2022年中考数学复习之挑战压轴题（解答题）：一次函数（含答案）

这是一份2022年中考数学复习之挑战压轴题（解答题）：一次函数（含答案），共49页。试卷主要包含了，连接PA、PB，与x轴交于点C，已知等内容，欢迎下载使用。

2022年中考数学复习之挑战压轴题（解答题）：一次函数
一．解答题（共10小题）
1．（2021秋•开江县期末）如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝kx+1交y轴于点A，交x轴于点B（4，0），过点E（2，0）的直线l2平行于y轴，交直线l1于点D，点P是直线l2上一动点（异于点D），连接PA、PB．
（1）求直线l1的解析式；
（2）设P（2，m），求△ABP的面积S的表达式（用含m的代数式表示）；
（3）当△ABP的面积为3时，则以点B为直角顶点作等腰直角△BPC，请直接写出点C的坐标．

2．（2021秋•泰兴市期末）如图，在平面直角坐标系中，直线l：y＝x+b（b＜0）与x轴交于点C．点D为直线l上第一象限内一点，过D作DE⊥y轴于点E，CA⊥DE于点A．点B在线段DA上，DB＝AC．连接CB，P为线段CB上一动点，过点P作PR⊥x轴，分别交x轴、CD、DE于点R、Q、S．
（1）若点D坐标为（12，3）．
①求直线BC的函数关系式；
②若Q为RS中点，求点P坐标．
（2）在点P运动的过程中，的值是否变化？若不变，求出该值；若变化，请说明理由．

3．（2021秋•宜兴市期末）已知：如图，一次函数y＝x﹣3的图象分别与x轴、y轴相交于点A、B，且与经过x轴负半轴上的点C的一次函数y＝kx+b的图象相交于点D，直线CD与y轴相交于点E，E与B关于x轴对称，OA＝3OC．
（1）直线CD的函数表达式为 ；点D的坐标 ；（直接写出结果）
（2）点P为线段DE上的一个动点，连接BP．
①若直线BP将△ACD的面积分为7：9两部分，试求点P的坐标；
②点P是否存在某个位置，将△BPD沿着直线BP翻折，使得点D恰好落在直线AB上方的坐标轴上？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．

4．（2021秋•宁波期末）如图，在平面直角坐标系中，直线分别与x轴，y轴交于A，B两点，把线段AB绕点B顺时针旋转90°后得到线段BC，连结AC，OC．
（1）当时，求点C的坐标；
（2）当m值发生变化时，△BOC的面积是否保持不变？若不变，计算其大小；若变化，请说明理由；
（3）当S△AOB＝2S△BOC时，在x轴上找一点P，使得△PAB是等腰三角形，求满足条件的所有P点的坐标．


5．（2021秋•沙坪坝区校级期末）如图，在平面直角坐标系中l1：y＝﹣x﹣，l2：y＝kx+b（k≠0），直线l1交y轴于点C，直线l2交x轴于点A（﹣2，0），交y轴于点B（0，2），点D为直线l2上第一象限内的一点，且到y轴的距离为，连接OD．
（1）如图1，求直线l2的解析式；
（2）如图2，E（3，0），P为直线l1上第四象限的一动点，连接PD、PO，当S△POD＝时，线段CP在直线l1上移动，记平移后的线段为C'P'，求△EC'P'周长取得最小值时点C'的坐标；
（3）如图3，将△OBD绕点D逆时针旋转，旋转角度为α（0°＜α≤180°），旋转中的三角形记为△DB'O'，在旋转过程中，边DB'，DO'所在直线分别交l1于点M、N，在旋转过程中是否存在△DMN为等腰三角形，若存在，请直接写出点B'的坐标，若不存在，请说明理由．

6．（2021秋•姜堰区期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，A（0，3）、B（﹣4，0），连接AB，点C为线段AB上的一个动点（点C不与A、B重合），过点C作CP⊥x轴，垂足为P，将线段AP绕点A逆时针旋转至AQ，且∠PAQ＝∠BAO．连接OQ，设点C的横坐标为m．

（1）求经过点A、B的直线的函数表达式；
（2）当m为何值时，△ACP≌△AOQ；
（3）点C在运动的过程中，
①在y轴上是否存在一点D，使得∠ADQ的大小始终不发生变化？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由；
②连接OQ，请直接写出OQ长度的取值范围．
7．（2021秋•沙坪坝区校级期末）如图，在平面直角坐标系中，A（﹣1，0），B（0，3），直线y＝﹣x+1与x轴交于点C，与直线AB交于点D．
（1）求直线AB的解析式及点D的坐标；
（2）如图2，H是直线AB上位于第一象限内的一点，连接HC，当S△HCD＝时，点M、N为y轴上两动点，点M在点N的上方，且MN＝1，连接HM、NC，求HM+MN+NC的最小值；
（3）将△OAB绕平面内某点E旋转90°，旋转后的三角形记为△O′A′B′，若点O′落在直线AB上，点A′落在直线CD上，请直接写出满足条件的点O′的坐标以及对应的点E的坐标．


8．（2021秋•皇姑区校级期中）已知A（0，6），点D在点A的上方，点C（10，0），点B在线段OC上运动，且CD∥AB．
（1）如图1，若∠OCD＝30°，求直线AB的解析式，并直接写出四边形ABCD的面积．
（2）如图2，在（1）的条件下，点E和点F都在线段CD上运动，且满足CF：DE＝2：3，直接写出当△AEF的面积为2时，点E的坐标．
（3）如图3，点E在线段CD上运动，点F在线段CE上运动，且满足CF：DE＝2：3，点P和点Q分别是线段AB和线段EF上的动点，当点P从点A匀速运动到点B时，点Q恰好从点F匀速运动到点E．设QE＝m，PA＝n，已知n＝﹣m+12，直接写出直线PQ经过点O时，直线PQ的解析式．

