2022年中考数学复习之挑战压轴题（解答题）：方程与不等式（含答案）

这是一份2022年中考数学复习之挑战压轴题（解答题）：方程与不等式（含答案），共27页。试卷主要包含了已知，关于x的分式方程＝1，阅读理解学，我们规定，阅读下列材料，，两车速度均为200米/分等内容，欢迎下载使用。

2022年中考数学复习之挑战压轴题（解答题）：方程与不等式
一．解答题（共10小题）
1．（2021秋•望城区期末）已知，关于x的分式方程＝1．
（1）当a＝2，b＝1时，求分式方程的解；
（2）当a＝1时，求b为何值时分式方程＝1无解；
（3）若a＝3b，且a、b为正整数，当分式方程＝1的解为整数时，求b的值．
2．（2021秋•溧阳市期末）阅读理解学：
我们都应该知道，任何无限循环小数都应该属于有理数，那是因为所有无限循环小数都可以化成分数形式，而分数属于有理数．那么无限循环小数怎么化成分数呢？下面的学习材料会告诉我们原因和方法：
问题：利用一元一次方程将0.化成分数．
设0.＝x．
由0.＝0.7777…，可知10×0.＝7777…＝7+0.7777…＝7+0.，
即10x＝7+x．
可解得，即0.＝．
（1）将0.直接写成分数形式为 ．
（2）请仿照上述方法把下列小数化成分数，要求写出利用一元一次方程进行解答的过程．
①0.；
②0.1．
3．（2021秋•余干县期末）我们规定：若关于x的一元一次方程ax＝b的解为x＝b+a，则称该方程为“和解方程”．例如：方程2x＝﹣4的解为x＝﹣2，而﹣2＝﹣4+2，则方程2x＝﹣4为“和解方程”．
请根据上述规定解答下列问题：
（1）已知关于x的一元一次方程3x＝m是“和解方程”，求m的值；
（2）已知关于x的一元一次方程﹣2x＝mn+n是“和解方程”，并且它的解是x＝n，求m，n的值．
4．（2021秋•晋江市校级期末）平安路上，多“盔”有你，在“交通安全宣传月”期间，某商店销售一批头盔，进价为每顶40元，售价为每顶68元，平均每周可售出100顶．商店计划将头盔降价销售，每顶售价不高于58元，经调查发现：每降价2元，平均每周可多售出40顶．
（1）若该商店希望平均每周获利4000元，则每顶头盔应降价多少？
（2）商店降价销售后，决定每销售1顶头盔就向某慈善机构捐赠m元（m为整数，且1≤m≤5），帮助做“交通安全”宣传．捐赠后发现，该商店每周销售这种商品的利润仍随售价的增大而增大，求m的值．
5．（2021秋•昆都仑区校级月考）如图1，为美化校园环境，某校计划在一块长为60米，宽为40米的长方形空地上修建一个长方形花圃，并将花圃四周余下的空地修建成同样宽的通道，设通道宽为a米．

（1）花圃的面积为 米2（用含a的式子表示）；
（2）如果通道所占面积是整个长方形空地面积的，求出此时通道的宽；
（3）已知某园林公司修建通道、花圃的造价y1（元）、y2（元）与修建面积x（m2）之间的函数关系如图2所示，如果学校决定由该公司承建此项目，并要求修建的通道的宽度不少于2米且不超过10米，那么通道宽为多少时，修建的通道和花圃的总造价为105920元？
6．（2021秋•石阡县期中）如图，在矩形ABCD中，BC＝24cm，P，Q，M，N分别从A，B，C，D出发沿AD，BC，CB，DA方向在矩形的边上同时运动，当有一个点先到达所在运动边的另一个端点时，运动即停止．
已知在相同时间内，若BQ＝xcm（x≠0），则AP＝2xcm，CM＝3xcm，DN＝x2cm．
（1）当x为何值时，以P、N两点重合？
（2）问Q、M两点能重合吗？若Q、M两点能重合，则求出相应的x的值；若Q、M两点不能重合，请说明理由．
（3）当x为何值时，以P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形．

7．（2020春•重庆期末）阅读下列材料：
我们知道|x|的几何意义是在数轴上数x对应的点与原点的距离；即|x|＝|x﹣0|；这个结论可以推广为|x1﹣x2|表示在数轴上数x1，x2对应点之间的距离．绝对值的几何意义在解题中有着广泛的应用：
例1：解方程|x|＝4．
容易得出，在数轴上与原点距离为4的点对应的数为±4，即该方程的解x＝±4；
例2：解方程|x+1|+|x﹣2|＝5．
由绝对值的几何意义可知，该方程表示求在数轴上与﹣1和2的距离之和为5的点对应的x的值．在数轴上，﹣1和2的距离为3，满足方程的x对应的点在2的右边或在﹣1的左边．若x对应的点在2的右边，如图1可以看出x＝3；同理，若x对应点在﹣1的左边，可得x＝﹣2．所以原方程的解是x＝3或x＝﹣2．
例3：解不等式|x﹣1|＞3．
在数轴上找出|x﹣1|＝3的解，即到1的距离为3的点对应的数为﹣2，4，如图2，在﹣2的左边或在4的右边的x值就满足|x﹣1|＞3，所以|x﹣1|＞3的解为x＜﹣2或x＞4．
参考阅读材料，解答下列问题：
（1）方程|x+3|＝5的解为 ；
（2）方程|x﹣2017|+|x+1|＝2020的解为 ；
（3）若|x+4|+|x﹣3|≥11，求x的取值范围．

