2022年中考数学复习之挑战压轴题（选择题）：圆（含答案）

这是一份2022年中考数学复习之挑战压轴题（选择题）：圆（含答案），共28页。

A． B．1 C． D．
2．（2020•掇刀区模拟）如图，在等腰直角△ABC中，斜边AB的长度为8，以AC为直径作圆，点P为半圆上的动点，连接BP，取BP的中点M，则CM的最小值为（ ）

A．3 B．2﹣ C．﹣ D．3﹣
3．（2020•奉化区校级模拟）已知⊙O的半径为2，A为圆内一定点，AO＝1．P为圆上一动点，以AP为边作等腰△APG，AP＝PG，∠APG＝120°，OG的最大值为（ ）

A．1+ B．1+2 C．2+ D．2﹣1
4．（2021•武汉模拟）如图，AB是⊙O的直径，BC是弦，D是OB的中点，F是⊙O上一点，连接DF，AC⊥DF于点E，若BC＝，OD＝ED，则DF的长是（ ）

A．+1 B． C．+1 D．
5．（2021•盐田区模拟）如图，已知M（0，2），A（2，0），以点M为圆心，MA为半径作⊙M，与x轴的另一个交点为B，点C是⊙M上的一个动点，连接BC，AC，点D是AC的中点，连接OD．给出4个说法：①BC＝2OD；②∠ODA＝45°；③当线段OD取得最大值时，点D的坐标为（1，1+）；④当点C在上运动时，点D的运动路径为π．其中正确的是（ ）

A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
6．（2021•鹿城区校级三模）如图，在⊙O中，将劣弧BC沿弦BC翻折恰好经过圆心O，A是劣弧BC上一点，分别延长CA，BA交圆O于E，D两点，连接BE，CD．若tan∠ECB＝，记△ABE的面积为S1，△ADC的面积为S2．则＝（ ）

A． B． C． D．
7．（2021•湖南模拟）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点G．点F是CD上一点，且满足＝，连接AF并延长交⊙O于点E．连接AD、DE，若CF＝2，AF＝3．给出下列结论：
①△ADF∽△AED；②FG＝2；③tan∠E＝；④S△DEF＝4．
其中正确的是（ ）

A．①②④ B．①②③ C．②③④ D．①③④
8．（2021•沂南县二模）如图，半径为4的⊙O中，CD为直径，弦AB⊥CD且过半径OD的中点，点E为⊙O上一动点，CF⊥AE于点F．当点E从点B出发顺时针运动到点D时，点F所经过的路径长为（ ）

A． B． C． D．
9．（2019•吴兴区校级一模）如图，△ABC内切圆是⊙O，折叠矩形ABCD，使点D、O重合，FG是折痕，点F在AD上，G在ABC上，连接OG，DG，若OG垂直DG，且⊙O的半径为1，则下列结论不成立的是（ ）

A．CD+DF＝4 B．CD﹣DF＝2﹣3 C．BC+AB＝2+4 D．BC﹣AB＝2
10．（2014•青山区模拟）如图，AB是半圆O的直径，射线AM、BN为半圆的切线．在AM上取一点C，连接BC交半圆于点D，连接AD．过O点作BC的垂线ON，与BN相交于点N．过C点作半圆的切线CE，切点为E，与BN相交于点F．当C在AM上移动时（A点除外），设，则n的值为（ ）

A．n＝ B．0＜n≤ C．≤n＜1 D．无法确定
2022年中考数学复习之挑战压轴题（选择题）：圆（10题）
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．（2020•青山区模拟）如图，点C是半圆O的中点，AB是直径，CF⊥弦AD于点E，交AB于点F，若CE＝1，EF＝，则BF的长为（ ）

A． B．1 C． D．
【考点】垂径定理；勾股定理．
【专题】圆的有关概念及性质；运算能力．
【分析】如图，连接AC，BC，OC，过点B作BH⊥CF交CF的延长线于H，设OC交AD于J．利用全等三角形的性质证明CJ＝BF，OJ＝OF，设BF＝CJ＝x，OJ＝OF＝y，构建方程组解决问题即可．
【解答】解：如图，连接AC，BC，OC，过点B作BH⊥CF交CF的延长线于H，设OC交AD于J．

