重庆市忠县花桥中学2021-2022学年九年级（下）第一次月考数学试卷（含解析）

重庆市忠县花桥中学2021-2022学年九年级（下）第一次月考数学试卷

一．选择题（本题共12小题，共48分）

1. 下列各数中，比小的数是

A.  B.  C.  D.

2. 下列运算正确的是

A.  B.
C.  D.

3. 若，则下列各式中一定成立的是

A.  B.  C.  D.

4. 下列个图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是

A.  B.  C.  D.

5. 估计的值应在

A. 和之间 B. 和之间 C. 和之间 D. 和之间

6. 如图，在半径为的中，弦与交于点，，，，则长是

A.
B.
C.
D.

7. 如图，第个图形中共有个小黑点，第个图形中共有个小黑点，第个图形中共有个小黑点，按此规律排列下去，则第个图形中小黑点的个数为

A.  B.  C.  D.

8. 若正比例函数的图象经过点，则的值为

A.  B.  C.  D.

9. 如图，在中，、为边的三等分点，，点为与的交点若，则为

A.
B.
C.
D.

10. 如图中的图象折线描述了一汽车在某一直线上的行驶过程中，汽车离出发地的距离千米和行驶时间小时之间的函数关系，根据图中提供的信息，给出下列说法：
    汽车共行驶了千米；
    汽车在行驶途中停留了小时；
    汽车在整个行驶过程中的平均速度为千米时；
    汽车自出发后小时至小时之间行驶的速度在逐渐减少．
    其中正确的说法共有

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

11. 若整数使关于的不等式组，有且只有个整数解，且使关于的方程的解为非正数，则的值为

A. 或 B. 或
C. 或 D. 或或

12. 如图，在反比例函数的图象上有动点，连接，的图象经过的中点，过点作轴交函数的图象于点，过点作轴交函数的图象于点，交轴点，连接，，，与交于点下列结论：；；；若，则其中正确的是

1. 
    B.  C.  D.

二．填空题（本题共4小题，共16分）

13. 计算：______．
14. 甲、乙是两个不透明的纸箱，甲中有三张标有数字，，的卡片，乙中有三张标有数字，，的卡片，卡片除所标数字外无其他差别，现制定一个游戏规则：从甲中任取一张卡片，将其数字记为，从乙中任取一张卡片，将其数字记为若，能使关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则甲获胜；否则乙获胜．则乙获胜的概率为______．
15. 如图，在等边中．为的中点，半圆分别与、相切于点、若，则图中阴影部分的面积为______结果保留根号和．
    
     

16. 南岸区近年修建和完善了不少道路，其中一段道路两侧的绿化任务计划由甲、乙、丙、丁四个人完成．道路两侧的植树数量相同，如果乙、丙、丁同时开始植树，丁在道路左侧，乙和丙在道路右侧，小时后，甲加入，在道路左侧与丁一起植树．这样恰好能保证道路两侧的植树任务同时完成．已知甲、乙、丙、丁每小时能完成的植树数量分别为、、、棵．实际在植树时，四人一起开始植树，甲和丁在道路左侧、乙和丙在道路右侧，为保证右侧比左侧提前小时完成植树任务，甲中途转到右侧与乙和丙一起按要求完成了任务，左侧剩下的任务由丁独自完成、则在本次植树任务中，甲比丁少植树______棵．

三．计算题（本题共2小题，共10分）

17. ．
    
    
    
    
    
    
     
18. 计算：．
    
    
    
    
    
    
     

四．解答题（本题共7小题，共76分）

19. 济南市某中学举行了“科普知识”竞赛，为了解此次“科普知识”竞赛成绩的情况，随机抽取了部分参赛学生的成绩，整理并制作出如下的不完整的统计表和统计图，如图所示请根据图表信息解答以下问题，
    

表中 ______ ，一共抽取了______ 个参赛学生的成绩；
补全频数分布直方图；
扇形统计图中“”对应的圆心角度数为______ ；
若该校共有名同学参赛，成绩在分以上包括分的为“优”等，估计全校学生成绩为“优”的学生数是多少人．






 

20. 如图，在中，，．
    在平面内求作点，使到直线、的距离相等，且，请用直尺和圆规作出符合条件的点保留作图痕迹，不需写出作法；
    在的条件下，求以、、、为顶点构成的四边形的周长．
     

21. 如图，在同一剖面内，小明在点处用测角仪测得居民楼的顶端的仰角为，他水平向右前进了米来到斜坡的坡脚处，沿着斜坡上行米到达点，用测角仪测得点的仰角为，然后，水平向右前进一段路程来到了居民楼的楼底处，若斜坡的坡度为：，请你求出居民楼的高度．
    测角仪的高度忽略不计，计算结果精确到米．
    参考数据：，，，

22. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数图象与反比例函数图象交于，两点，与轴交于点，已知点，将点向左平移个单位，再向下平移个单位刚好与点重合．
    求一次函数与反比例函数的解析式；
    若点是轴上一点，且，求点坐标；
    当时，直接写出自变量的取值范围．

23. 阅读理解：
    对于任意一个三位数正整数，如果的各个数位上的数字互不相同，且都不为零，那么称这个数为“陌生数”，将一个“陌生数”的三个数位上的数字交换顺序，可以得到个不同的新“陌生数”，把这个陌生数的和与的商记为例如，可以得到、、、、这个新的“陌生数”，这个“陌生数”的和为，因为，所以．
    计算：和的值；
    设和都是“陌生数”，其中和分别是的十位和个位上的数字，和分别是的百位和个位上的数字，且的十位上的数字比的百位上的数字小；规定：若，则的值是多少？
    
    
    
    
    
    
     
24. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，二次函数的图象经过点和点．
    求点坐标及二次函数的表达式；
    如图，平移线段，点的对应点落在二次函数在第四象限的图象上，点的对应点落在直线上，直接写出四边形的形状，并求出此时点的坐标；
    如图，在的条件下，连接，交轴于点，点为直线上方抛物线上一个动点，过点作轴，交于点，连接，是否存在点，使得以、、为顶点的三角形与相似？若存在，求出线段的长度；若不存在，请说明理由．

25. 如图，在矩形中，是边上一点，，，垂足为将四边形绕点顺时针旋转，得到四边形，所在的直线分别交直线于点，交直线于点，交于点所在的直线分别交直线于点，交直线于点，连接交于点．
    如图，求证：四边形是正方形；
    如图，当点和点重合时．
    求证：；
    若，，求线段的长；
    如图，若交于点，，求的值．

答案和解析

1.【答案】

【解析】

解：，
．
故选：．
先计算，再比较大小．
本题考查了绝对值的化简及有理数大小的比较．掌握有理数大小的比较方法是解决本题的关键．有理数大小的比较：正数大于，大于一切负数．两个负数比较大小，绝对值大的反而小．
 

2.【答案】

【解析】

解：，计算错误；
B.，计算错误；
C.，计算错误；
D.，计算正确．
故选：．
直接根据幂的乘方和积的乘方运算法则计算即可．
此题考查的是积的乘方与幂的乘方运算，掌握其运算法则是解决此题关键．
 

3.【答案】

【解析】

解：，
，，，．
故选：．
利用不等式的基本性质判断即可．
此题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的基本性质是解本题的关键．
 

4.【答案】

【解析】

解：是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B.不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不合题意；
C.是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
D.既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意．
故选：．
根据把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．据此进行分析即可．
此题主要考查了中心对称与轴对称的概念：轴对称的关键是寻找对称轴，两边图象折叠后可重合，中心对称是要寻找对称中心，旋转后与原图重合．
 

5.【答案】

【解析】

解：


，
，
，
估计的值应在和之间，
故选：．
先根据二次根式的乘法、加法运算法则进行计算，然后再估算的值即可解答．
本题考查了二次根式的混合运算，估算无理数的大小，熟练掌握二次根式的乘法、加法运算法则是解题的关键．
 

6.【答案】

【解析】

解：连接，，过点作，垂足为，过点作，垂足为，

，，
，
，
在中，，
，
，
，
，
，
，
，
在中，，
，
故选：．
连接，，过点作，垂足为，过点作，垂足为，根据垂径定理可得，，然后在中，求出，从而求出，进而求出，即可求出，最后在中，求出，进行计算即可解答．
本题考查了相似三角形的判定与性质，垂径定理，勾股定理，圆周角定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
 

7.【答案】

【解析】

解：第个图形中共有个小黑点，即；
第个图形中共有个小黑点，即；
第个图形中共有个小黑点，即；
，
按此规律排列下去，
则第个图形中小黑点的个数为个．
故选：．
观察图形的变化可得后一个图形小黑点的个数比前一个图形的小黑点的个数多，进而可得第个图形中小黑点的个数．
本题考查了规律型：图形的变化类，解决本题的关键是根据图形的变化寻找规律．
 

8.【答案】

【解析】

解：正比例函数的图象经过点，
，
解得，
故选：．

根据正比例函数的图象经过点，可以得到，从而可以求得的值．
本题考查一次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意．
 

9.【答案】

【解析】

解：、为边的三等分点，，
，，，
，是的中位线，
，
，
∽，
，即，
解得：，
，
故选：．
依据是的中位线，即可得出，再根据∽，即可得到的长，进而得出的长．
本题考查了相似三角形的判定与性质、三角形中位线定理等知识；熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
 

