2022年中考数学复习之挑战压轴题（选择题）：二次函数（含答案）

这是一份2022年中考数学复习之挑战压轴题（选择题）：二次函数（含答案），共29页。试卷主要包含了，有下列结论，，连接PA，PB，；有如下判断等内容，欢迎下载使用。

1．（2021•罗湖区校级模拟）如图，抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为x＝﹣1，且过点（，0），有下列结论：
①abc＞0； ②a﹣2b+4c＞0；③25a﹣10b+4c＝0；④3b+2c＞0；
其中所有正确的结论是（ ）

A．①③ B．①③④ C．①②③ D．①②③④
2．（2021秋•永嘉县校级月考）抛物线y＝ax2+bx+c开口向上，顶点为（，m），﹣1＜m＜0，抛物线与x轴交于点（x1，0），（x2，0），﹣1＜x1＜0，1＜x2＜2，则下列结论中，正确的结论有（ ）
①abc＞0；②2a+3b＝0；③（a+c）2＜b2；④﹣＜b＜0．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．（2021秋•永嘉县校级月考）如图，若抛物线y＝x2﹣4x与x轴正半轴相交于点A，点P是y轴上一动点，过点P作直线l∥x轴，与抛物线相交于B，C两点（B在C的左侧），过点C作CD⊥x轴于D，连接AB，DP，若OC将四边形BADP的面积分成2：1的两部分，则OC的解析式为（ ）

A．y＝x B．y＝2x C．y＝4x D．y＝8x
4．（2021•阳新县校级模拟）在平面直角坐标系xOy中，直线y＝kx（k为常数）与抛物线y＝x2﹣2交于A，B两点，且A点在y轴左侧，P点坐标为（0，﹣4），连接PA，PB．有以下说法：
①PO2＝PA•PB； ②当k＞0时，（PA+AO）（PB﹣BO）的值随k的增大而增大；
③当k＝﹣时，BP2＝BO•BA；④△PAB面积的最小值为4，
其中正确的个数是（ ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．（2021秋•鹿城区校级月考）如图，平面直角坐标系中，已知A（m，0），B（m+2，0），C（m+5，0），抛物线y＝ax2+bx+c过A点、B点，顶点为P，抛物线y＝ex2+fx+g过A点、C点，顶点为Q，若A，P，Q三点共线，则a：e的值为（ ）

A． B． C． D．
6．（2021•绵竹市模拟）如图，已知点A（12，0），O为坐标原点，P是线段OA上任意一点（不含端点O，A），过P、O两点的二次函数y1和过P、A两点的二次函数y2的图象开口均向下，它们的顶点分别为B、C，射线OB与AC相交于点D．当OD＝AD＝8时，这两个二次函数的最大值之和等于（ ）

A．5 B．2 C．8 D．6
7．（2020•梧州）二次函数y＝（a﹣1）x2﹣（2a﹣3）x+a﹣4的图象与x轴有两个公共点，a取满足条件的最小整数，将图象在x轴上方的部分沿x轴翻折，其余部分保持不变，得到一个新图象，当直线y＝kx﹣2与新图象恰有三个公共点时，则k的值不可能是（ ）
A．﹣1 B．﹣2 C．1 D．2
8．（2019秋•自贡期末）如图，y＝ax2+bx+c的图象经过点（﹣1，0），（m，0）；有如下判断：
①abc＜0；②b＞3c；③＝1﹣；④|am+a|＝．
其中正确的判断有（ ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．（2019秋•瑞安市月考）如图，二次函数y＝x2﹣2与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点D与点C关于x轴对称，点P从A点出发向点D运动，点Q在DB上，且∠PCQ＝45°，则封闭图形DPCQ（阴影部分）面积的变化情况是（ ）

A．一直变大 B．始终不变
C．先增大后减少 D．先减少后增大
10．（2019•资阳模拟）如图，已知抛物线y＝﹣x2+m（m＞0）的图象分别交x轴于A、B两点，交y轴于点C，点D是y轴上一点，线段BC的延长线交线段AD于点P．若BP＝，△DPC与△COB的面积相等，则点C的坐标为（ ）