8．（2021春•拱墅区校级期中）某学校实践课准备用图甲所示的A型正方形板材和B型长方形板材，制作成图乙所示的竖式和横式两种无盖箱子．
（1）若学校现有库存A型板材50张，B型板材100张，用这批板材制作两种类型的箱子．
①请完成下列表格：

x只竖式箱子
y只横式箱子
A型板材张数（张）
x
　 　
B型板材张数（张）
　 　
3y
②恰好将库存板材用完时，能制作出竖式和横式的箱子各多少只．
（2）若学校新购得n张规格为3×3m的C型正方形板材，将其中一张板材切割成了3张A型板材和2张B型板材，余下板材分成两部分，一部分全部切割成A型板材，另一部分全部切割成B型板材（不计损耗），用切割成的板材制作两种类型的箱子，要求竖式箱子制作20只，且材料恰好用完，则n的最小值是 ，此时能制作横式箱子 只．

9．（2016•驻马店模拟）已知方程x2+3mx+2m﹣3＝0．
（1）求证：对于任意的实数m，方程总有两个不相等的实数根；
（2）设a，b是平行四边形的两邻边边长，也是方程的两根，且a＞b，求a﹣b的最小值．
10．（2014•河北）某景区内的环形路是边长为800米的正方形ABCD，如图1和图2．现有1号、2号两游览车分别从出口A和景点C同时出发，1号车顺时针、2号车逆时针沿环形路连续循环行驶，供游客随时免费乘车（上、下车的时间忽略不计），两车速度均为200米/分．

探究：设行驶时间为t分．
（1）当0≤t≤8时，分别写出1号车、2号车在左半环线离出口A的路程y1，y2（米）与t（分）的函数关系式，并求出当两车相距的路程是400米时t的值；
（2）t为何值时，1号车第三次恰好经过景点C？并直接写出这一段时间内它与2号车相遇过的次数．
发现：如图2，游客甲在BC上的一点K（不与点B，C重合）处候车，准备乘车到出口A，设CK＝x米．
情况一：若他刚好错过2号车，便搭乘即将到来的1号车；
情况二：若他刚好错过1号车，便搭乘即将到来的2号车．
比较哪种情况用时较多？（含候车时间）
决策：已知游客乙在DA上从D向出口A走去．步行的速度是50米/分．当行进到DA上一点P（不与点D，A重合）时，刚好与2号车迎面相遇．
（1）他发现，乘1号车会比乘2号车到出口A用时少，请你简要说明理由；
（2）设PA＝s（0＜s＜800）米．若他想尽快到达出口A，根据s的大小，在等候乘1号车还是步行这两种方式中．他该如何选择？

