2022年中考数学复习之挑战压轴题（解答题）：反比例函数（含答案）

这是一份2022年中考数学复习之挑战压轴题（解答题）：反比例函数（含答案），共43页。试卷主要包含了材料，的图象有且只有一个交点B等内容，欢迎下载使用。

2022年中考数学复习之挑战压轴题（解答题）：反比例函数
一．解答题（共10小题）
1．（2021秋•双流区期末）如图，过A（2，0），B（0，2）的直线y＝﹣x+2与双曲线y＝（x＞0）交于P（，），Q（，）两点，连接OQ．点C是线段OA上一点（不与O，A重合），CD⊥AB于D，DE⊥OB于E．设CA＝a．
（1）求AQ的长；
（2）当a为何值时，CE＝AC？
（3）设OQ，EC相交于点F，是否存在这样的点C，使得△OEF为等腰三角形？若存在，求出此时点C的坐标；若不存在，请说明理由．

2．（2021秋•天府新区期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x+b与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点A（3，n），与y轴交于点B（0，﹣2），点P是反比例函数y＝（x＞0）的图象上一动点，过点P作直线PQ∥y轴交直线y＝x+b于点Q，设点P的横坐标为t，且0＜t＜3，连接AP，BP．
（1）求k，b的值．
（2）当△ABP的面积为3时，求点P的坐标．
（3）设PQ的中点为C，点D为x轴上一点，点E为坐标平面内一点，当以B，C，D，E为顶点的四边形为正方形时，求出点P的坐标．


3．（2022•南山区模拟）如图，在平面直角坐标系中，点A在x轴的正半轴上，点B在x轴的负半轴上，点C在y轴的正半轴上，直线BC的解析式为y＝kx+12（k≠0），AC⊥BC，线段OA的长是方程
x2﹣15x﹣16＝0的根．请解答下列问题：
（1）求点A、点B的坐标．
（2）若直线l经过点A与线段BC交于点D，且tan∠CAD＝，双曲线y＝（m≠0）的一个分支经过点D，求m的值．
（3）在第一象限内，直线CB下方是否存在点P，使以C、A、P为顶点的三角形与△ABC相似．若存在，请直接写出所有满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

4．（2022•济南一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝k1x+b的图象与反比例函数y＝的图象交于点A（2，4）和点B（m，﹣2）．
（1）求一次函数与反比例函数的表达式；
（2）直线AB与x轴交于点D，与y轴交于点C．
①过点C作CE∥x轴交反比例函数y＝的图象于点E，连接AE，试判断△ACE的形状，并说明理由；
②设M是x轴上一点，当∠CMO＝∠DCO时，求点M的坐标．

5．（2021秋•锦江区校级期中）如图1，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝kx+与双曲线y＝交于A、B两点，直线AB分别交x轴、y轴于C、D两点，且S△COD＝．
（1）求一次函数的解析式；
（2）如图2，E的坐标为（6，0），将线段DO沿y轴向上（或向下）平移得线段D′O′，在移动过程中，是否存在某个位置使AD′+EO′的值最小？若存在，求出AD′+EO′的最小值及此时点O′的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）如图3，在（2）的条件下，将直线OA沿x轴平移，平移过程中在第一象限交y＝的图象于点M（M可与A重合），交x轴于点N．在平移过程中，是否存在某个位置使以M、N、E和平面内某一点P为顶点的四边形为菱形且以MN为菱形的边？若存在，请直接写出P的坐标；若不存在，请说明理由．
6．（2021秋•渝中区校级月考）如图，已知直线y＝x+1与双曲线y＝交于A、B两点，且A点坐标为（a，2）．
（1）求双曲线解析式及B点坐标．
（2）将直线y＝x+1向下平移一个单位得直线l，P是y轴上的一个动点，Q是l上的一个动点，求AP+PQ的最小值．
（3）若点M为y轴上的一个动点，N为平面内一个动点，当以A、B、M、N为顶点的四边形是矩形时，直接写出N点坐标．

7．（2021•亭湖区校级一模）材料：帕普斯借助函数给出了一种“三等分锐角”的方法，具体如下：
①建立平面直角坐标系，将已知锐角∠AOB的顶点与原点O重合，角的一边OB与x轴正方向重合；
②在平面直角坐标系里，绘制函数y＝的图象，图象与已知角的另一边OA交于点P；
③以P为圆心，2OP为半径作弧，交函数y＝的图象于点R；
④分别过点P和R作x轴和y轴的平行线，两线相交于点M、Q；
⑤连接OM，得到∠MOB，这时∠MOB＝∠AOB．
根据以上材料解答下列问题：
（1）设点P的坐标为（a，），点R的坐标为（b，），则点M的坐标为 ；
（2）求证：点Q在直线OM上；
（3）求证：∠MOB＝∠AOB；
（4）应用上述方法得到的结论，如何三等分一个钝角（用文字简要说明）．