9．（2021秋•福田区校级期中）如图1，直线y＝x﹣5与x轴、y轴分别交于B、C两点，点A为y轴正半轴上一点，且S△ABC＝75．
（1）请直接写出点B、C的坐标及直线AB的解析式： 、 、 ；
（2）如图2，点P为线段OB上一点，若∠BCP＝45°，请写出点P的坐标： ，并简要写出解答过程；
（3）如图3，点D是AB的中点，M是OA上一点，连接DM，过点D作DN⊥DM交OB于点N，连接BM，若∠OBM＝2∠ADM，请写出点M的坐标，并简要写出解答过程．


10．（2021秋•瓦房店市月考）平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣x+3与x、y轴交于A、B两点，与正比例函数y＝kx的图象交于点F，CE∥x轴，点C坐标为（0，m）（0＜m＜3），以BC、BE为邻边作平行四边形BCDE，当点D在OF上时，m＝2．
（1）求直线OF的函数解析式；
（2）设平行四边形BCDE与△BOF重叠部分面积为S，求S与m的关系式，并直接写出自变量m的取值范围．


2022年中考数学复习之挑战压轴题（解答题）：一次函数（10题）
参考答案与试题解析
一．解答题（共10小题）
1．（2021秋•开江县期末）如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝kx+1交y轴于点A，交x轴于点B（4，0），过点E（2，0）的直线l2平行于y轴，交直线l1于点D，点P是直线l2上一动点（异于点D），连接PA、PB．
（1）求直线l1的解析式；
（2）设P（2，m），求△ABP的面积S的表达式（用含m的代数式表示）；
（3）当△ABP的面积为3时，则以点B为直角顶点作等腰直角△BPC，请直接写出点C的坐标．

【考点】一次函数综合题．
【专题】压轴题；运算能力；推理能力．
【分析】（1）将B（4，0）代入y＝kx+1得到y＝﹣x+1；
（2）由两直线交点的求法得到点D的坐标；易得线段PD的长度，所以根据三角形的面积公式即可得到结论；
（3）根据三角形的面积公式列方程求得m＝2，于是得到点P（2，2），推出∠EPB＝∠EBP＝45°．
第1种情况，如图2，过点C作CF⊥x轴于点F根据全等三角形的性质得到BF＝CF＝PE＝EB＝2，于是得到C（6，2）；
第2种情况，如图3根据全等三角形的性质得到PC＝CB＝PE＝EB＝2，于是得到C（2，﹣2）；
第3种情况，当点P在点D下方时，得到（3，2）或（5，﹣2）．
【解答】解：（1）∵直线l1：y＝kx+1交x轴于点B（4，0），
∴0＝4k+1．
∴k＝﹣．
∴直线l1：y＝﹣x+1；

（2）由得：．
∴D（2，）．
∵P（2，m），
∴PD＝|m﹣|．
∴S＝×|4﹣0|•PD＝×|m﹣|×4＝|2m﹣1|．
当m时，S＝2m﹣1；
当m＜时，S＝1﹣2m；

（3）当S△ABP＝3时，2m﹣1＝3，
解得m＝2，
∴点P（2，2），
∵E（2，0），
∴PE＝BE＝2，
∴∠EPB＝∠EBP＝45°，
如图2，∠PBC＝90°，BP＝BC，
过点C作CF⊥x轴于点F，
∵∠PBC＝90°，∠EBP＝45°，
∴∠CBF＝∠PBE＝45°，
在△CBF与△PBE中，
，
∴△CBF≌△PBE（AAS）．
∴BF＝CF＝PE＝EB＝2．
∴OF＝OB+BF＝4+2＝6．
∴C（6，2）；
如图3，△PBC是等腰直角三角形，
∴PE＝CE，
∴C（2，﹣2），
∴以点B为直角顶点作等腰直角△BPC，点C的坐标是（6，2）或（2，﹣2）．
当1﹣2m＝3时，n＝﹣1，可得P（2，﹣1），
同法可得C（3，2）或（5，﹣2）．
综上所述，满足条件的点C坐标为（6，2）或（2，﹣2）或（3，2）或（5，﹣2）．


【点评】本题属于一次函数综合题，主要考查了待定系数法确定一次函数解析式，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，坐标与图形的性质，正确的作出图形是解题的关键．
2．（2021秋•泰兴市期末）如图，在平面直角坐标系中，直线l：y＝x+b（b＜0）与x轴交于点C．点D为直线l上第一象限内一点，过D作DE⊥y轴于点E，CA⊥DE于点A．点B在线段DA上，DB＝AC．连接CB，P为线段CB上一动点，过点P作PR⊥x轴，分别交x轴、CD、DE于点R、Q、S．
（1）若点D坐标为（12，3）．
①求直线BC的函数关系式；
②若Q为RS中点，求点P坐标．
（2）在点P运动的过程中，的值是否变化？若不变，求出该值；若变化，请说明理由．