A．（0，6） B．（0，3） C．（0，2） D．（0，1）
2022年中考数学复习之挑战压轴题（选择题）：二次函数（10题）
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．（2021•罗湖区校级模拟）如图，抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为x＝﹣1，且过点（，0），有下列结论：
①abc＞0； ②a﹣2b+4c＞0；③25a﹣10b+4c＝0；④3b+2c＞0；
其中所有正确的结论是（ ）

A．①③ B．①③④ C．①②③ D．①②③④
【考点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征．
【专题】推理填空题；二次函数图象及其性质；推理能力．
【分析】①根据抛物线的开口方向、对称轴、与y轴的交点即可得结论；
②根据抛物线与x轴的交点坐标即可得结论；
③根据对称轴和与x轴的交点得另一个交点坐标，把另一个交点坐标代入抛物线解析式即可得结论；
④根据点（，0）和对称轴方程即可得结论．
【解答】解：①观察图象可知：
a＜0，b＜0，c＞0，∴abc＞0，
所以①正确；
②当x＝时，y＝0，
即a+b+c＝0，
∴a+2b+4c＝0，
∴a+4c＝﹣2b，
∴a﹣2b+4c＝﹣4b＞0，
所以②正确；
③因为对称轴x＝﹣1，抛物线与x轴的交点（，0），
所以与x轴的另一个交点为（﹣，0），
当x＝﹣时，a﹣b+c＝0，
∴25a﹣10b+4c＝0．
所以③正确；
④当x＝时，a+2b+4c＝0，
又对称轴：﹣＝﹣1，
∴b＝2a，a＝b，
b+2b+4c＝0，
∴b＝﹣c．
∴3b+2c＝﹣c+2c＝﹣c＜0，
∴3b+2c＜0．
所以④错误．
或者∵当x＝1时，a+b+c＜0，
∴c＜﹣a﹣b，
又∵b＝2a，
∴a＝b，
∴c＜﹣b，
∴2c＜﹣3b，
∴2c+3b＜0，
∴结论④错误
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征，解决本题的关键是熟练运用二次函数的图象和性质．
2．（2021秋•永嘉县校级月考）抛物线y＝ax2+bx+c开口向上，顶点为（，m），﹣1＜m＜0，抛物线与x轴交于点（x1，0），（x2，0），﹣1＜x1＜0，1＜x2＜2，则下列结论中，正确的结论有（ ）
①abc＞0；②2a+3b＝0；③（a+c）2＜b2；④﹣＜b＜0．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【考点】二次函数图象与系数的关系；抛物线与x轴的交点．
【专题】二次函数图象及其性质．
【分析】根据抛物线开口方向、对称轴位置、与y轴交点判断a、b、c的正负，根据对称轴判断a与b的关系式，根据特殊值x＝1和﹣1判断a+b+c与a﹣b+c的正负，根据﹣1＜m＜0判断a、b、c的关系，然后综合分析即可．
【解答】解：①由图象可知，a＞0，b＜0，c＜0，所以abc＞0，故①正确；
②，3b＝﹣2a，2a+3b＝0，故②正确；
③由图象可知，x＝1时，a+b+c＜0，a+c＜﹣b
x＝﹣1时，a﹣b+c＞0，a+c＞b，
∵b＜0，
∴|a+c|＜|b|，
∴（a+c）2＜b2．故③正确；
④x＝1时，y＝a+b+c＜0，9a+9b+9c＜0，；
当x＝时，m＝，
由﹣1＜m＜0，得﹣1＜＜0，
﹣9＜a+3b+9c＜0，即0＜﹣a﹣3b﹣9c＜9
∴
两个不等式相加，得8a+6b＜9，
由②2a+3b＝0，2a＝﹣3b，
∴﹣6b＜9，
∴b＞，
∵，
∴b＞，又b＜0，
∴＜b＜0．
故④错误．
故选：C．

【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系，应先观察图象得到信息，再进行判断．
3．（2021秋•永嘉县校级月考）如图，若抛物线y＝x2﹣4x与x轴正半轴相交于点A，点P是y轴上一动点，过点P作直线l∥x轴，与抛物线相交于B，C两点（B在C的左侧），过点C作CD⊥x轴于D，连接AB，DP，若OC将四边形BADP的面积分成2：1的两部分，则OC的解析式为（ ）

