2022年中考数学复习之挑战压轴题（填空题）：一次函数（含答案）

这是一份2022年中考数学复习之挑战压轴题（填空题）：一次函数（含答案），共26页。试卷主要包含了之间的关系如图所示等内容，欢迎下载使用。

1．（2018•常州一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，点B（﹣1，4），点A（﹣7，0），点P是直线y＝x﹣2上一点，且∠ABP＝45°，则点P的坐标为 ．

2．（2018•锦江区校级模拟）对一个矩形ABCD及⊙M给出如下定义：在同一平面内，如果⊙M上存在一点，使得这点到矩形ABCD的四个顶点的距离相等，那么称矩形ABCD是⊙M的“随从矩形”．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l：y＝x﹣3交x轴于点M，⊙M的半径为4，矩形ABCD沿直线运动（BD在直线l上），BD＝4，AB∥y轴，当矩形ABCD是⊙M的“随从矩形”时，点A的坐标为 ．

3．（2017春•亭湖区校级月考）如图，在直角坐标系xOy中，直线l：y＝﹣x+b交x轴，y轴于点E，F，点B的坐标是（3，3），过点B分别作x轴，y轴的垂线，垂足为A，C，点G是线段CO的动点，以BG为对称轴，作与△BCG成对称的△BC′G．当点G由C到O的运动过程中，直线l经过点A时，线段BC′扫过的图形与△OAF重叠部分的周长是 ．

4．（2013•湖州）如图，已知点A是第一象限内横坐标为2的一个定点，AC⊥x轴于点M，交直线y＝﹣x于点N．若点P是线段ON上的一个动点，∠APB＝30°，BA⊥PA，则点P在线段ON上运动时，A点不变，B点随之运动．求当点P从点O运动到点N时，点B运动的路径长是 ．

5．（2021•永嘉县校级模拟）如图，直线y＝﹣2x+2分别交x，y轴于A、B两点，过点B的另一条直线交x轴于点C，D为AB中点，过点A作AB的垂线交CD于点E，若AE＝CE，则直线BC的函数表达式为 ．

6．（2020•永嘉县模拟）如图，直线y＝﹣x+6与x轴、y轴分别交于A，B两点，C是OB的中点，D是AB上一点，四边形OEDC是菱形，则△OAE的面积为 ．

7．（2019•本溪模拟）如图，平面直角坐标系中，已知P（1，1），C为y轴正半轴上一点，D为第一象限内一点，且PC＝PD，∠CPD＝90°，过点D作直线AB⊥x轴于B，直线AB与直线y＝x交于点A，且BD＝3AD，连接CD，直线CD与直线y＝x交于点Q，则点Q的坐标为 ．

8．（2021春•九龙坡区校级月考）武汉疫情暴发期间，大学生小玲和小丽应聘成为了阳光小区的疫情防控志愿者．一天早晨，小玲从阳光小区出发骑三轮车匀速到区疾病防控中心领取防疫物资，出发一段时间后，小丽发现小玲忘记带社区介绍信，立即骑自行车沿小玲行驶的路线匀速行驶去追赶，当小丽追上小玲后，立即将介绍信交给了她，并用3分钟时间与小玲核对了一下防疫物资的清单，然后小玲将原速度提高了继续前往区疾病防控中心，而小丽则按原路以原来速度的一半匀速返回阳光小区．当小丽回到阳光小区2分钟后小玲也到达了区疾病防控中心．设小丽与小玲之间的距离y（米）与小玲从阳光小区出发后的时间x（分）之间的关系如图所示．则阳光小区到区疾病防控中心的距离为 米．

9．（2014•陆川县校级模拟）如图，点P（t，0）是x轴正半轴上的一个动点，过点P作y轴的平行线，分别与直线y＝x，直线y＝﹣x交于A，B两点，以AB为边向右侧作正方形ABCD．有下列五个结论：
①∠AOB＝90°；②△AOB是等腰三角形；③OP2＝2AP•PB；④S△AOB＝3S△AOP；⑤当t＝2时，正方形ABCD的周长是16．
其中正确结论的序号是 ．

