2020-2021学年四川省自贡市某校高二（下）6月月考数学（文）试卷

这是一份2020-2021学年四川省自贡市某校高二（下）6月月考数学（文）试卷，共11页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


1. 复数z=i1+i(i为虚数单位)的虚部是( )
A.12B.−12C.12iD.−12i

2. 已知集合A=1,2,3,4，B=x|x2−x−6<0，则A∩B=( )
A.2B.1,2C.2,3D.1,2,3

3. 图是某赛季甲，乙两名篮球运动员9场比赛所得分数的茎叶图，则下列说法错误的是( )

A.甲所得分数的极差为22
B.乙所得分数的中位数为18
C.两人所得分数的众数相等
D.甲所得分数的平均数低于乙所得分数的平均数

4. 若实数x,y满足约束条件x+2y−2≤0,x−1≥0,y≥0,则z=x−2y的最小值为( )
A.0B.2C.4D.6

5. 已知等比数列{an}的各项均为正数，若lg3a1+lg3a2+⋯+lg3a12=12，则a6a7=( )
A.1B.3C.6D.9

6. 设函数f(x)的导函数为f′(x)，若f(x)=exlnx+1x−1，则f′(1)=（ ）
A.e−3B.e−2C.e−1D.e

7. △ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若向量m→=(a,−csA)，n→=(csC,2b−c)，且m→⋅n→=0，则角A的大小为（ ）
A.π6B.π4C.π3D.π2

8. 执行如图所示的程序框图，则输出的m的值为（ ）

A.5B.6C.7D.8

9. 若矩形ABCD的对角线交点为O′，周长为410，四个顶点都在球O的表面上，且OO′=3，则球O的表面积的最小值为（ ）
A.322π3B.642π3C.32πD.48π

10. 已知函数f(x)=(x2+a2x+1)ex，则“a=2”是“函数f(x)在x=−1处取得极小值”的( )
A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件

11. 已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左，右焦点分别为F1(−c, 0)，F2(c, 0)，又点N(−c,3b22a)．若双曲线C左支上的任意一点M均满足|MF2|+|MN|>4b，则双曲线C的离心率的取值范围为( )
A.(133,5)B.(5,13)
C.(1,5)∪(13,+∞)D.(1,133)∪(5,+∞)

12. 若关于x的不等式xlnx−kx+k+1>0在(1, +∞)内恒成立，则满足条件的整数k的最大值为（ ）
A.0B.1C.2D.3
二、填空题


某公司一种新产品的销售额y与宣传费用x之间的关系如下表：
已知销售额y与宣传费用x具有线性相关关系，并求得其回归直线方程为y=bx+9，则b的值为________.

已知曲线C:x=2csθ,y=sinθ （θ为参数）．若点P在曲线C上运动，点Q为直线l:x+2y−42=0上的动点，则|PQ|的最小值为________．

已知f(x)是定义在(−π ,π)上的奇函数，其导函数为f′(x)，f(π4)=2，且当x∈(0，π)时，f′(x)⋅sinx−f(x)⋅csx>0，则不等式f(x)⋅sinx<1的解集为________．

已知抛物线C: y2=2px(p>0) 的焦点为F，准线为l.过点F作倾斜角为 120∘ 的直线与准线l相交于点A，线段AF与抛物线C相交于点B，且|AB|=43，则抛物线C的标准方程为________.
三、解答题

已知函数f(x)=13x3+mx2+nx+3 ，其导函数 f′(x) 的图象关于y轴对称， f(1)=−23.

(1)求实数m，n的值；

(2)若函数y=f(x)−λ 的图象与x轴有三个不同的交点，求实数λ的取值范围.

为践行“绿水青山就是金山银山”的发展理念，某城区对辖区内A，B，C三类行业共200个单位的生态环境治理成效进行了考核评估，考评分数达到80分及其以上的单位被称为“星级”环保单位，未达到80分的单位被称为“非星级”环保单位.现通过分层抽样的方法获得了这三类行业的20个单位，其考评分数如下：
A类行业：85，82，77，78，83，87；
B类行业：76，67，80，85， 79，81；
C类行业：87，89，76，86，75，84，90，82.

