2022年中考数学复习之挑战压轴题（填空题）：二次函数（含答案）

这是一份2022年中考数学复习之挑战压轴题（填空题）：二次函数（含答案），共25页。

2．（2021•广西）如图，已知点A（3，0），B（1，0），两点C（﹣3，9），D（2，4）在抛物线y＝x2上，向左或向右平移抛物线后，C，D的对应点分别为C′，D′．当四边形ABC′D′的周长最小时，抛物线的解析式为 ．

3．（2019•灌云县模拟）已知抛物线y＝﹣x2+2x+8与x轴交于B、C两点，点D平分BC．若在x轴上侧的A点为抛物线上的动点，且∠BAC为锐角，则AD的取值范围是 ．
4．（2016秋•资中县期末）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点A（﹣1，0），与y轴的交点B在（0，﹣2）和（0，﹣1）之间（不包括这两点），对称轴为直线x＝1．下列结论：①abc＞0；②4a+2b+c＞0；③4ac﹣b2＜﹣4a；④＜a＜；⑤b＞c．其中正确结论有 （填写所有正确结论的序号）．

5．（2021•鹿城区模拟）某校购买了一套乒乓球桌和自动发球机，侧面如图1所示，球台长度AB＝274cm，发球机紧贴球台端线点A处，高出球台的部分AC＝12cm，出球管道CD＝5cm，若将水平状态的CD绕点C逆时针旋转45°到CD的位置，发球机模式为“一跳球”，路线呈抛物线，离球台正中间的球网GH左侧72cm处到达最高点高出台面21cm，则EB＝ cm．

6．（2020秋•吴兴区期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝（x+）2﹣4交x轴于A，B两点，交y轴于点C，点D为抛物线顶点．
（1）求tan∠DAC＝ ；
（2）若点P是线段AC上的一个动点，∠DPQ＝∠DAC，DP⊥DQ，当点P在线段AC上运动时，D点不变，Q点随之运动．求当点P从点A运动到点C时，点Q运动的路径长为 ．

7．（2021秋•济南月考）如图，抛物线与y轴交于点A，与x轴交于B、C，点A关于抛物线对称轴的对称点为点D，点E在y轴上，点F在以点C为圆心，半径为2的圆上，则DE+EF的最小值是 ．

8．（2021春•永嘉县校级期末）如图抛物线y＝﹣x2﹣2x+3与x轴交于A，B，与y轴交于点C，点P为顶点，线段PA上有一动点D，以CD为底边向下作等腰三角形△CDE，且∠DEC＝90°，则AE的最小值为 ．

9．（2020•无锡二模）如图，一次函数y＝x﹣2的图象交x轴于点A，交y轴于点B，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象经过A、B两点，与x轴交于另一点C．若点M在抛物线的对称轴上，且∠AMB＝∠ACB，则所有满足条件的点M的坐标为 ．

10．（2021秋•汕尾期末）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2﹣2x+c的图象与x轴交于A、C两点，与y轴交于点B（0，﹣3），若P是x轴上一动点，点D（0，1）在y轴上，连接PD，则C点的坐标是 ，的最小值是 ．

2022年中考数学复习之挑战压轴题（填空题）：二次函数（10题）
参考答案与试题解析
一．填空题（共10小题）
1．（2020•浙江自主招生）已知抛物线y＝x2+mx+n经过点（2，﹣1），且与x轴交于A（a，0），B（b，0）两点，若点P为该抛物线的顶点，则使△PAB面积最小时抛物线的解析式为 y＝x2﹣4x+3 ．
【考点】二次函数综合题．
【专题】代数几何综合题；函数的综合应用；运算能力；推理能力．
【分析】A、B两点在x轴上，用|AB|＝|a﹣b|表示线段AB的长，由两根关系转化为m、n的表达式，根据顶点坐标公式得P（﹣，），故有S△APB＝|AB|•||，将点（2，﹣1）代入解析式得4+2m+n＝﹣1，即n＝﹣2m﹣5转化为关于m的二次函数，求面积最小时m、n的值．
【解答】解：由题意知4+2m+n＝﹣1，即n＝﹣2m﹣5，
∵A（a，0）、B（b，0）两点在抛物线y＝x2+mx+n上，
∴a+b＝﹣m，ab＝n，
又∵|AB|＝|a﹣b|＝x2+mx+n经过（2，﹣1），代入得，n＝﹣2m﹣5，
∴|AB|＝，P点纵坐标为﹣m2﹣2m﹣5，
S△PAB＝AB•|yP|＝•|﹣m2﹣2m﹣5|＝＝，
所以，当m＝﹣4时，S△PAB最小，
此时，该抛物线解析式为y＝x2﹣4x+3．
故答案是：y＝x2﹣4x+3．
【点评】本题属于二次函数综合题，考查了抛物线与x轴的交点，待定系数法确定函数解析式，二次函数的最值，二次函数图象上点的坐标特征以及求三角形的面积问题，将原题转化为二次函数最值问题是解答的基本思路．
2．（2021•广西）如图，已知点A（3，0），B（1，0），两点C（﹣3，9），D（2，4）在抛物线y＝x2上，向左或向右平移抛物线后，C，D的对应点分别为C′，D′．当四边形ABC′D′的周长最小时，抛物线的解析式为 y＝（x﹣）2 ．