【考点】一次函数综合题．
【专题】代数几何综合题；几何直观．
【分析】（1）①求出，B，C两点坐标，利用待定系数法解决问题即可；
②设P（m，m﹣），则R（m，0），Q（m，m﹣1），S（m，3），根据QS＝QR，构建方程求出m即可解决问题；
（2）结论：＝．如图，过点D作DT⊥x轴于点T．设D（m，m+b），用m，b表示出直线BC的解析式y＝x+b，设P（t，t+b），则R（t，0），Q（t，t+b），用t，b表示出PQ，CR的长，可得结论．
【解答】解：（1）①∵点D（12，3）在直线y＝x+b上，
∴3＝×12+b，
∴b＝﹣1，
∴直线l的解析式为y＝x﹣1，
∴C（3，0），
∵DE⊥y轴，
∴OE＝3，
∵CA⊥OC，
∴AC＝OE＝3，
∴DB＝AC＝3，
∴B（9，3），
设直线BC的解析式为y＝kx+b，则有，
解得，，
∴直线BC的解析式为y＝x﹣；

②设P（m，m﹣），则R（m，0），Q（m，m﹣1），S（m，3），
∵QS＝QR，
∴3﹣（m﹣1）＝m﹣1，
∴m＝，
∴P（，）；

（2）结论：＝．
理由：如图，过点D作DT⊥x轴于点T．设D（m，m+b），
∵C（﹣3b，0），
∴OC＝3b，OT＝m，DT＝m+b，
∴CT＝OT﹣OC＝m+3b，
∴AC＝DT＝BD＝m+b，
∴B（m﹣b，m+b），
∴直线BC的解析式为y＝x+b，
设P（t，t+b），则R（t，0），Q（t，t+b），
∴PQ＝t+b﹣（t+b）＝t+b，CR＝t﹣（﹣3b）＝t+3b，
∴＝＝．

【点评】本题属于一次函数综合题，考查了一次函数的性质，待定系数法等知识，解题的关键是学会利用参数，构建方程解决问题，属于中考常考题型．
3．（2021秋•宜兴市期末）已知：如图，一次函数y＝x﹣3的图象分别与x轴、y轴相交于点A、B，且与经过x轴负半轴上的点C的一次函数y＝kx+b的图象相交于点D，直线CD与y轴相交于点E，E与B关于x轴对称，OA＝3OC．
（1）直线CD的函数表达式为 y＝x+3 ；点D的坐标 （﹣4，﹣6） ；（直接写出结果）
（2）点P为线段DE上的一个动点，连接BP．
①若直线BP将△ACD的面积分为7：9两部分，试求点P的坐标；
②点P是否存在某个位置，将△BPD沿着直线BP翻折，使得点D恰好落在直线AB上方的坐标轴上？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．

【考点】一次函数综合题．
【专题】一次函数及其应用．
【分析】（1）先求出点A和点B的坐标，根据题意，得出点C和点E的坐标，用待定系数法可求出直线CD的解析式，联立直线CD和直线AB的解析式可求出点D的坐标；
（2）①过点D向x轴作DF⊥x轴于点F，先求出△ACD的面积，直线BP将△ACD的面积分为7：9两部分，需要分两种情况：当点P在线段CD上时，则有S△BDP＝S△ACD，表达△BDP的面积，建立方程求解即可；当点P在线段CE上时，设直线BP与x轴交于点Q，则S△ABQ＝S△ACD，表达△ABQ的面积，建立方程求解即可；
②将△BPD沿着直线BP翻折，使得点D恰好落在直线AB上方的坐标轴上时，需要分三种情况：当点D落在x轴负半轴上；当点D落在y轴上；当点D落在x轴正半轴上，画出图形，求解即可．
【解答】解：（1）∵一次函数y＝x﹣3的图象分别与x轴、y轴相交于点A、B，
∴A（4，0），B（0，﹣3），
∴OA＝4，
∵E与B关于x轴对称，OA＝3OC．
∴E（0，3），OC＝，
∴C（﹣，0）．
把点C和点E的坐标代入一次函数y＝kx+b，
∴，解得，
∴直线CD的解析式为：y＝x+3；
令x+3＝x﹣3，解得x＝﹣4，
∴y＝×（﹣4）﹣3＝﹣6，
∴点D的坐标为（﹣4，﹣6）．
故答案为：y＝x+3；（﹣4，﹣6）；
（2）①如图1，过点D作DF⊥x轴于点F，连接BC，

∴DF＝6，
∵OA＝4，OC＝，
∴AC＝，
∴S△ACD＝•AC•DF＝××6＝16．
∵A（4，0），B（0，﹣3），D（﹣4，﹣6），
∴点B是线段AD的中点，
∴S△DBC＝S△ACB．
当点P在线段CD上时，则有S△BDP＝S△ACD，
∵S△BDP＝（xP﹣xD）•BE，
∴（xP+4）•6＝×16，解得xP＝﹣，
∴P（﹣，﹣）．
当点P在线段CE上时，设直线BP与x轴交于点Q，如图2，此时有S△ABQ＝S△ACD，

∵S△ABQ＝•AQ•BO，
∴AQ•3＝7，解得AQ＝，
∴OQ＝﹣3＝，
∴Q（﹣，0）．
∴直线BQ的解析式为：y＝﹣x﹣3，
令x+3＝﹣x﹣3，解得x＝﹣，
∴P（﹣，1）．
综上所述，若直线BP将△ACD的面积分为7：9两部分，点P的坐标为（﹣，﹣）；（﹣，1）．
②存在，理由如下：
将△BPD沿着直线BP翻折，使得点D恰好落在直线AB上方的坐标轴上时，需要分三种情况：
当点D落在x轴负半轴上D1处，如图3，

由折叠可知，∠DBP＝∠D1BP，BD＝BD1，
由题意可知，OB＝3，OA＝4，则AB＝5，
∴BD＝AB＝5，
∴BD1＝5，
∴OD1＝4，
∴△ABO≌△D1BO（SSS），
∴∠OAB＝∠OD1B，
∵∠DBD1＝∠OAB+∠OD1B，
∴∠OD1B＝∠D1BP，
∴BP∥x轴，
∴点P的纵坐标为﹣3，
∴P（﹣，﹣3）．
当点D落在y轴上D2处，如图4，过点P作PG⊥AD于点G，作PH⊥y轴于点H，过点D作DM⊥y轴于点M，

