2022年中考数学复习之挑战压轴题（填空题）：反比例函数（含答案）

这是一份2022年中考数学复习之挑战压轴题（填空题）：反比例函数（含答案），共24页。

2．（2019•长沙）如图，函数y＝（k为常数，k＞0）的图象与过原点的O的直线相交于A，B两点，点M是第一象限内双曲线上的动点（点M在点A的左侧），直线AM分别交x轴，y轴于C，D两点，连接BM分别交x轴，y轴于点E，F．现有以下四个结论：
①△ODM与△OCA的面积相等；
②若BM⊥AM于点M，则∠MBA＝30°；
③若M点的横坐标为1，△OAM为等边三角形，则k＝2+；
④若MF＝MB，则MD＝2MA．
其中正确的结论的序号是 ．（只填序号）

3．（2019•遂宁）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点O落在坐标原点，点A、点C分别位于x轴，y轴的正半轴，G为线段OA上一点，将△OCG沿CG翻折，O点恰好落在对角线AC上的点P处，反比例函数y＝经过点B．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过C（0，3）、G、A三点，则该二次函数的解析式为 ．（填一般式）

4．（2018•鞍山二模）如图所示，点A1，A2，A3……．An在x轴上，且OA1＝A1A2＝…•…＝An﹣1An，分别过点A1，A2，A3…，…An作y轴的平行线，与反比例函数y＝（x＞0）的图象分别交于点B1，B2，B3…Bn，分别过点B1，B2，B3……，Bn作x轴的平行线交y轴交于点C1，C2，C3……：．∁n，连接OB1，OB2，OB3…OBn，得到△OB1C1，△D2B2E2．△D3B3E3……△DnBnEn，则△D2018B2018E2018的面积等于 ．

5．（2018•成华区模拟）如图，直线y＝x﹣8交x轴于点A，交y轴于点B，点C是反比例函数y＝的图象上位于直线AB上方的一点，CD∥x轴交AB于点D，CE⊥CD交AB于点E，若AD•BE＝4，则k的值为 ．

6．（2018•成都模拟）如图，点A是反比例函数y＝的图象上位于第一象限的点，点B在x轴的正半轴上，过点B作BC⊥x轴，与线段OA的延长线交于点C，与反比例函数的图象交于点D．若直线 AD恰为线段 OC 的中垂线，则sinC＝ ．

7．（2018•锦江区模拟）如图，点A是反比例函数y＝（x＞0）图象上的一点，点B是反比例函数y＝﹣（x＜0）图象上的点，连接OA、OB、AB，若∠AOB＝90°，则sin∠A＝

8．（2020秋•商河县校级期末）已知函数y＝﹣（x＞0）与y＝（x＜0）的图象如图所示，点P是y轴负半轴上一动点，过点P作y轴的垂线交图象于A、B两点，连接OA、OB．下列结论；
①若点M1（x1，y1），M2（x2，y2）在图象上，且x1＜x2＜0，则y1＜y2；
②当点P坐标为（0，﹣3）时，△AOB是等腰三角形；
③无论点P在什么位置，始终有S△AOB＝7.5，AP＝4BP；
④当点P移动到使∠AOB＝90°时，点A的坐标为（2，﹣）．
其中正确的结论为 ．

9．（2021•东兴区校级三模）如图，点A是函数的图象上的点，点B、C的坐标分别为B（﹣，﹣）、C（，）．试利用性质：点“函数的图象上任意一点A都满足”求解下面问题：作∠BAC的内角平分线AE，过B作AE的垂线交AE于F．已知当A在函数的图象上运动时，OF的长度总等于 ．

10．（2020•宁波）如图，经过原点O的直线与反比例函数y＝（a＞0）的图象交于A，D两点（点A在第一象限），点B，C，E在反比例函数y＝（b＜0）的图象上，AB∥y轴，AE∥CD∥x轴，五边形ABCDE的面积为56，四边形ABCD的面积为32，则a﹣b的值为 ，的值为 ．

2022年中考数学复习之挑战压轴题（填空题）：反比例函数（10题）
参考答案与试题解析
一．填空题（共10小题）
1．（2019•鹿城区校级一模）如图，直线y＝x+6与反比例函数y＝（k＞0）的图象交于点M、N，与x轴、y轴分别交于点B、A，作ME⊥x轴于点E，NF⊥x轴于点F，过点E、F分别作EG∥AB，FH∥AB，分别交y轴于点G、H，ME交HF于点K，若四边形MKFN和四边形HGEK的面积和为12，则k的值为 9 ．