10．（2015•宁波模拟）在平面直角坐标系中，A（2，0）、B（0，3），过点B作直线∥x轴，点P（a，3）是直线上的动点，以AP为边在AP右侧作等腰Rt△APQ，∠APQ＝Rt∠，直线AQ交y轴于点C．
（1）当a＝1时，则点Q的坐标为 ；
（2）当点P在直线上运动时，点Q也随之运动．当a＝ 时，AQ+BQ的值最小为 ．

2022年中考数学复习之挑战压轴题（填空题）：一次函数（10题）
参考答案与试题解析
一．填空题（共10小题）
1．（2018•常州一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，点B（﹣1，4），点A（﹣7，0），点P是直线y＝x﹣2上一点，且∠ABP＝45°，则点P的坐标为 ，） ．

【考点】一次函数图象上点的坐标特征．
【专题】一次函数及其应用．
【分析】将线段BA绕点B逆时针旋转90°得到线段BA′，则A′（3，﹣2），取AA′的中点K（﹣2，﹣1），直线BK与直线y＝x﹣2的交点即为点P．求出直线BK的解析式，利用方程组确定交点P坐标即可
【解答】解：将线段BA绕点B逆时针旋转90°得到线段BA′，则A′（3，﹣2），

取AA′的中点K（﹣2，﹣1），
直线BK与直线y＝x﹣2的交点即为点P．
∵直线BK的解析式为y＝5x+9，
由，解得，
∴点P坐标为（﹣，﹣），
故答案为（﹣，﹣）．
【点评】本题考查一次函数图象上的点的特征，等腰直角三角形的性质，待定系数法等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造特殊三角形解决问题．
2．（2018•锦江区校级模拟）对一个矩形ABCD及⊙M给出如下定义：在同一平面内，如果⊙M上存在一点，使得这点到矩形ABCD的四个顶点的距离相等，那么称矩形ABCD是⊙M的“随从矩形”．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l：y＝x﹣3交x轴于点M，⊙M的半径为4，矩形ABCD沿直线运动（BD在直线l上），BD＝4，AB∥y轴，当矩形ABCD是⊙M的“随从矩形”时，点A的坐标为 （+1，3）或（﹣3，﹣） ．

【考点】一次函数图象上点的坐标特征；线段垂直平分线的性质；矩形的性质．
【专题】一次函数及其应用．
【分析】设直线l交⊙M于E、F．根据⊙M的“随从矩形”的定义可知，当矩形ABCD的对角线的交点K与E或F重合时，四边形ABCD是⊙M的“随从矩形”，利用平移的性质解决问题即可；
【解答】解：设直线l：y＝x﹣3交y轴于N，则N（0，﹣3），M（，0）．

∴ON＝3，OM＝，
∴tan∠OMN＝，
∴∠OMN＝60°，
设直线l交⊙M于E、F．作EG⊥x轴于G．
∵EM＝4，∠EMG＝∠OMN＝60°，
∴GM＝2，EG＝2，
∴E（+2，2），同法可得F（﹣2，﹣2）．
连接AC交BD于K，易证△ADK是边长为2的等边三角形，易知点K向上平移个单位，再向左平移1个单位得到点A．
根据⊙M的“随从矩形”的定义可知，当矩形ABCD的对角线的交点K与E或F重合时，四边形ABCD是⊙M的“随从矩形”，
∵E（+2，2），F（﹣2，﹣2），
∴A（+1，3）或（﹣3，﹣）时，四边形ABCD是⊙M的“随从矩形”．
故答案为（+1，3）或（﹣3，﹣）．
【点评】本题考查一次函数图象上的点的坐标特征、矩形的性质、直线与圆的位置关系、平移变换的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
3．（2017春•亭湖区校级月考）如图，在直角坐标系xOy中，直线l：y＝﹣x+b交x轴，y轴于点E，F，点B的坐标是（3，3），过点B分别作x轴，y轴的垂线，垂足为A，C，点G是线段CO的动点，以BG为对称轴，作与△BCG成对称的△BC′G．当点G由C到O的运动过程中，直线l经过点A时，线段BC′扫过的图形与△OAF重叠部分的周长是 π+3 ．