由折叠可知，BP平分∠DBD2，
∴PG＝PH，
∵S△BDP＝S△BEP+S△BDE，
∴•BE•DM＝•BD•PG+•BE•PH，即×6×4＝×5•PG+×6•PH，
解得PG＝PH＝；
∴P（﹣，﹣）．
当点D落在x轴正半轴上D3处，如图5，此时点A和点D3重合，不符合题意，舍去．

综上所述，存在点P，将△BPD沿着直线BP翻折，使得点D恰好落在直线AB上方的坐标轴上，此时点P的坐标为：（﹣，﹣3）或（﹣，﹣）．
【点评】本题属于一次函数综合题，涉及待定系数法求函数解析式，一次函数的交点问题，三角形的面积，折叠的性质等内容，分类讨论思想等数学思想，做题关键是根据题意进行正确的分类讨论并作出图形．
4．（2021秋•宁波期末）如图，在平面直角坐标系中，直线分别与x轴，y轴交于A，B两点，把线段AB绕点B顺时针旋转90°后得到线段BC，连结AC，OC．
（1）当时，求点C的坐标；
（2）当m值发生变化时，△BOC的面积是否保持不变？若不变，计算其大小；若变化，请说明理由；
（3）当S△AOB＝2S△BOC时，在x轴上找一点P，使得△PAB是等腰三角形，求满足条件的所有P点的坐标．


【考点】一次函数综合题．
【专题】一次函数及其应用；图形的全等；等腰三角形与直角三角形；平移、旋转与对称；运算能力；推理能力．
【分析】（1）证明△AOB≌△BDC，求得CD和BD的长，从而得出点C坐标；
（2）由（1）得，CD＝OB＝4，可求得三角形BCO的面积不变；
（3）由条件求得OA，AB的长，△PAB是等腰三角形，分为三种情形：PA＝PB，PA＝AB，PB＝AB，当PA＝PB时，设点P坐标，根据PA2＝PB2列出方程求得，当PA＝AB时，可根据长度直接求得，当PB＝AB时，根据等腰三角形“三线合一”求得结果．
【解答】解：（1）如图1，

当m＝时，y＝﹣，
当x＝0时，y＝4，
∴OB＝4，
当y＝时，﹣，
∴x＝5，
∴OA＝5，
作CD⊥OB于D，
∴∠BDC＝∠AOB＝90°，
∴∠ABO+∠OAB＝90°，
∵∠ABC＝90°，
∴∠ABO+∠CBD＝90°，
∴∠OAB＝∠CBD，
在△AOB和△BDC中，
，
∴△AOB≌△BDC（AAS），
∴CD＝OB＝4，BD＝OA＝5，
∴OD＝BD﹣OB＝5﹣4＝1，
∴C（﹣4，﹣1）；
（2）△BOC的面积不变，理由如下：
由（1）知：CD＝4，OB＝4，
∴＝8；
（3）∵S△BOC＝8，
∴S△AOB＝2S△BOC＝16，
∴，
∴OB＝8，
∵∠AOB＝90°，
∴AB＝＝＝4，
当PA＝AB＝4时，
OP＝PA﹣OA＝4﹣8或OP＝PA+OA＝4+8，
∴P（8﹣4，0）或（4+8），
如图2，

当PB＝AB时，
∵OB⊥AP，
∴OP＝OA＝8，
∴点P（﹣8，0）；
如图3，

当PA＝PB时，
（8﹣OP）2＝OP2+42，
∴OP＝3，
∴P（3，0），
综上所述：点P（8﹣4，0）或（4+8）或（﹣8，0）或（3，0）．
【点评】本题是以一次函数为背景的综合题，考查了由函数及其图象求点的坐标，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和分类等知识，解决问题的关键是正确分类，利用好等腰三角形性质及列方程求解．
5．（2021秋•沙坪坝区校级期末）如图，在平面直角坐标系中l1：y＝﹣x﹣，l2：y＝kx+b（k≠0），直线l1交y轴于点C，直线l2交x轴于点A（﹣2，0），交y轴于点B（0，2），点D为直线l2上第一象限内的一点，且到y轴的距离为，连接OD．
（1）如图1，求直线l2的解析式；
（2）如图2，E（3，0），P为直线l1上第四象限的一动点，连接PD、PO，当S△POD＝时，线段CP在直线l1上移动，记平移后的线段为C'P'，求△EC'P'周长取得最小值时点C'的坐标；
（3）如图3，将△OBD绕点D逆时针旋转，旋转角度为α（0°＜α≤180°），旋转中的三角形记为△DB'O'，在旋转过程中，边DB'，DO'所在直线分别交l1于点M、N，在旋转过程中是否存在△DMN为等腰三角形，若存在，请直接写出点B'的坐标，若不存在，请说明理由．