(1)试估算这三类行业中每类行业的单位个数；

(2)若在A类行业抽样的这6个单位中，随机选取3个单位进行交流发言，求选出的3个单位中既有"星级"环保单位，又有“非星级”环保单位的概率.

如图，在四棱锥P−ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，PA=PD,AB=AD，PA⊥PD，AD⊥CD，∠BAD=60∘，M，N分别为AD，PA的中点．

(1)证明：平面BMN // 平面PCD；

(2)若AD=6，求三棱锥P−BMN的体积.

已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左，右焦点分别为 F1(−3,0),F2(3,0)，且经过点A(3,12).

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)过点B(4,0)作一条斜率不为0的直线l与椭圆C相交于P，Q两点，记点P关于x轴对称的点为 P′.证明：直线P′Q经过x轴上一定点D，并求出定点D的坐标.

已知函数f(x)=aex−xex−1，其中a>0.
(1)当a=2时，求曲线 y=f(x) 在点 (0, f(0)) 处的切线方程；

(2)若函数f(x)有唯一零点，求a的值.

在直角坐标系xOy中，过点P(1,1)的直线l的参数方程为x=1+tcsα，y=1+tsinα，（t为参数）.以坐标原点O为极点，
x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为 ρ=4csθ.
(1)求曲线C的直角坐标方程；

