湖南省常德市澧县王家厂中学2021-2022学年九年级（下）第一次月考数学试卷（含解析）

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 湖南省常德市澧县王家厂中学2021-2022学年九年级（下）第一次月考数学试卷 一．选择题（本题共11小题，共33分）若关于的方程是一元二次方程，则的取值范围是A.  B.  C.  D. 用配方法解方程，变形后的结果正确的是A.  B.  C.  D. 已知方程，两根分别为和，则的值等于A.  B.  C.  D. 菱形的一条对角线长为，边的长是方程的一个根，则菱形的周长为A.  B.  C.  D. 或抛物线的顶点坐标是A.  B.  C.  D. 抛物线；可以将抛物线平移得到，则平移方法是A. 向左平移个单位，再向上平移个单位
B. 向左平移个单位，再向下平移个单位
C. 向右平移个单位，再向上平移个单位
D. 向右平移个单位，再向下平移个单位一个二次函数的图象的顶点坐标是，且过另一点，则这个二次函数的解析式为A.  B.
C.  D. 抛物线与坐标轴的交点个数有A. 个 B. 个 C. 个 D. 个已知一元二次方程，若，则抛物线必过点A.  B.  C.  D. 如图，某小区规划在一个长，宽的长方形场地上，修建同样宽的小路，使其中两条与平行，另一条与平行，其余部分种草．若草坪部分总面积为，设小路宽为，那么满足的方程是A.  B.
C.  D. 函数和是常数，且在同一直角坐标系中坐标系中的图象可能是A.  B.
C.  D. 二．填空题（本题共6小题，共18分）若关于的一元二次方程有一根为，则 ______ ．若，则______．有一个魔术盒，当任意实数对进入其中时，会得到一个新的实数，如把放入其中，就会得到，现将实数对放入其中，得到实数，则 ______ ．一个二次函数解析式的二次项系数为，对称轴为轴，且其图象与轴交点坐标为，则其解析式为______ ．如果抛物线的顶点在轴上，则______．如图所示只画出了抛物线的部分图象，则当时，的取值范围是______．




  三．计算题（本题共1小题，共10分） 解方程：
；
；
；







 四．解答题（本题共5小题，共59分）已知关于的一元二次方程．
试证明不论为何值，方程总有实根．
若、是原方程的两根，且，求的值，并求出此时方程的两根．






 抛物线与轴的交点坐标是．
求的值．
求这条抛物线与轴交点坐标，并指出当在什么范围时，随的增大而减小？






 某种服装，平均每天可以销售件，每件盈利元，在每件降价幅度不超过元的情况下，若每件降价元，则每天可多售出件，如果每天要盈利元，每件应降价多少元？






 已知关于的方程，若等腰三角形的一边长，另一边长、恰好是这个方程的两个实数根，求的周长．






 如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过，，三点．
求抛物线的解析式；
若点是该抛物线对称轴上的一点，求的最小值．


  