【考点】一次函数图象上点的坐标特征；坐标与图形变化﹣对称．
【专题】一次函数及其应用．
【分析】首先求出直线AF的解析式，进而得出当D与O重合时，点C′与A重合，且BC′扫过的图形与△OAF重合部分是弓形，求出即可；
【解答】解：∵A（3，0），
∴代入直线AF的解析式为：y＝﹣x+b，
∴b＝，
则直线AF的解析式为：y＝﹣x+，
∴∠OAF＝30°，∠BAF＝60°，故∠BAC′＝60°，
∵在点D由C到O的运动过程中，BC′扫过的图形是扇形，
∴当D与O重合时，点C′与A重合，
且BC′扫过的图形与△OAF重合部分是弓形
当C′在直线y＝﹣x+上时，BC′＝BC＝AB，∠BAC′＝60°，
∴△ABC′是等边三角形，这时∠ABC′＝60°，
∴重叠部分的周长是：+3＝π+3；
故答案为＝π+3．

【点评】本题考查一次函数都一样，坐标与图形的变化等这是，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
4．（2013•湖州）如图，已知点A是第一象限内横坐标为2的一个定点，AC⊥x轴于点M，交直线y＝﹣x于点N．若点P是线段ON上的一个动点，∠APB＝30°，BA⊥PA，则点P在线段ON上运动时，A点不变，B点随之运动．求当点P从点O运动到点N时，点B运动的路径长是 ．

【考点】一次函数综合题．
【专题】压轴题．
【分析】（1）首先，需要证明线段B0Bn就是点B运动的路径（或轨迹），如答图②所示．利用相似三角形可以证明；
（2）其次，如答图①所示，利用相似三角形△AB0Bn∽△AON，求出线段B0Bn的长度，即点B运动的路径长．
【解答】解：由题意可知，OM＝，点N在直线y＝﹣x上，AC⊥x轴于点M，则△OMN为等腰直角三角形，ON＝OM＝×＝．

如答图①所示，设动点P在O点（起点）时，点B的位置为B0，动点P在N点（终点）时，点B的位置为Bn，连接B0Bn
∵AO⊥AB0，AN⊥ABn，∴∠OAC＝∠B0ABn，
又∵AB0＝AO•tan30°，ABn＝AN•tan30°，∴AB0：AO＝ABn：AN＝tan30°（此处也可用30°角的Rt△三边长的关系来求得），
∴△AB0Bn∽△AON，且相似比为tan30°，
∴B0Bn＝ON•tan30°＝×＝．

现在来证明线段B0Bn就是点B运动的路径（或轨迹）．
如答图②所示，当点P运动至ON上的任一点时，设其对应的点B为Bi，连接AP，ABi，B0Bi
∵AO⊥AB0，AP⊥ABi，∴∠OAP＝∠B0ABi，
又∵AB0＝AO•tan30°，ABi＝AP•tan30°，∴AB0：AO＝ABi：AP，
∴△AB0Bi∽△AOP，∴∠AB0Bi＝∠AOP．
又∵△AB0Bn∽△AON，∴∠AB0Bn＝∠AOP，
∴∠AB0Bi＝∠AB0Bn，
∴点Bi在线段B0Bn上，即线段B0Bn就是点B运动的路径（或轨迹）．
综上所述，点B运动的路径（或轨迹）是线段B0Bn，其长度为．
故答案为：．


