2021届四川省凉山州高三三模理科数学试卷（文字版、含答案）
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数学（理科）
本试卷分选择题和非选择题两部分．第I卷（选择题），第Ⅱ卷（非选择题），共4页，满分150分，考试时间120分钟．
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、座位号、准考证号用0.5毫米的黑色签字笔填写在答题卡上，并检查条形码粘贴是否正确．
2．选择题使用2B铅笔涂在答题卡对应题目标号的位置上；非选择题用0.5毫米黑色签字笔书写在答题卡的对应框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效．
3．考试结束后，将答题卡收回．
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一、选择题（本大题共12小题，每题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的）
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2. 若复数满足，则（ ）
A. B. C. D.
3. 直线：，：，则“”是“”的（ ）条件
A. 必要不充分 B. 充分不必要 C. 充要 D. 既不充分也不必要
4. 已知定义在上的函数满足：，，，且，则（ ）
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
5. 已知三条不重合的直线，，，三个不重合的平面，，，下列命题中正确的是（ ）
A. B. C. D.
6. 等差数列，为其前项和，，，记数列的前项和为，则（ ）
A. -11 B. -9 C. -13 D. -7
7. 我国古代很早就有对等差数列和等比数列的研究成果.北宋大科学家沈括在《梦溪笔谈》中首创的“隙积术”，就是关于高阶等差数列求和的问题.现有一物品堆，从上向下数，第一层有1个货物，第二层比第一层多2个，第三层比第二层多3个，…，以此类推.记第层货物的个数为，则数列的前2021项和为（ ）
A. B. C. D.
8. 定义运算.设，若的图像与直线相交，且交点中两点间的最短距离为，则满足的一个的值为（ ）
A. B. C. D.
9. 已知为坐标原点，为：上的动点，直线：，若到的最小距离为，则的值为（ ）
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
10. 已知曲线：，过它的右焦点作直线交曲线于、两点，弦的垂直平分线交轴于点，可证明是一个定值，则（ ）
A. B. C. D.
11. 已知函数，记，，，则（ ）
A. B. C. D.
12. 已知函数，若曲线在点处与直线相切，则（ ）
A. 1 B. 0 C. -1 D. -1或1
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13. 若的展开式中只有第5项的二项式系数最大，则展开式中常数项为______．（用数字作答）
14. 樱花如约而至，武汉疫后重生．“相约春天赏樱花”诺言今年三月在武汉大学履行．武汉大学邀请去年援鄂的广大医护人员前来赏樱．某医院计划在援鄂的3名医生和5名护士（包含甲医生和乙护士）中任选3名作为第一批人员前去赏樱，则甲医生被选中且乙护士未被选中的概率为______．
15. 已知抛物线：的焦点为，其准线与轴的交点为，点为上一点，当最大时，直线的斜率为______．
16. 如图，为内任意一点，角，，的对边分别为，，.总有优美等式成立，因该图形酷似奔驰汽车车标，故又称为奔驰定理.现有以下命题：
①若是重心，则有；
②若成立，则是的内心；
③若，则；
④若是的外心，，，则.
则正确的命题有___________.
三、解答题：（解答过程应写出必要的文字说明，解答步骤．共70分）
（一）必考题：每题12分，共60分
17. 在钝角中，角，，所对的边分别是，，，且．
（1）求的值．
（2）若的外接圆半径为，，求的面积．
18. 某品牌汽车4S店对2020年该市前几个月的汽车成交量进行统计，用表示2020年第月份该店汽车成交量，得到统计表格如下：
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | |
14 | 12 | 20 | 20 | 22 | 24 | 30 | 26 |
（1）求出关于的线性回归方程，并预测该店9月份的成交量；（，精确到整数）
（2）该店为增加业绩，决定针对汽车成交客户开展抽奖活动，若抽中“一等奖”获5千元奖金；抽中“二等奖”获2千元奖金；抽中“祝您平安”则没有奖金．已知一次抽奖活动中获得“二等奖”的概率为，没有获得奖金的概率为．现有甲、乙两个客户参与抽奖活动，假设他们是否中奖相互独立，求此二人所获奖金总额（千元）的分布列及数学期望．
参考数据及公式：，，，．
19. 如图，在圆锥中，为的直径，点在上，，．
（1）证明：平面平面；
（2）若直线与底面所成角的大小为，是上一点，且，求二面角的余弦值．
20. 已知椭圆：的两个焦点与短轴的两个顶点围成一个正方形，且在椭圆上．
（1）求椭圆的方程；
（2），是椭圆上异于两点，设直线，斜率分别为，，点到直线的距离为，若，求以的最大值为直径的圆的面积．
21. 已知函数．
（1）若曲线在点处切线与曲线相切，求的值；
（2）若函数的图象与轴有且只有一个交点，求的取值范围．
（二）选做题：（共10分，请考生在第22，23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．）
[选修4-4：坐标系与参数方程]
22. 在直角坐标系中，曲线的参数方程为：(为参数)，以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.
（1）求曲线的极坐标方程和曲线的直角坐标方程；
（2）在极坐标系中，射线与曲线交于点，射线与曲线交于点，求的面积.
[选修4-5：不等式选讲]
23. 函数
（1）若方程无实根，求实数的取值范围；
（2）记的最小值为.若，，且，证明：.
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