∵＝，
∴AC＝BC，OC⊥AB，
∵AB是直径，
∴ACB＝90°，
∴∠ACJ＝∠CBF＝45°，
∵CF⊥AD，
∴∠ACF+∠CAJ＝90°，∠ACF+∠BCF＝90°，
∴∠CAJ＝∠BCF，
∴△CAJ≌△BCF（ASA），
∴CJ＝BF，AJ＝CF＝1+＝，
∵OC＝OB，
∴OJ＝OF，设BF＝CJ＝x．OJ＝OF＝y，
∵∠AEC＝∠H＝90°，∠CAE＝∠BCH，CA＝CB，
∴△ACE≌△CBH（AAS），
∴EC＝BH＝1，
∵∠ECJ＝∠FCO，∠CEJ＝∠COF＝90°，
∴△CEJ∽△COF，
∴＝＝，
∴＝＝，
∴EJ＝，
∵BF＝CJ，∠H＝∠CEJ，∠CJE＝∠BFH，
∴△BHF≌△CEJ（AAS），
∴FH＝EJ＝，
∵AE∥BH，
∴＝，
∴＝，
整理得，10x2+7xy﹣6y2＝0，
解得x＝y或x＝﹣y（舍弃），
∴y＝2x，
∴＝，
解得x＝或﹣（舍弃）．
∴BF＝，
故选：A．
【点评】本题考查垂径定理，圆周角定理，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形或相似三角形解决问题，学会利用参数构建方程组解决问题，属于中考选择题中的压轴题．
2．（2020•掇刀区模拟）如图，在等腰直角△ABC中，斜边AB的长度为8，以AC为直径作圆，点P为半圆上的动点，连接BP，取BP的中点M，则CM的最小值为（ ）

A．3 B．2﹣ C．﹣ D．3﹣
【考点】点与圆的位置关系；三角形三边关系；等腰直角三角形；三角形中位线定理；圆周角定理．
【专题】动点型；等腰三角形与直角三角形；圆的有关概念及性质；应用意识．
【分析】如图，连接PA、PC，取AB、BC的中点E、F，连接EF、EM、FM．首先证明∠EMF＝90°，推出点M的轨迹是，即EF为直径的半圆，图中红线部分，求出OM，OC即可解决问题．
【解答】解：如图，连接PA、PC，取AB、BC的中点E、F，连接EF、EM、FM，取EF的中点O，连接OM，OC，CM．

∵AC是直径，
∴∠APC＝90°，
∵BE＝EA，BM＝MP，
∴EM∥PA，同理FM∥PC，
∴∠BME＝∠BPA，∠BMF＝∠BPC，
∴∠BME+∠BMF＝∠BPA+∠BPC＝90°，
∴∠EMF＝90°，
∴点M的轨迹是，（EF为直径的半圆，图中红线部分）
∵BC＝AC，∠ACB＝90°，AB＝8，
∴AC＝BC＝4，
∵AE＝EB，BF＝CF＝2，
∴EF＝AC＝2，EF∥AC，
∴∠EFB＝∠EFC＝∠ACB＝90°，OE＝OF＝OM＝，
∴OC＝＝＝，
∵CM≥OC﹣OM，
∴CM≥﹣
故选：C．
【点评】本题考查轨迹、等腰直角三角形的性质、圆的有关知识，解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找点M的运动轨迹，属于中考选择题中的压轴题．
3．（2020•奉化区校级模拟）已知⊙O的半径为2，A为圆内一定点，AO＝1．P为圆上一动点，以AP为边作等腰△APG，AP＝PG，∠APG＝120°，OG的最大值为（ ）

A．1+ B．1+2 C．2+ D．2﹣1
【考点】圆周角定理；等腰三角形的性质．
【专题】动点型；与圆有关的计算．
【分析】如图，将线段OA绕点O顺时针旋转120°得到线段OT，连接AT，GT，OP．则AO＝OT＝1，AT＝，利用相似三角形的性质求出GT，再根据三角形的三边关系解决问题即可，
【解答】解：如图，将线段OA绕点O顺时针旋转120°得到线段OT，连接AT，GT，OP．则AO＝OT＝1，AT＝，