8．（2021•铁岭模拟）如图，一次函数y＝ax+b（a≠0）的图象与反比例函数y＝（k≠0）的图象交于A、B两点，与x轴、y轴分别交于C、D两点，与x轴、y轴分别交于C，D两点，若CD＝2，tan∠ACO＝，点A的坐标为（m，3）．
（1）求反比例函数与一次函数的解析式；
（2）连接OB，点P在直线AC上，且S△AOP＝2S△BOC，求点P的坐标．

9．（2021•杭锦旗二模）如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点O与坐标原点重合，顶点A，C分别在坐标轴上，顶点B的坐标为（4，2），过点D（0，3）和E（6，0）的直线分别与AB，BC交于点M，N．
（1）求直线DE的解析式和点M的坐标；
（2）若反比例函数y＝的图象经过点M，求该反比例函数的解析式，并通过计算判断点N是否在该函数的图象上；
（3）若反比例函数y＝（x＞0）的图象与△MNB有公共点，请直接写出k的取值范围；
（4）若将△MNB放置于平面直角坐标系中：使斜边在横轴上，直角顶点B在反比例函数y＝的图象上，试求出N点的坐标．

10．（2020•岳麓区校级模拟）直线y＝﹣x+2a（常数a＞0）和双曲线y＝（k＞0，x＞0）的图象有且只有一个交点B．
（1）求点B的坐标（用含a的式子表示）；
（2）如图1，一次函数y＝﹣x+2a与x轴交于点A，点P是线段OA上的动点，点Q在反比例函数图象上，且满足∠BPO＝∠QPA．
①若a＝1时，点P在移动过程中，求BP+PQ的最小值；
②如图2，设PQ与线段AB的交点为M，若OM⊥BP，试求的值．


2022年中考数学复习之挑战压轴题（解答题）：反比例函数（10题）
参考答案与试题解析
一．解答题（共10小题）
1．（2021秋•双流区期末）如图，过A（2，0），B（0，2）的直线y＝﹣x+2与双曲线y＝（x＞0）交于P（，），Q（，）两点，连接OQ．点C是线段OA上一点（不与O，A重合），CD⊥AB于D，DE⊥OB于E．设CA＝a．
（1）求AQ的长；
（2）当a为何值时，CE＝AC？
（3）设OQ，EC相交于点F，是否存在这样的点C，使得△OEF为等腰三角形？若存在，求出此时点C的坐标；若不存在，请说明理由．

【考点】反比例函数综合题．
【专题】代数几何综合题；推理能力．
【分析】（1）如图1中，过点Q作QN⊥OA于点N．证明△ANQ是等腰直角三角形，可得结论；
（2）如图1中，过点D作DG⊥OA于点G．用a表示出CE，OC，OE，利用勾股定理，构建方程求解即可；
（3）存在．分三种情形：①如图2中，当EF＝OF时，②如图3中，当OE＝OF时，③当OE＝EF时，分别利用等腰三角形的性质，构建方程求解即可．
【解答】解：（1）如图1中，过点Q作QN⊥OA于点N．

∵Q（，），
∴QN＝，
∵∠BOA＝90°，OA＝OB＝2，
∴∠OAB＝∠OBA＝45°，
∴AQ＝QN＝；

（2）如图1中，过点D作DG⊥OA于点G．
∵∠OAB＝45°，CD⊥AB，
∴△CDA是等腰直角三角形，
∴DG＝CA＝a，
∵DE⊥OB，
∴四边形OEDG是矩形，
∴OE＝DG＝a，
∵CE＝AC，
∴（2﹣a）2+（a）2＝a2，
解得，a＝8+4（舍去），或a＝8﹣4，
∴当a＝8﹣4时，CE＝AC；

（3）存在．由（2）可知，C（2﹣a，0），E（0，），
∴直线CE的解析式为y＝x+，
∵Q（，），
∴直线OQ的解析式为y＝x，
由，解得，，
∴F（，），
①如图2中，当EF＝OF时，过点F作FH⊥OE于点H，则OH＝OE，

∴＝a，
解得，a＝0（舍去）或a＝，
经检验，a＝是分式方程的解，
∴C（，0）．
②如图3中，当OE＝OF时，则OF＝a，

过点F作FH⊥OC于点H．
∵F（，），
∴FH＝OH，
∴FH＝OF＝a，
∴＝a，
解得，a＝0（舍去）或a＝，
经检验，a＝是分式方程的解，
∴C（，0）．
③当OE＝EF时，过点E作EK⊥OF于点K，则OK＝OF＝FH，

由△EOK∽△OFH，可得OE＝OK＝5FH，即FH＝OE，
∴＝a，
解得，a＝0（舍去）或a＝，
经检验，a＝是分式方程的解，
∴C（，0），
综上所述，满足条件的点C的坐标为（，0）或（，0）或（，0）．