【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．
【专题】综合题；面积法；应用意识．
【分析】容易知道ANFH、AMEG、AMKH为平行四边形，根据M、N在反比例函数的图象上，利用平行四边形的面积公式就可以求出它们的面积，从而确定两者的数量关系；
【解答】解：∵HF∥AN，NF∥ME，EG∥AM
∴四边形ANFH、AMEG、AMKH为平行四边形，
∴SAMEG＝ME•OE＝k，
SANFH＝NF•OF＝k，
则SAMEG+SANFH＝2k，
四边形MKFN和四边形HGEK的面积和为12，
即2SAMKH+12＝2k，
则SAMKH＝k﹣6，
设点M、N的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），
将y＝x+6与反比例函数y＝联立并整理得：
3x2﹣24x+4k＝0，
即：x1+x2＝8，x1x2＝，
则SAMKH＝k﹣6＝MK•x1＝NF•x1＝x1y2＝x1（﹣x2+6）＝﹣x1x2+6x1＝﹣k+6x1，
即：6x1＝2k﹣6，即x1＝k﹣1，则x2＝8﹣x1＝9﹣k，
x1x2＝＝（k﹣1）（9﹣k），解得：k＝9，
故答案为9．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点，当有两个函数的时候，着重使用一次函数，体现了方程思想，综合性较强．
2．（2019•长沙）如图，函数y＝（k为常数，k＞0）的图象与过原点的O的直线相交于A，B两点，点M是第一象限内双曲线上的动点（点M在点A的左侧），直线AM分别交x轴，y轴于C，D两点，连接BM分别交x轴，y轴于点E，F．现有以下四个结论：
①△ODM与△OCA的面积相等；
②若BM⊥AM于点M，则∠MBA＝30°；
③若M点的横坐标为1，△OAM为等边三角形，则k＝2+；
④若MF＝MB，则MD＝2MA．
其中正确的结论的序号是 ①③④ ．（只填序号）

【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．
【专题】反比例函数及其应用．
【分析】①设点A（m，），M（n，），构建一次函数求出C，D坐标，利用三角形的面积公式计算即可判断．
②△OMA不一定是等边三角形，故结论不一定成立．
③设M（1，k），由△OAM为等边三角形，推出OA＝OM＝AM，可得1+k2＝m2+，推出m＝k，根据OM＝AM，构建方程求出k即可判断．
④如图，作MK∥OD交OA于K．利用平行线分线段成比例定理解决问题即可．
【解答】解：①设点A（m，），M（n，），
则直线AC的解析式为y＝﹣x++，
∴C（m+n，0），D（0，），
∴S△ODM＝n×＝，S△OCA＝（m+n）×＝，
∴△ODM与△OCA的面积相等，故①正确；
∵反比例函数与正比例函数关于原点对称，
∴O是AB的中点，
∵BM⊥AM，
∴OM＝OA，
∴k＝mn，
∴A（m，n），M（n，m），
∴AM＝（m﹣n），OM＝，
∴AM不一定等于OM，
∴∠BAM不一定是60°，
∴∠MBA不一定是30°．故②错误，
∵M点的横坐标为1，
∴可以假设M（1，k），
∵△OAM为等边三角形，
∴OA＝OM＝AM，
1+k2＝m2+，
∵m＞0，k＞0，
∴m＝k，
∵OM＝AM，
∴（1﹣m）2+＝1+k2，
∴k2﹣4k+1＝0，
∴k＝2，
∵m＞1，
∴k＝2+，故③正确，
如图，作MK∥OD交OA于K．
∵OF∥MK，
∴＝＝，
∴＝，
∵OA＝OB，
∴＝，
∴＝，
∵KM∥OD，
∴＝＝2，
∴DM＝2AM，故④正确．
故答案为①③④．

【点评】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，三角形的面积，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，学会构造平行线，利用平行线分线段成比例定理解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
3．（2019•遂宁）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点O落在坐标原点，点A、点C分别位于x轴，y轴的正半轴，G为线段OA上一点，将△OCG沿CG翻折，O点恰好落在对角线AC上的点P处，反比例函数y＝经过点B．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过C（0，3）、G、A三点，则该二次函数的解析式为 y＝x2﹣x+3 ．（填一般式）