【考点】一次函数综合题．
【专题】一次函数及其应用；等腰三角形与直角三角形；平移、旋转与对称；运算能力；推理能力．
【分析】（1）设直线l2的解析式是：y＝kx+b，将A、B两点坐标代入求得结果；
（2）作PH⊥OB于H，DG⊥OB于G，设P（x，﹣），由S梯形PHGD﹣S△ODG﹣S△POH＝S△POD，得出方程，求得x的值，进而求得CP的长，作EF∥l1，作点C′关于EF的对称点Q，连接QP′，QP′过点E时，△EC′P′的周长最小，进一步求得结果；
（3）可求得△BOD是等腰三角形，∠BDO＝∠BOD＝30°，当∠MDN＝∠MND＝30°时，△DMN是等腰三角形，此时点B′在OD时，可得OD＝2，B′D＝BD＝2，
OB′＝2，作B′E⊥OA于E，通过解直角三角形EOB′求得结果．
【解答】解：（1）设直线l2的解析式是：y＝kx+b，
∴，
∴，
∴y＝；
（2）当x＝时，y＝＝3，
∴D（，3），
（2）如图1，

作PH⊥OB于H，DG⊥OB于G，
设P（x，﹣），
∴PH＝x，OH＝，
∵D（，3），
∴DG＝，OG＝3，
∵S梯形PHGD﹣S△ODG﹣S△POH＝S△POD，
∴﹣﹣＝，
∴x＝1，
∴P（1，﹣2），
当x＝0时，y＝﹣＝﹣，
∴C（0，﹣），
∴PC＝2，
如图2，

作EF∥l1，作点C′关于EF的对称点Q，连接QP′，
当QP′过点E时，△EC′P′的周长最小，
当y＝0时，﹣x﹣＝0，
∴x＝﹣1，
∴OG＝1，
∵OC＝，
∴CG＝＝2，
∴可得∠CGE＝60°，
∵GE＝4，
∴可得EC⊥CG，
∵∠QC′P′＝90°，点E是QP′的中点，
∴EC′＝EP′，
∴CC′＝＝1，
∴点C′是CG的中点，
∴C′（﹣，﹣）；
（3）如图3，

可求得△BOD是等腰三角形，∠BDO＝∠BOD＝30°，
∴当∠MDN＝∠MND＝30°时，△DMN是等腰三角形，
此时点B′在OD时，可得OD＝2，B′D＝BD＝2，
∴OB′＝2，
作B′E⊥OA于E，
可得OE＝OB′＝，B′E＝＝3﹣，
∴B′（，3）．
【点评】本题考查了用待定系数法求一次函数解析式，轴对称作图和性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是作辅助线，作点关于某直线的对称点以及注意题目中的特殊角使用．
6．（2021秋•姜堰区期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，A（0，3）、B（﹣4，0），连接AB，点C为线段AB上的一个动点（点C不与A、B重合），过点C作CP⊥x轴，垂足为P，将线段AP绕点A逆时针旋转至AQ，且∠PAQ＝∠BAO．连接OQ，设点C的横坐标为m．

（1）求经过点A、B的直线的函数表达式；
（2）当m为何值时，△ACP≌△AOQ；
（3）点C在运动的过程中，
①在y轴上是否存在一点D，使得∠ADQ的大小始终不发生变化？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由；
②连接OQ，请直接写出OQ长度的取值范围．
【考点】一次函数综合题．
【专题】一次函数及其应用；图形的全等；等腰三角形与直角三角形；运算能力；推理能力．
【分析】（1）设AB的函数表达式是：y＝kx+b，将点A、B两点坐标代入，进而求得结果；
（2）可得AC＝OA＝3时，△ACP≌AOQ，表示出点C的坐标，根据AC＝3列出方程求得结果；
（3）①当AD＝AB时，△BAP≌△DAQ，此时AD＝AB＝5，求得D（﹣2，0），从而∠ADQ＝∠ABC，故∠ADQ不变；
②因为点Q在①中的直线上运动，故当OQ⊥DV时，值最小，当点P运动到点O时，OQ最大＝AC，进而求得AC，从而确定结果．
【解答】解：（1）设直线AB的表达式是：y＝kx+b，
∴，
∴，
∴y＝；
（2）∵∠BAO＝∠PAQ，
∴∠BAO﹣∠PAO＝∠PAQ﹣∠PAO，
即：∠BAP＝∠QAO，
∵AP＝AQ，
∴当AC＝AO＝3时，△ACP≌△AOQ（SAS），
∵C（m，），
∴m2+（）2＝32，
∴m＝﹣；
（3）①如图，

存在点D（﹣2，0）使∠ADQ＝∠ABC，理由如下：
∵D（﹣2，0），A（0，3），
∴AD＝5，
∵∠AOB＝90°，OA＝3，OB＝4，
∴AB＝5，
∴AD＝AB，
由（2）得：∠BAP＝∠DAQ，AP＝AQ，
∴△BAP≌△DAQ（SAS），
∴∠ADQ＝∠ABC，
∴∠ADQ不变；
②如图2，

由①知：点Q在直线DV上运动，作OE⊥DV于E，AF⊥DV于F，
当Q点运动到E点时，OQ最小，当运动到F点，OQ最大，
可得AF＝OA＝OC＝3，而C（﹣，），
∴OF＝OC＝＝，
此时，点P在点O处，点C在点A，
可得OE＝，
∴≤OQ＜．
【点评】本题考查了求一次函数关系式，全等三角形的判定和性质，直角三角形的勾股定理运用等知识，解决问题的关键是根据旋转不变性构造全等三角形．
7．（2021秋•沙坪坝区校级期末）如图，在平面直角坐标系中，A（﹣1，0），B（0，3），直线y＝﹣x+1与x轴交于点C，与直线AB交于点D．
（1）求直线AB的解析式及点D的坐标；
（2）如图2，H是直线AB上位于第一象限内的一点，连接HC，当S△HCD＝时，点M、N为y轴上两动点，点M在点N的上方，且MN＝1，连接HM、NC，求HM+MN+NC的最小值；
（3）将△OAB绕平面内某点E旋转90°，旋转后的三角形记为△O′A′B′，若点O′落在直线AB上，点A′落在直线CD上，请直接写出满足条件的点O′的坐标以及对应的点E的坐标．