【点评】本题属于反比例函数综合题，考查了反比例函数的性质，一次函数的性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数构建方程解决问题．
2．（2021秋•天府新区期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x+b与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点A（3，n），与y轴交于点B（0，﹣2），点P是反比例函数y＝（x＞0）的图象上一动点，过点P作直线PQ∥y轴交直线y＝x+b于点Q，设点P的横坐标为t，且0＜t＜3，连接AP，BP．
（1）求k，b的值．
（2）当△ABP的面积为3时，求点P的坐标．
（3）设PQ的中点为C，点D为x轴上一点，点E为坐标平面内一点，当以B，C，D，E为顶点的四边形为正方形时，求出点P的坐标．


【考点】反比例函数综合题．
【专题】反比例函数及其应用；图形的全等；等腰三角形与直角三角形；运算能力；推理能力．
【分析】（1）将点B代入y＝x+b，求得b，进而求得y＝x﹣2，将A点坐标代入求得n；
（2）表示出PQ的长，根据PQ•（xA﹣xB）＝3求得t，进而得出点P的坐标；
（3）分为BC是边，点D在x轴正半轴上和在负半轴上，以及BC为对角线．当BC为边时，点D在x轴正半轴上时，过点C作CF⊥y轴，作DG⊥CF，证明△BCF≌△CGD，进而得出CF＝OF，从而求得t的值，另外两种情况类似方法求得．
【解答】解：（1）∵直线y＝x+b过点B（0，﹣2），
∴0+b＝﹣2，
∴b＝﹣2，
∵直线y＝x﹣2过点A（3，n），
∴n＝3﹣2＝1，
∴A（3，1），
∵y＝过点A（3，1），
∴k＝xy＝3×1＝3；
（2）∵P（t，），Q（t，t﹣2），A（3，1），B（0，﹣2），
∴PQ＝，
∵S△APB＝S△APQ+S△BPQ＝（xA﹣xB），
∴×3＝3，
∴t＝，
∴P（，）；
（3）如图1，

∵P（t，），Q（t，t﹣2），
∴C（t，），
当BC是边，点D在x轴正半轴上，
作CF⊥OB于F，作DG⊥CF于G，
∴∠BFC＝∠G＝90°，
∴∠FBC+∠FCB＝90°，
∵∠BCD＝90°，
∴∠DCG+∠FCB＝90°，
∴∠FBC＝∠DCG，
∵BC＝CD，
∴△BFC≌△CGD（AAS），
∴CF＝DG，
∵OF＝DG，
∴OF＝CF，
∴，
∴t1＝1，t2＝﹣3（舍去），
∴P（1，3）
如图2，

当点D在x轴的负半轴上时，
由上知：BG＝DF＝2，
∴t＝2，
∴P（2，），
当BC是对角线时，

当BC是对角线时，点D在x轴负半轴上时，
可得：CF＝OD，DF＝OB＝2，
∴＝2﹣t，
∴t＝1，
∴P（1，3），
如图4，

CE＝DF＝2，DE＝BF，
∴t+2＝，
∴t1＝2﹣3，t2＝﹣2﹣3（舍去），
当t＝2﹣3时，y＝＝2+3，
∴P（2﹣3，2+3），
综上所述：P（2，）或（1，3），（2﹣3，2+3）．
【点评】本题考查了待定系数法求一次函数和反比例函数关系式，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是正确分类，画出图形，找出列方程的等量关系．
3．（2022•南山区模拟）如图，在平面直角坐标系中，点A在x轴的正半轴上，点B在x轴的负半轴上，点C在y轴的正半轴上，直线BC的解析式为y＝kx+12（k≠0），AC⊥BC，线段OA的长是方程
x2﹣15x﹣16＝0的根．请解答下列问题：
（1）求点A、点B的坐标．
（2）若直线l经过点A与线段BC交于点D，且tan∠CAD＝，双曲线y＝（m≠0）的一个分支经过点D，求m的值．
（3）在第一象限内，直线CB下方是否存在点P，使以C、A、P为顶点的三角形与△ABC相似．若存在，请直接写出所有满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

【考点】反比例函数综合题．
【专题】一元二次方程及应用；反比例函数及其应用；等腰三角形与直角三角形；图形的相似；运算能力；推理能力．
【分析】（1）先解方程，求得A点坐标，根据△AOC∽△ACB，求得AB，进而求得B点坐标；
（2）作DE⊥OC于E，先求得CD，可证△CDE∽△CBO，从而求得DE，CE，OE，进而求得结果；
（3）分为四种情形：当△PAC∽△BCA时，此时△PAC≌△BCA，可直接写出点P坐标，当△PAC∽△ACB时，作PE⊥AB于E，先求得AP＝，再根据△PEA∽△ACO得PE＝，AE＝16，从而得出点P坐标，当△PAC∽△CBA时，此时△PAC≌△OCA，直接得出点P坐标，当△PAC∽△CAB时，此时△PAC≌△OAC，作PH⊥OC于H，AG⊥PH于G，可证由△AGP∽△PHC，进一步求得点P坐标．
【解答】解：由x2﹣15x﹣16＝0得，
x1＝16，x2＝﹣1（舍去），
∴OA＝16，
∴A（16，0），
当x＝0时，y＝12，
∴C（0，12），
∴OC＝12，
∴AC＝＝＝20，
∵AC⊥BC，
∴∠ACB＝∠AOC＝90°，
∵∠OAC＝∠BAC，
∴△AOC∽△ACB，
∴，
∴＝，
∴AB＝25
∴OB＝AB﹣OA＝25﹣16＝9，
∴B（﹣9，0）；
（2）如图1，