【点评】本题考查坐标平面内由相似关系确定的点的运动轨迹，难度很大．本题的要点有两个：首先，确定点B的运动路径是本题的核心，这要求考生有很好的空间想象能力和分析问题的能力；其次，由相似关系求出点B运动路径的长度，可以大幅简化计算，避免陷入坐标关系的复杂运算之中．
5．（2021•永嘉县校级模拟）如图，直线y＝﹣2x+2分别交x，y轴于A、B两点，过点B的另一条直线交x轴于点C，D为AB中点，过点A作AB的垂线交CD于点E，若AE＝CE，则直线BC的函数表达式为 y＝﹣x+2 ．

【考点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数的性质；一次函数图象上点的坐标特征．
【专题】一次函数及其应用；应用意识．
【分析】先由直线AB的解析式求出A、B两点的坐标，线段AB中点D的坐标．设C（a，0），则a＞．根据线段垂直平分线的性质得出E点的横坐标．根据互相垂直的两直线斜率之积为﹣1得到直线AE的斜率，设直线AE的解析式为y＝x+b，将A（，0）代入求出b，得到直线AE的解析式为y＝x﹣，将E点的横坐标代入，求出y，得E点的坐标为（，）．设直线CD的解析式为y＝mx+n，将C（a，0），D（，1），E（，）分别代入，求出a，得到C（，0）．设直线BC的函数表达式为y＝px+q，把B（0，2），C（，0）代入，利用待定系数法即可求解．
【解答】解：∵直线y＝﹣2x+2分别交x，y轴于A、B两点，
∴A（，0），B（0，2），
∵D为AB中点，
∴D（，1）．
设C（a，0），则a＞．
∵AE＝CE，
∴E在线段AC的垂直平分线上，
∴E点的横坐标为＝．
∵AB⊥AE，
∴直线AE的斜率为：＝．
设直线AE的解析式为y＝x+b，
将A（，0）代入得，×+b＝0，解得b＝﹣，
∴直线AE的解析式为y＝x﹣，
∴当x＝时，y＝×﹣＝，
∴E点的坐标为（，）．
设直线CD的解析式为y＝mx+n，
将C（a，0），D（，1），E（，）分别代入，
得，解得，
∴C（，0）．
设直线BC的函数表达式为y＝px+q，
把B（0，2），C（，0）代入，
得，解得，
∴直线BC的函数表达式为y＝﹣x+2．
补充方法：分别过D，E作DF⊥OC，EH⊥OC．

可得△DFA∽△AEH，△CEH∽△CDF，DF＝1，FA＝，
设AH＝a＝CH，则EH＝a，由相似得，＝，
解得2a＝，
∴OC＝，
∴C（，0），
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+2．
故答案为：y＝﹣x+2．

【点评】此题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数图象上点的坐标特征，线段中点坐标公式，线段垂直平分线的性质，互相垂直的两直线斜率之积为﹣1等知识，综合性较强，关键是掌握待定系数法求一次函数的解析式，其一般步骤为：
（1）先设出函数的一般形式，如求一次函数的解析式时，先设y＝kx+b；
（2）将自变量x的值及与它对应的函数值y的值代入所设的解析式，得到关于待定系数的方程或方程组；
（3）解方程或方程组，求出待定系数的值，进而写出函数解析式．
本题计算量较大，需认真仔细．
6．（2020•永嘉县模拟）如图，直线y＝﹣x+6与x轴、y轴分别交于A，B两点，C是OB的中点，D是AB上一点，四边形OEDC是菱形，则△OAE的面积为 ．