A．y＝x B．y＝2x C．y＝4x D．y＝8x
【考点】抛物线与x轴的交点；待定系数法求一次函数解析式；二次函数图象上点的坐标特征．
【专题】二次函数图象及其性质．
【分析】如图，设OC交AB于M，交PD于N．首先证明四边形ODCP是矩形，△CPN≌△ODN，推出PN＝DN，设PN＝DN＝a，AM＝x根据对称性可知：四边形ABPD是平行四边形，推出AB＝PD＝2a，BM＝2a﹣x，因为OC将四边形BADP的面积分成2：1的两部分，BM＞AM，可得a+2a﹣x＝2（x+a），推出a＝3x，推出AM＝x，BM＝5x，设AD＝PB＝m，由OA∥BC，可得＝，即＝，解得m＝8，求出点C坐标即可解决问题．
【解答】解：如图，设OC交AB于M，交PD于N．

∵PC∥OD，CD⊥OD，
∴∠CPO＝∠CDO＝∠POD＝90°，
∴四边形ODCP是矩形，
∴PC＝OD，
∵∠CNP＝∠OND，∠CPN＝∠ODN，
∴△CPN≌△ODN，
∴PN＝DN，设PN＝DN＝a，AM＝x
根据对称性可知：PB＝AD，∵PB∥AD，
∴四边形ABPD是平行四边形，
∴AB＝PD＝2a，BM＝2a﹣x，
∵OC将四边形BADP的面积分成2：1的两部分，BM＞AM，
∴a+2a﹣x＝2（x+a），
∴a＝3x，
∴AM＝x，BM＝5x，设AD＝PB＝m，
∵OA∥BC，
∴＝，
∴＝，
解得m＝8，
∴OD＝12，C（12，96），
设直线OC的解析式为y＝kx，则有96＝12k，
解得k＝8，
∴直线OC的解析式为y＝8x，
故选：D．
【点评】本题考查抛物线与x轴的交点、全等三角形的判定和性质、平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是学会利用此时解决问题，属于中考选择题中的压轴题．
4．（2021•阳新县校级模拟）在平面直角坐标系xOy中，直线y＝kx（k为常数）与抛物线y＝x2﹣2交于A，B两点，且A点在y轴左侧，P点坐标为（0，﹣4），连接PA，PB．有以下说法：
①PO2＝PA•PB； ②当k＞0时，（PA+AO）（PB﹣BO）的值随k的增大而增大；
③当k＝﹣时，BP2＝BO•BA；④△PAB面积的最小值为4，
其中正确的个数是（ ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【考点】二次函数综合题．
【分析】（1）说法①错误．如答图1，设点A关于y轴的对称点为A′，若结论①成立，则可以证明△POA′∽△PBO，得到∠AOP＝∠PBO．而∠AOP是△PBO的外角，∠AOP＞∠PBO，由此产生矛盾，故说法①错误；
（2）说法②错误．如答图2，可求得（PA+AO）（PB﹣BO）＝16为定值，故错误；
（3）说法③正确．联立方程组，求得点A、B坐标，进而求得BP、BO、BA，验证等式BP2＝BO•BA成立，故正确；
（4）说法④正确．由根与系数关系得到：S△PAB＝2，当k＝0时，取得最小值为4，故正确．
【解答】解：设A（m，km），B（n，kn），其中m＜0，n＞0．
联立y＝x2﹣2与y＝kx得：x2﹣2＝kx，即x2﹣3kx﹣6＝0，
∴m+n＝3k，mn＝﹣6．
设直线PA的解析式为y＝ax+b，将P（0，﹣4），A（m，km）代入得：
，
解得a＝，b＝﹣4，
∴y＝（）x﹣4．
令y＝0，得x＝，
∴直线PA与x轴的交点坐标为（，0）．
同理可得，直线PB的解析式为y＝（）x﹣4，直线PB与x轴交点坐标为（，0）．
∵+＝＝＝0，
∴直线PA、PB与x轴的交点关于y轴对称，即直线PA、PB关于y轴对称．
（1）说法①错误．理由如下：
如答图1所示，∵PA、PB关于y轴对称，
∴点A关于y轴的对称点A′落在PB上．
连接OA′，则OA＝OA′，∠POA＝∠POA′．

