的值为( )
A.3B.5C.5.2D.6

3. 已知函数fx=7x2−2x+1，若数列an是公差不为0的等差数列，fa4=fa18，则an的前21项和为( )
A.0B.252C.42D.3

4. 用数学归纳法证明不等式1+12+13+14+⋯+12n−1>n2n∈N+,n≥2，当n取第一个值时，左边的表达式为( )
A.1B.1+12
C.1+12+13D.1+12+13+14

5. 等差数列an，bn的前n项和分别为Sn，Tn，若anbn=3n−24n+3，则S11T11=( )
A.3147B.1323C.1627D.3

6. 在数列an中，an=an−2,n≤3，1−2an+2,n>3，对于任意的n∈N+都有an+14n成立的最小正整数n为( )
A.6B.5C.4D.7

8. 对于数列an，定义Hn=a1+2a2+4a3+⋯+2n−1annn∈N+为数列an的“好数”，已知某数列an的“好数”Hn=2n，则an+12+1an−1的最小值为( )
A.25+4B.172C.263D.8
二、多选题

下列各函数的导数，正确的为（ ）
A.x′=12x−12B.xcsx′=csx+xsinx
C.ln1−x′=11−xD.x+1ex′=−xex

对两个变量y和x进行回归分析，则下列结论正确的为( )
A.残差平方和越小的模型，拟合的效果越好
B.回归直线至少会经过其中一个样本点xi,yi
C.建立两个回归模型，模型1的相关系数r1=−0.999，模型2的相关系数r2=0.876，则模型2的拟合度更好
D.以y=aebx模型去拟合某组数据时，为了求出回归方程，设z=lny，将其变换后得到线性方程z=6x+ln2，则a，b的值分别为2，6