【考点】二次函数图象与几何变换；二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；轴对称﹣最短路线问题；二次函数图象上点的坐标特征．
【专题】函数的综合应用；平移、旋转与对称；应用意识．
【分析】过C、D作x轴平行线，作A关于直线y＝4的对称点A'，过A'作A'E∥CD，且A'E＝CD，连接BE交直线y＝9于C'，过C'作C'D'∥CD，交直线y＝4于D'，四边形A'ECD和四边形C'D'DC是平行四边形，可得四边形A'EC'D'是平行四边形，可证BE＝BC'+EC'＝BC'+AD'，BC'+AD'最小，最小值为BE的长度，故此时四边形ABC′D′的周长最小，求出A'（3，8），E（﹣2，13），可得直线BE解析式为y＝﹣x+，从而C'（﹣，9），CC'＝﹣﹣（﹣3）＝，故将抛物线y＝x2向右移个单位后，四边形ABC′D′的周长最小，即可得到答案．
【解答】解：过C、D作x轴平行线，作A关于直线y＝4的对称点A'，过A'作A'E∥CD，且A'E＝CD，连接BE交直线y＝9于C'，过C'作C'D'∥CD，交直线y＝4于D'，如图：

作图可知：四边形A'ECD和四边形C'D'DC是平行四边形，
∴A'E∥CD，C'D'∥CD，且A'E＝CD，C'D'＝CD，
∴C'D'∥A'E且C'D'＝A'E，
∴四边形A'EC'D'是平行四边形，
∴A'D'＝EC'，
∵A关于直线y＝4的对称点A'，
∴AD'＝A'D'，
∴EC'＝AD'，
∴BE＝BC'+EC'＝BC'+AD'，即此时BC'+AD'转化到一条直线上，BC'+AD'最小，最小值为BE的长度，
而AB、CD为定值，
∴此时四边形ABC′D′的周长最小，
∵A（3，0）关于直线y＝4的对称点A'，
∴A'（3，8），
∵四边形A'ECD是平行四边形，C（﹣3，9），D（2，4），
∴E（﹣2，13），
设直线BE解析式为y＝kx+b，则，
解得，
∴直线BE解析式为y＝﹣x+，
令y＝9得9＝﹣x+，
∴x＝﹣，
∴C'（﹣，9），
∴CC'＝﹣﹣（﹣3）＝，
即将抛物线y＝x2向右移个单位后，四边形ABC′D′的周长最小，
∴此时抛物线为y＝（x﹣）2，
故答案为：y＝（x﹣）2．
【点评】本题考查二次函数背景下的平移、对称变换，解题的关键是作出图形，求到C'的坐标．
3．（2019•灌云县模拟）已知抛物线y＝﹣x2+2x+8与x轴交于B、C两点，点D平分BC．若在x轴上侧的A点为抛物线上的动点，且∠BAC为锐角，则AD的取值范围是 3＜AD≤9 ．
【考点】抛物线与x轴的交点．
【专题】探究型；数形结合；分类讨论．
【分析】由“∠BAC为锐角”可知点A在以定线段BC为直径的圆外，又点A在x轴上侧，从而可确定动点A的范围，进而确定AD的取值范围．
【解答】解：如图，∵抛物线y＝﹣x2+2x+8，∴抛物线的顶点为A0（1，9），
对称轴为x＝1，
与x轴交于两点B（﹣2，0）、C（4，0），
分别以BC、DA为直径作⊙D、⊙E，则
两圆与抛物线均交于两点P（1﹣2，1）、Q（1+2，1）．
可知，点A在不含端点的抛物线内时，∠BAC＜90°，
且有3＝DP＝DQ＜AD≤DA0＝9，
即AD的取值范围是3＜AD≤9．
【点评】此题主要考查了抛物线与x轴的交点，解题时首先求出抛物线的顶点坐标和与x轴的交点坐标，然后利用已知条件探究即可解决问题．
4．（2016秋•资中县期末）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点A（﹣1，0），与y轴的交点B在（0，﹣2）和（0，﹣1）之间（不包括这两点），对称轴为直线x＝1．下列结论：①abc＞0；②4a+2b+c＞0；③4ac﹣b2＜﹣4a；④＜a＜；⑤b＞c．其中正确结论有 ①③④⑤ （填写所有正确结论的序号）．