假设结论：PO2＝PA•PB成立，即PO2＝PA′•PB，
∴＝，
又∵∠BPO＝∠BPO，
∴△POA′∽△PBO，
∴∠POA′＝∠PBO，
∴∠AOP＝∠PBO．
而∠AOP是△PBO的外角，
∴∠AOP＞∠PBO，矛盾，
∴说法①错误．
（2）说法②错误．理由如下：
易知：＝﹣，
∴OB＝﹣OA．
由对称可知，PO为△APB的角平分线，
∴＝，
∴PB＝﹣PA．
∴（PA+AO）（PB﹣BO）＝（PA+AO）[﹣PA﹣（﹣OA）]＝﹣（PA+AO）（PA﹣OA）＝﹣（PA2﹣AO2）．
如答图2所示，过点A作AD⊥y轴于点D，则OD＝﹣km，PD＝4+km．

∴PA2﹣AO2＝（PD2+AD2）﹣（OD2+AD2）＝PD2﹣OD2＝（4+km）2﹣（﹣km）2＝8km+16，
∵m+n＝3k，∴k＝（m+n），
∴PA2﹣AO2＝8•（m+n）•m+16＝m2+mn+16＝m2+×（﹣6）+16＝m2．
∴（PA+AO）（PB﹣BO）＝﹣（PA2﹣AO2）＝﹣•m2＝﹣mn＝﹣×（﹣6）＝16．
即：（PA+AO）（PB﹣BO）为定值，所以说法②错误．
（3）说法③正确．理由如下：
当k＝﹣时，联立方程组：，得A（﹣2，2），B（，﹣1），
∴BP2＝12，BO•BA＝2×6＝12，
∴BP2＝BO•BA，故说法③正确．
（4）说法④正确．理由如下：
S△PAB＝S△PAO+S△PBO＝OP•（﹣m）+OP•n＝OP•（n﹣m）＝2（n﹣m）＝2＝2，
∴当k＝0时，△PAB面积有最小值，最小值为2＝4．
故说法④正确．
综上所述，正确的说法是：③④．
故选：B．
【点评】本题是代数几何综合题，难度很大．解答中首先得到两个基本结论，其中PA、PB的对称性是判定说法①的基本依据，根与系数关系的结论是判定说法②、④的关键依据．正确解决本题的关键是打好数学基础，将平时所学知识融会贯通、灵活运用．
5．（2021秋•鹿城区校级月考）如图，平面直角坐标系中，已知A（m，0），B（m+2，0），C（m+5，0），抛物线y＝ax2+bx+c过A点、B点，顶点为P，抛物线y＝ex2+fx+g过A点、C点，顶点为Q，若A，P，Q三点共线，则a：e的值为（ ）

A． B． C． D．
【考点】二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征．
【专题】二次函数图象及其性质；推理能力．
【分析】由题意得点P的横坐标为m+1，点Q的横坐标为m+2.5．根据两个函数与x轴交点的坐标，将函数解析式转化为交点式，然后出去顶点的纵坐标，根据相似列出关于a和e的等式即可．
【解答】解：如图，作PE⊥x轴，QF⊥x轴，
∵抛物线y＝ax2+bx+c过A（m，0），B（m+2，0）两点，
∴设它的解析式为y＝a（x﹣m）（x﹣m﹣2），对称轴为直线x＝m+1，
∴它的顶点P的坐标为（m+1，﹣a），
∴PE＝a．
∵抛物线y＝ex2+fx+g过A（m，0），C（m+5，0）两点，
∴设它的解析式为y＝e（x﹣m）（x﹣m﹣5），对称轴为直线x＝m+2.5，
∴它的顶点Q的坐标为（m+2.5，﹣6.25e）．
∴QF＝6.25e．
∵AB＝2，AC＝5，
∴AE＝1，AF＝2.5．
∵PE∥QF，
∴△APE∽AQF，
∴，
∴，
∴．
故选：B．