∵△AOT，△APG都是顶角为120°的等腰三角形，
∴∠OAT＝∠PAG＝30°，
∴∠OAP＝∠TAG，＝＝
∴＝，
∴△OAP∽△TAG，
∴＝＝，∵OP＝2，
∴TG＝2，
∵OG≤OT+GT，
∴OG≤1+2，
∴OG的最大值为1+2，
故选：B．
【点评】本题考查圆周角定理，相似三角形的判定和性质，三角形的三边关系等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题．
4．（2021•武汉模拟）如图，AB是⊙O的直径，BC是弦，D是OB的中点，F是⊙O上一点，连接DF，AC⊥DF于点E，若BC＝，OD＝ED，则DF的长是（ ）

A．+1 B． C．+1 D．
【考点】圆周角定理；平行线分线段成比例；勾股定理；垂径定理．
【专题】与圆有关的计算；推理能力．
【分析】连接OF，过点O作OH⊥DF于H．设OD＝DB＝DE＝m，则AB＝4m，AD＝3m，利用平行线分线段成比例定理求出m，OH，DH，再利用勾股定理求出FH，可得结论．
【解答】解：连接OF，过点O作OH⊥DF于H．

设OD＝DB＝DE＝m，则AB＝4m，AD＝3m，
∵AB是直径，DE⊥AC，
∴∠AED＝∠ACB＝90°，
∴DE∥BC，
∴＝，
∴＝，
∴m＝1，
∴AD＝3，DE＝1，
∴AE＝＝2，
∵OH⊥DE，AE⊥DE，
∴OH∥AE，
∴＝＝，
∴＝＝，
∴DH＝，OH＝，
在Rt△OEH中，FH＝＝＝，
∴DF＝DH+FH＝，
故选：D．
【点评】本题考查圆周角定理，平行线的判定和性质，平行线分线段成比例定理，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
5．（2021•盐田区模拟）如图，已知M（0，2），A（2，0），以点M为圆心，MA为半径作⊙M，与x轴的另一个交点为B，点C是⊙M上的一个动点，连接BC，AC，点D是AC的中点，连接OD．给出4个说法：①BC＝2OD；②∠ODA＝45°；③当线段OD取得最大值时，点D的坐标为（1，1+）；④当点C在上运动时，点D的运动路径为π．其中正确的是（ ）

A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
【考点】圆的综合题．
【专题】等腰三角形与直角三角形；圆的有关概念及性质；推理能力．
【分析】由三角形中位线定理可得OD∥BC，BC＝2OD，故①正确；由圆周角定理可得∠BCA＝45°，由平行线性质可得∠C＝∠ODA＝45°，故②正确；由BC＝2OD，可得当BC为直径时，OD有最大值，由等腰直角三角形的性质可求D的坐标为（2，2），故③错误；先确定点D的运动轨迹，可求点D的运动路径为π，故④正确，即可求解．
【解答】解：∵点D是AC的中点，点O在AB的中点，
∴OD∥BC，BC＝2OD，故①正确；
如图，连接MB，MA，

∵M（0，2），A（2，0），
∴MO＝OA＝2，
∴∠AMO＝∠MAO＝45°，
∵MB＝MA，
∴∠MBA＝∠MAB＝45°，
∴∠BMA＝90°，
∴∠BCA＝45°，
∵OD∥BC，
∴∠C＝∠ODA＝45°，故②正确；
∵BC＝2OD，
∴当BC取得最大值时，线段OD取得最大值，如图2，

∵BC为直径，
∴∠CAB＝90°，
∴CA⊥x轴，
∵OB＝OA＝OM，
∴∠ABC＝45°，
∵OD∥BC，
∴AOD＝45°，
∴△AOD是等腰直角三角形，
∴AD＝OA＝2，
∴D的坐标为（2，2），故③错误；
如图3，作△ODA的外接圆⊙E，连接OE，OA，