【考点】二次函数图象与系数的关系．
【分析】根据对称轴为直线x＝1及图象开口向下可判断出a、b、c的符号，从而判断①；根据对称轴得到函数图象经过（3，0），则得②的判断；根据图象经过（﹣1，0）可得到a、b、c之间的关系，从而对②⑤作判断；利用，可判断③；从图象与y轴的交点B在（0，﹣2）和（0，﹣1）之间可以判断c的大小得出④的正误．
【解答】解：①∵函数开口方向向上，
∴a＞0；
∵对称轴在y轴右侧
∴ab异号，
∵抛物线与y轴交点在y轴负半轴，
∴c＜0，
∴abc＞0，
故①正确；

②∵图象与x轴交于点A（﹣1，0），对称轴为直线x＝1，
∴图象与x轴的另一个交点为（3，0），
∴当x＝2时，y＜0，
∴4a+2b+c＜0，
故②错误；

③∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象与y轴的交点在（0，﹣1）的下方，对称轴在y轴右侧，a＞0，
∴最小值：＜﹣1，
∵a＞0，
∴4ac﹣b2＜﹣4a；
∴③正确；

④∵图象与y轴的交点B在（0，﹣2）和（0，﹣1）之间，
∴﹣2＜c＜﹣1
∴﹣2＜﹣3a＜﹣1，
∴＞a＞；
故④正确

⑤∵a＞0，
∴b﹣c＞0，即b＞c；
故⑤正确．
综上所述，正确的有①③④⑤，
故答案为：①③④⑤．
【点评】此题主要考查图象与二次函数系数之间的关系．解题关键是注意掌握数形结合思想的应用．
5．（2021•鹿城区模拟）某校购买了一套乒乓球桌和自动发球机，侧面如图1所示，球台长度AB＝274cm，发球机紧贴球台端线点A处，高出球台的部分AC＝12cm，出球管道CD＝5cm，若将水平状态的CD绕点C逆时针旋转45°到CD的位置，发球机模式为“一跳球”，路线呈抛物线，离球台正中间的球网GH左侧72cm处到达最高点高出台面21cm，则EB＝ （209﹣30） cm．

【考点】二次函数的应用．
【专题】二次函数的应用；应用意识．
【分析】以AC为y轴，以AB为x轴，A为原点建立平面直角坐标系，设抛物线最高点为N，对称轴MN与x轴交于M，则MN＝21，根据题意写出抛物线解析式y＝a（x﹣65）2+21（a＜0），然后通过旋转求出D′坐标，再把D′坐标代入抛物线求出a，再令y＝0解一元二次方程求出E对岸坐标即可．
【解答】解：以AC为y轴，以AB为x轴，A为原点建立平面直角坐标系，如图，