【考点】一次函数综合题．
【专题】一次函数及其应用；运算能力；应用意识．
【分析】（1）用待定系数法求函数解析式，再将两个一次函数的解析式联立方程组即可求交点D的坐标；
（2）判断△HCD是直角三角形，利用△HCD的面积求出HD的长，再由两点间距离公式求出H点的坐标，作H点关于y轴的对称点H'，过点C作CG⊥x轴，且CG＝1，连接H'G交y轴于点M，当H'、M'、G三点共线时，HM+MN+NC的值最小，求出H'G的长即可求解；
（3）分两种情况，△AOB逆时针旋转90°和顺时针旋转90°分别讨论；根据旋转后O'A'∥y轴，OA＝O'A'＝1，可求O'的坐标，再由△OEO'是等腰直角三角形，再求E点的坐标即可．
【解答】解：（1）设直线AB的解析式为y＝kx+b，
将A（﹣1，0），B（0，3）代入，
∴，
∴，
∴y＝3x+3，
联立方程组，
∴，
∴D（﹣，）；
（2）设H（t，3t+3），
∵OA＝1，OB＝3，
∴tan∠ABO＝，
直线y＝﹣x+1与y轴的交点为（0，1），与x轴的交点C（3，0），
∴tan∠DCA＝，
∴∠DCA＝∠ABO，
∴∠CDB＝90°，
∵CD＝，
∵S△HCD＝＝××DH，
∴DH＝，
∵＝，
∴t＝2或t＝﹣，
∵H是直线AB上位于第一象限内的一点，
∴t＝2，
∴H（2，9），
如图1，作H点关于y轴的对称点H'，过点C作CG⊥x轴，且CG＝1，
∴G（3，1），H'（﹣2，9），
连接H'G交y轴于点M，
∵MN＝1，
∴四边形MNCG是平行四边形，
∴MG＝CN，
由对称性可知，MH＝MH'，
∴HM+MN+NC＝MH'+MN+MG≥1+H'G，
∴当H'、M'、G三点共线时，HM+MN+NC的值最小，
∵H'G＝，
∴HM+MN+NC的最小值为+1；
（3）将△OAB逆时针旋转90°时，如图2，
∵点O′落在直线AB上，点A′落在直线CD上，
设A'（m，3m+3），
∵OA⊥y轴，
∴O'A'⊥x轴，
则O'（m，﹣m+1），
∵OA＝O'A'＝1，
∴﹣m+1﹣3m﹣3＝1，
∴m＝﹣，
∴O'（﹣，），
∵OE＝O'E，OE⊥O'E，
∴△OEO'是等腰直角三角形，
∵O'O＝，
∴OE＝，
过点E作GH⊥x轴，交B'O'于G，交x轴于H，
∵∠HOE+∠HEO＝90°，∠HEO+∠GEO'＝90°，
∴∠EOH＝∠GEO'，
∵EO＝EO'，
∴△HEO≌△GO'E（AAS）
∴HO＝GE，GO'＝EH，
设E（x，y），
∴﹣x+y＝，
∵y＝+x，
∴＝，
∴x＝﹣（舍）或x＝﹣，
∴E（﹣，）；
将△OAB顺时针旋转90°时，如图3，
∵点O′落在直线AB上，点A′落在直线CD上，
设A'（m，3m+3），
∵OA⊥y轴，
∴O'A'⊥x轴，
则O'（m，﹣m+1），
∵OA＝O'A'＝1，
∴3m+3﹣（﹣m+1）＝1，
∴m＝﹣，
∴O'（﹣，），
∵OE＝O'E，OE⊥O'E，
∴△OEO'是等腰直角三角形，
∵O'O＝，
∴OE＝，
过点E作PQ⊥x轴，交B'O'于P，交x轴于Q，
∵∠QOE+∠QEO＝90°，∠QEO+∠O'EP＝90°，
∴∠QOE＝∠PEO'，
∵EO＝EO'，
∴△QEO≌△PO'E（AAS），
∴QO＝PE，PO'＝EQ，
设E（x，y），
∴x+y＝，
∵y＝﹣x，
∴＝，
∴x＝或x＝（舍），
∴E（，）；
综上所述：O'（﹣，），E（﹣，）或O'（﹣，），E（，）．



【点评】本题是一次函数的综合题，熟练掌握一次函数的图象及性质，图形旋转的性质，三角形全等的判定及性质是解题的关键．
8．（2021秋•皇姑区校级期中）已知A（0，6），点D在点A的上方，点C（10，0），点B在线段OC上运动，且CD∥AB．
（1）如图1，若∠OCD＝30°，求直线AB的解析式，并直接写出四边形ABCD的面积．
（2）如图2，在（1）的条件下，点E和点F都在线段CD上运动，且满足CF：DE＝2：3，直接写出当△AEF的面积为2时，点E的坐标．
（3）如图3，点E在线段CD上运动，点F在线段CE上运动，且满足CF：DE＝2：3，点P和点Q分别是线段AB和线段EF上的动点，当点P从点A匀速运动到点B时，点Q恰好从点F匀速运动到点E．设QE＝m，PA＝n，已知n＝﹣m+12，直接写出直线PQ经过点O时，直线PQ的解析式．

【考点】一次函数综合题．
【专题】一次函数及其应用；图形的相似；解直角三角形及其应用；运算能力；推理能力．
【分析】（1）解直角三角形AOB，求出点B坐标，进而求得；
（2）作AG⊥CD，先求出EF的值，进而求得EF，DE，CF的值，解直角△HDE即可；
（3）先根据题意求得EF＝10，进而表示P点和Q点坐标，根据O、P、Q在一条直线上列出比例方程，从而求得m的值，进而求出OP的解析式．
【解答】解：（1）如图1，