∵∠AEO＝2∠ODA＝90°，OA＝2，OE＝EA，
∴OE＝，
∵当点C在上运动时，
∴点D在上运动，
∴点D的运动路径长＝＝π，故④正确；
故选：B．
【点评】本题是圆的综合题，考查了圆的有关知识，等腰三角形的性质，三角形中位线定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．
6．（2021•鹿城区校级三模）如图，在⊙O中，将劣弧BC沿弦BC翻折恰好经过圆心O，A是劣弧BC上一点，分别延长CA，BA交圆O于E，D两点，连接BE，CD．若tan∠ECB＝，记△ABE的面积为S1，△ADC的面积为S2．则＝（ ）

A． B． C． D．
【考点】圆周角定理；翻折变换（折叠问题）；解直角三角形；垂径定理．
【专题】与圆有关的计算；推理能力．
【分析】分别作点A、点O关于线段BC的对称点F、H，OH与BC交于点M，连接OH、OB，过点B作BG⊥CE于点G，根据轴对称的性质可得的度数为120°，则有∠BFC＝∠BAC＝120°，进而可得△ABE和△ADC都为等边三角形，然后根据三角函数可得，最后根据相似三角形的性质可求解．
【解答】解：分别作点A、点O关于线段BC的对称点F、H，OH与BC交于点M，连接OH、OB，过点B作BG⊥CE于点G，如图所示：

劣弧BC沿弦BC翻折恰好经过圆心O，
由折叠的性质可得OM＝MH＝OH，OH⊥BC，∠BAC＝∠BFC，
∴OM＝OB，，
∴∠OBC＝30°
∴∠BOH＝60°，
∴的度数为120°，
∴的度数为240°，∠D＝∠E＝60°，
∴∠BFC＝∠BAC＝120°，
∴∠EAB＝∠DAC＝60°，
∴△ABE和△ADC都为等边三角形，且△ABE∽△ACD，
∵BG⊥CE，
∴EG＝AG，∠EBG＝∠ABG＝30°，
∴BG＝，
∵tan∠ECB＝，
设BG＝x，CG＝6x，则EG＝AG＝x，
∴AE＝2x，AC＝5x，
∴，
∵∠EAB＝∠DAC，∠E＝∠D，
∴△EAB∽△DAC，
∴，
故选：B．
【点评】本题主要考查折叠的性质、圆的基本性质、相似三角形的性质与判定及三角函数，熟练掌握折叠的性质、圆的基本性质、相似三角形的性质与判定及三角函数是解题的关键．
7．（2021•湖南模拟）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点G．点F是CD上一点，且满足＝，连接AF并延长交⊙O于点E．连接AD、DE，若CF＝2，AF＝3．给出下列结论：
①△ADF∽△AED；②FG＝2；③tan∠E＝；④S△DEF＝4．
其中正确的是（ ）

A．①②④ B．①②③ C．②③④ D．①③④
【考点】圆的综合题．
【分析】①由AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，根据垂径定理可得：＝，DG＝CG，继而证得△ADF∽△AED；
②由 ＝，CF＝2，可求得DF的长，继而求得CG＝DG＝4，则可求得FG＝2；
③由勾股定理可求得AG的长，即可求得tan∠ADF的值，继而求得tan∠E＝；
④根据三角形面积公式求得△ADF的面积，通过证得△ADF∽△AED，根据相似三角形面积的比等于相似比的平方求得△ADE的面积，进而求得S△DEF＝4．
【解答】解：①∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，
∴＝，DG＝CG，
∴∠ADF＝∠AED，
∵∠FAD＝∠DAE（公共角），
∴△ADF∽△AED；
故①正确；
②∵＝，CF＝2，
∴FD＝6，
∴CD＝DF+CF＝8，
∴CG＝DG＝4，
∴FG＝CG﹣CF＝2；
故②正确；
③∵AF＝3，FG＝2，
∴AG＝＝，
∴在Rt△AGD中，tan∠ADG＝＝，
∵∠ADG＝∠E，
∴tan∠E＝；
故③错误；
④∵DF＝DG+FG＝6，AD＝＝，
∴S△ADF＝DF•AG＝×6×＝3 ，
∵△ADF∽△AED，
∴＝（ ）2，
∴＝，
∴S△AED＝7 ，
∴S△DEF＝S△AED﹣S△ADF＝4 ；
故④正确．
故选：A．
【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质、圆周角定理、垂径定理、勾股定理以及三角函数等知识．此题综合性较强，难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．
8．（2021•沂南县二模）如图，半径为4的⊙O中，CD为直径，弦AB⊥CD且过半径OD的中点，点E为⊙O上一动点，CF⊥AE于点F．当点E从点B出发顺时针运动到点D时，点F所经过的路径长为（ ）