2022年中考数学复习之挑战压轴题（解答题）：方程与不等式（10题）
参考答案与试题解析
一．解答题（共10小题）
1．（2021秋•望城区期末）已知，关于x的分式方程＝1．
（1）当a＝2，b＝1时，求分式方程的解；
（2）当a＝1时，求b为何值时分式方程＝1无解；
（3）若a＝3b，且a、b为正整数，当分式方程＝1的解为整数时，求b的值．
【考点】解分式方程；分式方程的定义；分式方程的解．
【专题】分式方程及应用；运算能力．
【分析】（1）将a和b的值代入分式方程，解分式方程即可；
（2）把a的值代入分式方程，分式方程去分母后化为整式方程，分类讨论b的值，使分式方程无解即可；
（3）将a＝3b代入方程，分式方程去分母化为整式方程，表示出整式方程的解，由解为整数和b为正整数确定b的取值．
【解答】解：（1）把a＝2，b＝1代入分式方程 中，得，
方程两边同时乘以（2x+3）（x﹣5），
2（x﹣5）﹣（1﹣x）（2x+3）＝（2x+3）（x﹣5），
2x²+3x﹣13＝2x²﹣7x﹣15，
10x＝﹣2，
x＝，
检验：把x＝ 代入（2x+3）（x﹣5）≠0，所以原分式方程的解是x＝．
答：分式方程的解是x＝．
（2）把a＝1代入分式方程 得，
方程两边同时乘以（2x+3）（x﹣5），
（x﹣5）﹣（b﹣x）（2x+3）＝（2x+3）（x﹣5），
x﹣5+2x2+3x﹣2bx﹣3b＝2x2﹣7x﹣15，
（11﹣2b）x＝3b﹣10，
①当11﹣2b＝0时，即，方程无解；
②当11﹣2b≠0时，，
时，分式方程无解，即，b不存在；
x＝5时，分式方程无解，即，b＝5．
综上所述，或b＝5时，分式方程 无解．
（3）把a＝3b代入分式方程 中，得：
方程两边同时乘以（2x+3）（x﹣5），
3b（x﹣5）+（x﹣b）（2x+3）＝（2x+3）（x﹣5），
整理得：（10+b）x＝18b﹣15，
∴，
∵，且b为正整数，x为整数，
∴10+b必为195的因数，10+b≥11，
∵195＝3×5×13，
∴195的因数有1、3、5、13、15、39、65、195，
但1、3、5 小于11，不合题意，故10+b可以取13、15、39、65、195这五个数．
对应地，方程的解x为3、5、13、15、17，
由于x＝5为分式方程的增根，故应舍去．
对应地，b只可以取3、29、55、185，
所以满足条件的b可取3、29、55、185这四个数．
【点评】本题主要考查分式方程的计算，难度较大，涉及知识点较多．熟练掌握解分式方程的步骤是解决这三道小题的前提条件；其次，分式方程无解的两种情况要熟知，一是分式方程去分母后的整式方程无解，而是分式方程去分母后的整式方程的解是原分式方程的增根．总之，解分式方程的步骤要重点掌握．
2．（2021秋•溧阳市期末）阅读理解学：
我们都应该知道，任何无限循环小数都应该属于有理数，那是因为所有无限循环小数都可以化成分数形式，而分数属于有理数．那么无限循环小数怎么化成分数呢？下面的学习材料会告诉我们原因和方法：
问题：利用一元一次方程将0.化成分数．
设0.＝x．
由0.＝0.7777…，可知10×0.＝7777…＝7+0.7777…＝7+0.，
即10x＝7+x．
可解得，即0.＝．
（1）将0.直接写成分数形式为 ．
（2）请仿照上述方法把下列小数化成分数，要求写出利用一元一次方程进行解答的过程．
①0.；
②0.1．
【考点】解一元一次方程．
【专题】计算题；代数综合题；阅读型；一次方程（组）及应用；运算能力．
【分析】（1）根据题目给的例题，首先设0.＝x，列出方程10x＝5+x，解出x；
（2）①根据题目给的例题，首先设0.＝y，列出方程100y＝27+y，解出y；
②首先把0.1写成0.1+，再设＝n，列出方程100n＝3.6+，解出n，从而求出最后结果．
【解答】（1）设0.＝x，
根据题意得，10x＝5+x，
解得x＝，
故答案为：；
（2）①设0.＝y，
根据题意得，100y＝27+y，
解得y＝；
∴0.＝；
②∵0.1＝0.1+，
设＝n，
∴100n＝3.6+，
∴100n＝3.6+n，
解得n＝．
∴0.1＝0.1+＝．
【点评】本题考查解一元一次方程的解法，掌握解一元一次方程的步骤，对材料的理解及列出方程是解题关键．
3．（2021秋•余干县期末）我们规定：若关于x的一元一次方程ax＝b的解为x＝b+a，则称该方程为“和解方程”．例如：方程2x＝﹣4的解为x＝﹣2，而﹣2＝﹣4+2，则方程2x＝﹣4为“和解方程”．
请根据上述规定解答下列问题：
（1）已知关于x的一元一次方程3x＝m是“和解方程”，求m的值；
（2）已知关于x的一元一次方程﹣2x＝mn+n是“和解方程”，并且它的解是x＝n，求m，n的值．
【考点】一元一次方程的解．
【专题】新定义．
【分析】（1）根据和解方程的定义即可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出结论；
（2）根据和解方程的定义即可得出关于m、n的二元二次方程组，解之即可得出m、n的值．
【解答】解：（1）∵方程3x＝m是和解方程，
∴＝m+3，
解得：m＝﹣．