(2)若直线l与曲线C相交于A，B两点，求1|PA|+1|PB|的最小值.
参考答案与试题解析
2020-2021学年四川省自贡市某校高二（下）6月月考数学（文）试卷
一、选择题
1.
【答案】
A
【考点】
复数代数形式的混合运算
复数的基本概念
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：z=i1+i=i(1−i)(1+i)(1−i)
=12i+12，
故虚部为12.
故选A.
2.
【答案】
B
【考点】
一元二次不等式的解法
交集及其运算
【解析】
（1）根据题目所给信息进行求解即可.
【解答】
解：已知集合A=1,2,3,4，B=xx2−x−6<0=x−2则A∩B=1,2.
故选B.
3.
【答案】
D
【考点】
极差、方差与标准差
众数、中位数、平均数
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：A，甲所得的最大的分数是33，甲所得的最小的分数是11，极差为33−11=22，故不符合题意；
B，乙所得的分数从小到大排列为8,11,12,16,18,20,22,22,31，所以中位数为18，故不符合题意；
C，甲、乙两人所得众数都是22，故不符合题意；
D，甲平均数
=11+15+17+20+22+22+24+32+239=1969，
乙平均数
=8+11+12+16+18+20+22+22+319=1609，
甲所得分数的平均数高于乙所得分数的平均数，故符合题意.
故选D.
4.
【答案】
A
【考点】
求线性目标函数的最值
简单线性规划
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：根据约束条件作出可行域如图：
则目标函数z=x−2y取得最小值⇒直线y=12x−z2(z 看作常数)的截距最大，
由图可得，直线z=2y−x过点A时，z取得最大值.
zmax=1−2×12=0.
故选A.
5.
【答案】
D
【考点】
等比数列的性质
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：由题意得：lg3a1+lg3a2+⋯+lg3a12=12，
∴ lg3(a1⋅a2⋯a12)=12，
由等比数列性质得6lg3(a6a7)=12，
则a6a7=9.
故选D.
6.
【答案】
C
【考点】
导数的运算
【解析】
可以求出导函数f′(x)=exlnx+exx−1x2，从而可求出f′(1)＝e−(1)
【解答】
解：由题意，f′(x)=exlnx+exx−1x2，
∴ f′(1)=e1ln1+e11−112
=e−1．
故选C.
7.
【答案】
B
【考点】
两角和与差的正弦公式
三角函数中的恒等变换应用
平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】
利用数量积结合正弦定理转化为三角函数问题，通过两角和的公式化简得到角A的方程，得解．
【解答】
解：由m→⋅n→=0，得
0=(a,−csA)⋅(csC,2b−c)=acsC−(2b−c)csA，
由正弦定理得sinAcsC−2sinBcsA+sinCcsA=0，
化为sin(A+C)−2sinBcsA=0，
即sinB−2sinBcsA=0，
∵ sinB≠0，A∈(0,π)，
∴ csA=22，
∴ A=π4.
故选B.
8.
【答案】
B
【考点】
程序框图
【解析】
由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算S的值并输出变量m的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．
【解答】
解：模拟程序的运行，可得
故选B.
9.
【答案】
C
【考点】
球的表面积和体积
【解析】
首先利用矩形求出外接圆的小圆半径，进一步利用基本不等式求出球的半径，进一步求出球的最小值．
【解答】
解：如图，设矩形ABCD的两邻边分别为a，b，
则a+b=210，且外接圆⊙O′的半径r=a2+b22．
由球的性质得，OO′⊥平面ABCD，
所以球O的半径R=(3)2+r2=3+a2+b24．
由均值不等式得，a+b2≤a2+b22，
所以a2+b2≥(a+b)22=20，
所以R=(3)2+r2=3+a2+b24≥3+204=8，
当且仅当a=b=10时，等号成立．
所以球O的表面积的最小值为4πR2=32π.
故选C.
10.
【答案】
A
【考点】
利用导数研究函数的极值
必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】
求出原函数的导函数，分析函数f(x)在x＝−1处取得极小值时的a的范围，再由充分必要条件的判定得答案．
【解答】
解：f′(x)=[x2+(a2+2)x+a2+1]ex，
令f′(x)=0，解得x=−1或−a2−1.
当a=0时，f′(x)≥0恒成立，f(x)在R上单调递增；
当a≠0时，−a2−1<−1，故当x<−a2−1时，f′(x)>0，f(x)单调递增；
当−a2−1当x>−1时，f′(x)>0，f(x)单调递增．
故f(x)在x=−1处取得极小值．
综上，函数f(x)在x=−1处取得极小值⇔a≠0.
∴ “a=2”是“函数f(x)在x=−1处取得极小值”的充分不必要条件．
故选A．
11.
【答案】
D
【考点】
双曲线的离心率
双曲线的标准方程
双曲线的定义
【解析】
原问题等价于(|MF2|+|MN|)min>4b，又|MF2|+|MN|≥2a+|MF1|+|MN|≥2a+|NF2|＝2a+3b22a即可得4a2+3b2>8ab⇒ba2或ba23即可．
【解答】
解：由双曲线的定义可得|MF2|−|MF1|=2a，
由题意，双曲线C左支上任意一点均满足|MF2|+|MN|>4b，
即双曲线C左支上任意一点均满足|MF1|+|MN|>4b−2a，
而(|MF1|+|MN|)min=F1N，
从而|F1N|>4b−2a，
即3b22a>4b−2a，
整理得3(ba)2−8ba+4>0，
即(3ba−2)(ba−2)>0，
所以ba<23或ba>2.
又e=1+(ba)2，
所以15.
故选D.
12.
【答案】
C
【考点】
导数在最大值、最小值问题中的应用
简单复合函数的导数
【解析】
根据题意即可得出函数y＝xlnx(x>1)的图象恒在直线y＝k(x−1)−1的上方，当直线y＝k(x−1)−1与函数y＝xlnx(x>1)相切时，可设切点为(x0, y0)，从而可以得出y0=x0lnx0y0=k(x0−1)−1lnx0+1=k ，联立三式即可得出k＝x0−1，根据x0>1即可得出k>0，再根据③即可得出k>1，从而得出整数k的最大值为（2）
【解答】
解：关于x的不等式xlnx−kx+k+1>0在(1, +∞)内恒成立，
即关于x的不等式xlnx>k(x−1)−1在(1, +∞)内恒成立，
即函数y=xlnx(x>1)的图象恒在直线y=k(x−1)−1的上方.
当直线y=k(x−1)−1与函数y=xlnx(x>1)相切时，
设切点为(x0, y0)，
则y0=x0lnx0①，y0=k(x0−1)−1②，lnx0+1=k③，
由①②得，x0lnx0=k(x0−1)−1，
把③代入得x0(k−1)=k(x0−1)−1，
化简得x0=k+1.
由x0>1得，k>0.
又由③得k=lnx0+1>1即相切时整数k≥2，
因为函数y=xlnx(x>1)的图象恒在直线y=k(x−1)−1的上方时，
∴ 整数k的最大值为2.
故选C.
二、填空题
【答案】
132
【考点】
求解线性回归方程
【解析】
首先求出所给数据的平均数，得到样本中心点，根据线性回归直线过样本中心点，求出方程中的一个系数，得到线性回归方程，把自变量为6代入，预报出结果．
【解答】
解：∵ x=0+1+2+3+45=2，
y=10+15+20+30+355=22，
∵ 数据的样本中心点在线性回归直线上，
回归直线方程为y=bx+9，
∴ 22=2b+9，
∴ b=132.
故答案为：132.
【答案】
2105
【考点】
点到直线的距离公式
三角函数的最值
【解析】