作DE⊥OC于E，
∵tan∠CAD＝＝，AC＝20，
∴CD＝＝5，
∵OC＝12，OB＝9，
∴BC＝＝15，
∵∠CED＝∠BOC＝90°，
∴DE∥OB，
∴△CDE∽△CBO，
∴，
∴＝，
∴DE＝3，CE＝4，
∴OE＝OC﹣CE＝8，
∴D（﹣3，8），
∴，
∴m＝﹣24；
（3）如图2，

当△PAC∽△BCA时，此时△PAC≌△BCA，
∵A（12，0），B（﹣9，0），C（0，12），
∴P（25，12），
如图3，

当△PAC∽△ACB时，作PE⊥AB于E，
∴，
∴，
∴AP＝，
由△PEA∽△ACO得，
＝＝，
∴＝＝＝，
∴PE＝，AE＝16，
∴OE＝OA+AE＝32，
∴P（32，），
如图4，

当△PAC∽△CBA时，此时△PAC≌△OCA，
∴P（16，12），
如图5，

当△PAC∽△CAB时，此时△PAC≌△OAC，
∴＝＝，
作PH⊥OC于H，AG⊥PH于G，
由△AGP∽△PHC得，
＝＝＝，
∴设AG＝4x，PG＝4y，则PH＝3x，CH＝3y，
∵PH+PG＝OA＝16，OC+CH＝AG，
∴，
∴，
∴PH＝3x＝，AH＝4x＝，
∴P（，），
综上所述：P（25，12）或（32，）或（16，12）或（，）．
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，求反比例函数解析式，解一元二次方程，解直角三角形，勾股定理等知识，解决问题的关键是正确分类及计算能力．
4．（2022•济南一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝k1x+b的图象与反比例函数y＝的图象交于点A（2，4）和点B（m，﹣2）．
（1）求一次函数与反比例函数的表达式；
（2）直线AB与x轴交于点D，与y轴交于点C．
①过点C作CE∥x轴交反比例函数y＝的图象于点E，连接AE，试判断△ACE的形状，并说明理由；
②设M是x轴上一点，当∠CMO＝∠DCO时，求点M的坐标．

【考点】反比例函数综合题．
【专题】几何综合题；推理能力．
【分析】（1）利用待定系数法求出k2，k1，b即可解决问题．
（2）①结论：△ACE是等腰直角三角形．利用勾股定理以及勾股定理的逆定理证明即可．
②分两种情形：当点M在x轴的负半轴上时，当点M在x轴的正半轴上时，分别求解即可．
【解答】解：（1）∵点A（2，4）在反比例函数y＝上，
∴k2＝8，
∴反比例函数的解析式为y＝，
∵点B（m，﹣2）在y＝上，
∴m＝﹣4，
∴B（﹣4，﹣2），
∵y＝k1x+b的图象经过A（2，4），B（﹣4，﹣2），
∴，
解得，
∴一次函数的解析式为y＝x+2．

（2）对于y＝x+2，当x＝0时，y＝2，
∴点C坐标为（0，2），
当y＝0时，x＝﹣2，
∴点D坐标为（﹣2，0），
①结论：△ACE是等腰直角三角形．
理由：∵CE∥x轴，
∴点E的横坐标为2，
∵点E在反比例函数y＝的图象上，
∴E（2，4），
∴CE＝4，
∵AC＝＝2，AE＝＝2，
∴AC2+AE2＝（2）2+（2）2＝16＝CE2，AC＝AE，
∴∠CAE＝90°，
∴△ACE是等腰直角三角形．

②如图，由①可知，OC＝2，OD＝2，
∴CD＝2，
当点M在x轴的负半轴上时，
∵∠CM2O＝∠DCO，∠CDO＝∠CM2O+∠M2CD，
∴∠CM2O＝∠DCM2，
∴DM2＝CD＝2，
∴OM2＝OD+DM2＝2+2，
∴点M2的坐标为（﹣2﹣2，0），
同理，当点M在x轴的正半轴上时，根据对称性可知点M1的坐标为（2+2，0），
综上所述，点M的坐标为（2+2，0）或（﹣2﹣2，0）．