（2）∵关于x的一元一次方程﹣2x＝mn+n是“和解方程”，并且它的解是x＝n，
∴﹣2n＝mn+n，且mn+n﹣2＝n，
解得m＝﹣3，n＝﹣．
【点评】本题考查了一元一次方程的解、解一元一次方程以及二元二次方程组，解题的关键是：根据“和解方程“的定义列出关于m的一元一次方程；根据和解方程的定义列出关于m、n的二元二次方程组．
4．（2021秋•晋江市校级期末）平安路上，多“盔”有你，在“交通安全宣传月”期间，某商店销售一批头盔，进价为每顶40元，售价为每顶68元，平均每周可售出100顶．商店计划将头盔降价销售，每顶售价不高于58元，经调查发现：每降价2元，平均每周可多售出40顶．
（1）若该商店希望平均每周获利4000元，则每顶头盔应降价多少？
（2）商店降价销售后，决定每销售1顶头盔就向某慈善机构捐赠m元（m为整数，且1≤m≤5），帮助做“交通安全”宣传．捐赠后发现，该商店每周销售这种商品的利润仍随售价的增大而增大，求m的值．
【考点】一元二次方程的应用；二次函数的应用．
【专题】一元二次方程及应用；应用意识．
【分析】（1）设每顶头盔应降价x元，则每顶头盔的销售利润为（68﹣x﹣40）元，平均每周的销售量为（100+20x）顶，根据每周销售头盔获得的利润＝每顶头盔的销售利润×平均每周的销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，结合每顶售价不高于58元，即可确定x的值；
（2）设每周扣除捐赠后可获得利润为w元，每顶头盔售价为a元，利用每周销售头盔获得的利润＝每顶头盔的销售利润×平均每周的销售量，即可得出w关于a的函数关系式，利用二次函数的性质可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围，再结合1≤m＜5且m为整数，即可得出m的值．
【解答】解：（1）设每顶头盔应降价x元，则每顶头盔的销售利润为（68﹣x﹣40）元，平均每周的销售量为（100+20x）顶，
依题意得：（68﹣x﹣40）（100+20x）＝4000，
整理得：x2﹣23x+60＝0，
解得：x1＝3，x2＝20，
∵68﹣x≤58，
∴x≥10，
∴x＝20．
答：每顶头盔应降价20元；
（2）设每周扣除捐赠后可获得利润为w元，每顶头盔售价为a元，
依题意得：w＝[100+20（68﹣a）]（a﹣40﹣m）＝﹣20a2+（20m+2260）a﹣1460（40+m）．
∵抛物线的对称轴为a＝，开口向下，当a≤58时，利润仍随售价的增大而增大，
∴≥58，
解得：m≥3，
又∵1≤m≤5，且m为整数，
∴m＝3或m＝4或m＝5．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及二次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）根据各数量之间的关系，找出w关于a的函数关系式．
5．（2021秋•昆都仑区校级月考）如图1，为美化校园环境，某校计划在一块长为60米，宽为40米的长方形空地上修建一个长方形花圃，并将花圃四周余下的空地修建成同样宽的通道，设通道宽为a米．

（1）花圃的面积为 （4a2﹣200a+2400） 米2（用含a的式子表示）；
（2）如果通道所占面积是整个长方形空地面积的，求出此时通道的宽；
（3）已知某园林公司修建通道、花圃的造价y1（元）、y2（元）与修建面积x（m2）之间的函数关系如图2所示，如果学校决定由该公司承建此项目，并要求修建的通道的宽度不少于2米且不超过10米，那么通道宽为多少时，修建的通道和花圃的总造价为105920元？
【考点】一元二次方程的应用；一次函数的应用．
【分析】（1）用含a的式子先表示出花圃的长和宽后利用其矩形面积公式列出式子即可；
（2）根据通道所占面积是整个长方形空地面积的，列出方程进行计算即可；
（3）根据图象，设出通道和花圃的解析式，用待定系数法求解，再根据修建的通道和花圃的总造价为105920元列出关于a的方程，通过解方程求得a的值．
【解答】解：（1）由图可知，花圃的面积为（40﹣2a）（60﹣2a）＝4a2﹣200a+2400．
故答案是：（4a2﹣200a+2400）；

（2）当通道所占面积是整个长方形空地面积的，即花圃所占面积是整个长方形空地面积的，则
4a2﹣200a+2400＝60×40×，
解方程得：a1＝5，a2＝45（不符合题意，舍去）
即此时通道宽为5米；

（3）当a＝10时，花圃面积为（60﹣2×10）×（40﹣2×10）＝800（平方米）
即此时花圃面积最少为800（平方米）．
根据图象可设y1＝mx，y2＝kx+b，
将点（1200，48000），（800，48000），（1200，62000）代入，则有
1200m＝48000，解得：m＝40
∴y1＝40x且有，
解得：，
∴y2＝35x+20000．
∵花圃面积为：（40﹣2a）（60﹣2a）＝4a2﹣200a+2400，
∴通道面积为：2400﹣（4a2﹣200a+2400）＝﹣4a2+200a
∴35（4a2﹣200a+2400）+20000+40（﹣4a2+200a）＝105920
解得a1＝2，a2＝48（舍去）．
答：通道宽为2米时，修建的通道和花圃的总造价为105920元．
【点评】本题考查了一次函数的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是表示出花圃的长和宽．
6．（2021秋•石阡县期中）如图，在矩形ABCD中，BC＝24cm，P，Q，M，N分别从A，B，C，D出发沿AD，BC，CB，DA方向在矩形的边上同时运动，当有一个点先到达所在运动边的另一个端点时，运动即停止．
已知在相同时间内，若BQ＝xcm（x≠0），则AP＝2xcm，CM＝3xcm，DN＝x2cm．
（1）当x为何值时，以P、N两点重合？
（2）问Q、M两点能重合吗？若Q、M两点能重合，则求出相应的x的值；若Q、M两点不能重合，请说明理由．
（3）当x为何值时，以P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形．

【考点】一元二次方程的应用；平行四边形的判定与性质；矩形的性质；梯形．
【专题】代数几何综合题．
【分析】（1）P、N两点重合，即AP+DN＝AD＝BC，联立方程解答即可；
（2）当Q、M两点重合时，即BQ+CM＝BC，联立方程解答，进一步利用DN验证即可；
（3）把P、N两点分两种情况讨论，点P在点N的左侧或点P在点N的右侧，进一步利用平行四边形的性质联立方程解答即可．
【解答】解：（1）当点P与点N重合时，
由x2+2x＝24，得x1＝4、x2＝﹣6（舍去）
所以x＝4时点P与点N重合．