【解答】
解：由题意得，曲线C上任意一点P(2csθ, sinθ)，
则曲线C上的点到直线l:x+2y−42=0的距离为：
d=|2csθ+2sinθ−42|1+22=|22sin(θ+π4)−42|5，
当sin(θ+α)=1时，|PQ|min=dmin=225=2105．
故答案为：2105.
【答案】
(−π4,π4)
【考点】
函数的单调性与导数的关系
简单复合函数的导数
【解析】
根据[f(x)csx]′=f′(x)⋅csx−sinx⋅f(x)，据已知条件及导函数符号与函数单调性的关系判断出f(x)csx的单调性，容易得到函数f(x)csx的两个零点，根据函数的单调性求出不等式的解集．
【解答】
解：设g(x)=f(x)sinx，
∵ f(x)是定义在(−π π)上的奇函数，
故g(−x)=f(−x)sin(−x)=f(x)csx=g(x)，
∴ g(x)是定义在(−π π)上的偶函数．
当x∈(0，π)时
g′(x)=f′(x)sinx+csxf(x)>0，
∴ g(x)在(0, π)上递增，
于是偶函数g(x)在(−π, 0)递减．
又∵ f(π4)=2，
∴ g(π4)=g(−π4)=1，
∴ 不等式f(x)⋅sinx<1的解集为(−π4,π4).
故答案为：(−π4,π4).
【答案】
y2=2x
【考点】
圆锥曲线的综合问题
抛物线的标准方程
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：直线AF的方程为 y=−3(x−p2)，
从而A(−p2,3p)，
由y2=2px，y=−3(x−p2)，
消去x,
得3y2+2py−3p2=0，
解得y=33p或y=−3p(舍去)，
从而B(16p,33p)，
由|AB|=43得，
(16p+12p)2+(33p−3p)2=43，
解得p=1 ，
所以抛物线C的标准方程为y2=2x，
故答案为：y2=2x.
三、解答题
【答案】
解：(1)f′(x)=x2+2mx+n.
∵ 函数f′(x)的图象关于y轴对称，
∴ m=0.
又f(1)=13+n+3=−23，解得 n=−4，
∴m=0,n=−4.
(2)问题等价于方程f(x)=λ 有三个不相等的实根时，求λ的取值范围.
由(1)得 f(x)=13x3−4x+3.
∴f′(x)=x2−4.
令f′(x)=0，解得 x=±2,
∵ x<−2或x>2时，f′(x)>0，
∴f(x)在(−∞,−2)，(2,+∞)上分别单调递增，
又当−2∴f(x)在(−2,2) 上单调递减.
∴f(x) 的极大值为 f(−2)=253 ，极小值为 f(2)=−73.
∴ 实数λ的取值范围为 (−73,253).
【考点】
由函数零点求参数取值范围问题
导数的运算
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)f′(x)=x2+2mx+n.
∵ 函数f′(x)的图象关于y轴对称，
∴ m=0.
又f(1)=13+n+3=−23，解得 n=−4，
∴m=0,n=−4.
(2)问题等价于方程f(x)=λ 有三个不相等的实根时，求λ的取值范围.
由(1)得 f(x)=13x3−4x+3.
∴f′(x)=x2−4.
令f′(x)=0，解得 x=±2,
∵ x<−2或x>2时，f′(x)>0，
∴f(x)在(−∞,−2)，(2,+∞)上分别单调递增，
又当−2∴f(x)在(−2,2) 上单调递减.
∴f(x) 的极大值为 f(−2)=253 ，极小值为 f(2)=−73.
∴ 实数λ的取值范围为 (−73,253).
【答案】
解：(1)由题意，抽取的三类行业单位个数之比为 3:3:4，
由分层抽样的定义，有
A类行业单位个数为 310×200=60(个)；
B类行业单位个数为 310×200=60(个)；
C类行业单位个数为 410×200=80(个)；
∴ A，B，C三类行业单位的个数分别为60，60，80.
(2)记选出的这3个单位中既有“星级”环保单位，又有“非星级”环保单位为事件M.