【考点】一次函数图象上点的坐标特征；菱形的性质；一次函数的性质．
【专题】一次函数及其应用；矩形 菱形 正方形；运算能力．
【分析】通过求出点A、B、C的坐标，得到菱形的边长为3，则DE＝3＝DC，利用CD2＝m2+（﹣m+6﹣3）2＝9，解得：m＝，即可求解．
【解答】解：y＝﹣x+6，当x＝0，y＝6，当y＝0，则x＝6，
故点A、B的坐标分别为：（6，0）、（0，6），则点C（0，3），
故菱形的边长为3，则DE＝3＝DC，
设点D（m，﹣m+6），则点E（m，﹣m+6﹣3），
则CD2＝m2+（﹣m+6﹣3）2＝9，解得：m＝，
故点E（，），
S△OAE＝×OA×yE＝×6×＝，
故答案为：．
【点评】本题考查的是一次函数图象上点的特征，涉及到菱形的性质、三角形面积的计算、勾股定理的运用，综合强较强，难度适宜．
7．（2019•本溪模拟）如图，平面直角坐标系中，已知P（1，1），C为y轴正半轴上一点，D为第一象限内一点，且PC＝PD，∠CPD＝90°，过点D作直线AB⊥x轴于B，直线AB与直线y＝x交于点A，且BD＝3AD，连接CD，直线CD与直线y＝x交于点Q，则点Q的坐标为 （，） ．

【考点】两条直线相交或平行问题；一次函数图象上点的坐标特征．
【专题】一次函数及其应用．
【分析】过P作MN⊥y轴，交y轴于M，交AB于N，过D作DH⊥y轴，交y轴于H，∠CMP＝∠DNP＝∠CPD＝90°，求出∠MCP＝∠DPN，证△MCP≌△NPD，推出DN＝PM，PN＝CM，设AD＝a，求出DN＝3a﹣1，得出3a﹣1＝1，求出a＝，得出D的坐标，在Rt△DNP中，由勾股定理求出PC＝PD＝，在Rt△MCP中，由勾股定理求出CM，得出C的坐标，设直线CD的解析式是y＝kx+，把D（，2）代入求出直线CD的解析式，解由两函数解析式组成的方程组，求出方程组的解即可．
【解答】解：过P作MN⊥y轴，交y轴于M，交AB于N，过D作DH⊥y轴，交y轴于H，则∠CMP＝∠DNP＝∠CPD＝90°，
∴∠MCP+∠CPM＝90°，∠MPC+∠DPN＝90°，
∴∠MCP＝∠DPN，
∵P（1，1），
∴OM＝BN＝1，PM＝1，
在△MCP和△NPD中，
，
∴△MCP≌△NPD（AAS），
∴DN＝PM，PN＝CM，
∵BD＝3AD，
∴设AD＝a，BD＝3a，
∵P（1，1），
∴DN＝3a﹣1，
则3a﹣1＝1，
∴a＝，即BD＝2．
∵点A在直线y＝x上，
∴AB＝OB＝，
在Rt△DNP中，由勾股定理得：PC＝PD＝＝，
在Rt△MCP中，由勾股定理得：CM＝＝，
则C的坐标是（0，），
设直线CD的解析式是y＝kx+，
把D（，2）代入得：k＝﹣，
即直线CD的解析式是y＝﹣x+，
解方程组得：，
即Q的坐标是（，），
故答案为：（，）．

【点评】本题考查了用待定系数法求出一次函数的解析式，全等三角形的性质和判定，勾股定理等知识点的应用，主要考查学生综合运用性质进行推理和计算的能力．
8．（2021春•九龙坡区校级月考）武汉疫情暴发期间，大学生小玲和小丽应聘成为了阳光小区的疫情防控志愿者．一天早晨，小玲从阳光小区出发骑三轮车匀速到区疾病防控中心领取防疫物资，出发一段时间后，小丽发现小玲忘记带社区介绍信，立即骑自行车沿小玲行驶的路线匀速行驶去追赶，当小丽追上小玲后，立即将介绍信交给了她，并用3分钟时间与小玲核对了一下防疫物资的清单，然后小玲将原速度提高了继续前往区疾病防控中心，而小丽则按原路以原来速度的一半匀速返回阳光小区．当小丽回到阳光小区2分钟后小玲也到达了区疾病防控中心．设小丽与小玲之间的距离y（米）与小玲从阳光小区出发后的时间x（分）之间的关系如图所示．则阳光小区到区疾病防控中心的距离为 10800 米．