【点评】本题属于反比例函数综合题，考查了反比例函数的性质，一次函数的性质，待定系数法，勾股定理，勾股定理的逆定理，等腰直角三角形的判定等知识，解题的关键是学会由分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．
5．（2021秋•锦江区校级期中）如图1，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝kx+与双曲线y＝交于A、B两点，直线AB分别交x轴、y轴于C、D两点，且S△COD＝．
（1）求一次函数的解析式；
（2）如图2，E的坐标为（6，0），将线段DO沿y轴向上（或向下）平移得线段D′O′，在移动过程中，是否存在某个位置使AD′+EO′的值最小？若存在，求出AD′+EO′的最小值及此时点O′的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）如图3，在（2）的条件下，将直线OA沿x轴平移，平移过程中在第一象限交y＝的图象于点M（M可与A重合），交x轴于点N．在平移过程中，是否存在某个位置使以M、N、E和平面内某一点P为顶点的四边形为菱形且以MN为菱形的边？若存在，请直接写出P的坐标；若不存在，请说明理由．
【考点】反比例函数综合题．
【专题】几何综合题；推理能力．
【分析】（1）求出C，D两点坐标，可得结论；
（2）作点A关于y轴的对称点A′，作A′A″∥OD，且A′A″＝OD，连接EA″交y轴于点O′，此时AD′+EO′的值最小，求出直线EA″的解析式，可得结论；
（3）分三种情形：如图3﹣1中，当点N在点E的左侧时，MN＝ME．如图3﹣2中，当MN＝ME时，如图3﹣3中，当点N在点E的右侧时，MN＝EN，分别构建方程求解即可．
【解答】解：（1）∵直线y＝kx+与y轴交于点D，
∴D（0，），
∴OD＝，
∵S△COD＝，
∴•OC•OD＝，
∴×OC×＝，
∴OC＝5，
∴C（﹣5，0），
把C（﹣5，0）代入y＝kx+，得到k＝，
∴直线AB的解析式为y＝x+；

（2）由，解得或，
∴A（3，4），B（﹣8，﹣），
作点A关于y轴的对称点A′，作A′A″∥OD，且A′A″＝OD，连接EA″交y轴于点O′，此时AD′+EO′的值最小，

∵E（6，0），A″（﹣3，），
∴AD′+EO′的值最小为A''E＝＝，
直线EA″的解析式为y＝﹣x+1，
∴O′（0，1）；

（3）如图3﹣1中，当点N在点E的左侧时，MN＝ME

过点M作MH⊥x轴于点H，
∵tan∠MNH＝＝，
∴可以设HN＝3k，MH＝4k，则MN＝5k，
∴NE＝MN＝5k，
∴EH＝2k，
∴M（6﹣2k，4k），
∴（6﹣2k）×4k＝12，
解得k＝，此时P（，6+2）或（，6﹣2）．
如图3﹣2中，当MN＝ME时，

此时M（6﹣3m，4m），
∴（6﹣3m）×4m＝12，
解得m＝1，
此时P（3，﹣4）．
如图3﹣3中，当点N在点E的右侧时，MN＝EN，

此时M（6+8n，4n），
∴（6+8n）×4n＝12，
解得n＝（负根已经舍弃），
可得P（，）
综上所述，满足条件的点P的坐标为（4，﹣3）或（，）或（，6+2）或（，6﹣2）．
【点评】本题属于反比例函数综合题、考查了运用待定系数法求函数解析式、一次函数的应用、轴对称最短问题、菱形的性质，等腰三角形性质等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题，学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．
6．（2021秋•渝中区校级月考）如图，已知直线y＝x+1与双曲线y＝交于A、B两点，且A点坐标为（a，2）．
（1）求双曲线解析式及B点坐标．
（2）将直线y＝x+1向下平移一个单位得直线l，P是y轴上的一个动点，Q是l上的一个动点，求AP+PQ的最小值．
（3）若点M为y轴上的一个动点，N为平面内一个动点，当以A、B、M、N为顶点的四边形是矩形时，直接写出N点坐标．

【考点】反比例函数综合题．
【专题】代数几何综合题；推理能力．
【分析】（1）利用待定系数法求出点A的坐标，再求出双曲线的解析式，构建方程组确定交点B的坐标；
（2）首先判断出直线l是一三象限的角平分线，过点O作OT⊥直线l交AB于点T，作点Q关于y轴的对称点Q′，连接PQ′，考点AP+PQ＝QP+PQ′≥AT，求出AT，可得结论；
（3）分三种情形：①当∠BAM＝90°时．②当∠ABM＝90°时．③当∠AMB＝90°时，设M（0，m），设AB的中点为J（﹣，），利用勾股定理构建方程求出m，即可解决问题．
【解答】解：（1）∵直线y＝x+1经过点A（a，2），
∴2＝a+1，
∴a＝1，
∴A（1，2），
∵双曲线y＝经过点A（1，20，
∴k＝2，
∴双曲线的解析式为y＝，
由，解得或，
∴B（﹣2，﹣1）；