答案和解析 1.【答案】
 【解析】解：关于的方程是一元二次方程，
，
解得．
故选：．
一元二次方程必须满足两个条件：未知数的最高次数是；二次项系数不为由这两个条件得到相应的关系式，再解不等式即可．
此题主要考查了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是且特别要注意的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．
 2.【答案】
 【解析】 【分析】
本题考查了解一元二次方程--配方法．配方法的一般步骤：
把常数项移到等号的右边；
把二次项的系数化为；
等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为，一次项的系数是的倍数．在本题中，把常数项移项后，应该在左右两边同时加上一次项系数的一半的平方．
【解答】
解：把方程的常数项移到等号的右边，得到，
方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得到，
配方得，
故选：．  3.【答案】
 【解析】解：根据题意得，，
所以原式．
故选D．
根据根与系数的关系得到，，再利用完全平方公式把原式变形为，然后利用整体代入的方法计算．
本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，．
 4.【答案】
 【解析】解：方程，
分解因式得：，
可得或，
解得：或，
当时，，不能构成三角形，舍去；
当时，菱形周长为．
故选：．
求出已知方程的解确定出的长，即可求出周长．
此题考查了解一元二次方程因式分解法，以及菱形的性质，熟练掌握方程的解法是解本题的关键．
 5.【答案】
 【解析】 【分析】
本题考查了二次函数的性质，二次函数的顶点坐标为，此题还考查了配方法求顶点式．
首先将抛物线一般式化为顶点式，然后写出顶点坐标即可．
【解答】
解：，
抛物线的顶点坐标为．
故选：．  6.【答案】
 【解析】解：抛物线的顶点坐标为，抛物线的顶点坐标为，
平移的方法可以是向右平移个单位，再向下平移个单位．
故选D．
原抛物线顶点坐标为，平移后抛物线顶点坐标为，由此确定平移规律．
本题考查了二次函数图象与几何变换．关键是将抛物线的平移问题转化为顶点的平移，寻找平移方法．
 7.【答案】
 【解析】 【分析】
主要考查待定系数法求二次函数的解析式．当知道二次函数的顶点坐标时通常使用二次函数的顶点式来求解析式．顶点式：或．
根据二次函数的顶点式求解析式．
【解答】
解：二次函数的图象的顶点坐标是，
设这个二次函数的解析式为，
把代入得，
这个二次函数的解析式为．
故选B．  8.【答案】
 【解析】解：，
，，，
，
抛物线与轴有个交点，
，
抛物线与轴交点为，
抛物线与坐标轴有个交点，
故选：．
由的大小可判断抛物线与轴交点个数，由的大小可判断抛物线与轴的交点，进而求解．
本题考查抛物线与轴的交点问题，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系．
 9.【答案】
 【解析】 【分析】
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．
由于，即自变量为时，函数值为，根据二次函数图象上点的坐标特征可判断点在抛物线上．
【解答】
解：，
当时，，
点在抛物线．
故选D．  10.【答案】
 【解析】 【分析】
本题考查一元二次方程的运用，弄清“草坪的总长度和总宽度”是解决本题的关键．
如果设小路的宽度为，那么草坪的总长度和总宽度应该为，；那么根据题意即可得出方程．
【解答】
解：设小路的宽度为，
那么草坪的总长度和总宽度应该为，；
根据题意即可得出方程为：，
整理得：．
故选C．  11.【答案】
 【解析】解：对称轴为直线，
时，抛物线开口向上，对称轴在轴右边，与轴正半轴相交，
一次函数经过第一三象限，与轴正半轴相交，、选项不符合，选项符合；
时，抛物线开口向下，对称轴在轴左边，与轴正半轴坐标轴相交，
一次函数经过第二四象限，与轴负半轴相交，选项不符合．
故选：．
求出二次函数的对称轴，再分和两种情况根据二次函数与一次函数图象分析判断即可得解．
本题考查了二次函数图象，一次函数图象，熟练掌握函数图象与系数的关系是解题的关键，注意分情况讨论．
 12.【答案】
 【解析】解：关于的一元二次方程有一根为，
且，
且，
则，
解得．
故答案是：．
把代入已知方程列出关于的新方程，通过解新方程来求的值．
本题考查了一元二次方程的解的定义．此题是根据一元二次方程的解的定义列出关于系数的方程，通过解方程来求系数的值．
 13.【答案】
 【解析】解：设则
，即，
解得，或不合题意，舍去；
故．
故答案是：．
设则原方程转化为关于的一元二次方程，即；然后解关于的方程即可．
本题考查了换元法解一元二次方程．解答该题时，注意中的的取值范围：．
 14.【答案】或
 【解析】 【分析】
本题考查了解一元二次方程因式分解法，解题的关键是根据题意列出方程．
根据公式，可将代入得出，解方程即可．
【解答】解：根据题意得，，
解得，，
故答案为或．
   15.【答案】
 【解析】解：设二次函数的解析式为，
二次项系数为，一次项系数为，这个二次函数图象与轴交点坐标是，
，，，
这个二次函数的解析式为；
故答案为．
根据已知条件可知，，，即可求得．
本题考查了二次函数待定系数法求解析式，题目比较简单．
 16.【答案】
 【解析】解：根据题意，得，
解得．
故答案为：．
顶点在轴上，所以顶点的纵坐标是据此作答．
本题考查二次函数的性质，解题的关键是牢记求抛物线顶点纵坐标的公式，比较简单．
 17.【答案】
 【解析】解：抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点坐标为，
抛物线与轴的另一个交点坐标为，
抛物线开口向下，
当时，，
故答案是：．
利用抛物线的对称性确定抛物线与轴的另一个交点坐标为，然后结合二次函数图象，写出抛物线在轴上方所对应的自变量的范围即可．
本题考查了抛物线与轴的交点：把求二次函数是常数，与轴的交点坐标问题转化为解关于的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．
 18.【答案】解：，
，
，
，
或，
，；
，
，
，
，；
，
，
，
或，
，；
，
，
，
．
 【解析】利用解一元二次方程直接开平方法，进行计算即可解答；
先将原方程进行化简整理，然后再利用解一元二次方程直接开平方法，进行计算即可解答；
利用解一元二次方程因式分解法，进行计算即可解答；
利用解一元二次方程配方法，进行计算即可解答．
本题考查了解一元二次方程直接开平方法，解一元二次方程因式分解法，解一元二次方程配方法，解一元二次方程公式法，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
 19.【答案】证明：
，
不论取何值时，恒大于，
原方程总有两个不相等的实数根；
解：，是原方程两根，
，
，
，
，
，
，
，，
当时，原方程，得，，
当时，原方程，得，．
 【解析】根据关于的一元二次方程的根的判别式的符号来判定该方程的根的情况；
由已知条件列出关于的方程，通过解该方程即可求得结论．
本题考查了根与系数的关系、根的判别式．一元二次方程为常数的根的判别式当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．
 20.【答案】解：抛物线与轴的交点坐标是，
；
，
抛物线解析式为，
令，则，
解得：，，
抛物线与轴交点坐标为，；
抛物线对称轴为，抛物线开口向上，
当时，随的增大而减小．
 【解析】将已知点的坐标代入解析式即可求得未知数的值；
解析式中令即可求得与轴的交点的坐标；根据函数的性质求的取值范围．
本题考查了抛物线与轴的交点以及二次函数的性质，正确理解函数的增减性是关键．
 21.【答案】解：设每件服装应降价元，根据题意，得：