（2）当点Q与点M重合时，
由x+3x＝24，得x＝6
此时DN＝x2＝36≥24，不符合题意．
故点Q与点M不能重合．

（3）因为当N点到达A点时，x2＝24，
解得：x＝2，
BQ＝2cm，CM＝6cm，
∵BQ+CM＝8＜24，
∴此时M点和Q点还未相遇，
所以点Q只能在点M的左侧，
①如图1，当点P在点N的左侧时，
由24﹣（x+3x）＝24﹣（2x+x2），
解得x1＝0（舍去），x2＝2；
当x＝2时四边形PQMN是平行四边形；
②如图2，当点P在点N的右侧时，
由24﹣（x+3x）＝（2x+x2）﹣24，
解得x1＝﹣3+，x2＝﹣3﹣（舍去）；
当x＝﹣3+时四边形NQMP是平行四边形；
综上：当x＝2或x＝﹣3+时，以P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形．


【点评】此题主要考查借助图形的性质找出数量关系，联立方程解决问题，并渗透分类讨论思想．
7．（2020春•重庆期末）阅读下列材料：
我们知道|x|的几何意义是在数轴上数x对应的点与原点的距离；即|x|＝|x﹣0|；这个结论可以推广为|x1﹣x2|表示在数轴上数x1，x2对应点之间的距离．绝对值的几何意义在解题中有着广泛的应用：
例1：解方程|x|＝4．
容易得出，在数轴上与原点距离为4的点对应的数为±4，即该方程的解x＝±4；
例2：解方程|x+1|+|x﹣2|＝5．
由绝对值的几何意义可知，该方程表示求在数轴上与﹣1和2的距离之和为5的点对应的x的值．在数轴上，﹣1和2的距离为3，满足方程的x对应的点在2的右边或在﹣1的左边．若x对应的点在2的右边，如图1可以看出x＝3；同理，若x对应点在﹣1的左边，可得x＝﹣2．所以原方程的解是x＝3或x＝﹣2．
例3：解不等式|x﹣1|＞3．
在数轴上找出|x﹣1|＝3的解，即到1的距离为3的点对应的数为﹣2，4，如图2，在﹣2的左边或在4的右边的x值就满足|x﹣1|＞3，所以|x﹣1|＞3的解为x＜﹣2或x＞4．
参考阅读材料，解答下列问题：
（1）方程|x+3|＝5的解为 x＝2或x＝﹣8 ；
（2）方程|x﹣2017|+|x+1|＝2020的解为 x＝﹣2或x＝2018 ；
（3）若|x+4|+|x﹣3|≥11，求x的取值范围．

【考点】含绝对值符号的一元一次方程．
【专题】计算题；实数．
【分析】（1）根据例1的方法，求出方程的解即可；
（2）根据例2的方法，求出方程的解即可；
（3）根据例3的方法，求出x的范围即可．
【解答】解：（1）方程|x+3|＝5的解为x＝2或x＝﹣8；
故答案为：x＝2或x＝﹣8；
（2）方程|x﹣2017|+|x+1|＝2020的解为x＝﹣2或x＝2018；
故答案为：x＝﹣2或x＝2018；
（3）∵|x+4|+|x﹣3|表示的几何意义是在数轴上分别与﹣4和3的点的距离之和，
而﹣4与3之间的距离为7，当x在﹣4和3时之间，不存在x，使|x+4|+|x﹣3|≥11成立，
当x在3的右边时，如图所示，易知当x≥5时，满足|x+4|+|x﹣3|≥11，
当x在﹣4的左边时，如图所示，易知当x≤﹣6时，满足|x+4|+|x﹣3|≥11，
所以x的取值范围是x≥5或x≤﹣6．

【点评】此题考查了含绝对值的一元一次方程，弄清题意是解本题的关键．
8．（2021春•拱墅区校级期中）某学校实践课准备用图甲所示的A型正方形板材和B型长方形板材，制作成图乙所示的竖式和横式两种无盖箱子．
（1）若学校现有库存A型板材50张，B型板材100张，用这批板材制作两种类型的箱子．
①请完成下列表格：

x只竖式箱子
y只横式箱子
A型板材张数（张）
x
　2y　
B型板材张数（张）
　4x　
3y
②恰好将库存板材用完时，能制作出竖式和横式的箱子各多少只．
（2）若学校新购得n张规格为3×3m的C型正方形板材，将其中一张板材切割成了3张A型板材和2张B型板材，余下板材分成两部分，一部分全部切割成A型板材，另一部分全部切割成B型板材（不计损耗），用切割成的板材制作两种类型的箱子，要求竖式箱子制作20只，且材料恰好用完，则n的最小值是 35 ，此时能制作横式箱子 5 只．