在A类行业的6个单位中随机选取3个单位的考核数据情形有：{85,82,77},{85,82,78},
{85,82,83},{85,82,87},{85,77,78},{85,77,83}，
{85,77,87},{85,78,83},{85,78,87},
{85,83,87},{82,77,78},{82,77,83},{82,77,87}，
{82,78,83},{82,78,87},{82,83,87},
{77,78,83},{77,78,87},{77,83,87},{78,83,87}，共20种.
这3个单位都是“星级”环保单位的考核数据情形有：
{85,82,83},{85,82,87},{85,83,87},{82,83,87}，共4种.
这3个单位都是“非星级”环保单位的考核数据情形有0种.
∴ 这3个单位都是“星级”环保单位或都是“非星级”环保单位的情形共4种.
∴ 所求概率P(M)=1−420=45.
【考点】
分层抽样方法
列举法计算基本事件数及事件发生的概率
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)由题意，抽取的三类行业单位个数之比为 3:3:4，
由分层抽样的定义，有
A类行业单位个数为 310×200=60(个)；
B类行业单位个数为 310×200=60(个)；
C类行业单位个数为 410×200=80(个)；
∴ A，B，C三类行业单位的个数分别为60，60，80.
(2)记选出的这3个单位中既有“星级”环保单位，又有“非星级”环保单位为事件M.
在A类行业的6个单位中随机选取3个单位的考核数据情形有：{85,82,77},{85,82,78},
{85,82,83},{85,82,87},{85,77,78},{85,77,83}，
{85,77,87},{85,78,83},{85,78,87},
{85,83,87},{82,77,78},{82,77,83},{82,77,87}，
{82,78,83},{82,78,87},{82,83,87},
{77,78,83},{77,78,87},{77,83,87},{78,83,87}，共20种.
这3个单位都是“星级”环保单位的考核数据情形有：
{85,82,83},{85,82,87},{85,83,87},{82,83,87}，共4种.
这3个单位都是“非星级”环保单位的考核数据情形有0种.
∴ 这3个单位都是“星级”环保单位或都是“非星级”环保单位的情形共4种.
∴ 所求概率P(M)=1−420=45.
【答案】
(1)证明：连接BD，如图：
∵AB=AD，∠BAD=60∘，
∴△ABD 为正三角形.
∵M为AD的中点，∴BM⊥AD.
∵AD⊥CD,CD,BM⊂平面ABCD,
∴BM//CD.
又BM⊄平面PCD,CD⊂ 平面PCD,
∴BM//平面PCD.
∵M，N分别为AD，PA的中点，
∴MN//PD.
又MN⊄ 平面PCD,PD⊂ 平面PCD,
∴MN//平面 PCD.
又BM,MN⊂平面BMN,BM∩MN=M,
∴平面BMN//平面PCD.
(2)在(1)中已证 BM⊥AD.
∵ 平面 PAD⊥ 平面 ABCD，BM⊂平面 ABCD ，
∴BM ⊥平面PAD.
又AD=6,∠BAD=60∘，
∴ BM=33.
∵ M，N 分别为AD,PA的中点，PA=PD=22AD=32，
∴ △PMN 的面积 S△PMN=14S△PAD=14×12×(32)2=94，
∴ 三棱锥 P−BMN的体积VP−BMN=VB−PMN=13S△PMN⋅BM=13×94×33=934.
【考点】
平面与平面平行的判定
柱体、锥体、台体的体积计算
【解析】
（1）利用勾股定理证明BF⊥AD，从而可证BF // CD，又EF // PD，利用面面平行的判定定理证明平面BEF // 平面PCD；
（2）根据面面垂直的性质得CD⊥平面PAD，可证CD⊥PA，再由线线垂直证明线面垂直；
