2022年中考数学复习之挑战压轴题（填空题）：三角形（含答案）

这是一份2022年中考数学复习之挑战压轴题（填空题）：三角形（含答案），共25页。试卷主要包含了如图＝a﹣b]， 等内容，欢迎下载使用。

1．如图（1），在直角三角形纸片ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，点D为BC的中点，点E为AB上一动点，将纸片沿DE翻折，点B的对应点为点B′，如图（2）．再将纸片沿DB′翻折，点E的对应点为点E′，如图（3）．当点E′落在原直角三角形纸片的边上时，B′E′的长为 ．[温馨提示：对于正数a，b，有（+）（﹣）＝a﹣b]

2．（2021•碑林区校级二模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AB＝8，D、F分别是边AB、BC上的动点，连接CD，过点A作AE⊥CD交BC于点E，垂足为G，连接GF，则GF+FB的最小值为 ．

3．（2020春•湖州月考）如图，在Rt△ABC中，AC＝BC＝6，∠ACB＝90°，点D，E分别是AC，AB的中点，点F为射线DE上一动点，连接CF，作FG⊥CF交射线AB于点G．
（1）当点F在线段DE上时，则FC与GF的大小关系是 ；
（2）当DF＝ 时，△BFG是等腰三角形．

4．（2017•武侯区模拟）如图，在等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，BC＝2，点D是AC边上一动点，连接BD，以AD为直径的圆交BD于点E，则线段CE长度的最小值为 ．

5．（2021•西城区校级模拟）如图，已知在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2，BC＝4．D为△ABC所在平面内的一个动点，且满足∠BDC＝90°，E为线段AD的中点，连接CE，则线段CE长的最大值为 ．

6．（2021•兴城市一模）如图，在平面直角坐标系中，点A（﹣2，0），B（2，0），点C从点O出发，在第一象限沿射线y＝x运动，当△ABC是直角三角形时，点C的坐标为 ．

7．（2021•成都模拟）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝4，点P是边AB上一动点，PQ⊥PC交BC于Q，点R是PC的中点，连接AR、QR，设AP为x，四边形ABQR面积为y，则y与x的函数关系式为（含自变量的取值范围） ．

8．（2020•深圳）如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，∠ABC＝∠DAC＝90°，tan∠ACB＝，＝，则＝ ．

9．（2016•锦江区模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BA＝BC，点D是AB的中点，连接CD，过点B作BG⊥CD，分别交CD、CA于点E、F，与过点A且垂直于AB的直线相交于点G，连接DF，下面四个结论：①＝；②点F是GE的中点；③AF＝AB；④S△ABC＝6S△BDF．其中正确结论的序号是 ．

10．（2020•香坊区模拟）如图，△ABC中，AD为BC上的中线，∠EBC＝∠ACB，∠BEC＝120°，点F在AC的延长线上，连接DF，DF＝AD，AC﹣BE＝5，CF＝1，则AB＝ ．

2022年中考数学复习之挑战压轴题（填空题）：三角形（10题）
参考答案与试题解析
一．填空题（共10小题）
1．如图（1），在直角三角形纸片ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，点D为BC的中点，点E为AB上一动点，将纸片沿DE翻折，点B的对应点为点B′，如图（2）．再将纸片沿DB′翻折，点E的对应点为点E′，如图（3）．当点E′落在原直角三角形纸片的边上时，B′E′的长为 1 ．[温馨提示：对于正数a，b，有（+）（﹣）＝a﹣b]

【考点】三角形综合题．
【专题】几何综合题；压轴题；推理填空题；推理能力．
【分析】当点E′落在原直角三角形纸片的边上时画出图形，设DB′与AB交于点O，由折叠可得B′E＝B′E′＝BE，B′D＝BD＝2，B′D⊥AB，然后证明△BOD∽△BCA，对应边成比例可得OD＝，OB＝，设BE＝x，则B′E＝B′E′＝BE＝x，OE＝OB﹣BE＝﹣x，OB′＝B′D﹣OD＝2﹣＝，根据勾股定理即可求出x的值，进而可以解决问题．
【解答】解：当点E′落在原直角三角形纸片的边上时，如图所示：