【考点】二元一次方程组的应用．
【专题】应用题；一次方程（组）及应用；一元一次不等式（组）及应用；运算能力．
【分析】（1）①根据题意做一个竖式箱子，需1张A板，4张B板，做一个横式箱子，需2张A板，3张B板，即可解答本题；
②根据题意可以列出相应的二元一次方程组，再解方程组即可解答本题；
（2）根据题意可以列出相应的不等式，从而可以解决问题．
【解答】解：（1）①如图所示：做一个竖式箱子，需1张A板，4张B板，做一个横式箱子，需2张A板，3张B板，
故答案为：4x，2y；
②∵恰好将库存板材用完，根据题意，得
，
解得，
答：制作出竖式和横式的箱子各20只和10只；
（2）设C型板有x张全部切成A板，则有（n﹣x﹣1）张全部切成B板，
且一张3×3m的C型板可以切成3×3＝9张A型板或3张B型板，
得（3+9x）张A板，[2+3（n﹣x﹣1）]＝（3n﹣3x﹣1）张B板，
因为竖式箱子制作20只用掉20张A板，80张B板，
则剩余A板（9x﹣17）张，B板（3n﹣3x﹣81）张，
根据题意，得＝，
整理，得n＝x+，
∵9x﹣17≥0，
∴x≥，
∵3n﹣3x﹣81≥0，
∴n≥x+27，
，
解得，
∵x≥，且x为整数，
∴x取最小值为2时，n＝11+（不符合题意，舍去），
当x＝3时，n＝35，
∴x取最小值为3时，n＝35最小．
此时，剩余A板10张，可以做5只横式板．
∴n的最小值是35，此时能制作横式箱子5只．
故答案为：35，5．
【点评】本题考查一元一次不等式的应用、二元一次方程（组）的应用，解答本题的关键是明确题意，利用方程和不等式的性质解答．
9．（2016•驻马店模拟）已知方程x2+3mx+2m﹣3＝0．
（1）求证：对于任意的实数m，方程总有两个不相等的实数根；
（2）设a，b是平行四边形的两邻边边长，也是方程的两根，且a＞b，求a﹣b的最小值．
【考点】根的判别式．
【分析】（1）先计算Δ＝（3m）2﹣4（2m﹣3）＝9m2﹣8m+12，配方得到Δ＝9（m﹣）2+＞0，根据△的意义即可得到对于任何实数m，该方程总有两个不相等的实数根；
（2）由根与系数的关系可得：a+b＝﹣3m，ab＝2m﹣3．由a＞b得出a﹣b＝＝＝，利用二次函数的性质即可求解．
【解答】（1）证明：方程的判别式Δ＝（3m）2﹣4（2m﹣3）＝9m2﹣8m+12＝9（m﹣）2+＞0，
即对于任意的实数m，方程总有两个不相等的实数根；

（2）解：由根与系数的关系可得：a+b＝﹣3m，ab＝2m﹣3．
∵a＞b，
∴a﹣b＝＝＝＝，
∴当m＝时，a﹣b的最小值是．
【点评】本题考查了根的判别式，一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：
①当Δ＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；
②当Δ＝0时，方程有两个相等的两个实数根；
③当Δ＜0时，方程无实数根．
也考查了根与系数的关系．
10．（2014•河北）某景区内的环形路是边长为800米的正方形ABCD，如图1和图2．现有1号、2号两游览车分别从出口A和景点C同时出发，1号车顺时针、2号车逆时针沿环形路连续循环行驶，供游客随时免费乘车（上、下车的时间忽略不计），两车速度均为200米/分．

探究：设行驶时间为t分．
（1）当0≤t≤8时，分别写出1号车、2号车在左半环线离出口A的路程y1，y2（米）与t（分）的函数关系式，并求出当两车相距的路程是400米时t的值；
（2）t为何值时，1号车第三次恰好经过景点C？并直接写出这一段时间内它与2号车相遇过的次数．
发现：如图2，游客甲在BC上的一点K（不与点B，C重合）处候车，准备乘车到出口A，设CK＝x米．
情况一：若他刚好错过2号车，便搭乘即将到来的1号车；
情况二：若他刚好错过1号车，便搭乘即将到来的2号车．
比较哪种情况用时较多？（含候车时间）
决策：已知游客乙在DA上从D向出口A走去．步行的速度是50米/分．当行进到DA上一点P（不与点D，A重合）时，刚好与2号车迎面相遇．
（1）他发现，乘1号车会比乘2号车到出口A用时少，请你简要说明理由；
（2）设PA＝s（0＜s＜800）米．若他想尽快到达出口A，根据s的大小，在等候乘1号车还是步行这两种方式中．他该如何选择？
【考点】一元一次方程的应用；一元一次不等式组的应用．
【专题】压轴题．
【分析】探究：（1）由路程＝速度×时间就可以得出y1，y2（米） 与t（分）的函数关系式，再由关系式就可以求出两车相距的路程是400米时t的值；
（2）求出1号车3次经过A的路程，进一步求出行驶的时间，由两车第一次相遇后每相遇一次需要的时间就可以求出相遇次数；
发现：分别计算出情况一的用时和情况二的用时，在进行大小比较就可以求出结论
决策：（1）根据题意可以得出游客乙在AD上等待乘1号车的距离小于边长，而成2号车到A出口的距离大于3个边长，进而得出结论；
（2）分类讨论，若步行比乘1号车的用时少，就有，得出s＜320．就可以分情况得出结论．
【解答】解：探究：（1）由题意，得
y1＝200t，y2＝﹣200t+1600
当相遇前相距400米时，
﹣200t+1600﹣200t＝400，
t＝3，
当相遇后相距400米时，
200t﹣（﹣200t+1600）＝400，
t＝5．
答：当两车相距的路程是400米时t的值为3分钟或5分钟；