10.【答案】

【解析】

解：由图象可知，汽车走到距离出发点千米的地方后又返回出发点，所以汽车共行驶了千米，错；
从时开始到时结束，时间在增多，而路程没有变化，说明此时在停留，停留了小时，对；
汽车用小时走了千米，平均速度为：千米时，错．
汽车自出发后小时至小时，图象是直线形式，说明是在匀速前进，错．
故选：．
根据图象上的特殊点的实际意义即可作出判断．
本题考查由图象理解对应变量关系及其实际意义，注意总路程应包括往返路程，平均速度总路程总时间．
 

11.【答案】

【解析】

解：解不等式组，得
，
不等式组有且只有个整数解，
，
解得，
因为关于的方程的解为：
，，
，
解得，
，，

则的值为：或．
故选：．
解不等式组，得，根据不等式组有且只有个整数解，可得，根据关于的方程的解为非正数：解得，又不等于，进而可得的值．
本题考查了分式方程的解、解一元一次不等式组、一元一次不等式组的整数解，解决本题的关键是确定一元一次不等式组的整数解．
 

12.【答案】

【解析】

解：动点在反比例函数的图象上，
设，
的中点为，
的图象经过点，
，故正确；
过点作轴交函数的图象于点，
的纵坐标，
把代入得，，
，
，
，故正确；
如图，过点作轴于．

，，，
过点作轴交函数的图象于点，交轴点，
，
直线的解析式为，直线的解析式为，
由，解得，
，
，
，
，
，故正确；
，，，
是的中点，
，
，
轴，
，
，
若，则，
，
故正确；
故选：．
设，则的中点为，即可求得，即可判断；表示出的坐标，即可表示出，利用三角形面积公式求得，即可判断；计算出，，即可求得，即可判断；先证得是的中点，然后根据直角三角形斜边直线的性质和平行线的性质得出，由等腰三角形的性质得出，从而得到，即可判断．
本题考查反比例函数与一次函数的交点，反比例函数系数的几何意义，待定系数法求一次函数的解析式，直角三角形斜边直线的性质，平行线的性质，解题的关键是学会利用参数解决问题，学会构建一次函数确定交点坐标，属于中考填空题中的压轴题．
 

13.【答案】

【解析】

解：原式
．
故答案为：．
直接利用零指数幂的性质以及绝对值的性质、二次根式的乘法运算法则分别化简，进而得出答案．
此题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题关键．
 

14.【答案】

【解析】

解：画树状图如下：

由图可知，共有种等可能的结果，其中能使乙同学获胜的有种结果数，
乙同学获胜的概率为，
故答案为：．
首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果，利用一元二次方程根的判别式，即可判定各种情况下根的情况，然后利用概率公式求解即可求得乙同学获胜的概率．
本题考查的是用树状图法求概率，树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．
 

15.【答案】

【解析】

解：连接，

是等边三角形，
，，
半圆分别与、相切于点、，
，
，
，
为的中点，
，
，
在中，，，
，
在中，，，
，
，
，
阴影部分的面积


，
故答案为：．
利用等腰三角形的三线合一性质，想到连接，先利用切线的性质得出，从而可得，进而求出，最后在和中，求出各边的长，然后进行计算即可解答．
本题考查了切线的性质，等边三角形的性质，扇形面积的计算，熟练掌握切线的性质以及锐角三角函数的定义是解题的关键．
 

16.【答案】

【解析】

解：设道路一侧植树棵数为棵，则
，
解得，
实际在植树时，设甲在左侧植树的时长为，则
，
解得，
则丁植树的时长为，
所以甲比丁少植树棵．
故答案为：．
可设道路一侧植树棵数为棵，根据时间的等量关系列出方程求解；实际在植树时，可设甲在左侧植树的时长为，根据时间的等量关系列出方程求解；进一步求得丁植树的时长，从而可求甲比丁少植树的棵数．
本题考查了三元一次方程的应用，直接求解两人植树棵数较困难时，可通过计算两人植树的时间进行比较．
 

17.【答案】

解：

．
 

【解析】

先根据平方差公式和完全平方公式进行计算，再合并同类项即可．
本题考查了平方差公式，完全平方公式，能灵活运用平方差公式，完全平方公式是解此题的关键．
 

18.【答案】

解：


．
 

【解析】

先根据分式的减法法则算括号里面的减法，再根据分式的除法法则把除法变成乘法，最后根据分式的乘法法则进行计算即可．
本题考查了分式的混合运算，能正确根据分式的运算法则进行化简是解此题的关键，注意运算顺序．
 