∵点D为BC的中点，
∴BD＝BC＝2，
在Rt△ABC中，根据勾股定理，得
AB＝＝＝5，
设DB′与AB交于点O，
由折叠可知：B′E＝B′E′＝BE，B′D＝BD＝2，B′D⊥AB，
∴∠BOD＝90°，
∴∠BOD＝∠BCA＝90°，
∵∠B＝∠B，
∴△BOD∽△BCA，
∴＝＝，
∴＝＝，
∴OD＝，OB＝，
设BE＝x，则B′E＝B′E′＝BE＝x，OE＝OB﹣BE＝﹣x，OB′＝B′D﹣OD＝2﹣＝，
在Rt△OB′E中，根据勾股定理，得
OB′2+OE2＝B′E2，
∴（）2+（﹣x）2＝x2，
整理得x＝
解得x＝1，
∴B′E′＝1．
故答案为：1．
【点评】本题属于三角形的综合题，是中考填空题的压轴题，考查了翻折变换，相似三角形的判定与性质，勾股定理，解决本题的关键是得到△BOD∽△BCA．
2．（2021•碑林区校级二模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AB＝8，D、F分别是边AB、BC上的动点，连接CD，过点A作AE⊥CD交BC于点E，垂足为G，连接GF，则GF+FB的最小值为 5 ．

【考点】含30度角的直角三角形；胡不归问题．
【专题】几何图形；模型思想．
【分析】首先由∠AGC＝90°，AC＝4，发现G在以AC为直径的圆上运动，再通过构造直角三角形将FB转化为FH，将所求问题转化为常规两条线段和最小问题来解决．
【解答】解：∵AE⊥CD，
∴∠AGC＝90°，
∴点G在以AC为直径的圆上运动，
过B作BH⊥AB，作FH⊥BH于H，
∵∠B＝30°，
∴∠FBH＝60°，
在Rt△FBH中，
FH＝sin60°×BF＝，
∴GF+FB＝GF+FH，
∴当G、F、H共线时，GF+FH最小，
∴过O作OM⊥BH于M，
在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AB＝8，
∴AC＝4，
∴OA＝2，
∴AK＝1，
作OK⊥AB于K，
∴四边形OMBK是矩形，
∴BK＝OM＝7，
∵OG+GH≥OM，
∴2+GH≥7，
∴GH最小值为5，
∴GF+FB最小值为5．

故答案为：5．
【点评】本题主要考查以直角三角形为背景的两条线段和最小问题，解决问题的关键是发现G点的运动路径．
3．（2020春•湖州月考）如图，在Rt△ABC中，AC＝BC＝6，∠ACB＝90°，点D，E分别是AC，AB的中点，点F为射线DE上一动点，连接CF，作FG⊥CF交射线AB于点G．
（1）当点F在线段DE上时，则FC与GF的大小关系是 相等 ；
（2）当DF＝ 6﹣3或3或6+3 时，△BFG是等腰三角形．

【考点】三角形综合题．
【专题】综合题；分类讨论；三角形；推理能力．
【分析】（1）先判断出CM＝EF，再判断出∠FCM＝∠GFE，进而得出△EFG≌△MCF（ASA）即可；
（2）分点点F在DE上和DE的延长线上，构造直角三角形，建立方程求解即可得出结论．
【解答】解：（1）如图1，在DC上取一点M，使DM＝DF，

∵AC＝BC，∠ACB＝90°，
∴∠A＝∠ABC＝45°，
点D，E是AC，AB的中点，
∴DE＝BC＝3，AD＝CD＝AC＝3，DE∥BC，
∴CD＝DE，∠ADE＝∠CDE＝∠ACB＝90°，∠AED＝∠ABC＝45°，
∴CM＝EF，∠DMF＝45°＝∠AED，
∴∠CMF＝∠FEG，
∵CF⊥FG，
∴∠EFG+∠CFD＝90°，
∵∠DCF+∠CFD＝90°，
∴∠FCM＝∠GFE，
在△EFG和△MCF中，
，
∴△EFG≌△MCF（ASA），
∴FG＝FC；
故答案为：相等；
（2）如图1，①当点F在DE上时，