设抛物线最高点为N，对称轴MN与x轴交于M，则MN＝21，
∴AB＝274，
∵GH是AB正中间，
∴AH＝AB＝137，
∴AM＝AH﹣MH＝137﹣72＝65，
设抛物线为：y＝a（x﹣65）2+21（a＜0），
过D′作D′P⊥x轴交CD于点Q，交x轴于点P，
则∠CQD′＝∠APQ＝90°，
∵旋转45°，
∴CD′＝CD＝5，
CQ＝D′Q＝CD′cs∠D′CD＝5，
∴D′P＝D′Q+PQ＝5+12＝17，
∴D′（5，17）代入抛物线得：
a×（5﹣65）2+21＝17，
∴a＝﹣，
∴y＝﹣（x﹣65）2+21，
令y＝0，则﹣（x﹣65）2+21＝0，
解得：x1＝65+30，x2＝65﹣30（舍去），
∴E（65+30，0），
∴EB＝AB﹣AE＝274﹣（65+30）＝（209﹣30）（cm），
故答案为：（209﹣30）．
【点评】本题考查二次函数的实际应用，关键是建坐标系通过题意画出二次函数的图象．
6．（2020秋•吴兴区期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝（x+）2﹣4交x轴于A，B两点，交y轴于点C，点D为抛物线顶点．
（1）求tan∠DAC＝ ；
（2）若点P是线段AC上的一个动点，∠DPQ＝∠DAC，DP⊥DQ，当点P在线段AC上运动时，D点不变，Q点随之运动．求当点P从点A运动到点C时，点Q运动的路径长为 ．

【考点】二次函数综合题．
【专题】动点型；数形结合；模型思想．
【分析】（1）根据函数解析式可求A、B、C、D坐标，从而得到∠ACD＝90°，即为所求；
（2）点Q随P运动而运动，P为主动点，Q为从动点，D为定点，故等于P的路径（AC）与Q的路径之比，算出和AC即可得到Q的路径．
【解答】
解：（1）如上图，过D作DE⊥y轴于E，
∵抛物线y＝（x+）2﹣4交x轴于A，B两点，交y轴于点C，点D为抛物线顶点，
∴D（﹣，﹣4），DE＝，OE＝4，
令y＝0得（x+）2﹣4＝0，解得x1＝﹣3，x2＝，
∴A（﹣3，0），B（，0），OA＝3
令x＝0得y＝﹣3，
∴C（0，﹣3），OC＝3，
∴CE＝OE﹣OC＝，
∴OA＝OC＝3，CE＝DE＝，
∴△AOC和△CED是等腰直角三角形，AC＝3，DC＝，
∴∠ACO＝∠DEC＝45°，
∴∠DCA＝90°，
∴tan∠DAC＝＝＝，
故答案为：；
（2）∵∠DPQ＝∠DAC，DP⊥DQ，且∠DCA＝90°，
∴△ADC∽△PQD，
∴，
∵点P在线段AC上运动时，D点不变，Q点随之运动，
∴P的路径（AC）与Q的路径之比等于，
∵AC＝3，
∴Q的路径为3×＝，
故答案为：．
【点评】本题考查二次函数、三角函数、相似三角形等知识，题目较综合，解决本题的关键是需要掌握P点运动路径与Q点运动路径的关系．
7．（2021秋•济南月考）如图，抛物线与y轴交于点A，与x轴交于B、C，点A关于抛物线对称轴的对称点为点D，点E在y轴上，点F在以点C为圆心，半径为2的圆上，则DE+EF的最小值是 23 ．

【考点】抛物线与x轴的交点；轴对称﹣最短路线问题；二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征．
【专题】代数几何综合题；与圆有关的计算；数据分析观念．
【分析】过点D作y轴的对称点H（﹣12，15），连接CH交y轴于点E，交圆C于点F，则点E、F为所求点，即可求解．
【解答】解：对于，令x＝0，则y＝15，令＝0，解得x＝4或8，
故点A、B、C的坐标分别为（0，15）、（4，0）、（8，0），
函数的对称轴为x＝6，则点D（12，15），
过点D作y轴的对称点H（﹣12，15），连接CH交y轴于点E，交圆C于点F，则点E、F为所求点，

理由：∵点H、D关于y轴对称，则EH＝ED，
则DE+EF＝HE+EF＝HF为最小，
则DE+EF最小＝HF＝HC﹣2＝﹣2＝23，
故答案为23．
【点评】本题考查的是抛物线与x轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征、点的对称性等，利用轴对称确定最短路线是解题的关键．
8．（2021春•永嘉县校级期末）如图抛物线y＝﹣x2﹣2x+3与x轴交于A，B，与y轴交于点C，点P为顶点，线段PA上有一动点D，以CD为底边向下作等腰三角形△CDE，且∠DEC＝90°，则AE的最小值为 ．