A． B． C． D．
【考点】圆的综合题．
【专题】压轴题．
【分析】连接AC，AO，由AB⊥CD，利用垂径定理得到G为AB的中点，由中点的定义确定出OG的长，在直角三角形AOG中，由AO与OG的长，利用勾股定理求出AG的长，进而确定出AB的长，由CO+GO求出CG的长，在直角三角形AGC中，利用勾股定理求出AC的长，由CF垂直于AE，得到三角形ACF始终为直角三角形，点F的运动轨迹为以AC为直径的半圆，如图中红线所示，当E位于点B时，CG⊥AE，此时F与G重合；当E位于D时，CA⊥AE，此时F与A重合，可得出当点E从点B出发顺时针运动到点D时，点F所经过的路径长，在直角三角形ACG中，利用锐角三角函数定义求出∠ACG的度数，进而确定出所对圆心角的度数，再由AC的长求出半径，利用弧长公式即可求出的长，即可求出点F所经过的路径长．
【解答】解：连接AC，AO，
∵AB⊥CD，
∴G为AB的中点，即AG＝BG＝AB，
∵⊙O的半径为4，弦AB⊥CD且过半径OD的中点，
∴OG＝2，
∴在Rt△AOG中，根据勾股定理得：AG＝＝2，
又∵CG＝CO+GO＝4+2＝6，
∴在Rt△AGC中，根据勾股定理得：AC＝＝4，
∵CF⊥AE，
∴△ACF始终是直角三角形，点F的运动轨迹为以AC为直径的半圆，
当E位于点B时，CG⊥AE，此时F与G重合；当E位于D时，CA⊥AE，此时F与A重合，
∴当点E从点B出发顺时针运动到点D时，点F所经过的路径长，
在Rt△ACG中，tan∠ACG＝＝，
∴∠ACG＝30°，
∴所对圆心角的度数为60°，
∵直径AC＝4，
∴的长为＝π，
则当点E从点B出发顺时针运动到点D时，点F所经过的路径长为π．
故选：C．

【点评】此题考查了圆的综合题，涉及的知识有：坐标与图形性质，勾股定理，锐角三角函数定义，弧长公式，以及圆周角定理，其中根据题意得到点E从点B出发顺时针运动到点D时，点F所经过的路径长，是解本题的关键．
9．（2019•吴兴区校级一模）如图，△ABC内切圆是⊙O，折叠矩形ABCD，使点D、O重合，FG是折痕，点F在AD上，G在ABC上，连接OG，DG，若OG垂直DG，且⊙O的半径为1，则下列结论不成立的是（ ）

A．CD+DF＝4 B．CD﹣DF＝2﹣3 C．BC+AB＝2+4 D．BC﹣AB＝2
【考点】三角形的内切圆与内心；翻折变换（折叠问题）；矩形的性质；圆周角定理．
【专题】矩形 菱形 正方形；圆的有关概念及性质；推理能力．
【分析】设⊙O与BC的切点为M，连接MO并延长MO交AD于点N，根据折叠的性质得到OG＝DG，根据全等三角形的性质得到OM＝GC＝1，CD＝GM＝BC﹣BM﹣GC＝BC﹣2．求得BC﹣AB＝2．设AB＝a，BC＝b，AC＝c，⊙O的半径为r，根据勾股定理得到a2+b2＝（a+b﹣2）2，求得BC+AB＝2+4．再设DF＝x，在Rt△ONF中，FN＝3+，OF＝x，ON＝1+，根据勾股定理得到CD﹣DF＝，CD+DF＝．
【解答】解：如图，