∵△BFG为等腰三角形，
∴FG＝BG，
过点G作GN⊥DE于N，
在△CDF和△FNG中，
，
∴△CDF≌△FNG（AAS），
∴FN＝CD＝3，
∴EN＝DF＝NG，
设DF＝x，
则EG＝EN＝NG＝x，
∴FG＝BG＝3﹣x，
在Rt△FNG中，FG2﹣NG2＝FN2，
即：（3﹣x）2﹣x2＝9，
∴x＝6+3（舍）或x＝6﹣3，
②当点F在DE的延长线上时，如图2，

∵△BFG为等腰三角形，
Ⅰ、当BF＝BG时，
过点B作BP⊥DE于P，
∴四边形BCDP是矩形，
∴BP＝CD＝3，DP＝BC＝6，
∴PF＝DF﹣DP＝x﹣6，
在图1中，FM＝DF＝x，
∴EG＝FM＝x，
∴BF＝BG＝EG﹣BE＝x﹣3＝（x﹣3），
在Rt△BPF中，BF2﹣PF2＝BP2，
即：[（x﹣3）]2﹣（x﹣6）2＝9．
∴x＝﹣3（舍）或x＝3，
Ⅱ、当BG＝FG时，
BG＝FG＝CF＝；EG＝MF＝DF＝x；BE＝3，
∴+3＝x，
整理得：x2﹣12x+9＝0
解得：x＝6+3或x＝6﹣3（不符题意舍去），
当BF＝FG时，CF＝FG＝BF＝，
∵CF＝，
∴＝，
∴x＝3（舍）
所以DF的值为6﹣3或3或6+3时，△BFG为等腰三角形．
故答案为：6﹣3或3或6+3．
【点评】此题是三角形综合题，主要考查了三角形的中位线，全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，解本题的关键是作出辅助线，构造全等三角形．
4．（2017•武侯区模拟）如图，在等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，BC＝2，点D是AC边上一动点，连接BD，以AD为直径的圆交BD于点E，则线段CE长度的最小值为 ﹣1 ．

【考点】等腰直角三角形．
【专题】三角形．
【分析】连接AE，如图1，先根据等腰直角三角形的性质得到AB＝AC＝2，再根据圆周角定理，由AD为直径得到∠AED＝90°，接着由∠AEB＝90°得到点E在以AB为直径的⊙O上，于是当点O、E、C共线时，CE最小，如图2，在Rt△AOC中利用勾股定理计算出OC＝，从而得到CE的最小值为﹣1．
【解答】解：连接AE，如图1，

∵∠BAC＝90°，AB＝AC，BC＝2，
∴AB＝AC＝2，
∵AD为直径，
∴∠AED＝90°，
∴∠AEB＝90°，
∴点E在以AB为直径的⊙O上，
∵⊙O的半径为1，
连接OE，OC，
∴OE＝AB＝1
在Rt△AOC中，
∵OA＝2，AC＝4，
∴OC＝＝，
由于OC＝，OE＝1是定值，
点E在线段OC上时，CE最小，如图2，

∴CE＝OC﹣OE＝﹣1，
即线段CE长度的最小值为﹣1．
故答案为﹣1．
【点评】本题考查了等腰直角三角形的性质，圆的有关知识，勾股定理计算线段的长，解决本题的关键是确定E点运动的规律，从而把问题转化为圆外一点到圆上一点的最短距离问题．
5．（2021•西城区校级模拟）如图，已知在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2，BC＝4．D为△ABC所在平面内的一个动点，且满足∠BDC＝90°，E为线段AD的中点，连接CE，则线段CE长的最大值为 1+ ．

【考点】勾股定理．
【专题】几何图形；应用意识．
【分析】取BC的中点G，连接AG，取中点F，则EF＝，OF＝即可解决．
【解答】解：取BC的中点G，连接AG，DG，取中点F，连接EF，CF，
∵∠BDC＝90°，BC＝4，
∴DG＝CG＝2，
在Rt△ACG中，AG＝，
∵F为AG的中点，
∴CF＝，
∵E为线段AD的中点，F为AG的中点，
∴EF＝，
∵CF+EF≥CE，
∴CE最大值为1+，

故答案为：1+．
【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，以及三角形中位线的性质定理，作出辅助线是解决问题的关键．
6．（2021•兴城市一模）如图，在平面直角坐标系中，点A（﹣2，0），B（2，0），点C从点O出发，在第一象限沿射线y＝x运动，当△ABC是直角三角形时，点C的坐标为 （1，）或（2，2） ．