已知等差数列an的前n项和为Sn，|a5|=|a11|，公差d0
D.当d=−2时，|an|的前n项和为Tn，则T12=76

已知等比数列an的公比为q，a1∈12,1，an>0，前n项和为Sn，前n项积为Tn，函数fx=xx+a1x+a2x+a3x+a4x+a5，若f′0=1，则下列结论正确的为( )
A.1n2n∈N+,n≥2，
第一步应代入n=2，则左边的表达式为1+12.
故选B.
5.
【答案】
C
【考点】
等差数列的性质
等差数列的前n项和
【解析】
利用等差数列性质求解即可.
【解答】
解：由等差数列性质可知：
S11T11=11a1+a11211b1+b112=a1+a11b1+b11
=2a62b6=3×6−24×6+3=1627.
故选C.
6.
【答案】
C
【考点】
数列的函数特性
不等式
分段函数的应用
【解析】
本题考查函数的单调性与数列的综合应用，首先按分段函数每一段都是递减的，然后整体也是递减的，进而求得答案.
【解答】
解：∵an+123，则a∈23,1.
故选C.
7.
【答案】
A
【考点】
数列与不等式的综合
数列递推式
等差数列的前n项和
【解析】
本题考查利用数列的递推关系求通项公式，然后运用函数的单调性求n的值.
【解答】
解：∵an+1an=2n，
∴a2a1=2，a3a2=22，⋯，anan−1=2n−1，
左右两边累乘得到，
ana1=2⋅22⋅23⋯2n−1=21+2+⋯+(n−1).
由于1+2+⋯+n−1=n(n−1)2，a1=1，
故an=2n(n−1)2.则an=2n(n−1)2>4n=22n.
又函数y=2x 在其定义域上单调递增，
∴n(n−1)2>2n，解得n>5，
∴ 使an>4n成立的最小正整数n为6.
故选A.
8.
【答案】
B
【考点】
数列的求和
数列递推式
基本不等式在最值问题中的应用
【解析】
本题考查数列求和的综合应用，首先利用已知求出an的通项公式，然后利用基本不等式求得最小值.
【解答】
解：设bn=2n−1an，bn的前n项和为Sn，
则Hn=Snn=2n，
∴Sn=n⋅2n，Sn−1=(n−1)2n−1，
两式相减得bn=Sn−Sn−1=(n+1)2n−1，
则an=n+1.
∴an+12+1an−1=n2+4n+5n=4+n+5n.
∵ n∈N+，
∴ 4+n+5n≥4+n⋅5n=4+5，
当且仅当n=5n时，等号成立.
由于n是正整数，
∴ n=2或3时原式取最小值，
又1720，
∴a1+4d=−a1+10d，
则a1+7d=0，即a8=0，故A正确；
∵ a8=0，d0，则q=1a1，
解得，10，
∴lnan+1−lnan=lnq>0，
∴{lnan}为单调递增的等差数列，公差为lnq，故B正确；
C，∵ an>0，a1∈12,1，q∈1,2，a3=1，
∴当n>3时， an>1，故a6>1，
又T5=a1a2a3a4a5=1，
∴T6>1，故C正确；
D，Sn=a11−qn1−q=a11−q−a11−qqn.
∵a11−q≠0，
∴Sn不为等比数列，故D错误.
故选ABC．
三、填空题
【答案】
e+1
【考点】
导数的运算
【解析】
先求导，利用导数的概念可知，lim△→0f1+△x−f1△x=f′1，代入导函数中即可得到答案.
【解答】
解：∵ fx=x2+ex−lnx，
∴ f′x=2x+ex−1x，
∴ limΔ→0f1+Δx−f1Δx
=f′1=2+e−1=e+1.
故答案为：e+1.
【答案】
101
【考点】
归纳推理
数列递推式
【解析】
本题考查归纳推理的知识，就是运用题目给的条件，推理出想要的答案.
【解答】
解：由斐波那契数列的定义可得，a1=a2=1，an+2=an+1+an，
则1+a2=a1+a2=a3，a3+a4=a5，⋯，a99+a100=a101，
∴由归纳推理得到：1+a2+a4+⋯+a100=a101，
则1+a2+a4+a6+a8+⋯+a100的结果是斐波那契数列的第101项.
故答案为：101.
【答案】
174
【考点】
等差数列的前n项和
等比数列的通项公式
数列递推式
【解析】
利用递推关系得出其对应关系，即可求解.
【解答】
解： ∵a1=3，an+1+an=2n−1，
∴a2=−2.
又an+1+an=2n−1，①
则an+2+an+1=2n+1−1，②
②−①，得an+2−an=2，
∴a2n−1是3为首项，2为公差的等差数列，
则a2n 是−2为首项，2为公差的等差数列，
∴S19=a1+a2+⋯+a18+a19
=a1+a3+⋯+a19+a2+a4+⋯+a18
=12×3+21×10+12×−2+14×9
=120+54
=174.
故答案为： 174.
【答案】
4096,2n2+n−22
【考点】
等比数列的性质
等比数列的通项公式
【解析】