【考点】一次函数的应用．
【专题】一次函数及其应用；应用意识．
【分析】设小玲骑车速度为v1米/分，小丽速度为v2米/分，小丽出发的时间为t1，根据题意列方程解答即可．
【解答】解：设小玲骑车速度为v1米/分，小丽速度为v2米/分，小丽出发的时间为t1，
根据题意，得，
小丽，小玲分开后，小玲的速度边玩，小丽的速度变为，
由题意，得10000＝+12v1③，
由①②③联立，
解得v1＝300，v2＝450，
∴阳光小区到区疾病防控中心的距离为：10000+2×＝10800（米），
故答案为：10800．
【点评】本题考查了一次函数的图象的性质的运用，路程＝速度×时间之间的关系的运用，分别求小玲和小丽的速度是关键，解答时熟悉并理解函数的图象．
9．（2014•陆川县校级模拟）如图，点P（t，0）是x轴正半轴上的一个动点，过点P作y轴的平行线，分别与直线y＝x，直线y＝﹣x交于A，B两点，以AB为边向右侧作正方形ABCD．有下列五个结论：
①∠AOB＝90°；②△AOB是等腰三角形；③OP2＝2AP•PB；④S△AOB＝3S△AOP；⑤当t＝2时，正方形ABCD的周长是16．
其中正确结论的序号是 ③④ ．

【考点】一次函数综合题．
【分析】①由两条垂直直线的斜率的积等于﹣1即可判定①∠AOB＝90°故选项错误；
②根据等腰三角形的判定定理即可判定②△AOB是等腰三角形，故选项错误；
③由直线的斜率可知＝，＝1，根据2（）＝，即可求得OP2＝2AP•PB，故选项正确；
④设A（m，m），则B（m，﹣m），得出△AOP的面积＝OP•m＝m•OP，△BOP的面积＝OP•m＝•OP，从而求得S△BOP＝2S△AOP，进而得出S△AOB＝3S△AOP，故选项正确；
⑤t＝2时根据直线的解析式先求得PA＝1、PB＝2，进而求得AB＝3，所以正方形的周长＝12，故选项错误；
【解答】解：①由直线y＝x，直线y＝﹣x可知，它们的斜率的积＝﹣≠﹣1，所以∠AOB≠90°，故∠AOB＝90°错误；
②∵AB⊥x轴，∠AOP≠∠BOP，∠AOB≠90°
∴OA≠OB，OB≠AB，OA≠AB，
∴△AOB不是等腰三角形，故△AOB是等腰三角形；
③由直线的斜率可知：＝，＝1，
∴2（）＝，
∴OP2＝2AP•PB，故OP2＝2AP•PB正确；
④设A（m，m），则B（m，﹣m），
∵△AOP的面积＝OP•m＝m•OP，△BOP的面积＝OP•m＝•OP，
∴S△BOP＝2S△AOP，
∴S△AOB＝3S△AOP，
故S△AOB＝3S△AOP正确；
⑤t＝2时，PA＝×2＝1，
PB＝|﹣1×2|＝2，
∴AB＝PA+PB＝1+2＝3，
∴正方形ABCD的周长＝4AB＝4×3＝12；故当t＝2时，正方形ABCD的周长是16错误；
故答案为③④．
【点评】本题考查了直线斜率的特点，等腰三角形的判定，直角三角函数的意义，三角形的面积的求法，正方形的周长等，③OP2＝2AP•PB的求得是本题的难点．
10．（2015•宁波模拟）在平面直角坐标系中，A（2，0）、B（0，3），过点B作直线∥x轴，点P（a，3）是直线上的动点，以AP为边在AP右侧作等腰Rt△APQ，∠APQ＝Rt∠，直线AQ交y轴于点C．
（1）当a＝1时，则点Q的坐标为 （4，4） ；
（2）当点P在直线上运动时，点Q也随之运动．当a＝ 时，AQ+BQ的值最小为 ．