设⊙O与BC的切点为M，连接MO并延长MO交AD于点N，
∵将矩形ABCD按如图所示的方式折叠，使点D与点O重合，折痕为FG，
∴OG＝DG，
∵OG⊥DG，
∴∠MGO+∠DGC＝90°，
∵∠MOG+∠MGO＝90°，
∴∠MOG＝∠DGC，
在△OMG和△GCD中，，
∴△OMG≌△GCD，
∴OM＝GC＝1，CD＝GM＝BC﹣BM﹣GC＝BC﹣2．
∵AB＝CD，
∴BC﹣AB＝2．
设AB＝a，BC＝b，AC＝c，⊙O的半径为r，
⊙O是Rt△ABC的内切圆可得r＝（a+b﹣c），
∴c＝a+b﹣2．
在Rt△ABC中，由勾股定理可得a2+b2＝（a+b﹣2）2，
整理得2ab﹣4a﹣4b+4＝0，
又∵BC﹣AB＝2即b＝2+a，代入可得2a（2+a）﹣4a﹣4（2+a）+4＝0，
解得a＝1+或a＝1﹣（不合题意舍去），
∴BC+AB＝2+4．
再设DF＝x，在Rt△ONF中，FN＝3+﹣1﹣x，OF＝x，ON＝1+﹣1＝，
由勾股定理可得（2+﹣x）2+（）2＝x2，
解得x＝4﹣，
∴CD﹣DF＝+1﹣（4﹣）＝2﹣3，CD+DF＝+1+4﹣＝5．
综上只有选项A错误，
故选：A．
【点评】本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，折叠的性质，平行线的性质，平行四边形的判定和性质等知识，熟练运用这些性质进行推理是本题的关键．
10．（2014•青山区模拟）如图，AB是半圆O的直径，射线AM、BN为半圆的切线．在AM上取一点C，连接BC交半圆于点D，连接AD．过O点作BC的垂线ON，与BN相交于点N．过C点作半圆的切线CE，切点为E，与BN相交于点F．当C在AM上移动时（A点除外），设，则n的值为（ ）

A．n＝ B．0＜n≤ C．≤n＜1 D．无法确定
【考点】圆的综合题．
【专题】综合题．
【分析】作FH⊥AC于H，如图，设BN＝1，则BF＝n，半圆的半径为r，根据切线的性质得∠MAB＝∠NBA＝90°，易得四边形ABFH为矩形，所以HF＝2r，AH＝BF＝n，再根据切线长定理得到CE＝CA，FE＝FB＝n，设CA＝t，则CE＝t，CH＝t﹣AH＝t﹣n，在Rt△CHF中利用勾股定理得（t﹣n）2+（2r）2＝（t+n）2，解得t＝，接着证明Rt△BON∽Rt△ACB，然后利用相似比得可计算出n＝．
【解答】解：作FH⊥AC于H，如图，设BN＝1，则BF＝n，半圆的半径为r，
∵AM、BN为半圆的切线，
∴∠MAB＝∠NBA＝90°，
∴四边形ABFH为矩形，
∴HF＝2r，AH＝BF＝n，
∵CF切半圆于E点，
∴CE＝CA，FE＝FB＝n，
设CA＝t，则CE＝t，CH＝t﹣AH＝t﹣n，
在Rt△CHF中，∵CH2+FH2＝CF2，
∴（t﹣n）2+（2r）2＝（t+n）2，解得t＝，
∵AB是半圆O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵ON⊥BD，
∴AD∥ON，
∴∠BON＝∠BAD，
∵∠BAD+∠CAD＝90°，∠CAD+∠ACD＝90°，
∴∠BAD＝∠ACD，
∴∠BON＝∠ACB，
∴Rt△BON∽Rt△ACB，
∴＝，即＝，
∴n＝．
故选：A．