【解答】
(1)证明：连接BD，如图：
∵AB=AD，∠BAD=60∘，
∴△ABD 为正三角形.
∵M为AD的中点，∴BM⊥AD.
∵AD⊥CD,CD,BM⊂平面ABCD,
∴BM//CD.
又BM⊄平面PCD,CD⊂ 平面PCD,
∴BM//平面PCD.
∵M，N分别为AD，PA的中点，
∴MN//PD.
又MN⊄ 平面PCD,PD⊂ 平面PCD,
∴MN//平面 PCD.
又BM,MN⊂平面BMN,BM∩MN=M,
∴平面BMN//平面PCD.
(2)在(1)中已证 BM⊥AD.
∵ 平面 PAD⊥ 平面 ABCD，BM⊂平面 ABCD ，
∴BM ⊥平面PAD.
又AD=6,∠BAD=60∘，
∴ BM=33.
∵ M，N 分别为AD,PA的中点，PA=PD=22AD=32，
∴ △PMN 的面积 S△PMN=14S△PAD=14×12×(32)2=94，
∴ 三棱锥 P−BMN的体积VP−BMN=VB−PMN=13S△PMN⋅BM=13×94×33=934.
【答案】
解：(1)由椭圆的定义，可知 2a=|AF1|+|AF2|
=(23)2+(12)2+12=4.
解得a=2.
又b2=a2−(3)2=1，
∴ 椭圆C的标准方程为 x24+y2=1.
(2)由题意，设直线l的方程为 x=my+4(m≠0).
设P(x1,y1)，Q(x2,y2)，则P′(x1,−y1),
由x=my+4x4+y2=1，消去x,可得 (m2+4)y2+8my+12=0.
∵Δ=16(m2−12)>0.，∴m2>12.
∴y1+y2=−8mm2+4,y1y2=12m2+4.
∵ kP′Q=y2+y1x2−x1=y2+y1m(y2−y1)
∴ 直线 P′Q 的方程为 y+y1=y2+y1m(y2−y1)(x−x1)，
令y=0，可得x=m(y2−y1)y1y1+y2+my1+4.
∴x=2my1y2y1+y2+4=2m⋅12m2+4−8mm2+4+4=24m−8m+4=1.
∴D(1,0).
∴直线P′Q经过x轴上定点D，其坐标为(1,0).
【考点】
圆锥曲线中的定点与定值问题
椭圆的标准方程
【解析】
n个a
【解答】
解：(1)由椭圆的定义，可知 2a=|AF1|+|AF2|
=(23)2+(12)2+12=4.
解得a=2.
又b2=a2−(3)2=1，
∴ 椭圆C的标准方程为 x24+y2=1.
(2)由题意，设直线l的方程为 x=my+4(m≠0).
设P(x1,y1)，Q(x2,y2)，则P′(x1,−y1),
由x=my+4x4+y2=1，消去x,可得 (m2+4)y2+8my+12=0.
∵Δ=16(m2−12)>0.，∴m2>12.
∴y1+y2=−8mm2+4,y1y2=12m2+4.
∵ kP′Q=y2+y1x2−x1=y2+y1m(y2−y1)
∴ 直线 P′Q 的方程为 y+y1=y2+y1m(y2−y1)(x−x1)，
令y=0，可得x=m(y2−y1)y1y1+y2+my1+4.
∴x=2my1y2y1+y2+4=2m⋅12m2+4−8mm2+4+4=24m−8m+4=1.
∴D(1,0).
∴直线P′Q经过x轴上定点D，其坐标为(1,0).
【答案】
解：(1)当 a=2时，f(x)=2ex−xex−1，
∴f′(x)=2ex−1−xex，
∴f′(0)=2−1=1，
又f(0)=2−1=1，
∴ 曲线y=f(x) 在点(0,f(0)) 处的切线方程为 y−1=x，即x−y+1=0.
(2)问题等价于关于x的方程 a=1ex(xex+1)有唯一的解时，求a的值.
令g(x)=1ex(xex+1)，则g′(x)=1−2x−exe2x.
令h(x)=1−2x−ex，则h′(x)=−2−ex<0,
∴h(x)在(−∞,+∞)上单调递减.
又h(0)=0，
∴ 当x∈(−∞,0) 时h(x)>0，即 g′(x)>0，∴g(x)在 (−∞,0)上单调递增；
当x∈(0,+∞) 时，h(x)<0，即 g′(x)<0， ∴ g(x)在(0,+∞) 上单调递减.