【考点】反比例函数图象上点的坐标特征；二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征；待定系数法求二次函数解析式；二次函数的三种形式；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）．
【专题】代数几何综合题；函数思想．
【分析】点C（0，3），反比例函数y＝经过点B，则点B（4，3），由勾股定理得：（4﹣x）2＝4+x2，故点G（，0），将点C、G、A坐标代入二次函数表达式，即可求解．
【解答】解：点C（0，3），反比例函数y＝经过点B，则点B（4，3），
则OC＝3，OA＝4，
∴AC＝5，
设OG＝PG＝x，则GA＝4﹣x，PA＝AC﹣CP＝AC﹣OC＝5﹣3＝2，
由勾股定理得：（4﹣x）2＝4+x2，
解得：x＝，故点G（，0），
将点C、G、A坐标代入二次函数表达式得：，解得：，
故答案为：y＝x2﹣x+3．
【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到矩形基本性质、反比例函数基本性质与应用，其中用勾股定理求OG的长度，是本题解题的关键．
4．（2018•鞍山二模）如图所示，点A1，A2，A3……．An在x轴上，且OA1＝A1A2＝…•…＝An﹣1An，分别过点A1，A2，A3…，…An作y轴的平行线，与反比例函数y＝（x＞0）的图象分别交于点B1，B2，B3…Bn，分别过点B1，B2，B3……，Bn作x轴的平行线交y轴交于点C1，C2，C3……：．∁n，连接OB1，OB2，OB3…OBn，得到△OB1C1，△D2B2E2．△D3B3E3……△DnBnEn，则△D2018B2018E2018的面积等于 ．

【考点】反比例函数图象上点的坐标特征；规律型：图形的变化类．
【专题】规律型．
【分析】探究规律后，利用规律即可解决问题；
【解答】解：由题意可知：△OB1C1的面积＝×8＝4，
△D2B2E2的面积＝（）2×4＝1，
△D3B3E3的面积＝（）2×4，
△DnBnEn的面积＝（）2×4，
∴△D2018B2018E2018的面积＝（）2×4＝，
故答案为．
【点评】本题考查反比例函数图象上的点的坐标特征，反比例函数的比例系数k的几何意义，规律型问题等知识，解题的关键是学会探究规律的方法，属于中考压轴题．
5．（2018•成华区模拟）如图，直线y＝x﹣8交x轴于点A，交y轴于点B，点C是反比例函数y＝的图象上位于直线AB上方的一点，CD∥x轴交AB于点D，CE⊥CD交AB于点E，若AD•BE＝4，则k的值为 ﹣ ．

【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．
【专题】反比例函数及其应用．
【分析】过D作DF⊥AO于F，过EG⊥OB于G，则DF∥OB，GE∥AO，设C（x，y），则GE＝x，DF＝﹣y，由△ADF∽△ABO，可得AD＝﹣y，由△BEG∽△BAO，可得BE＝2x，再根据AD•BE＝4，即可得到k＝xy＝．
【解答】解：如图，过D作DF⊥AO于F，过EG⊥OB于G，则DF∥OB，GE∥AO，
由直线y＝x﹣8，可得A（，0），B（0，﹣8），
∴AO＝，BO＝8，AB＝，
设C（x，y），则GE＝x，DF＝﹣y，
由△ADF∽△ABO，可得，
即＝，
∴AD＝﹣y，
由△BEG∽△BAO，可得，
即＝，
∴BE＝2x，
∵AD•BE＝4，
∴﹣y×2x＝4，
∴xy＝﹣，
∴k＝xy＝﹣，
故答案为：﹣．

【点评】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是作辅助线构造相似三角形，根据相似三角形的对应边成比例求出AD、BE．
6．（2018•成都模拟）如图，点A是反比例函数y＝的图象上位于第一象限的点，点B在x轴的正半轴上，过点B作BC⊥x轴，与线段OA的延长线交于点C，与反比例函数的图象交于点D．若直线 AD恰为线段 OC 的中垂线，则sinC＝ ．

【考点】反比例函数图象上点的坐标特征；解直角三角形．
【专题】反比例函数及其应用．
【分析】先连接OD，依据AD垂直平分OC，可得CD＝OD，设A（a，b），则C（2a，2b），依据Rt△BOD中，BD2+OB2＝OD2，即可得到b2＝2a2，再根据Rt△BOC中，OC＝＝2，即可得到sinC的值．
【解答】解：如图，连接OD，
∵AD垂直平分OC，
∴CD＝OD，
设A（a，b），则C（2a，2b），
∴BC＝2b，OB＝2a，
∴D（2a，b），
∴BD＝b，CD＝b，
∴OD＝b，
∵Rt△BOD中，BD2+OB2＝OD2，
∴（b）2+（2a）2＝（b）2，
∴b2＝2a2，
又∵Rt△BOC中，OC＝＝2，
∴sinC＝＝＝＝．
故答案为：．