【考点】直角三角形的性质；一次函数图象上点的坐标特征．
【专题】推理填空题；一次函数及其应用；等腰三角形与直角三角形；运算能力；推理能力．
【分析】根据点A（﹣2，0），B（2，0），可得OA＝OB＝2，设点C的坐标为（x，x），分两种情况讨论：①当∠ACB＝90°时，过点C作CD⊥OB于点D，根据勾股定理可得x的值，进而可得点C的坐标；②当∠ABC＝90°时，可得x＝OB＝2，BC＝x＝2，进而可得点C的坐标．
【解答】解：∵点A（﹣2，0），B（2，0），
∴OA＝OB＝2，
设点C的坐标为（x，x），
①当∠ACB＝90°时，如图，过点C作CD⊥OB于点D，

∵O是AB的中点，
∴OC＝OA＝OB＝2，
∵OD2+CD2＝OC2，
∴x2+（x）2＝22，
解得x＝1（负值舍去），
∴OD＝1，CD＝，
∴点C的坐标为（1，）；
②当∠ABC＝90°时，如图，

∴x＝OB＝2，
∴BC＝x＝2，
∴点C的坐标为（2，2）；
综上所述：点C的坐标为（1，）或（2，2）．
故答案为：（1，）或（2，2）．
【点评】本题考查了直角三角形的性质，一次函数图象上点的坐标特征，解决本题的关键是掌握直角三角形的性质．
7．（2021•成都模拟）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝4，点P是边AB上一动点，PQ⊥PC交BC于Q，点R是PC的中点，连接AR、QR，设AP为x，四边形ABQR面积为y，则y与x的函数关系式为（含自变量的取值范围） y＝4+（0＜x＜4） ．

【考点】勾股定理；函数关系式；函数自变量的取值范围；直角三角形斜边上的中线．
【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【分析】过点Q作QD⊥AB可得△DPQ∽△ACP，用含x的式子表示出QD的长，再分别表示出S△PQB和S四边形APQR，进而可得y与x的关系式．
【解答】解：过点Q作QD⊥AB，

∵∠QPR＝∠PAC＝90°，
∴∠DPQ＝∠ACP，
∵∠DQP＝∠PAC＝90°，
∴△DPQ∽△ACP，
∴，
∵PD＝4﹣x﹣QD，
∴＝，
∴QD＝，
∴S△PQB＝＝．
∵S△ABC＝＝8，
∴S四边形APQC＝8﹣．
∵R是CP的中点，
∴S四边形APQR＝S四边形APQC＝4﹣，
∴y＝S△PQB+S四边形APQR＝+4﹣＝4+（0＜x＜4）．
故答案为：y＝4+（0＜x＜4）．
【点评】本题考查列函数关系式，由相似三角形得到DQ的长是解题关键．
8．（2020•深圳）如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，∠ABC＝∠DAC＝90°，tan∠ACB＝，＝，则＝ ．

【考点】角平分线的性质；相似三角形的判定与性质．
【专题】三角形；图形的相似；推理能力；模型思想；应用意识．
【分析】通过作辅助线，得到△ABC∽△ANM，△OBC∽△ODM，△ABC∽△DAN，进而得出对应边成比例，再根据tan∠ACB＝，＝，得出对应边之间关系，设BC＝4a，表示AB、DN、NA，BN，进而表示三角形的面积，求出三角形的面积比即可．
【解答】解：如图，过点D作DM∥BC，交CA的延长线于点M，延长BA交DM于点N，
∵DM∥BC，
∴△ABC∽△ANM，△OBC∽△ODM，
∴＝＝tan∠ACB＝，＝＝，
又∵∠ABC＝∠DAC＝90°，
∴∠BAC+∠NAD＝90°，
∵∠BAC+∠BCA＝90°，
∴∠NAD＝∠BCA，
∴△ABC∽△DAN，
∴＝＝，
设BC＝4a，
由＝＝得，DM＝3a，
∴AB＝2a，DN＝a，AN＝a，
∴NB＝AB+AN＝2a+a＝a，
∴＝＝＝．
故答案为：．