19.【答案】

【解析】

解：由频数分布直方图可得，
，
本次抽取的学生有：人，
故答案为：，；
组人数为：，
补全的频数分布直方图如右图所示；
扇形统计图中“”对应的圆心角度数为：，
故答案为：；
人，
即估计全校学生成绩为“优”的学生有人．
根据频数分布直方图可以得到的值，再根据组人数和所占的百分比可以得到本次调查的人数；
根据中的结果和直方图中的数据，可以计算出组的人数，从而可以将直方图补充完整；
根据直方图中的数据，可以计算出扇形统计图中“”对应的圆心角度数；
根据直方图中的数据，可以计算出所抽取学生成绩为“优”的学生数是多少人．
本题考查频数分布直方图、频数分布表、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意．利用数形结合的思想解答．
 

20.【答案】

解：如图，点或即为所求作．

由作图可知，四边形是菱形，周长为．
 

【解析】

分别以，为圆心，为半径画弧，两弧交于点，连接，，点，即为所求作．
由作图可知，四边形是菱形，由此可得结论．
本题考查作图复杂作图，菱形的判定和性质等知识，解题的关键是构造特殊四边形解决问题．
 

21.【答案】

解：如图，过点作于点，于点，
得矩形，
，，
在中，米，：：，
米，米，

在中，，
，
，
，
在中，
，
，
，
解得，
米，
居民楼的高度约为米．
 

【解析】

过点作于点，于点，得矩形，根据锐角三角函数即可求出居民楼的高度．
本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，坡度坡角问题，解决本题的关键是掌握仰角俯角，坡度坡角定义．
 

22.【答案】

解：点，将点向左平移个单位，再向下平移个单位刚好与点重合，
，
反比例函数图象交于，两点，
，
，，
反比例函数的解析式为，，
把，代入得，解得，
一次函数的解析式为；
由可知，
点是轴上一点，且，
，
，
或；
由图象可知，当时，自变量的取值范围是或．
 

【解析】

根据平移的规律求得，由反比例函数图象交于，两点，得出，解得，，即可求得反比例函数的解析式以及的坐标，然后根据待定系数法即可求得一次函数的解析式；
根据求得，进而即可求得的坐标；
根据图象即可求得．
本题是一次函数和反比例函数的交点问题，考查了待定系数法求函数的解析式，函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，数形结合是解题的关键．
 

23.【答案】

解：，
；
和都是“陌生数”，，，
，
．
，
，
，
又，

解得，
．
 

【解析】

根据的定义式，分别将和代入中，即可求出结论；
由，结合，即可得出关于、的二元一次方程，解之即可得出、的值，再根据“陌生数”的定义结合的定义式，即可求出，的值，将其代入中即可求解．
本题考查了整数问题的综合运用，二元一次方程的应用，解题的关键是：根据的定义式，求出，的值；根据，结合，找出关于、的二元一次方程．
 

24.【答案】

解：依题意，对一次函数，
令，得．
．
令，得．
．
将，代入抛物线解析式，
得，解得．
抛物线解析式为：．
依题意，且，
四边形是平行四边形．
设点，
则点，
将点代入得：
，
，
解得舍，．
．
存在．
依题意，轴，则，
或时，
以、、为顶点的三角形与相似．
当，
轴，
轴，
则点与点关于抛物线对称．
由二次函数图像的轴对称性得．
又，如图，作轴于点，则，，
，
，
即，
又．
．
当时，
如图，作于点则．
即，
又．
．
．
即．
设点．
则点．
．
．
．
解得，
，．
又，
．
．
．
综上，存在这样的点使得以、、为顶点的三角形与相似．
此时或．
 

【解析】

依据一次函数与坐标轴交点特征可求点、点坐标，将，点坐标代入抛物线可求二次函数表达式．
由平移性质可知，且，故四边形是平行四边形．由平行四边形顶点坐标的相对位置关系，可以设点坐标并表示点坐标，将点坐标代入所在直线解析式建立方程即可求解．
依题意，，要使得两三角形相似，只需再找另一组角相等即可．可找或．
本题是一道很好的二次函数综合题．看似是常规的四边形问题，相似三角形存在性问题，但是落脚点是求点及线段长，比较有新意．
 

25.【答案】

证明：如图中，

在矩形中，，
，
，
四边形是矩形，
，
四边形是正方形．

证明：如图中，

，
，，
，
，，
≌，
．

解：设正方形的边长为，
，
∽，
，
，
在中，，
，
，
由，可得，

∽，
，
，
，
，
，，，
≌，
，
，
．

解：如图中，延长交的延长线于．

，，
∽，，
，
设，则，
，
，
∽，
，
，，
，
，
，
∽，
，

，
∽，
，
，
．
 

【解析】

根据邻边相等的矩形的正方形证明即可．
证明≌，可得结论．
设正方形的边长为，利用勾股定理构建方程求出，再证明，求出，求出可得结论．
如图中，延长交的延长线于由，设，则，由∽，推出，推出，，可得，，再由∽，推出，可得推出，由∽，可得，由此即可解决问题．
本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．