【考点】一次函数综合题；全等三角形的判定与性质；勾股定理；相似三角形的判定与性质．
【分析】（1）要求点Q的坐标，可作QF⊥BP，由于BP、OB已知，只需求出PF和QF．从条件“△APQ为等腰直角三角形”出发，构造全等，即可解决问题．
（2）本题要求动点Q到两定点A、B的距离之和AQ+BQ的最小值，属于“将军饮马型”，只需求出动点Q所在直线的解析式，然后运用解决“将军饮马型”的方法即可解决问题；要求AQ+BQ取最小值时对应的a的值，只需运用相似三角形对应高的比等于相似比建立关于a的方程，就可求出a的值．
【解答】解：（1）过点P作PE⊥OA，垂足为E，过点Q作QF⊥BP，垂足为F，如图1．
∵BP∥OA，PE⊥OA，∴∠EPF＝∠PEO＝90°．
∵∠APQ＝90°，∴∠EPA＝∠FPQ＝90°﹣∠APF．
在△PEA和△PFQ中，

∴△PEA≌△PFQ．
∴PE＝PF，EA＝QF．
∵a＝1，∴P（1，3）．∴OE＝BP＝1，PE＝3．
∵A（2，0），∴OA＝2，∴EA＝1．∴PF＝3，QF＝1．
∴点Q的坐标为（4，4）．

（2）若点P的坐标为（a，3），则PF＝PE＝3，QF＝AE＝|2﹣a|．
∴点Q的坐标为（a+3，5﹣a）．
∵无论a为何值，点Q的坐标（a+3，5﹣a）都满足一次函数解析式y＝﹣x+8，
∴点Q始终在直线y＝﹣x+8上运动．
设直线y＝﹣x+8与x轴、y轴分别交于点M、N，如图2所示．
当x＝0时y＝8，当y＝0时x＝8．∴OM＝ON＝8．
∵∠AOB＝90°，∴∠OMN＝45°．
过点A关于直线MN作对称点A′，连A′Q、A′M，
则A′Q＝AQ，A′M＝AM＝6，∠A′MN＝∠AMN＝45°．
∴∠A′MA＝90°，AQ+BQ＝A′Q+BQ．根据两点之间线段最短可知：
当A′、Q、B三点共线时，AQ+BQ＝A′Q+BQ最短，最小值为A′B长．
设直线BP与A′M相交于点H，则BH⊥A′M．
在Rt△A′HB中，∠A′HB＝90，BH＝OM＝8，A′H＝A′M﹣MH＝6﹣3＝3，
∴A′B＝＝＝．
当A′、Q、B三点共线时，
∵BN∥A′M，∴△BQN∽△A′QM．
根据相似三角形对应高的比等于相似比可得：
＝＝，解得xQ＝．
∴a+3＝．∴a＝．
∴当a＝ 时，AQ+BQ的值最小为．
故答案为：（4，4）、、．