【考点】抛物线与x轴的交点；等腰直角三角形；二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征．
【专题】图形的全等；数据分析观念．
【分析】证明△EMD≌△CNE（AAS），求出点E（﹣，），则AE2＝（﹣3+）2+（）2＝m2+12m+，即可求解．
【解答】解：抛物线y＝﹣x2﹣2x+3与x轴交于A，B，与y轴交于点C，则点A、B、C的坐标分别为（﹣3，0）、（1，0）、（0，3），
函数的对称轴为x＝﹣1，故点P（﹣1，4），
由点A、P的坐标得，直线AP的表达式为：y＝2x+6，设点D（m，2m+6）；
过点E作x轴的平行线交y轴于点N，交过D点与y轴的平行线于点M，

设点E（a，b），则ME＝a﹣m，DM＝2m+6﹣b，CN＝3﹣b，EN＝﹣a，
∵∠DEM+∠EDM＝90°，∠DEM+∠CEN＝90°，
∴∠EDM＝∠CEN，
∵ED＝ED，∠EMD＝∠CNE＝90°，
∴△EMD≌△CNE（AAS），
∴CN＝ME，DM＝EN，
即3﹣b＝a﹣m，﹣a＝2m+6﹣b，
解得：a＝﹣（3+m），b＝，故点E（﹣，），
则AE2＝（﹣3+）2+（）2＝m2+12m+，
当m＝﹣2.4时，AE2取得最小值8.1，
故AE的最小值为，
故答案为：．
【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、三角形全等等，综合性强，难度较大．
9．（2020•无锡二模）如图，一次函数y＝x﹣2的图象交x轴于点A，交y轴于点B，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象经过A、B两点，与x轴交于另一点C．若点M在抛物线的对称轴上，且∠AMB＝∠ACB，则所有满足条件的点M的坐标为 （）或（） ．

【考点】二次函数图象上点的坐标特征；圆周角定理；一次函数图象上点的坐标特征；二次函数的性质．
【专题】代数几何综合题；与圆有关的计算；数据分析观念．
【分析】如图2，先证明△PDE∽△OAB．利用相似比得到PD＝2PE．设P（m，﹣m2+m﹣2），则E（m，m﹣2）．再利用m表示出PD+PE得到PD+PE＝3×[﹣m2+m﹣2﹣（m﹣2）]，然后根据二次函数的性质解决问题；
（3）讨论：当点M在直线AB上方时，根据圆周角定理可判断点M在△ABC的外接圆上，如图1，由于抛物线的对称轴垂直平分AC，则△ABC的外接圆O1的圆心在对称轴上，设圆心O1的坐标为（，﹣t），根据半径相等得到（）2+（﹣t+2）2＝（﹣4）2+t2，解方程求出t得到圆心O1的坐标为（，﹣2），然后确定⊙O1的半径半径为．从而得到此时M点坐标；当点M在在直线AB下方时，作O1关于AB的对称点O2，如图2，通过证明∠O1AB＝∠OAB可判断O2在x轴上，则点O2的坐标为 （，0），然后计算出DM即可得到此时M点坐标．
【解答】解：一次函数y＝x﹣2的图象交x轴于点A，交y轴于点B，则点A、B的坐标分别为（4，0）、（0，﹣2），
当点M在直线AB上方时，则点M在△ABC的外接圆上，如图1．

∵△ABC的外接圆O1的圆心在对称轴上，设圆心O1的坐标为（，﹣t），
∵O1B＝O1A，
∴（）2+（﹣t+2）2＝（﹣4）2+t2，解得t＝2．
∴圆心O1的坐标为（，﹣2）．
∴O1A＝＝，
即⊙O1的半径半径为．此时M点坐标为（，）；
当点M在在直线AB下方时，作O1关于AB的对称点O2，
以O2为圆心，以O2A半径画⊙O2，此时A、B两点均在⊙O2上，M点为⊙O2与对称轴的交点，如图2，
∵O1与O2关于AB的对称，
∴O2A＝O2B＝O1A＝O1B，
∴⊙O2与⊙O1是等圆，
∵AB为⊙O2与⊙O1共同的弦，圆周角∠ACB对应的优弧是⊙O1中的优弧AB，圆周角∠AMB对应的优弧是⊙O2中的优弧AB，
又∵在等圆⊙O2与⊙O1中，∠ACB与∠AMB所对应的优弧相等，
∴∠AMB＝∠ACB，
∵AO1＝O1B＝，
∴∠O1AB＝∠O1BA．
∵O1B∥x轴，
∴∠O1BA＝∠OAB．
∴∠O1AB＝∠OAB，O2在x轴上，
∴点O2的坐标为 （，0）．
∴O2D＝1，
∴DM＝＝．此时点M的坐标为（，﹣）．
综上所述，点M的坐标为（）或（）．
【点评】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征和圆周角定理；会利用待定系数法求抛物线解析式；理解坐标与图形性质，记住两点间的距离公式；会利用分类讨论的思想解决数学问题．
10．（2021秋•汕尾期末）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2﹣2x+c的图象与x轴交于A、C两点，与y轴交于点B（0，﹣3），若P是x轴上一动点，点D（0，1）在y轴上，连接PD，则C点的坐标是 （3，0） ，的最小值是 4 ．