（2）如图1中，

∵直线y＝x+1向下平移一个单位得直线l，
∴直线l是一三象限的角平分线，
过点O作OT⊥直线l交AB于点T，作点Q关于y轴的对称点Q′，连接PQ′，
∴AP+PQ＝QP+PQ′≥AT，
由题意A（（1，2），T（﹣，），
∴AT＝＝
∴AP+PQ的最小值为；

（3）如图2中，

①当∠BAM＝90°时，M1（0，3），N1（﹣3，0）．
②当∠ABM＝90°时，M2（0，﹣3），N2（3，0）．
③当∠AMB＝90°时，设M（0，m），设AB的中点为J（﹣，），
∵AB＝＝3，
∴AJ＝JB＝JM＝，
∴（﹣）2+（﹣m）2＝（）2，
解得m＝，
∴M3（0，），M4（0，），
∵JN3＝JM3，JN4＝JM4，
∴N3（﹣1，），N4（﹣1，），
综上所述，满足条件的点N的坐标为（﹣3，0）或（3，0）或（﹣1，）或（﹣1，）．
【点评】本题属于反比例函数综合题，考查了反比例函数的性质，一次函数的性质，待定系数法，矩形的判定和性质，垂线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，把最值问题转化为垂线段最短，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．
7．（2021•亭湖区校级一模）材料：帕普斯借助函数给出了一种“三等分锐角”的方法，具体如下：
①建立平面直角坐标系，将已知锐角∠AOB的顶点与原点O重合，角的一边OB与x轴正方向重合；
②在平面直角坐标系里，绘制函数y＝的图象，图象与已知角的另一边OA交于点P；
③以P为圆心，2OP为半径作弧，交函数y＝的图象于点R；
④分别过点P和R作x轴和y轴的平行线，两线相交于点M、Q；
⑤连接OM，得到∠MOB，这时∠MOB＝∠AOB．
根据以上材料解答下列问题：
（1）设点P的坐标为（a，），点R的坐标为（b，），则点M的坐标为 （b，） ；
（2）求证：点Q在直线OM上；
（3）求证：∠MOB＝∠AOB；
（4）应用上述方法得到的结论，如何三等分一个钝角（用文字简要说明）．

【考点】反比例函数综合题．
【专题】代数几何综合题；推理能力．
【分析】（1）由点P的坐标为（a，），PM∥x轴，可得点M的纵坐标为，由点R的坐标为（b，），RM∥y轴，可得点M的横坐标为b，即可求解；
（2）先求出直线OM解析式和点Q坐标，将点Q坐标代入解析式即可判断点Q是否在直线OM上；
（3）连接PR，交OM于点S，由矩形的性质可得∠1＝∠2，由2PO＝PR＝2PS，可得PS＝PO，可得∠4＝∠3＝2∠2，由平行线的性质可得∠2＝∠5，即可得结论；
（4）可以按照题意叙述的方法进行作图即可（方法不唯一）．
【解答】（1）解：如图，

∵点P的坐标为（a，），PM∥x轴，
∴点M的纵坐标为，
∵点R的坐标为（b，），RM∥y轴，
∴点M的横坐标为b，
∴点M（b，），
故答案为：（b，）．

（2）证明：设直线OM解析式为：y＝kx，
∵点M（b，），
∴＝bk，
∴k＝，
∴直线OM解析式为：y＝x，
∵分别过点P和R作y轴和x轴的平行线，两直线相交于点Q，
∴点Q（a，），
∵当x＝a时，y＝×a＝，
∴点Q在直线OM上；

（3）证明：连接PR，交OM于点S，

由题意得四边形PQRM是矩形，
∴PR＝QM，SP＝PR，SM＝QM，
∴SP＝SM，
∴∠1＝∠2，
∴∠3＝∠1+∠2＝2∠2，
∵PR＝2PO，
∴PS＝PO，
∴∠4＝∠3＝2∠2，
∵PM∥x轴，
∴∠2＝∠5，
∴∠AOB＝∠4+∠5＝3∠5，
即∠MOB＝∠AOB；

（4）解：如图，设边OA与函数y＝﹣（x＜0）的图象交于点P，以点P为圆心，2OP的长为半径作弧，
在第四象限交函数y＝﹣（x＞0）的图象于点R，
过点P作x轴的平行线，过点R作y轴的平行线，两直线相交于点M，连接OM，则∠MOB＝∠AOB．

【点评】本题是反比例函数综合题，考查了反比例函数的性质，矩形的性质，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键．
8．（2021•铁岭模拟）如图，一次函数y＝ax+b（a≠0）的图象与反比例函数y＝（k≠0）的图象交于A、B两点，与x轴、y轴分别交于C、D两点，与x轴、y轴分别交于C，D两点，若CD＝2，tan∠ACO＝，点A的坐标为（m，3）．
（1）求反比例函数与一次函数的解析式；
（2）连接OB，点P在直线AC上，且S△AOP＝2S△BOC，求点P的坐标．