【点评】本题考查相似三角形的性质和判定，根据对应边成比例，设常数表示三角形的面积是得出正确答案的关键．
9．（2016•锦江区模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BA＝BC，点D是AB的中点，连接CD，过点B作BG⊥CD，分别交CD、CA于点E、F，与过点A且垂直于AB的直线相交于点G，连接DF，下面四个结论：①＝；②点F是GE的中点；③AF＝AB；④S△ABC＝6S△BDF．其中正确结论的序号是 ①③④ ．

【考点】全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形．
【分析】首先根据题意易证得△ABG≌△BCD（ASA），则AG＝BD，AG＝AB，根据相似三角形的对应边成比例与BA＝BC，继而证得＝＝；正确；继而可得FG＝BF；即可得AF＝AC，又由等腰直角三角形的性质，可得AC＝AB，即可求得AF＝AB；则可得S△ABC＝6S△BDF．
【解答】解：∵∠ABC＝90°，BG⊥CD，
∴∠DBE+∠BDE＝∠BDE+∠BCD＝90°，
∴∠DBE＝∠BCD，
在△ABG和△BCD中，
∴△ABG≌△BCD（ASA），
则AG＝BD，
∵在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，
∴AB⊥BC，AG⊥AB，
∴AG∥BC，
∴△AFG∽△CFB，
∴＝＝，
故①正确；
∵AB＝CB，点D是AB的中点，
∴BD＝AB＝CB，
∵tan∠BCD＝＝，
∴在Rt△ABG中，tan∠DBE＝＝，
∵＝，
∴FG＝FB，
∵GE≠BF，
∴点F不是GE的中点．
故②错误；
∵△AFG∽△CFB，
∴AF：CF＝AG：BC＝1：2，
∴AF＝AC，
∵AC＝AB，
∴AF＝AB，
故③正确；
∵BD＝AB，AF＝AC，
∴S△ABC＝6S△BDF，
故④正确．
故答案为：①③④．
【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质、直角三角形的性质以及三角函数等知识．此题难度适中，解题的关键是证得△AFG∽△CFB，注意掌握数形结合思想与转化思想的应用．
10．（2020•香坊区模拟）如图，△ABC中，AD为BC上的中线，∠EBC＝∠ACB，∠BEC＝120°，点F在AC的延长线上，连接DF，DF＝AD，AC﹣BE＝5，CF＝1，则AB＝ 7 ．

【考点】三角形综合题．
【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；多边形与平行四边形；矩形 菱形 正方形；推理能力．
【分析】延长AD到G，使DG＝AD，连接BG，CG，GF，过点C作CH⊥BG于H，过作CN⊥BE于N，由平行四边形的判定可证四边形ABGC是平行四边形，可得AC∥BG，AC＝BG，AB＝CG，由“AAS”可证△BCN≌△△BCH，可得BN＝BH，CN＝CH，由三个角是直角是四边形是矩形可证四边形CFGH是矩形，可得HG＝CF＝1，由线段的数量关系可求EN的长，由直角三角形的性质可求CN＝CH＝4，由勾股定理可求CG的长，即可求解．
【解答】解：如图，延长AD到G，使DG＝AD，连接BG，CG，GF，过点C作CH⊥BG于H，过作CN⊥BE于N，