【点评】本题考查了二次函数图象与性质，以及相似三角形判定和性质，解题的关键是将原函数解析式转化为交点式，求出函数的顶点坐标．
6．（2021•绵竹市模拟）如图，已知点A（12，0），O为坐标原点，P是线段OA上任意一点（不含端点O，A），过P、O两点的二次函数y1和过P、A两点的二次函数y2的图象开口均向下，它们的顶点分别为B、C，射线OB与AC相交于点D．当OD＝AD＝8时，这两个二次函数的最大值之和等于（ ）

A．5 B．2 C．8 D．6
【考点】二次函数综合题．
【专题】压轴题．
【分析】过B作BF⊥OA于F，过D作DE⊥OA于E，过C作CM⊥OA于M，则BF+CM是这两个二次函数的最大值之和，BF∥DE∥CM，求出AE＝OE＝6，DE＝2．设P（2x，0），根据二次函数的对称性得出OF＝PF＝x，推出△OBF∽△ODE，△ACM∽△ADE，得出＝，＝，代入求出BF和CM，相加即可求出答案．
【解答】解：过B作BF⊥OA于F，过D作DE⊥OA于E，过C作CM⊥OA于M，
∵BF⊥OA，DE⊥OA，CM⊥OA，
∴BF∥DE∥CM，
∵OD＝AD＝8，DE⊥OA，
∴OE＝EA＝OA＝6，
由勾股定理得：DE＝＝2．
设P（2x，0），根据二次函数的对称性得出OF＝PF＝x，
∵BF∥DE∥CM，
∴△OBF∽△ODE，△ACM∽△ADE，
∴＝，＝，
∵AM＝PM＝（OA﹣OP）＝（12﹣2x）＝6﹣x，
即＝，＝，
解得：BF＝x，CM＝2﹣x，
∴BF+CM＝2．
故选：B．

【点评】此题考查了二次函数的最值，勾股定理，等腰三角形的性质，以及相似三角形的性质和判定的应用，题目比较好，但是有一定的难度，属于综合性试题．
7．（2020•梧州）二次函数y＝（a﹣1）x2﹣（2a﹣3）x+a﹣4的图象与x轴有两个公共点，a取满足条件的最小整数，将图象在x轴上方的部分沿x轴翻折，其余部分保持不变，得到一个新图象，当直线y＝kx﹣2与新图象恰有三个公共点时，则k的值不可能是（ ）
A．﹣1 B．﹣2 C．1 D．2
【考点】抛物线与x轴的交点；一次函数图象与系数的关系；一次函数图象上点的坐标特征；二次函数的性质；二次函数图象与几何变换；二次函数的最值．
【专题】分类讨论；二次函数图象及其性质；数据分析观念．
【分析】由二次函数y＝（a﹣1）x2﹣（2a﹣3）x+a﹣4的图象与x轴有两个公共点，则Δ＞0且a≠1，得到a＝2．①当k＞0时，直线y＝kx﹣2与新图象恰有三个公共点时，此时直线过点B、C，故将点B的坐标代入y＝kx﹣2，即可求解；②当k＜0时，直线y＝kx﹣2与新图象恰有三个公共点时，则此时直线过A、C点或直线与y＝x2﹣x﹣2只有一个交点，进而求解．
【解答】解：∵二次函数y＝（a﹣1）x2﹣（2a﹣3）x+a﹣4的图象与x轴有两个公共点，
则Δ＞0且a≠1，
当△＝（﹣2a+3）2﹣4（a﹣1）（a﹣4）＝8a﹣7＞0时，解得a＞，
∵a取满足条件的最小整数，而a≠1，
故a＝2，
当a＝2时，y＝（a﹣1）x2﹣（2a﹣3）x+a﹣4＝x2﹣x﹣2，
设原抛物线交x轴于点A、B，交y轴于点C，将图象在x轴上方的部分沿x轴翻折，其余部分保持不变，得到一个新图象，如下图所示，