∵AB∥CD，
∴∠ABO＝∠OCD＝30°，
∴OB＝＝＝6，
设直线AB的解析式是：y＝kx+b，
∴，
∴k＝﹣，
∴y＝﹣x+6，
作AG⊥CD于G，
∵∠OCD＝30°，OC＝10，
∴OD＝OC•tan∠OCD＝10＝10，
∴AD＝10﹣6＝4，CD＝2OD＝20，
在Rt△ADG中，AD＝4，∠ODC＝90°﹣∠OCD＝30°，
∴AG＝AD•sin60°＝4×＝2，
S四边形ABCD＝＝32；
（2）如图2，

由（1）知：AG
∴EF•2＝2，
∴EF＝2，
当E，F相遇前时，
∴DE＝×（20﹣2）＝，
∴DH＝DE＝，HE＝＝，
∴OH＝OD﹣DH＝10﹣＝，
∴E（，），
当D，E相遇后，
∴DE＝＝，
∴DH＝，HE＝，
∴OH＝10﹣＝，
∴E（，），
综上所述：E（，）或（，）；
（3）如图3，

由题意得，
＝，
∴＝，
∴EF＝，
∵n＝﹣m+12，
∴EF＝＝10，
∴DE＝×10＝6，
∴CQ＝CD﹣DE﹣EQ＝20﹣6﹣m＝14﹣m，
作QM⊥OC于M，
∴QM＝CQ＝7﹣m，CM＝QM＝7﹣m，
∴OM＝10﹣（7﹣m）＝3+m
作PN⊥OC于N，
∵PB＝12﹣n，∠ABO＝30°，
∴PN＝PB＝6﹣＝6﹣（﹣m+12）＝m，
BN＝PN＝m，
∴ON＝6﹣，
∵OP经过Q，
∴＝，
∴＝，
∴m＝，
∴PN＝＝，
ON＝6﹣＝，
设OP的解析式是y＝kx，
∴＝，
∴k＝，
∴y＝x．
【点评】本题考查了解直角三角形，求一次函数解析式，相似三角形的判定和性质，列方程求值等知识，解决问题的关键转化题意，列出方程．
9．（2021秋•福田区校级期中）如图1，直线y＝x﹣5与x轴、y轴分别交于B、C两点，点A为y轴正半轴上一点，且S△ABC＝75．
（1）请直接写出点B、C的坐标及直线AB的解析式： （10，0） 、 （0，﹣5） 、 y＝﹣x+10 ；
（2）如图2，点P为线段OB上一点，若∠BCP＝45°，请写出点P的坐标： （，0） ，并简要写出解答过程；
（3）如图3，点D是AB的中点，M是OA上一点，连接DM，过点D作DN⊥DM交OB于点N，连接BM，若∠OBM＝2∠ADM，请写出点M的坐标，并简要写出解答过程．


【考点】一次函数综合题．
【专题】一次函数及其应用；图形的全等；等腰三角形与直角三角形；图形的相似；运算能力；推理能力；模型思想．
【分析】（1）令y＝0，x＝0，求得B、C两点坐标，设直线AB的解析式是y＝kx+b，将A、B两点坐标代入即可；
（2）作∠CPQ＝90°，交CB于Q，作QD⊥OB于D，由△POC≌△QDP得PD＝OC＝5，QD＝OP，再根据△BDQ∽△BOC求得P点坐标；
（3）连接OD，MN，在射线OB上截取EO＝ON，可推得△ADM≌△ODN，从而AM＝ON＝OE，根据∠EMN＝2∠MNO＝2∠ODN＝2∠ADM，从而得出∠EMN＝∠OBM，从而推出BM＝BE，进而列出方程，求得M点坐标．
【解答】解：（1）当y＝0时，
，
∴x＝10，
∴B（10，0），
当x＝0时，y＝﹣5，
∴C（0，﹣5），
∵，
∴＝75，
∴AC＝15，
∴OA＝AC﹣OC＝10，
∴A（0，10），
设直线AB的解析式是：y＝kx+b，
∴，
∴，
∴y＝﹣x+10，
故答案是（10，0），（0．﹣5），y＝﹣x+10；
（2）如图2，

作BD⊥CP于D，作DE⊥OC于E，作BF⊥DE于F，
∴∠CED＝∠BFD＝∠CDB＝90°，
∴∠ECD+∠EDC＝90°，∠EDC+∠PDF＝90°，
∴∠ECD＝∠BDF
∵∠BCP＝45°，
∴∠CBD＝90°﹣∠BCP＝45°，
∴∠CBD＝∠BCP，
∴CD＝BD，
∴△CED≌△DFB（AAS），
∴BF＝DE，DF＝CE，
∵OE＝BF，
∴OE＝DE
∴DF＝CE＝OC+OE＝5+DE，
∵EF＝OB＝10，
∴DE+DF＝10，
∴DE+（5+DE）＝10，
∴OE＝DE＝，
∴D（，），
∵D（0，﹣5），
∴直线CD的解析式是：y＝3x﹣5，
∴当y＝0时，3x﹣5＝0，
∴x＝，
∴P（，0），
故答案是（，0）；
（3）如图3，