【考点】胡不归问题；二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征；抛物线与x轴的交点；轴对称﹣最短路线问题．
【专题】二次函数图象及其性质；等腰三角形与直角三角形；应用意识．
【分析】过点P作PJ⊥BC于J，过点D作DH⊥BC于H．根据PD+PC＝（PD+PC）＝（DP+PJ），求出DP+PJ的最小值即可解决问题．
【解答】解：过点P作PJ⊥BC于J，过点D作DH⊥BC于H．
∵二次函数y＝x2﹣2x+c的图象与y轴交于点B（0，﹣3），
∴c＝﹣3，
∴二次函数的解析式为y＝x2﹣2x﹣3，令y＝0，x2﹣2x﹣3＝0，
解得x＝﹣1或3，
∴A（﹣1，0），C（3，0），
∴OB＝OC＝3，
∵∠BOC＝90°，
∴∠OBC＝∠OCB＝45°，
∵D（0，1），
∴OD＝1，BD＝4，
∵DH⊥BC，
∴∠DHB＝90°，
∴DH＝BD•sin45°＝2，
∵PJ⊥CB，
∴∠PJC＝90°，
∴PJ＝PC，
∴PD+PC＝（PD+PC）＝（DP+PJ），
∵DP+PJ≥DH，
∴DP+PJ≥2，
∴DP+PJ的最小值为2，
∴PD+PC的最小值为4．
故答案为：（3，0），4．