对于y＝x2﹣x﹣2，令y＝0，则y＝x2﹣x﹣2＝0，解得x＝﹣1或2，令x＝0，则y＝﹣2，
故点A、B、C的坐标分别为（﹣1，0）、（2，0）、（0，﹣2），
由直线y＝kx﹣2知，该直线过点C，
①当k＞0时，
∵直线y＝kx﹣2与新图象恰有三个公共点时，
则此时直线过点B、C，
将点B的坐标代入y＝kx﹣2得：0＝2k﹣2，
解得k＝1；
②当k＜0时，
∵直线y＝kx﹣2与新图象恰有三个公共点时，
则此时直线过A、C点或直线与y＝x2﹣x﹣2只有一个交点，
当直线过点A、C时，
将点A的坐标代入直线表达式得：0＝﹣k﹣2，
解得k＝﹣2，
当直线与y＝x2﹣x﹣2只有一个交点时，
联立直线和抛物线的表达式得：x2﹣x﹣2＝kx﹣2，即x2﹣（k+1）x＝0，
则△＝（﹣k﹣1）2﹣4×1×0＝0，
解得k＝﹣1，
综上，k＝1或﹣2或﹣1，
故选：D．
【点评】本题考查的是抛物线与x轴的交点，涉及到一次函数、根的判别式等知识点，分类求解是本题解题的关键．
8．（2019秋•自贡期末）如图，y＝ax2+bx+c的图象经过点（﹣1，0），（m，0）；有如下判断：
①abc＜0；②b＞3c；③＝1﹣；④|am+a|＝．
其中正确的判断有（ ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【考点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征．
【专题】二次函数图象及其性质；推理能力；模型思想．
【分析】根据抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标以及与一元二次方程的关系，逐个进行判断，最后得出答案．
【解答】解：抛物线开口向下．则a＜0，对称轴在y轴右侧，a、b异号，有b＞0，与y轴交于正半轴，则c＞0，因此abc＜0，故①正确；
y＝ax2+bx+c的图象经过点（﹣1，0），则a﹣b+c＝0，即：b＝a+c，又a＜0，c＞0，所以b＜c，因此b＞3c不正确，即②不正确；
x1＝﹣1，x2＝m是方程，ax2+bx+c＝0的两个根，则有x1•x2＝﹣m＝，所以＝﹣，
又∵a﹣b+c＝0，c＞0，
∴﹣+1＝0，
即：1﹣＝﹣＝，因此③正确；
∵x1＝﹣1，x2＝m是方程，ax2+bx+c＝0的两个根，
∴x1＝＝﹣1，x2＝＝m，
∴x1﹣x2＝﹣＝﹣1﹣m，
即：＝﹣a﹣am，也就是：＝|am+a|，因此④正确；
综上所述，正确的结论有3个，
故选：C．
【点评】考查二次函数的图象和性质，二次函数与一元二次方程的关系，掌握a、b、c的值与抛物线位置的关系是解决问题的前提，二次函数与一元二次方程的关系是解决问题的关键．
9．（2019秋•瑞安市月考）如图，二次函数y＝x2﹣2与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点D与点C关于x轴对称，点P从A点出发向点D运动，点Q在DB上，且∠PCQ＝45°，则封闭图形DPCQ（阴影部分）面积的变化情况是（ ）

A．一直变大 B．始终不变
C．先增大后减少 D．先减少后增大
【考点】抛物线与x轴的交点；关于x轴、y轴对称的点的坐标；二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征．
【专题】二次函数图象及其性质；矩形 菱形 正方形；推理能力．
【分析】先证明四边形ABCD是正方形，将△ACP绕点C顺时针旋转90°，得到△CAP≌△CBP′进而证得△CPQ≌△CP′Q，得到PQ＝PQ′，CB＝CH＝CA，故△CHP≌△CAP，△CHQ≌△CBQ，得到PH＝PA，QH＝QB，故S四边形CPDQ＝S正方形ABCD﹣S△CAP﹣S△CBQ＝S正方形ABCD﹣S△CQP′，当点P是AD中点时，PQ最短，当QP′最短时，△CQP′的面积最小，此时四边形CPDQ的面积最大，故可得到四边形CPDQ的面积先增大后减小．
【解答】解：（1）令y＝x2﹣2＝0，解得x1＝﹣2，x2＝2，
∴A（﹣2，0），B（2，0），
令x＝0，解得y＝﹣2，
∴C（0，﹣2），
故D（0，2），
∴AO＝BO＝CO＝DO，AB⊥CD，
则四边形ABCD是正方形，
将△ACP绕点C顺时针旋转90°得到△CBP′，过C点作CH⊥QP于H点，
∴△CAP≌△CBP′，
∴∠PCP′＝∠PCB+∠BCP′＝∠PCB+∠ACP＝90°，
∵∠PCQ＝45°，
∴∠P′CQ＝45°，
又∵CQ＝CQ，CP＝CP′，
∴△CPQ≌△CP′Q（ASA），
∴PQ＝PQ′，
∵CH⊥PQ，CB⊥QP′，
∴CB＝CH＝CA，
又CP＝CP，
∴Rt△CHP≌Rt△CAP（HL），Rt△CHQ≌Rt△CBQ（HL），
∴PH＝PA，QH＝QB，
故S四边形CPDQ＝S正方形ABCD﹣S△CAP﹣S△CBQ＝S正方形ABCD﹣S△CQP′，
当点P是AD中点时，PQ最短，即QP′最短时，△CQP′的面积最小，
此时四边形CPDQ的面积最大，
故可得到四边形CPDQ的面积先增大后减小．
故选：C．