解方程得或，
在降价幅度不超过元的情况下，
不合题意舍去，
答：每件服装应降价元．
 【解析】关系式为：每件服装的盈利原来的销售量增加的销售量，为了减少库存，计算得到降价多的数量即可．
此题主要考查了一元二次方程的应用，得到现在的销售量是解决本题的难点；根据每天盈利得到相应的等量关系是解决本题的关键．
 22.【答案】解：，
整理得，
，，
当为等腰的底边，则有，
因为、恰是这个方程的两根，则，
解得，
则三角形的三边长分别为：，，，
，这不满足三角形三边的关系，舍去；
当为等腰的腰，
因为、恰是这个方程的两根，所以只能，
则三角形三边长分别为：，，，
此时三角形的周长为．
的周长为．
 【解析】先利用因式分解法求出两根，再根据为底边，为腰，分别确定，的值，进而求出三角形的周长即可．
考查一元二次方程的应用；分类探讨是等腰三角形的一边的情况是解决本题的难点．
 23.【答案】解：把，，三点的坐标代入中，得

解这个方程组，得，，
所以解析式为．

由，可得
抛物线的对称轴为直线，并且对称轴垂直平分线段


连接交直线于点，则此时最小
过点作轴于点，
在中，，
因此最小值为．
 【解析】已知抛物线上不同的三点坐标，利用待定系数法可求出该抛物线的解析．
根据、点的坐标发现：抛物线上，、两点正好关于抛物线的对称轴对称，那么只需连接、，直线和抛物线对称轴的交点即为符合要求的点，而的最小值正好是的长．
此题在二次函数的综合类型题中难度适中，难点在于点位置的确定，正确理解二次函数的轴对称性以及两点之间线段最短是解题的关键．