【考点】反比例函数与一次函数的交点问题；解直角三角形．
【分析】（1）根据Rt△COD中，tan∠ACO＝，CD＝2，即可得到D（0，2），C（4，0），运用待定系数法即可求得反比例函数与一次函数的解析式；
（2）先解方程组求得B（6，﹣1），进而得到S△AOP＝2S△BOC＝2××4×1＝4，设P（x，﹣x+2），再分两种情况：①当点P在CD上时，S△AOP＝S△AOD+S△DOP，②当点P'在CA延长线上时，S△AOP'＝S△DOP﹣S△AOD，分别求得点P的坐标为（2，1）或（﹣6，5）．
【解答】解：（1）∵Rt△COD中，tan∠ACO＝，
∴CO＝2OD，
又∵CD＝2，
∴OD2+4OD2＝（2）2，
解得OD＝2，CO＝4，
∴D（0，2），C（4，0），
∵直线y＝ax+b（a≠0）与x轴、y轴分别交于C、D两点，
∴，解得，
∴一次函数的解析式为y＝﹣x+2，
把点A的坐标（m，3）代入，可得
3＝﹣m+2，解得m＝﹣2，
∴A（﹣2，3），
∵反比例函数y＝（k≠0）的图象经过点A，
∴k＝﹣2×3＝﹣6，
∴反比例函数解析式为y＝﹣；

（2）解方程组，可得或，
∴B（6，﹣1），
∴S△AOP＝2S△BOC＝2××4×1＝4，
设P（x，﹣x+2），
分两种情况：
①当点P在CD上时，S△AOP＝S△AOD+S△DOP，
∴4＝×2×2+×2×|x|，解得x＝2，
∴P（2，1）；
②当点P'在CA延长线上时，S△AOP'＝S△DOP'﹣S△AOD
∴4＝×2×|x|﹣×2×2，解得x＝﹣6，
∴P'（﹣6，5）．
综上所述，点P的坐标为（2，1）或（﹣6，5）．


【点评】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题以及解直角三角形的应用，解决问题的关键是掌握待定系数法求函数解析式的方法，解题时注意分类思想的运用．求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解即可．
9．（2021•杭锦旗二模）如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点O与坐标原点重合，顶点A，C分别在坐标轴上，顶点B的坐标为（4，2），过点D（0，3）和E（6，0）的直线分别与AB，BC交于点M，N．
（1）求直线DE的解析式和点M的坐标；
（2）若反比例函数y＝的图象经过点M，求该反比例函数的解析式，并通过计算判断点N是否在该函数的图象上；
（3）若反比例函数y＝（x＞0）的图象与△MNB有公共点，请直接写出k的取值范围；
（4）若将△MNB放置于平面直角坐标系中：使斜边在横轴上，直角顶点B在反比例函数y＝的图象上，试求出N点的坐标．

【考点】反比例函数综合题．
【专题】反比例函数及其应用；矩形 菱形 正方形．
【分析】（1）设直线DE的解析式是y＝kx+b，把D、E的坐标代入即可求出直线的解析式，把y＝2代入即可求出M的坐标．
（2）把M的坐标代入反比例函数解析式求出即可，把x＝4代入直线的解析式即可求出N的坐标．
（3）求出反比例函数的图象过B点的k值，即可求出答案．
（4）求出直角三角形MBN的斜边上的高BL，根据相似求出LN，即可求出N的坐标．
【解答】解：（1）设直线DE的解析式是y＝kx+b，
把D、E的坐标代入得：，
解得：k＝﹣，b＝3，
∴直线DE的解析式是：y＝﹣x+3，
∵矩形AOCB，B（4，2），
∴把y＝2代入y＝﹣x+3得：x＝2，
∴M的坐标是（2，2）．

（2）把M（2，2）代入y＝得：k＝4，
即反比例函数的解析式是y＝，
∵B（4，2），
∴把x＝4代入y＝﹣x+3得：y＝1，
∴N的坐标是（4，1），
把N的坐标代入y＝得：左边＝4，右边＝4，左边＝右边，
即点N在反比例函数的图象上．

（3）把B（4，2）代入y＝得：k＝8，
∵反比例函数y＝过M、N点，
∴若反比例函数y＝（x＞0）的图象与△MNB有公共点，k的取值范围是4≤k≤8．

（4）过B作BL⊥MN于L，
在△MNB中，BM＝4﹣2＝2，BN＝2﹣1＝1，
由勾股定理得：NM＝＝，
S△MNB＝BM×BN＝MN×BL，
∴2×1＝×BL，
∴BL＝，
如图所示：