∵AD为BC上的中线，
∴BD＝CD，且DG＝AD，
∴四边形ABGC是平行四边形，
∴AC∥BG，AC＝BG，AB＝CG，
∴∠ACB＝∠CBG，且∠EBC＝∠ACB，
∴∠EBC＝∠CBG，且∠N＝∠CHB＝90°，BC＝BC，
∴△BCN≌△BCH（AAS），
∴BN＝BH，CN＝CH，
∵AC﹣BE＝5，
∴BG﹣BE＝BH+HG﹣BE＝BN+HG﹣BE＝EN+HG＝5，
∵AD＝DF，AD＝DG，
∴AD＝DF＝DG，
∴∠AFG＝90°，
∵AC∥BG，CH⊥BG，
∴CH⊥AF，且CH⊥BG，∠AFG＝90°，
∴四边形CFGH是矩形，
∴CF＝HG＝1，
∴EN＝4，
∵∠BEC＝120°，
∴∠NEC＝60°，且∠N＝90°，
∴NC＝EN＝4，
∴CH＝4，
∴AB＝CG＝＝＝7，
故答案为：7．
【点评】本题是三角形综合题，考查了平行四边形的判定和性质，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，添加恰当辅助线是本题的关键．
考点卡片
1．函数关系式
用来表示函数关系的等式叫做函数解析式，也称为函数关系式．
注意：
①函数解析式是等式．
②函数解析式中，通常等式的右边的式子中的变量是自变量，等式左边的那个字母表示自变量的函数．
③函数的解析式在书写时有顺序性，例如，y＝x+9时表示y是x的函数，若写成x＝﹣y+9就表示x是y的函数．
2．函数自变量的取值范围
自变量的取值范围必须使含有自变量的表达式都有意义．
①当表达式的分母不含有自变量时，自变量取全体实数．例如y＝2x+13中的x．
②当表达式的分母中含有自变量时，自变量取值要使分母不为零．例如y＝x+2x﹣1．
③当函数的表达式是偶次根式时，自变量的取值范围必须使被开方数不小于零．
④对于实际问题中的函数关系式，自变量的取值除必须使表达式有意义外，还要保证实际问题有意义．
3．一次函数图象上点的坐标特征
一次函数y＝kx+b，（k≠0，且k，b为常数）的图象是一条直线．它与x轴的交点坐标是（﹣，0）；与y轴的交点坐标是（0，b）．
直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y＝kx+b．
4．全等三角形的判定与性质
（1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
（2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．
5．角平分线的性质
角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
注意：①这里的距离是指点到角的两边垂线段的长；②该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，有时不必证明全等；③使用该结论的前提条件是图中有角平分线，有垂直角平分线的性质语言：如图，∵C在∠AOB的平分线上，CD⊥OA，CE⊥OB∴CD＝CE

6．直角三角形的性质
（1）有一个角为90°的三角形，叫做直角三角形．
（2）直角三角形是一种特殊的三角形，它除了具有一般三角形的性质外，具有一些特殊的性质：
性质1：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方（勾股定理）．
性质2：在直角三角形中，两个锐角互余．
性质3：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．（即直角三角形的外心位于斜边的中点）
性质4：直角三角形的两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积． 性质5：在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半；
在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°．
7．含30度角的直角三角形
（1）含30度角的直角三角形的性质：
在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．
（2）此结论是由等边三角形的性质推出，体现了直角三角形的性质，它在解直角三角形的相关问题中常用来求边的长度和角的度数．
（3）注意：①该性质是直角三角形中含有特殊度数的角（30°）的特殊定理，非直角三角形或一般直角三角形不能应用；
②应用时，要注意找准30°的角所对的直角边，点明斜边．
8．直角三角形斜边上的中线
（1）性质：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．（即直角三角形的外心位于斜边的中点）
（2）定理：一个三角形，如果一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是以这条边为斜边的直角三角形．
该定理可以用来判定直角三角形．
9．勾股定理
（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．
（3）勾股定理公式a2+b2＝c2 的变形有：a＝，b＝及c＝．
（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边．
10．等腰直角三角形
（1）两条直角边相等的直角三角形叫做等腰直角三角形．
（2）等腰直角三角形是一种特殊的三角形，具有所有三角形的性质，还具备等腰三角形和直角三角形的所有性质．即：两个锐角都是45°，斜边上中线、角平分线、斜边上的高，三线合一，等腰直角三角形斜边上的高为外接圆的半径R，而高又为内切圆的直径（因为等腰直角三角形的两个小角均为45°，高又垂直于斜边，所以两个小三角形均为等腰直角三角形，则两腰相等）；
（3）若设等腰直角三角形内切圆的半径r＝1，则外接圆的半径R＝+1，所以r：R＝1：+1．
11．三角形综合题
三角形综合题．
12．胡不归问题
著名的几何最值问题
13．相似三角形的判定与性质
（1）相似三角形相似多边形的特殊情形，它沿袭相似多边形的定义，从对应边的比相等和对应角相等两方面下定义；反过来，两个三角形相似也有对应角相等，对应边的比相等．
（2）三角形相似的判定一直是中考考查的热点之一，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；或依据基本图形对图形进行分解、组合；或作辅助线构造相似三角形，判定三角形相似的方法有事可单独使用，有时需要综合运用，无论是单独使用还是综合运用，都要具备应有的条件方可．