【点评】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征以及解直角三角形的运用，解决问题的关键是利用直角三角形的勾股定理，得到a与b之间的关系式．
7．（2018•锦江区模拟）如图，点A是反比例函数y＝（x＞0）图象上的一点，点B是反比例函数y＝﹣（x＜0）图象上的点，连接OA、OB、AB，若∠AOB＝90°，则sin∠A＝

【考点】反比例函数图象上点的坐标特征；解直角三角形；反比例函数的图象．
【专题】反比例函数及其应用．
【分析】如图作AE⊥x轴于E，BF⊥x轴于F．设A（a，），B（b，﹣），由△BOF∽△OAE，可得＝，推出a2b2＝5，想办法求出OB、AB（用b表示），再根据三角函数的定义即可解决问题；
【解答】解：如图作AE⊥x轴于E，BF⊥x轴于F．设A（a，），B（b，﹣），
∵∠AOB＝∠OFB＝∠AEO＝90°，
∴∠BOF+∠AOE＝90°，∠AOE+∠OAE＝90°，
∴∠BOF＝∠OAE，
∴△BOF∽△OAE，
∴＝，
∴＝，
∴a2b2＝5，
∵AB2＝OB2+OA2＝b2++a2+＝6b2+，
∴AB＝，OB＝，
∴sin∠A＝＝＝，
故答案为．

【点评】本题考查反比例函数图象上点的特征、反比例函数的图象、解直角三角形等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
8．（2020秋•商河县校级期末）已知函数y＝﹣（x＞0）与y＝（x＜0）的图象如图所示，点P是y轴负半轴上一动点，过点P作y轴的垂线交图象于A、B两点，连接OA、OB．下列结论；
①若点M1（x1，y1），M2（x2，y2）在图象上，且x1＜x2＜0，则y1＜y2；
②当点P坐标为（0，﹣3）时，△AOB是等腰三角形；
③无论点P在什么位置，始终有S△AOB＝7.5，AP＝4BP；
④当点P移动到使∠AOB＝90°时，点A的坐标为（2，﹣）．
其中正确的结论为 ②③④ ．

【考点】反比例函数综合题．
【专题】代数几何综合题；反比例函数及其应用；应用意识．
【分析】①错误．因为x1＜x2＜0，函数y随x是增大而减小，所以y1＞y2；
②正确．求出A、B两点坐标即可解决问题；
③正确．设P（0，m），则B（，m），A（﹣，m），可得PB＝﹣，PA＝﹣，推出PA＝4PB，SAOB＝S△OPB+S△OPA＝+＝7.5；
④正确．设P（0，m），则B（，m），A（﹣，m），推出PB＝﹣，PA＝﹣，OP＝﹣m，由△OPB∽△APO，可得OP2＝PB•PA，列出方程即可解决问题；
【解答】解：①错误．∵x1＜x2＜0，函数y随x是增大而减小，
∴y1＞y2，故①错误．
②正确．∵P（0，﹣3），
∴B（﹣1，﹣3），A（4，﹣3），
∴AB＝5，OA＝＝5，
∴AB＝AO，
∴△AOB是等腰三角形，故②正确．
③正确．设P（0，m），则B（，m），A（﹣，m），
∴PB＝﹣，PA＝﹣，
∴PA＝4PB，
∵SAOB＝S△OPB+S△OPA＝+＝7.5，故③正确．
④正确．设P（0，m），则B（，m），A（﹣，m），
∴PB＝﹣，PA＝﹣，OP＝﹣m，
∵∠AOB＝90°，∠OPB＝∠OPA＝90°，
∴∠BOP+∠AOP＝90°，∠AOP+∠OAP＝90°，
∴∠BOP＝∠OAP，
∴△OPB∽△APO，
∴＝，
∴OP2＝PB•PA，
∴m2＝﹣•（﹣），
∴m4＝36，
∵m＜0，
∴m＝﹣，
∴A（2，﹣），故④正确．
∴②③④正确，
故答案为②③④．

【点评】本题是反比例函数综合题，考查了等腰三角形的判定、两点间距离公式、相似三角形的判定和性质、待定系数法等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用参数，构建方程解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
9．（2021•东兴区校级三模）如图，点A是函数的图象上的点，点B、C的坐标分别为B（﹣，﹣）、C（，）．试利用性质：点“函数的图象上任意一点A都满足”求解下面问题：作∠BAC的内角平分线AE，过B作AE的垂线交AE于F．已知当A在函数的图象上运动时，OF的长度总等于 ．