∵直角顶点B在反比例函数图象上，
∴B的纵坐标是，代入y＝得：横坐标是2，
∴OL＝2，
∵△MNB是直角三角形，BL⊥MN于L，
∴△BLN∽△MBN，
∴＝，
∴＝，
∴LN＝，
∴ON＝OL+LN＝2+＝或ON＝OL﹣LN＝2﹣＝（此时N在M的左边），
∴N的坐标是（，0）或（，0）．

【点评】本题考查了用待定系数法求一次和反比例函数的解析式，函数图象上点的坐标特征，勾股定理，三角形的面积，矩形的性质的应用，主要考查学生综合运用性质进行推理和计算的能力，有一定的难度．
10．（2020•岳麓区校级模拟）直线y＝﹣x+2a（常数a＞0）和双曲线y＝（k＞0，x＞0）的图象有且只有一个交点B．
（1）求点B的坐标（用含a的式子表示）；
（2）如图1，一次函数y＝﹣x+2a与x轴交于点A，点P是线段OA上的动点，点Q在反比例函数图象上，且满足∠BPO＝∠QPA．
①若a＝1时，点P在移动过程中，求BP+PQ的最小值；
②如图2，设PQ与线段AB的交点为M，若OM⊥BP，试求的值．

【考点】反比例函数综合题．
【专题】几何综合题；反比例函数及其应用；应用意识．
【分析】（1）构建方程组根据Δ＝0，确定k与a的关系，再求出方程组的解即可．
（2）①如图1中，作过B关于OA的对称点B′，连接QB′交OA于P，此时∠BPO＝∠QPA，设Q（m，），构建二次函数，利用二次函数的性质解决问题即可．
②过点B作BH⊥OA于H交OM于J，设OM交PB于K．利用全等三角形的性质证明OJ＝PB，JH＝PH，JM＝PM即可解决问题．
【解答】解：（1）由消去x得到，x2﹣2ax+k＝0，
由题意Δ＝0，
∴4a2﹣4k＝0，
∴k＝a2，
解方程组得到，，
∴B（a，a）．

（2）①如图1中，作过B关于OA的对称点B′，连接QB′交OA于P，此时∠BPO＝∠QPA，设Q（m，），

∵B（1，1），B′（1，﹣1），
∴PB+PQ＝PB′+PQ＝B′Q＝＝＝＝，
∵1＞0，
∴当m﹣＝1时，PB+PQ的值最小，最小值为．

②过点B作BH⊥OA于H交OM于J，设OM交PB于K．

由题意，B（a，a），A（2a，0），
∴OH＝BH＝AH＝a，
∵OM⊥PB，BH⊥OA，
∴∠OHJ＝∠BKJ＝90°，
∵∠OJH＝∠BJK，
∴∠HOJ＝∠HBP，
∵∠OHJ＝∠BHP＝90°，OH＝BH，
∴△OHJ≌△BHP（ASA），
∴OJ＝PB，JH＝PH，∠OJH＝∠BPH，
AP＝BJ，
∵∠AHB＝90°，HB＝HA，
∴∠PAM＝∠JBM＝45°，
∵∠BPH＝∠APM，∠OJH＝∠BJM，
∴∠BJM＝∠APM，
∴△BJM≌△APM（ASA），
∴JM＝PM，
∴OM﹣PB＝OJ+JM﹣BP＝JM＝PM，
∴＝1．
【点评】本题属于反比例函数综合题，考查了反比例函数的性质，一次函数的性质，一元二次方程的根的判别式，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．

考点卡片
1．反比例函数与一次函数的交点问题
反比例函数与一次函数的交点问题
（1）求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．
（2）判断正比例函数y＝k1x和反比例函数y＝在同一直角坐标系中的交点个数可总结为：
①当k1与k2同号时，正比例函数y＝k1x和反比例函数y＝在同一直角坐标系中有2个交点；
②当k1与k2异号时，正比例函数y＝k1x和反比例函数y＝在同一直角坐标系中有0个交点．
2．反比例函数综合题
（1）应用类综合题
能够从实际的问题中抽象出反比例函数这一数学模型，是解决实际问题的关键一步，培养了学生的建模能力和从实际问题向数学问题转化的能力．在解决这些问题的时候我们还用到了反比例函数的图象和性质、待定系数法和其他学科中的知识．
（2）数形结合类综合题
利用图象解决问题，从图上获取有用的信息，是解题的关键所在．已知点在图象上，那么点一定满足这个函数解析式，反过来如果这点满足函数的解析式，那么这个点也一定在函数图象上．还能利用图象直接比较函数值或是自变量的大小．将数形结合在一起，是分析解决问题的一种好方法．
3．解直角三角形
（1）解直角三角形的定义
在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．
（2）解直角三角形要用到的关系
①锐角、直角之间的关系：∠A+∠B＝90°；
②三边之间的关系：a2+b2＝c2；
③边角之间的关系：
sinA＝＝，cosA＝＝，tanA＝＝．
（a，b，c分别是∠A、∠B、∠C的对边）