（2）由题意，得
1号车第三次恰好经过景点C行驶的路程为：800×2+800×4×2＝8000，
∴1号车第三次经过景点C需要的时间为：8000÷200＝40分钟，
两车第一次相遇的时间为：1600÷400＝4．
第一次相遇后两车每相遇一次需要的时间为：800×4÷400＝8，
∴两车相遇的次数为：（40﹣4）÷8+1＝5次．
∴这一段时间内它与2号车相遇的次数为：5次；
发现：由题意，得
情况一需要时间为：＝16﹣，
情况二需要的时间为：＝16+
∵16﹣＜16+
∴情况二用时较多．
决策：（1）∵游客乙在AD边上与2号车相遇，
∴此时1号车在CD边上，
∴乘1号车到达A的路程小于2个边长，乘2号车的路程大于3个边长，
∴乘1号车的用时比2号车少．
（2）若步行比乘1号车的用时少，
，
∴s＜320．
∴当0＜s＜320时，选择步行．
同理可得
当320＜s＜800时，选择乘1号车，
当s＝320时，选择步行或乘1号车一样．
【点评】本题考查了一次函数的解析式的运用，一元一次方程的运用，一元一次不等式的运用，分类讨论思想的运用，方案设计的运用，解答时求出函数的解析式是解答本题的关键．