【考点】反比例函数综合题．
【分析】延长BF、AC交于点G．根据全等三角形的判定，得到△ABF≌△AGF，则AB＝AG，BF＝GF．根据点B和点C的坐标，知点B和点C关于原点对称，则OB＝OC，从而根据三角形的中位线定理，得OF＝CG＝×．
【解答】解：延长BF、AC交于点G．
∵AE是∠BAC的内角平分线，
∴∠BAF＝∠GAF，
∵BF⊥AE，
∴∠AFB＝∠AFG＝90°，
又∵AF＝AF，
∴△ABF≌△AGF，
∴AB＝AG，BF＝GF．
∵B（﹣，﹣）、C（，），
∴OB＝OC，
∴OF＝CG＝×＝．
故答案为：．

【点评】此题是一道数形结合题，综合考查了全等三角形的判定和性质、三角形的中位线定理、中心对称的性质．
10．（2020•宁波）如图，经过原点O的直线与反比例函数y＝（a＞0）的图象交于A，D两点（点A在第一象限），点B，C，E在反比例函数y＝（b＜0）的图象上，AB∥y轴，AE∥CD∥x轴，五边形ABCDE的面积为56，四边形ABCD的面积为32，则a﹣b的值为 24 ，的值为 ﹣ ．

【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．
【专题】反比例函数及其应用；应用意识．
【分析】如图，连接AC，OE，OC，OB，延长AB交DC的延长线于T，设AB交x轴于K．求出证明四边形ACDE是平行四边形，推出S△ADE＝S△ADC＝S五边形ABCDE﹣S四边形ABCD＝56﹣32＝24，推出S△AOE＝S△DEO＝12，可得a﹣b＝12，推出a﹣b＝24．再证明BC∥AD，证明AD＝3BC，推出AT＝3BT，再证明AK＝3BK即可解决问题．
【解答】解：如图，连接AC，OE，OC，OB，延长AB交DC的延长线于T，设AB交x轴于K．