【点评】本题考查了圆的综合题：熟练掌握圆周角定理、切线的性质和切线长定理；会运用相似比和勾股定理计算线段的长．
考点卡片
1．三角形三边关系
（1）三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边．
（2）在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．
（3）三角形的两边差小于第三边．
（4）在涉及三角形的边长或周长的计算时，注意最后要用三边关系去检验，这是一个隐藏的定时炸弹，容易忽略．
2．等腰三角形的性质
（1）等腰三角形的概念
有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．
（2）等腰三角形的性质
①等腰三角形的两腰相等
②等腰三角形的两个底角相等．【简称：等边对等角】
③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【三线合一】
（3）在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论．
3．勾股定理
（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．
（3）勾股定理公式a2+b2＝c2 的变形有：a＝，b＝及c＝．
（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边．
4．等腰直角三角形
（1）两条直角边相等的直角三角形叫做等腰直角三角形．
（2）等腰直角三角形是一种特殊的三角形，具有所有三角形的性质，还具备等腰三角形和直角三角形的所有性质．即：两个锐角都是45°，斜边上中线、角平分线、斜边上的高，三线合一，等腰直角三角形斜边上的高为外接圆的半径R，而高又为内切圆的直径（因为等腰直角三角形的两个小角均为45°，高又垂直于斜边，所以两个小三角形均为等腰直角三角形，则两腰相等）；
（3）若设等腰直角三角形内切圆的半径r＝1，则外接圆的半径R＝+1，所以r：R＝1：+1．
5．三角形中位线定理
（1）三角形中位线定理：
三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．
（2）几何语言：
如图，∵点D、E分别是AB、AC的中点
∴DE∥BC，DE＝BC．

6．矩形的性质
（1）矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形．
（2）矩形的性质
①平行四边形的性质矩形都具有；
②角：矩形的四个角都是直角；
③边：邻边垂直；
④对角线：矩形的对角线相等；
⑤矩形是轴对称图形，又是中心对称图形．它有2条对称轴，分别是每组对边中点连线所在的直线；对称中心是两条对角线的交点．
（3）由矩形的性质，可以得到直角三角形的一个重要性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
7．垂径定理
（1）垂径定理
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
（2）垂径定理的推论
推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．
推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．
推论3：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．
8．圆周角定理
（1）圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．
注意：圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上．②角的两条边都与圆相交，二者缺一不可．
（2）圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
（3）在解圆的有关问题时，常常需要添加辅助线，构成直径所对的圆周角，这种基本技能技巧一定要掌握．
（4）注意：①圆周角和圆心角的转化可通过作圆的半径构造等腰三角形．利用等腰三角形的顶点和底角的关系进行转化．②圆周角和圆周角的转化可利用其“桥梁”﹣﹣﹣圆心角转化．③定理成立的条件是“同一条弧所对的”两种角，在运用定理时不要忽略了这个条件，把不同弧所对的圆周角与圆心角错当成同一条弧所对的圆周角和圆心角．
9．点与圆的位置关系
（1）点与圆的位置关系有3种．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有：
①点P在圆外⇔d＞r
②点P在圆上⇔d＝r
①点P在圆内⇔d＜r
（2）点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系．
（3）符号“⇔”读作“等价于”，它表示从符号“⇔”的左端可以得到右端，从右端也可以得到左端．
10．三角形的内切圆与内心
（1）内切圆的有关概念：
与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点．
（2）任何一个三角形有且仅有一个内切圆，而任一个圆都有无数个外切三角形．
（3）三角形内心的性质：
三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．
11．圆的综合题
圆的综合题．
12．翻折变换（折叠问题）
1、翻折变换（折叠问题）实质上就是轴对称变换．
2、折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
3、在解决实际问题时，对于折叠较为复杂的问题可以实际操作图形的折叠，这样便于找到图形间的关系．
首先清楚折叠和轴对称能够提供给我们隐含的并且可利用的条件．解题时，我们常常设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．我们运用方程解决时，应认真审题，设出正确的未知数．
13．平行线分线段成比例
（1）定理1：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．
推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例．
（2）推论1：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边．
（3）推论2：平行于三角形的一边，并且和其他两边（或两边的延长线）相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例．
14．解直角三角形
（1）解直角三角形的定义
在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．
（2）解直角三角形要用到的关系
①锐角、直角之间的关系：∠A+∠B＝90°；
②三边之间的关系：a2+b2＝c2；
③边角之间的关系：
sinA＝＝，csA＝＝，tanA＝＝．
（a，b，c分别是∠A、∠B、∠C的对边）