考点卡片
1．一元一次方程的解
定义：使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解．
把方程的解代入原方程，等式左右两边相等．
2．解一元一次方程
（1）解一元一次方程的一般步骤：
去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，这仅是解一元一次方程的一般步骤，针对方程的特点，灵活应用，各种步骤都是为使方程逐渐向x＝a形式转化．
（2）解一元一次方程时先观察方程的形式和特点，若有分母一般先去分母；若既有分母又有括号，且括号外的项在乘括号内各项后能消去分母，就先去括号．
（3）在解类似于“ax+bx＝c”的方程时，将方程左边，按合并同类项的方法并为一项即（a+b）x＝c．使方程逐渐转化为ax＝b的最简形式体现化归思想．将ax＝b系数化为1时，要准确计算，一弄清求x时，方程两边除以的是a还是b，尤其a为分数时；二要准确判断符号，a、b同号x为正，a、b异号x为负．
3．含绝对值符号的一元一次方程
解含绝对值符号的一元一次方程要根据绝对值的性质和绝对值符号内代数式的值分情况讨论，即去掉绝对值符号得到一般形式的一元一次方程，再求解．
例如：解方程|x|＝2
解：去掉绝对值符号 x＝2或﹣x＝2
方程的解为x1＝2或x2＝﹣2．
4．一元一次方程的应用
（一）一元一次方程解应用题的类型有：
（1）探索规律型问题；
（2）数字问题；
（3）销售问题（利润＝售价﹣进价，利润率＝×100%）；（4）工程问题（①工作量＝人均效率×人数×时间；②如果一件工作分几个阶段完成，那么各阶段的工作量的和＝工作总量）；
（5）行程问题（路程＝速度×时间）；
（6）等值变换问题；
（7）和，差，倍，分问题；
（8）分配问题；
（9）比赛积分问题；
（10）水流航行问题（顺水速度＝静水速度+水流速度；逆水速度＝静水速度﹣水流速度）．
（二）利用方程解决实际问题的基本思路如下：首先审题找出题中的未知量和所有的已知量，直接设要求的未知量或间接设一关键的未知量为x，然后用含x的式子表示相关的量，找出之间的相等关系列方程、求解、作答，即设、列、解、答．
列一元一次方程解应用题的五个步骤
1．审：仔细审题，确定已知量和未知量，找出它们之间的等量关系．
2．设：设未知数（x），根据实际情况，可设直接未知数（问什么设什么），也可设间接未知数．
3．列：根据等量关系列出方程．
4．解：解方程，求得未知数的值．
5．答：检验未知数的值是否正确，是否符合题意，完整地写出答句．
5．二元一次方程组的应用
（一）列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤：
（1）审题：找出问题中的已知条件和未知量及它们之间的关系．
（2）设元：找出题中的两个关键的未知量，并用字母表示出来．
（3）列方程组：挖掘题目中的关系，找出两个等量关系，列出方程组．
（4）求解．
（5）检验作答：检验所求解是否符合实际意义，并作答．
（二）设元的方法：直接设元与间接设元．
当问题较复杂时，有时设与要求的未知量相关的另一些量为未知数，即为间接设元．无论怎样设元，设几个未知数，就要列几个方程．
6．根的判别式
利用一元二次方程根的判别式（△＝b2﹣4ac）判断方程的根的情况．
一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：
①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；
②当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根；
③当△＜0时，方程无实数根．
上面的结论反过来也成立．
7．一元二次方程的应用
1、列方程解决实际问题的一般步骤是：审清题意设未知数，列出方程，解所列方程求所列方程的解，检验和作答．
2、列一元二次方程解应用题中常见问题：
（1）数字问题：个位数为a，十位数是b，则这个两位数表示为10b+a．
（2）增长率问题：增长率＝增长数量/原数量×100%．如：若原数是a，每次增长的百分率为x，则第一次增长后为a（1+x）；第二次增长后为a（1+x）2，即 原数×（1+增长百分率）2＝后来数．
（3）形积问题：①利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的边长．②利用三角形、矩形、菱形、梯形和圆的面积，以及柱体体积公式建立等量关系列一元二次方程．③利用相似三角形的对应比例关系，列比例式，通过两内项之积等于两外项之积，得到一元二次方程．
（4）运动点问题：物体运动将会沿着一条路线或形成一条痕迹，运行的路线与其他条件会构成直角三角形，可运用直角三角形的性质列方程求解．
【规律方法】列一元二次方程解应用题的“六字诀”
1．审：理解题意，明确未知量、已知量以及它们之间的数量关系．
2．设：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数．
3．列：根据题中的等量关系，用含所设未知数的代数式表示其他未知量，从而列出方程．
4．解：准确求出方程的解．
5．验：检验所求出的根是否符合所列方程和实际问题．
6．答：写出答案．
8．分式方程的定义
分式方程的定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程．
判断一个方程是否为分式方程主要是看这个方程的分母中是否含有未知数．
9．分式方程的解
求出使分式方程中令等号左右两边相等且分母不等于0的未知数的值，这个值叫方程的解．
注意：在解方程的过程中因为在把分式方程化为整式方程的过程中，扩大了未知数的取值范围，可能产生增根，增根是令分母等于0的值，不是原分式方程的解．
10．解分式方程
（1）解分式方程的步骤：①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论．
（2）解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中的分母为0，所以应如下检验：
①将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解．
②将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值为0，则整式方程的解不是原分式方程的解．
所以解分式方程时，一定要检验．
11．一元一次不等式组的应用
对具有多种不等关系的问题，考虑列一元一次不等式组，并求解．
一元一次不等式组的应用主要是列一元一次不等式组解应用题，其一般步骤：
（1）分析题意，找出不等关系；
（2）设未知数，列出不等式组；
（3）解不等式组；
（4）从不等式组解集中找出符合题意的答案；
（5）作答．
12．一次函数的应用
1、分段函数问题
分段函数是在不同区间有不同对应方式的函数，要特别注意自变量取值范围的划分，既要科学合理，又要符合实际．
2、函数的多变量问题
解决含有多变量问题时，可以分析这些变量的关系，选取其中一个变量作为自变量，然后根据问题的条件寻求可以反映实际问题的函数．
3、概括整合
（1）简单的一次函数问题：①建立函数模型的方法；②分段函数思想的应用．
（2）理清题意是采用分段函数解决问题的关键．
13．二次函数的应用
（1）利用二次函数解决利润问题
在商品经营活动中，经常会遇到求最大利润，最大销量等问题．解此类题的关键是通过题意，确定出二次函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量x的取值要使实际问题有意义，因此在求二次函数的最值时，一定要注意自变量x的取值范围．
（2）几何图形中的最值问题
几何图形中的二次函数问题常见的有：几何图形中面积的最值，用料的最佳方案以及动态几何中的最值的讨论．
（3）构建二次函数模型解决实际问题
利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地把这些实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式可解决一些测量问题或其他问题．
14．平行四边形的判定与性质
平行四边形的判定与性质的作用
平行四边形对应边相等，对应角相等，对角线互相平分及它的判定，是我们证明直线的平行、线段相等、角相等的重要方法，若要证明两直线平行和两线段相等、两角相等，可考虑将要证的直线、线段、角、分别置于一个四边形的对边或对角的位置上，通过证明四边形是平行四边形达到上述目的．
运用定义，也可以判定某个图形是平行四边形，这是常用的方法，不要忘记平行四边形的定义，有时用定义判定比用其他判定定理还简单．
凡是可以用平行四边形知识证明的问题，不要再回到用三角形全等证明，应直接运用平行四边形的性质和判定去解决问题．
15．矩形的性质
（1）矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形．
（2）矩形的性质
①平行四边形的性质矩形都具有；
②角：矩形的四个角都是直角；
③边：邻边垂直；
④对角线：矩形的对角线相等；
⑤矩形是轴对称图形，又是中心对称图形．它有2条对称轴，分别是每组对边中点连线所在的直线；对称中心是两条对角线的交点．
（3）由矩形的性质，可以得到直角三角形的一个重要性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
16．梯形
（1）梯形的定义：一组对边平行，另一组对边不平行的四边形叫做梯形．
梯形中平行的两边叫梯形的底，其中较短的底叫上底，不平行的两边叫梯形的腰，两底的距离叫梯形的高．
（2）等腰梯形：两腰相等的梯形叫做等腰梯形．
（3）直角梯形：有一个角是直角的梯形叫做直角梯形．