【点评】这道题考查了全等的性质与判定、相似的性质与判定，两点之间线段最短，勾股定理等知识，综合性很强，求出动点Q所在直线的解析式是解决这道难题的关键；当直角坐标系中出现等腰直角三角形时，可考虑构造全等三角形，找出线段之间的等量关系，从而将条件与所求线段有机地联系起来；若要求一个动点到两个定点的距离之和的最小值，应联想到“将军饮马”这个基本模型．
考点卡片
1．一次函数的性质
一次函数的性质：
k＞0，y随x的增大而增大，函数从左到右上升；k＜0，y随x的增大而减小，函数从左到右下降．
由于y＝kx+b与y轴交于（0，b），当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当b＜0时，（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴．
2．一次函数图象上点的坐标特征
一次函数y＝kx+b，（k≠0，且k，b为常数）的图象是一条直线．它与x轴的交点坐标是（﹣，0）；与y轴的交点坐标是（0，b）．
直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y＝kx+b．
3．待定系数法求一次函数解析式
待定系数法求一次函数解析式一般步骤是：
（1）先设出函数的一般形式，如求一次函数的解析式时，先设y＝kx+b；
（2）将自变量x的值及与它对应的函数值y的值代入所设的解析式，得到关于待定系数的方程或方程组；
（3）解方程或方程组，求出待定系数的值，进而写出函数解析式．
注意：求正比例函数，只要一对x，y的值就可以，因为它只有一个待定系数；而求一次函数y＝kx+b，则需要两组x，y的值．
4．两条直线相交或平行问题
直线y＝kx+b，（k≠0，且k，b为常数），当k相同，且b不相等，图象平行；当k不同，且b相等，图象相交；当k，b都相同时，两条线段重合．
（1）两条直线的交点问题
两条直线的交点坐标，就是由这两条直线相对应的一次函数表达式所组成的二元一次方程组的解．
（2）两条直线的平行问题
若两条直线是平行的关系，那么他们的自变量系数相同，即k值相同．
例如：若直线y1＝k1x+b1与直线y2＝k2x+b2平行，那么k1＝k2．
5．一次函数的应用
1、分段函数问题
分段函数是在不同区间有不同对应方式的函数，要特别注意自变量取值范围的划分，既要科学合理，又要符合实际．
2、函数的多变量问题
解决含有多变量问题时，可以分析这些变量的关系，选取其中一个变量作为自变量，然后根据问题的条件寻求可以反映实际问题的函数．
3、概括整合
（1）简单的一次函数问题：①建立函数模型的方法；②分段函数思想的应用．
（2）理清题意是采用分段函数解决问题的关键．
6．一次函数综合题
（1）一次函数与几何图形的面积问题
首先要根据题意画出草图，结合图形分析其中的几何图形，再求出面积．
（2）一次函数的优化问题
通常一次函数的最值问题首先由不等式找到x的取值范围，进而利用一次函数的增减性在前面范围内的前提下求出最值．
（3）用函数图象解决实际问题
从已知函数图象中获取信息，求出函数值、函数表达式，并解答相应的问题．
7．全等三角形的判定与性质
（1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
（2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．
8．线段垂直平分线的性质
（1）定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）垂直平分线，简称“中垂线”．
（2）性质：①垂直平分线垂直且平分其所在线段． ②垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等． ③三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相等．
9．勾股定理
（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．
（3）勾股定理公式a2+b2＝c2 的变形有：a＝，b＝及c＝．
（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边．
10．菱形的性质
（1）菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．
（2）菱形的性质
①菱形具有平行四边形的一切性质；
②菱形的四条边都相等；
③菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；
④菱形是轴对称图形，它有2条对称轴，分别是两条对角线所在直线．
（3）菱形的面积计算
①利用平行四边形的面积公式．
②菱形面积＝ab．（a、b是两条对角线的长度）
11．矩形的性质
（1）矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形．
（2）矩形的性质
①平行四边形的性质矩形都具有；
②角：矩形的四个角都是直角；
③边：邻边垂直；
④对角线：矩形的对角线相等；
⑤矩形是轴对称图形，又是中心对称图形．它有2条对称轴，分别是每组对边中点连线所在的直线；对称中心是两条对角线的交点．
（3）由矩形的性质，可以得到直角三角形的一个重要性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
12．坐标与图形变化-对称
（1）关于x轴对称
横坐标相等，纵坐标互为相反数．
（2）关于y轴对称
纵坐标相等，横坐标互为相反数．
（3）关于直线对称
①关于直线x＝m对称，P（a，b）⇒P（2m﹣a，b）
②关于直线y＝n对称，P（a，b）⇒P（a，2n﹣b）
13．相似三角形的判定与性质
（1）相似三角形相似多边形的特殊情形，它沿袭相似多边形的定义，从对应边的比相等和对应角相等两方面下定义；反过来，两个三角形相似也有对应角相等，对应边的比相等．
（2）三角形相似的判定一直是中考考查的热点之一，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；或依据基本图形对图形进行分解、组合；或作辅助线构造相似三角形，判定三角形相似的方法有事可单独使用，有时需要综合运用，无论是单独使用还是综合运用，都要具备应有的条件方可．