【解答】
解：设等比数列为{bn}，则第5行第3个数为b13.
∵ bn=1×2n−1=2n−1，
∴b13=212=4096.
∵ a1=b1，a2=b3，a3=b6，⋯
∴ an=b(n+1)2⋅n=2n2(n+1)−1=2n2+n−22.
故答案为：4096；2n2+n−22.
四、解答题
【答案】
解：(1)选①.
因为{an}是等差数列，则设公差为dd≠0，
由Sn+1=Sn+an+2，
得Sn+1−Sn=an+1=an+2，
得d=an+1−an=2，
又因为a1，a2，a5成等比数列，
所以a22=a1⋅a5，即a1+22=a1a1+8，
得a1=1，则an=a1+n−1d=1+2n−1=2n−1．
选②.
因为{an}是等差数列，则设公差为dd≠0，
又因为a1，a2，a5成等比数列，S4=16，
所以(a1+d)2=a1⋅(a1+4d),4a1+6d=16,
解得a1=1,d=2,或a1=4,d=0.（舍）
所以an=a1+n−1d=1+2n−1=2n−1．
选③.
因为{an}是等差数列，则设公差为dd≠0，
由a5=9，a1，a2，a5成等比数列，
所以a1+4d=9,(a1+d)2=a1⋅(a1+4d),
得a1=1,d=2,或a1=9,d=0,（舍）
所以an=a1+n−1d=1+2n−1=2n−1．
(2)由(1)得，bn=2an=22n−1，
所以Tn=21+23+25+⋯+22n−1+1+3+5+⋯+2n−1
=2(1−4n)1−4+n2=23(4n−1)+n2．
【考点】
等差数列的性质
等差数列的通项公式
等比数列的性质
等比数列的前n项和
数列的求和
【解析】
无
无
【解答】
解：(1)选①.
因为{an}是等差数列，则设公差为dd≠0，
由Sn+1=Sn+an+2，
得Sn+1−Sn=an+1=an+2，
得d=an+1−an=2，
又因为a1，a2，a5成等比数列，
所以a22=a1⋅a5，即a1+22=a1a1+8，
得a1=1，则an=a1+n−1d=1+2n−1=2n−1．
选②.
因为{an}是等差数列，则设公差为dd≠0，
又因为a1，a2，a5成等比数列，S4=16，
所以(a1+d)2=a1⋅(a1+4d),4a1+6d=16,
解得a1=1,d=2,或a1=4,d=0.（舍）
所以an=a1+n−1d=1+2n−1=2n−1．
选③.
因为{an}是等差数列，则设公差为dd≠0，
由a5=9，a1，a2，a5成等比数列，
所以a1+4d=9,(a1+d)2=a1⋅(a1+4d),
得a1=1,d=2,或a1=9,d=0,（舍）
所以an=a1+n−1d=1+2n−1=2n−1．
(2)由(1)得，bn=2an=22n−1，
所以Tn=21+23+25+⋯+22n−1+1+3+5+⋯+2n−1
=2(1−4n)1−4+n2=23(4n−1)+n2．
【答案】
解：(1)x=14(6+8+10+12)=9，
y=14(14+11+8+7)=10，
i=14xi−x2=20，
∴ b=i=14xi−xyi−yi=14xi−x2=−2420=−1.2，
a=y−bx=20.8，
∴ y=−1.2x+20.8.
(2)令y=4，得4=−1.2x+20.8，
∴ x=14，
∴ 预测当该图书每天的销量为4本时，该图书的定价约为14元.
【考点】
求解线性回归方程
【解析】