由题意A，D关于原点对称，
∴A，D的纵坐标的绝对值相等，
∵AE∥CD，
∴E，C的纵坐标的绝对值相等，
∵E，C在反比例函数y＝的图象上，
∴E，C关于原点对称，
∴E，O，C共线，
∵OE＝OC，OA＝OD，
∴四边形ACDE是平行四边形，
∴S△ADE＝S△ADC＝S五边形ABCDE﹣S四边形ABCD＝56﹣32＝24，
∴S△AOE＝S△DEO＝12，
∴a﹣b＝12，
∴a﹣b＝24，
∵S△AOC＝S△AOB＝12，
∴BC∥AD，
∴＝，
∵S△ACB＝32﹣24＝8，
∴S△ADC：S△ABC＝24：8＝3：1，
∴BC：AD＝1：3，
∴TB：TA＝1：3，设BT＝m，则AT＝3m，AK＝TK＝1.5m，BK＝0.5m，
∴AK：BK＝3：1，
∴＝＝3，
∴＝﹣3，即＝﹣，
解法二：设A（m，），B（m，），则E（，），D（﹣m，﹣），C（﹣，﹣），
由题意，a﹣b＝24，2a﹣（m+）（+）×＝32，
化简可得，＝﹣．
故答案为24，﹣．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，平行四边形的判定和性质，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
考点卡片
1．规律型：图形的变化类
图形的变化类的规律题
首先应找出图形哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解．探寻规律要认真观察、仔细思考，善用联想来解决这类问题．
2．反比例函数的图象
用描点法画反比例函数的图象，步骤：列表﹣﹣﹣描点﹣﹣﹣连线．
（1）列表取值时，x≠0，因为x＝0函数无意义，为了使描出的点具有代表性，可以以“0”为中心，向两边对称式取值，即正、负数各一半，且互为相反数，这样也便于求y值．
（2）由于函数图象的特征还不清楚，所以要尽量多取一些数值，多描一些点，这样便于连线，使画出的图象更精确．
（3）连线时要用平滑的曲线按照自变量从小到大的顺序连接，切忌画成折线．
（4）由于x≠0，k≠0，所以y≠0，函数图象永远不会与x轴、y轴相交，只是无限靠近两坐标轴．
3．反比例函数图象上点的坐标特征
反比例函数y＝k/x（k为常数，k≠0）的图象是双曲线，
①图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy＝k；
②双曲线是关于原点对称的，两个分支上的点也是关于原点对称；
③在y＝k/x图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．
4．反比例函数与一次函数的交点问题
反比例函数与一次函数的交点问题
（1）求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．
（2）判断正比例函数y＝k1x和反比例函数y＝在同一直角坐标系中的交点个数可总结为：
①当k1与k2同号时，正比例函数y＝k1x和反比例函数y＝在同一直角坐标系中有2个交点；
②当k1与k2异号时，正比例函数y＝k1x和反比例函数y＝在同一直角坐标系中有0个交点．
5．反比例函数综合题
（1）应用类综合题
能够从实际的问题中抽象出反比例函数这一数学模型，是解决实际问题的关键一步，培养了学生的建模能力和从实际问题向数学问题转化的能力．在解决这些问题的时候我们还用到了反比例函数的图象和性质、待定系数法和其他学科中的知识．
（2）数形结合类综合题
利用图象解决问题，从图上获取有用的信息，是解题的关键所在．已知点在图象上，那么点一定满足这个函数解析式，反过来如果这点满足函数的解析式，那么这个点也一定在函数图象上．还能利用图象直接比较函数值或是自变量的大小．将数形结合在一起，是分析解决问题的一种好方法．
6．二次函数的性质
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（﹣，），对称轴直线x＝﹣，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质：
①当a＞0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，x＜﹣时，y随x的增大而减小；x＞﹣时，y随x的增大而增大；x＝﹣时，y取得最小值，即顶点是抛物线的最低点．
②当a＜0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，x＜﹣时，y随x的增大而增大；x＞﹣时，y随x的增大而减小；x＝﹣时，y取得最大值，即顶点是抛物线的最高点．
③抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象可由抛物线y＝ax2的图象向右或向左平移|﹣|个单位，再向上或向下平移||个单位得到的．
7．二次函数图象上点的坐标特征
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象是抛物线，顶点坐标是（﹣，）．
①抛物线是关于对称轴x＝﹣成轴对称，所以抛物线上的点关于对称轴对称，且都满足函数函数关系式．顶点是抛物线的最高点或最低点．
②抛物线与y轴交点的纵坐标是函数解析中的c值．
③抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，设两个交点分别是（x1，0），（x2，0），则其对称轴为x＝．
8．待定系数法求二次函数解析式
（1）二次函数的解析式有三种常见形式：
①一般式：y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）； ②顶点式：y＝a（x﹣h）2+k（a，h，k是常数，a≠0），其中（h，k）为顶点坐标； ③交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0）；
（2）用待定系数法求二次函数的解析式．
在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．
9．二次函数的三种形式
二次函数的解析式有三种常见形式：
①一般式：y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0），该形式的优势是能直接根据解析式知道抛物线与y轴的交点坐标是（0，c）；
②顶点式：y＝a（x﹣h）2+k（a，h，k是常数，a≠0），其中（h，k）为顶点坐标，该形式的优势是能直接根据解析式得到抛物线的顶点坐标为（h，k）；
③交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0），该形式的优势是能直接根据解析式得到抛物线与x轴的两个交点坐标（x1，0），（x2，0）．
10．矩形的性质
（1）矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形．
（2）矩形的性质
①平行四边形的性质矩形都具有；
②角：矩形的四个角都是直角；
③边：邻边垂直；
④对角线：矩形的对角线相等；
⑤矩形是轴对称图形，又是中心对称图形．它有2条对称轴，分别是每组对边中点连线所在的直线；对称中心是两条对角线的交点．
（3）由矩形的性质，可以得到直角三角形的一个重要性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
11．翻折变换（折叠问题）
1、翻折变换（折叠问题）实质上就是轴对称变换．
2、折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
3、在解决实际问题时，对于折叠较为复杂的问题可以实际操作图形的折叠，这样便于找到图形间的关系．
首先清楚折叠和轴对称能够提供给我们隐含的并且可利用的条件．解题时，我们常常设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．我们运用方程解决时，应认真审题，设出正确的未知数．
12．解直角三角形
（1）解直角三角形的定义
在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．
（2）解直角三角形要用到的关系
①锐角、直角之间的关系：∠A+∠B＝90°；
②三边之间的关系：a2+b2＝c2；
③边角之间的关系：
sinA＝＝，csA＝＝，tanA＝＝．
（a，b，c分别是∠A、∠B、∠C的对边）