【点评】此题主要考查二次函数与几何综合，解题的关键是熟知二次函数的图象及正方形的性质与判定、全等三角形的判定与性质．
10．（2019•资阳模拟）如图，已知抛物线y＝﹣x2+m（m＞0）的图象分别交x轴于A、B两点，交y轴于点C，点D是y轴上一点，线段BC的延长线交线段AD于点P．若BP＝，△DPC与△COB的面积相等，则点C的坐标为（ ）

A．（0，6） B．（0，3） C．（0，2） D．（0，1）
【考点】抛物线与x轴的交点．
【专题】计算题；探究型；函数思想；构造法；二次函数图象及其性质．
【分析】连接AC，由抛物线y＝﹣x2+m（m＞0）得抛物线关于y轴对称，令﹣x2+m＝0，解得x＝±，于是得到A（﹣，0），B（，0），且S△AOC＝S△BOC，现有S△BOC＝S△DCP，则S△AOC＝S△DPC，此时应有CD＝2CO＝2m，CD边上的高为，过P向x轴作垂线交x轴于点Q，得PQ＝m，BQ＝+＝，再由勾股定理PQ2+BQ2＝BP2，即可求出m的值，进而求得C点坐标．
【解答】
解：如图连接AC，过P作PQ⊥x轴于点Q，作PE⊥y轴于点E．
由抛物线图象的C（0，m）．
令﹣x2+m＝0，解得x＝±，
∴A（﹣，0），B（，0），
∵S△PDC＝S△BOC，
∴S△AOD＝S△PAB，
∴•OA•OD＝•2OA•PQ，
∴OD＝2PQ，
∵PQ∥OD，∴AP＝PD，
∵EP∥OA，
∴DE＝EO，
∴PE＝AO，
∴PE＝AO＝，CD＝2m
设直线BC的解析式为，y＝kx+b．
则把B（，0），C（0，m）代入上式得，
解得，
∴直线BC的解析式为，y＝﹣+m．
又∵P在BC的延长线上，则设P（﹣，p）
代入y＝﹣x+m得，p＝﹣•（﹣）+m，解得p＝
∴P（﹣，）
∴PQ＝
在Rt△PQB中，PQ2+BQ2＝BP2
∴（）2+（）2＝（）2
整理得，m2+m﹣6＝0
解得，m＝﹣3或m＝2
又∵m＞0
∴m＝2
即C点坐标为（0，2）．
故选：C．
【点评】本题考查了，二次函数与一次函数的图象与性质，利用待定系数法设出点的坐标，分别代入解析式表示出关键点的坐标，再利用图形的性质表示长度和列出方程求解未知数的基本思路．
考点卡片
1．一次函数图象与系数的关系
由于y＝kx+b与y轴交于（0，b），当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当b＜0时，（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴．
①k＞0，b＞0⇔y＝kx+b的图象在一、二、三象限；
②k＞0，b＜0⇔y＝kx+b的图象在一、三、四象限；
③k＜0，b＞0⇔y＝kx+b的图象在一、二、四象限；
④k＜0，b＜0⇔y＝kx+b的图象在二、三、四象限．
2．一次函数图象上点的坐标特征
一次函数y＝kx+b，（k≠0，且k，b为常数）的图象是一条直线．它与x轴的交点坐标是（﹣，0）；与y轴的交点坐标是（0，b）．
直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y＝kx+b．
3．待定系数法求一次函数解析式
待定系数法求一次函数解析式一般步骤是：
（1）先设出函数的一般形式，如求一次函数的解析式时，先设y＝kx+b；
（2）将自变量x的值及与它对应的函数值y的值代入所设的解析式，得到关于待定系数的方程或方程组；
（3）解方程或方程组，求出待定系数的值，进而写出函数解析式．
注意：求正比例函数，只要一对x，y的值就可以，因为它只有一个待定系数；而求一次函数y＝kx+b，则需要两组x，y的值．
4．二次函数的性质
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（﹣，），对称轴直线x＝﹣，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质：
①当a＞0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，x＜﹣时，y随x的增大而减小；x＞﹣时，y随x的增大而增大；x＝﹣时，y取得最小值，即顶点是抛物线的最低点．
②当a＜0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，x＜﹣时，y随x的增大而增大；x＞﹣时，y随x的增大而减小；x＝﹣时，y取得最大值，即顶点是抛物线的最高点．
③抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象可由抛物线y＝ax2的图象向右或向左平移|﹣|个单位，再向上或向下平移||个单位得到的．
5．二次函数图象与系数的关系
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）