【点评】本题考查胡不归问题，二次函数的性质，等腰直角三角形的判定和性质，垂线段最短等知识，解题的关键是将求PD+PC得最小值转化为求（DP+PJ）的最小值．属于中考选择题中的压轴题．
考点卡片
1．一次函数图象上点的坐标特征
一次函数y＝kx+b，（k≠0，且k，b为常数）的图象是一条直线．它与x轴的交点坐标是（﹣，0）；与y轴的交点坐标是（0，b）．
直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y＝kx+b．
2．二次函数的性质
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（﹣，），对称轴直线x＝﹣，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质：
①当a＞0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，x＜﹣时，y随x的增大而减小；x＞﹣时，y随x的增大而增大；x＝﹣时，y取得最小值，即顶点是抛物线的最低点．
②当a＜0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，x＜﹣时，y随x的增大而增大；x＞﹣时，y随x的增大而减小；x＝﹣时，y取得最大值，即顶点是抛物线的最高点．
③抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象可由抛物线y＝ax2的图象向右或向左平移|﹣|个单位，再向上或向下平移||个单位得到的．
3．二次函数图象与系数的关系
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）
①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．
当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；|a|还可以决定开口大小，|a|越大开口就越小．
②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置．
当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左侧； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右侧．（简称：左同右异）
③．常数项c决定抛物线与y轴交点． 抛物线与y轴交于（0，c）．
④抛物线与x轴交点个数．
△＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
4．二次函数图象上点的坐标特征
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象是抛物线，顶点坐标是（﹣，）．
①抛物线是关于对称轴x＝﹣成轴对称，所以抛物线上的点关于对称轴对称，且都满足函数函数关系式．顶点是抛物线的最高点或最低点．
②抛物线与y轴交点的纵坐标是函数解析中的c值．
③抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，设两个交点分别是（x1，0），（x2，0），则其对称轴为x＝．
5．二次函数图象与几何变换
由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．
6．二次函数的最值
（1）当a＞0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而减少；在对称轴右侧，y随x的增大而增大，因为图象有最低点，所以函数有最小值，当x＝时，y＝．
（2）当a＜0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而增大；在对称轴右侧，y随x的增大而减少，因为图象有最高点，所以函数有最大值，当x＝时，y＝．
（3）确定一个二次函数的最值，首先看自变量的取值范围，当自变量取全体实数时，其最值为抛物线顶点坐标的纵坐标；当自变量取某个范围时，要分别求出顶点和函数端点处的函数值，比较这些函数值，从而获得最值．
7．待定系数法求二次函数解析式
（1）二次函数的解析式有三种常见形式：
①一般式：y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）； ②顶点式：y＝a（x﹣h）2+k（a，h，k是常数，a≠0），其中（h，k）为顶点坐标； ③交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0）；
（2）用待定系数法求二次函数的解析式．
在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．
8．抛物线与x轴的交点
求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标，令y＝0，即ax2+bx+c＝0，解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标．
（1）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的交点与一元二次方程ax2+bx+c＝0根之间的关系．
△＝b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数．
△＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；
△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；
△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
（2）二次函数的交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0），可直接得到抛物线与x轴的交点坐标（x1，0），（x2，0）．
9．二次函数的应用
（1）利用二次函数解决利润问题
在商品经营活动中，经常会遇到求最大利润，最大销量等问题．解此类题的关键是通过题意，确定出二次函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量x的取值要使实际问题有意义，因此在求二次函数的最值时，一定要注意自变量x的取值范围．
（2）几何图形中的最值问题
几何图形中的二次函数问题常见的有：几何图形中面积的最值，用料的最佳方案以及动态几何中的最值的讨论．
（3）构建二次函数模型解决实际问题
利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地把这些实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式可解决一些测量问题或其他问题．
10．二次函数综合题
（1）二次函数图象与其他函数图象相结合问题
解决此类问题时，先根据给定的函数或函数图象判断出系数的符号，然后判断新的函数关系式中系数的符号，再根据系数与图象的位置关系判断出图象特征，则符合所有特征的图象即为正确选项．
（2）二次函数与方程、几何知识的综合应用
将函数知识与方程、几何知识有机地结合在一起．这类试题一般难度较大．解这类问题关键是善于将函数问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件．
（3）二次函数在实际生活中的应用题
从实际问题中分析变量之间的关系，建立二次函数模型．关键在于观察、分析、创建，建立直角坐标系下的二次函数图象，然后数形结合解决问题，需要我们注意的是自变量及函数的取值范围要使实际问题有意义．
11．等腰直角三角形
（1）两条直角边相等的直角三角形叫做等腰直角三角形．
（2）等腰直角三角形是一种特殊的三角形，具有所有三角形的性质，还具备等腰三角形和直角三角形的所有性质．即：两个锐角都是45°，斜边上中线、角平分线、斜边上的高，三线合一，等腰直角三角形斜边上的高为外接圆的半径R，而高又为内切圆的直径（因为等腰直角三角形的两个小角均为45°，高又垂直于斜边，所以两个小三角形均为等腰直角三角形，则两腰相等）；
（3）若设等腰直角三角形内切圆的半径r＝1，则外接圆的半径R＝+1，所以r：R＝1：+1．
12．圆周角定理
（1）圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．
注意：圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上．②角的两条边都与圆相交，二者缺一不可．
（2）圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
（3）在解圆的有关问题时，常常需要添加辅助线，构成直径所对的圆周角，这种基本技能技巧一定要掌握．
（4）注意：①圆周角和圆心角的转化可通过作圆的半径构造等腰三角形．利用等腰三角形的顶点和底角的关系进行转化．②圆周角和圆周角的转化可利用其“桥梁”﹣﹣﹣圆心角转化．③定理成立的条件是“同一条弧所对的”两种角，在运用定理时不要忽略了这个条件，把不同弧所对的圆周角与圆心角错当成同一条弧所对的圆周角和圆心角．
13．轴对称-最短路线问题
1、最短路线问题
在直线L上的同侧有两个点A、B，在直线L上有到A、B的距离之和最短的点存在，可以通过轴对称来确定，即作出其中一点关于直线L的对称点，对称点与另一点的连线与直线L的交点就是所要找的点．

2、凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合本节所学轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．
14．胡不归问题
著名的几何最值问题