【解答】
解：(1)x=14(6+8+10+12)=9，
y=14(14+11+8+7)=10，
i=14xi−x2=20，
∴ b=i=14xi−xyi−yi=14xi−x2=−2420=−1.2，
a=y−bx=20.8，
∴ y=−1.2x+20.8.
(2)令y=4，得4=−1.2x+20.8，
∴ x=14，
∴ 预测当该图书每天的销量为4本时，该图书的定价约为14元.
【答案】
解：(1)由题意得，f′x=2x−ax，
因为与直线2x+7y+1=0垂直，
所以在x=2处的切线斜率为72，
所以f′2=2×2−a2=72，
解得a=1，
所以fx=x2−lnx.
(2)由(1)得f′x=2x−1x，f′1=1，
所以k1=1，且过1,1点，
所以直线l:y=x.
y=−x+1与y轴交点B0,1，
y=x与y=−x+1交点A12,12，
如图，
所以S=12×1×12=14.
【考点】
利用导数研究曲线上某点切线方程
直线的斜率
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)由题意得，f′x=2x−ax，
因为与直线2x+7y+1=0垂直，
所以在x=2处的切线斜率为72，
所以f′2=2×2−a2=72，
解得a=1，
所以fx=x2−lnx.
(2)由(1)得f′x=2x−1x，f′1=1，
所以k1=1，且过1,1点，
所以直线l:y=x.
y=−x+1与y轴交点B0,1，
y=x与y=−x+1交点A12,12，
如图，
所以S=12×1×12=14.
【答案】
解：(1)设等差数列an的公差为d，且d>0，
因为a4−1是a2与a6+1的等比中项，
所以a4−12=a2a6+1，
a1+3d−12=a1+da1+5d+1，
把a1=1代入，化为4d2−7d−2=0，
解得d=2或d=−14（舍），
所以an=1+2n−1=2n−1，
所以an=2n−1 .
(2)b1=a1=1，
当n≥2时，bn=Sn−Sn−1=bn+1−1−bn−1，
化为bn+1=2bn，即bn+1bn=2，
当n=1时，b2=S1+1=2，b2b1=2 ，
所以bn是首项为1，公比为2的等比数列，
所以bn=2n−1，
所以an⋅bn=2n−1⋅2n−1，
Tn=1×20+3×21+5×22+⋯+2n−3⋅2n−2+2n−1⋅2n−1，①
2Tn=1×21+3×22+5×23+⋯+2n−3⋅2n−1+2n−1⋅2n，②
①−②得，−Tn=1+2×21+2×22+⋯+2×2n−1−2n−1⋅2n
=1+41−2n−11−2−2n−1⋅2n
=1+2n+1−4−2n−1⋅2n
=−3+3−2n⋅2n，
所以Tn=2n−3⋅2n+3.
【考点】
等差数列的性质
等差数列的通项公式
数列的求和
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)设等差数列an的公差为d，且d>0，
因为a4−1是a2与a6+1的等比中项，
所以a4−12=a2a6+1，
a1+3d−12=a1+da1+5d+1，
把a1=1代入，化为4d2−7d−2=0，
解得d=2或d=−14（舍），
所以an=1+2n−1=2n−1，
所以an=2n−1.
(2)b1=a1=1，
当n≥2时，bn=Sn−Sn−1=bn+1−1−bn−1，
化为bn+1=2bn，即bn+1bn=2，
当n=1时，b2=S1+1=2，b2b1=2 ，
所以bn是首项为1，公比为2的等比数列，
所以bn=2n−1，
所以an⋅bn=2n−1⋅2n−1，
Tn=1×20+3×21+5×22+⋯+2n−3⋅2n−2+2n−1⋅2n−1，①
2Tn=1×21+3×22+5×23+⋯+2n−3⋅2n−1+2n−1⋅2n，②
①−②得，−Tn=1+2×21+2×22+⋯+2×2n−1−2n−1⋅2n
=1+41−2n−11−2−2n−1⋅2n
=1+2n+1−4−2n−1⋅2n
=−3+3−2n⋅2n，
所以Tn=2n−3⋅2n+3.
【答案】
解：(1)2×2列联表如表：
K2=300(200×20−40×40)2240×60×240×60≈8.333，
因为8.333>6.635，
所以在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为农民外出务工与年龄有关．
(2)既是“外出务工人员”又是“年轻人”的人数有200人 ,
占总人数的频率为23，
所以X∼B4,23，
P(X=0)=C40230134=181，
P(X=1)=C41231133=881，
P(X=2)=C42232132=827，
P(X=3)=C43233134=3281，
P(X=4)=C44234130=1681，
所以X的分布列为
则E(X)=4×23=83．
【考点】
独立性检验
离散型随机变量的期望与方差
离散型随机变量及其分布列
【解析】
左侧图片未给出解析