∴g(x) 的极大值为 g(0)=1.
∴ 当x∈(−∞,0]时，g(x)∈(−∞,1]；当x∈(0,+∞)时，g(x)∈(0,1)；
又a>0，∴ 当方程 a=1ex(xex+1) 有唯一的解时a=1.
综上，当函数f(x)有唯一零点时，a的值为1.
【考点】
利用导数研究与函数零点有关的问题
利用导数研究曲线上某点切线方程
利用导数研究函数的单调性
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)当 a=2时，f(x)=2ex−xex−1，
∴f′(x)=2ex−1−xex，
∴f′(0)=2−1=1，
又f(0)=2−1=1，
∴ 曲线y=f(x) 在点(0,f(0)) 处的切线方程为 y−1=x，即x−y+1=0.
(2)问题等价于关于x的方程 a=1ex(xex+1)有唯一的解时，求a的值.
令g(x)=1ex(xex+1)，则g′(x)=1−2x−exe2x.
令h(x)=1−2x−ex，则h′(x)=−2−ex<0,
∴h(x)在(−∞,+∞)上单调递减.
又h(0)=0，
∴ 当x∈(−∞,0) 时h(x)>0，即 g′(x)>0，∴g(x)在 (−∞,0)上单调递增；
当x∈(0,+∞) 时，h(x)<0，即 g′(x)<0， ∴ g(x)在(0,+∞) 上单调递减.
∴g(x) 的极大值为 g(0)=1.
∴ 当x∈(−∞,0]时，g(x)∈(−∞,1]；当x∈(0,+∞)时，g(x)∈(0,1)；
又a>0，∴ 当方程 a=1ex(xex+1) 有唯一的解时a=1.
综上，当函数f(x)有唯一零点时，a的值为1.
【答案】
解： (1)∵ ρ=4csθ ，
∴ ρ2=4ρcsθ，
由直角坐标与极坐标的互化关系 ρ2=x2+y2，ρcsθ=x，
∴ 曲线C的直角坐标方程为 x2+y2−4x=0.
(2)将直线l的参数方程代入曲线C的方程，并整理得
t2+(2sinα−2csα)t−2=0.
∵ Δ=(2sinα−2csα)2+8>0 ，
∴ 可设 t1,t2 是方程的两个实数根，
则t1+t2=2csα−2sinα，t1t2=−2<0.
∴1|PA|+1|PB|=1|t1|+1|t2|=|t1|+|t2||t1||t2|=|t1−t2||t1t2|，
=(t1+t2)2−4t1t22=(2csα−2sinα)2+83≥82=2，
当α=π4时，等号成立.
∴1|PA|+1|PB|的最小值为2.
【考点】
圆的极坐标方程与直角坐标方程的互化
参数方程与普通方程的互化
利用圆锥曲线的参数方程求最值
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解： (1)∵ ρ=4csθ ，
∴ ρ2=4ρcsθ，
由直角坐标与极坐标的互化关系 ρ2=x2+y2，ρcsθ=x，
∴ 曲线C的直角坐标方程为 x2+y2−4x=0.
(2)将直线l的参数方程代入曲线C的方程，并整理得
t2+(2sinα−2csα)t−2=0.
∵ Δ=(2sinα−2csα)2+8>0 ，
∴ 可设 t1,t2 是方程的两个实数根，
则t1+t2=2csα−2sinα，t1t2=−2<0.
∴1|PA|+1|PB|=1|t1|+1|t2|=|t1|+|t2||t1||t2|=|t1−t2||t1t2|，
=(t1+t2)2−4t1t22=(2csα−2sinα)2+83≥82=2，
当α=π4时，等号成立.
∴1|PA|+1|PB|的最小值为2.
x（单位：万元）
0
1
2
3
4
y（单位：万元）
10
15
20
30
35
开始
S=0
m=1
①
1×21=2<100
m=2
②
1×21+2×22=10<100
m=3
③
1×21+2×22+3×23=34<100
m=4
④
1×21+2×22+3×23+4×24=98<100
m=5
⑤
1×21+2×22+3×23+4×24+5×25=258>100
m=6