连接OD，MN，在射线OB上截取EO＝ON，
∵MO⊥OB，
∴∠ME＝MN，
∴∠EMN＝2∠OMN，∠MEN＝∠MNE，
∵DN⊥DM，
∴∠MDN＝∠MON＝90°，
∴点M、O、N、D共圆，
∴∠OMN＝∠ODN，
在Rt△AOB中，OA＝OB，点D是AB的中点，
∴∠OAD＝∠DON＝45°，
OD＝AD，
∠ADO＝90°，
∵∠MDN＝90°，
∴∠ADO﹣∠MDO＝∠MDN﹣∠MDO，
∴∠ODN＝∠ADM，
∴△ADM≌△ODN（ASA），
∴AM＝ON，
∵∠OBM＝2∠ADM，
∴∠OBM＝∠EMN，
∴∠BEM＝∠BME，
∴BM＝BE，
设OM＝m，
∴OE＝ON＝AM＝10﹣m，
∴BE＝OE+OB
＝10﹣m+10
＝20﹣m，
在Rt△BOM中，
BM2＝OB2+OM2
＝100+m2，
∴100+m2＝（20﹣m）2，
∴m＝，
∴M（0，）．
【点评】本题考查了一次函数及其图象性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是熟悉“一线三等角”模型及作辅助线构造全等三角形和等腰三角形．
10．（2021秋•瓦房店市月考）平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣x+3与x、y轴交于A、B两点，与正比例函数y＝kx的图象交于点F，CE∥x轴，点C坐标为（0，m）（0＜m＜3），以BC、BE为邻边作平行四边形BCDE，当点D在OF上时，m＝2．
（1）求直线OF的函数解析式；
（2）设平行四边形BCDE与△BOF重叠部分面积为S，求S与m的关系式，并直接写出自变量m的取值范围．

【考点】一次函数综合题．
【专题】数形结合；分类讨论；待定系数法；一次函数及其应用；运算能力；应用意识．
【分析】（1）由y＝﹣x+3得B（0，3），当m＝2时，C（0，2），E（，2），根据四边形BCDE是平行四边形，可得D（，1），由待定系数法即可求出直线OF的函数解析式；
（2）由y＝﹣x+3得E（4﹣m，m），根据四边形BCDE是平行四边形，可得D（4﹣m，2m﹣3），①当2≤m＜3时，S＝2S△BCE＝2×BC•CE＝BC•CE＝m2﹣8m+12，②由得F（2，），当≤m＜2时，设ED交OF于H，CD交OF于G，过G作GM⊥ED于M，可得H（4﹣m，3﹣m），即有HD＝6﹣3m，而直线CD解析式为y＝﹣x+m，可得G（m，m），从而GM＝4﹣2m，即得S△DHG＝HD•GM＝3m2﹣12m+12，故S＝S▱BCDE﹣S△DHG＝﹣m2+4m；③当0＜m＜时，由S△BOF＝OB•xF＝3，S△COG＝m2，即得S＝S△BOF﹣S△COG＝3﹣m2＝﹣m2+3．
【解答】解：（1）在y＝﹣x+3中，令x＝0得y＝3，
∴B（0，3），
当m＝2时，C（0，2），
在y＝﹣x+3中，令y＝2得x＝，
∴E（，2），
∵四边形BCDE是平行四边形，
∴CE的中点即是BD的中点，
设D（s，t），则，
解得，
∴D（，1），
∵点D在OF上，
∴1＝k，
∴k＝，
∴直线OF的函数解析式为y＝x；
（2）在y＝﹣x+3中，令y＝m得x＝4﹣m，
∴E（4﹣m，m），
∵四边形BCDE是平行四边形，
∴CE的中点即是BD的中点，
而B（0，3），C（0，m），
设D（s，t），则，
解得，
∴D（4﹣m，2m﹣3），
①当2≤m＜3时，如图：

S＝2S△BCE＝2×BC•CE＝BC•CE＝（3﹣m）•（4﹣m）＝m2﹣8m+12，
②由得，
∴F（2，），
当≤m＜2时，设ED交OF于H，CD交OF于G，过G作GM⊥ED于M，如图：

在y＝x中，令x＝4﹣m得y＝3﹣m，
∴H（4﹣m，3﹣m），
∴HD＝（3﹣m）﹣（2m﹣3）＝6﹣3m，
∵CD∥AB，
∴直线CD解析式为y＝﹣x+m，
由得，
∴G（m，m），
∴GM＝（4﹣m）﹣m＝4﹣2m，
∴S△DHG＝HD•GM＝（6﹣3m）×（4﹣2m）＝3m2﹣12m+12，
由①知S▱BCDE＝﹣m2﹣8m+12，
∴S＝S▱BCDE﹣S△DHG＝（m2﹣8m+12）﹣（3m2﹣12m+12）＝﹣m2+4m；
③当0＜m＜时，如图：

∵B（0，3），F（2，），
∴S△BOF＝OB•xF＝×3×2＝3，
由②知G（m，m），
又C（0，m），
∴S△COG＝OC•xG＝m×m＝m2，
∴S＝S△BOF﹣S△COG＝3﹣m2＝﹣m2+3，
综上所述，S＝．
【点评】本题考查一次函数综合应用，涉及待定系数法、平行四边、三角形及多边形面积等知识，解题的关键是分类画出图象，用含m的代数式表示相关点坐标及相关线段的长度．

考点卡片
1．一次函数综合题
（1）一次函数与几何图形的面积问题
首先要根据题意画出草图，结合图形分析其中的几何图形，再求出面积．
（2）一次函数的优化问题
通常一次函数的最值问题首先由不等式找到x的取值范围，进而利用一次函数的增减性在前面范围内的前提下求出最值．
（3）用函数图象解决实际问题
从已知函数图象中获取信息，求出函数值、函数表达式，并解答相应的问题．