左侧图片未给出解析
【解答】
解：(1)2×2列联表如表：
K2=300(200×20−40×40)2240×60×240×60≈8.333，
因为8.333>6.635，
所以在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为农民外出务工与年龄有关．
(2)既是“外出务工人员”又是“年轻人”的人数有200人 ,
占总人数的频率为23，
所以X∼B4,23，
P(X=0)=C40230134=181，
P(X=1)=C41231133=881，
P(X=2)=C42232132=827，
P(X=3)=C43233134=3281，
P(X=4)=C44234130=1681，
所以X的分布列为
则E(X)=4×23=83．
【答案】
(1)证明：因为3an+1−2an+1an−an=0，an≠0，
所以3an+1−an=2an+1⋅an，
所以3an+1−anan+1⋅an=2，则3an−1an+1=2，
所以3an=1an+1+2，
所以31an−1=1an+1−1.
又因为1a1−1=3≠0，
所以1an−1≠0，即1an+1−11an−1=3，
所以1an−1是以3为首项 , 以3为公比的等比数列，
所以1an−1=3⋅3n−1=3n，
所以an=13n+1．
(2)解：(i)因为bn=an+1⋅(1−an)=13n+1+1⋅1−13n+1
=3n(3n+1+1)⋅(3n+1)=1213n+1−13n+1+1，
所以Sn=12[14−110+110−128+⋯+13n+1−13n+1+1]
=1214−13n+1+1.
(ii)因为对n​∈N+ , 1214−13n+1+1≥λ3n+1，
所以λ≤3n+18−3n+12(3n+1+1)对n∈N+恒成立，
设f(n)=3n+18−3n+12(3n+1+1)，n∈N+，
因为f(n+1)−f(n)=3n+28−3n+22(3n+2+1)−3n+18+3n+12(3n+1+1)
=3n+114−1(3n+1+1)(3n+2+1)=3n+1⋅(32n+3+3n+2+3n+1−3)4(3n+1+1)(3n+2+1)，
因为对∀n∈N+，有32n+3+3n+2+3n+1−3>0 ,
所以f(n+1)>f(n) ，
所以当n=1时 , f(n)min=f(1)=2740，
所以λ≤2740．
【考点】
数列递推式
等比数列的通项公式
数列的求和
数列与不等式的综合
【解析】
左侧图片未给出解析
左侧图片未给出解析
【解答】
(1)证明：因为3an+1−2an+1an−an=0，an≠0，
所以3an+1−an=2an+1⋅an，
所以3an+1−anan+1⋅an=2，则3an−1an+1=2，
所以3an=1an+1+2，
所以31an−1=1an+1−1.
又因为1a1−1=3≠0，
所以1an−1≠0，即1an+1−11an−1=3，
所以1an−1是以3为首项 , 以3为公比的等比数列，
所以1an−1=3⋅3n−1=3n，
所以an=13n+1．
(2)解：(i)因为bn=an+1⋅(1−an)=13n+1+1⋅1−13n+1
=3n(3n+1+1)⋅(3n+1)=1213n+1−13n+1+1，
所以Sn=12[14−110+110−128+⋯+13n+1−13n+1+1]
=1214−13n+1+1.
(ii)因为对n​∈N+ , 1214−13n+1+1≥λ3n+1，
所以λ≤3n+18−3n+12(3n+1+1)对n∈N+恒成立，
设f(n)=3n+18−3n+12(3n+1+1)，n∈N+，
因为f(n+1)−f(n)=3n+28−3n+22(3n+2+1)−3n+18+3n+12(3n+1+1)
=3n+114−1(3n+1+1)(3n+2+1)=3n+1⋅(32n+3+3n+2+3n+1−3)4(3n+1+1)(3n+2+1)，
因为对∀n∈N+，有32n+3+3n+2+3n+1−3>0 ,
所以f(n+1)>f(n) ，
所以当n=1时 , f(n)min=f(1)=2740，
所以λ≤2740．定价x（元）
6
8
10
12
销售量y（本/天）
14
11
8
7
年轻人
非年轻人
合计
外出务工人数
200
在家留守人数
20
合计
300
PK2≥k0
0.15
0.10
0.05
0.025
0.01
k0
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
年轻人
非年轻人
合计
外出务工人数
200
40
240
在家留守人数
40
20
60
合计
240
60
300
X
0
1
2
3
4
P
181
881
827
3281
1681
年轻人
非年轻人
合计
外出务工人数
200
40
240
在家留守人数
40
20
60
合计
240
60
300
X
0
1
2
3
4
P
181
881
827
3281
1681