①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．
当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；|a|还可以决定开口大小，|a|越大开口就越小．
②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置．
当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左侧； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右侧．（简称：左同右异）
③．常数项c决定抛物线与y轴交点． 抛物线与y轴交于（0，c）．
④抛物线与x轴交点个数．
△＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
6．二次函数图象上点的坐标特征
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象是抛物线，顶点坐标是（﹣，）．
①抛物线是关于对称轴x＝﹣成轴对称，所以抛物线上的点关于对称轴对称，且都满足函数函数关系式．顶点是抛物线的最高点或最低点．
②抛物线与y轴交点的纵坐标是函数解析中的c值．
③抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，设两个交点分别是（x1，0），（x2，0），则其对称轴为x＝．
7．二次函数图象与几何变换
由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．
8．二次函数的最值
（1）当a＞0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而减少；在对称轴右侧，y随x的增大而增大，因为图象有最低点，所以函数有最小值，当x＝时，y＝．
（2）当a＜0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而增大；在对称轴右侧，y随x的增大而减少，因为图象有最高点，所以函数有最大值，当x＝时，y＝．
（3）确定一个二次函数的最值，首先看自变量的取值范围，当自变量取全体实数时，其最值为抛物线顶点坐标的纵坐标；当自变量取某个范围时，要分别求出顶点和函数端点处的函数值，比较这些函数值，从而获得最值．
9．抛物线与x轴的交点
求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标，令y＝0，即ax2+bx+c＝0，解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标．
（1）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的交点与一元二次方程ax2+bx+c＝0根之间的关系．
△＝b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数．
△＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；
△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；
△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
（2）二次函数的交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0），可直接得到抛物线与x轴的交点坐标（x1，0），（x2，0）．
10．二次函数综合题
（1）二次函数图象与其他函数图象相结合问题
解决此类问题时，先根据给定的函数或函数图象判断出系数的符号，然后判断新的函数关系式中系数的符号，再根据系数与图象的位置关系判断出图象特征，则符合所有特征的图象即为正确选项．
（2）二次函数与方程、几何知识的综合应用
将函数知识与方程、几何知识有机地结合在一起．这类试题一般难度较大．解这类问题关键是善于将函数问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件．
（3）二次函数在实际生活中的应用题
从实际问题中分析变量之间的关系，建立二次函数模型．关键在于观察、分析、创建，建立直角坐标系下的二次函数图象，然后数形结合解决问题，需要我们注意的是自变量及函数的取值范围要使实际问题有意义．
11．关于x轴、y轴对称的点的坐标
（1）关于x轴的对称点的坐标特点：
横坐标不变，纵坐标互为相反数．
即点P（x，y）关于x轴的对称点P′的坐标是（x，﹣y）．
（2）关于y轴的对称点的坐标特点：
横坐标互为相反数，纵坐标不变．
即点P（x，y）关于y轴的对称点P′的坐标是（﹣x，y）．