2022年中考数学专题复习四边形

这是一份2022年中考数学专题复习四边形，共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
下列命题，其中是真命题的为（ ）
A. 一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
B. 对角线互相垂直的四边形是菱形
C. 对角线相等的四边形是矩形
D. 一组邻边相等的矩形是正方形
若顺次连接四边形各边中点所得到的四边形是菱形，则该四边形一定是（ ）
A. 矩形B. 对角线相等的四边形
C. 正方形D. 对角线互相垂直的四边形
一个正多边形，它的每一个外角都等于40°，则该正多边形是（ ）
A. 正六边形B. 正七边形C. 正八边形D. 正九边形
已知凸n边形有n条对角线，则此多边形的内角和是（ ）
A. 360°B. 540°C. 720°D. 900°
如图，面积为S的菱形ABCD中，点O为对角线的交点，点E是线段BC的中点，过点E作EF⊥BD于F，EG⊥AC于G，则四边形EFOG的面积为（ ）
A. S B. S C. S D. S
如图,在正方形OABC中,点A的坐标是(-3,1),则点C的坐标是( )
A. (1,3)B. (3,1)C. (2,3)D. (3,2)
将一张三角形纸片按如图步骤①至④折叠两次得图⑤，然后剪出图⑤中的阴影部分，则阴影部分展开铺平后的图形是（ ）
A. 等腰三角形B. 直角三角形C. 矩形D. 菱形
如图，在平行四边形中，点是对角线上一点，连结，，，，，的面积分别是，，，.下列关于，，，的等量关系式中错误的是（ ）
A. B. C. D.
已知：如图，矩形ABCD中，AB=5，BC=12，对角线AC、BD相交于点O，点P是线段AD上任意一点，且PE⊥BD于点E，PF⊥AC于点F，则PE+PF等于（ ）
A. B. C. D.
如图，正方形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，折叠正方形纸片，使AD落在BC上，点A恰好与BD上的点F重合，展开后折痕DE分别交AB，AC于点E、G，连结GF，给出下列结论①∠AGD=110.5°；②S△AGD=S△OGD③四边形AEFG是菱形；④BF=OF；⑤如果S△GEF=1，那么正方形ABCD的面积是12+8，其中正确的有（ ）个．
A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个
二、填空题
如图，六边形ABCDEF为正六边形，四边形ABGH为正方形，则∠BCG的度数为______．
如图，D、E、F、G分别为AC、AB、BO、CO的中点，，若，，，则四边形DEFG的周长________．
如图，在菱形纸片ABCD中，AB=6，∠A=60°，将菱形纸片翻折，使点A落在CD的中点E处，折痕为FG，点F、G分别在边AB、AD上．则EF的长为______．

如图，机器人在操场上从A点出发，用10秒沿直线前进40厘米后向左转45°，再用10秒沿直线前进40厘米后又向左转45°，照这样走下去，机器人出发10分钟，一共经过A点______次（不包括出发的一次）．
如图，一个桌球游戏的长方形桌面ABCD中，AD=2m，现将球从AB边上的点M处发射，依次与边AD，DC，CB触碰并反弹后第一次回到AB边上的点N处，设触碰点依次为E，F，G，当AE=AM，DE=DF，CF=CG，BG=BN，MN=0.6m时，AB等于______m．

如图，在矩形ABCD中，AB=5，AD=3，动点P满足S△PAB=S矩形ABCD，则点P到A、B两点距离之和PA+PB的最小值为 。
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有两个正方形A，B，现将B放在A的内部如图甲，将A，B并列放置后构造新的正方形如图乙．若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为4和20，则图乙的面积为________．

如图，在平面直角坐标系中，有一只用七巧板拼成的“猫”，三角形①的边BC及四边形②的边CD都在x轴上，“猫”耳尖E在y轴上.若“猫”尾巴尖A的横坐标是1，则“猫”爪尖F的坐标是______ .

三、解答题
如图，A、B、C为一个平行四边形的三个顶点，且A、B、C三点的坐标分别为（5，6）、（3，4）、（6，3）．
（1）请直接写出这个平行四边形第四个顶点的坐标；
（2）求出平行四边形的面积．

如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=∠ADC，对角线AC、BD交于点O，AO=BO，DE平分∠ADC交BC于点E，连接OE．
（1）求证：四边形ABCD是矩形；
（2）若AB=2，求△OEC的面积．
如图，在矩形ABCD中，对角线AC的中点为O，点G，H在对角线AC上，AG=CH，直线GH绕点O逆时针旋转α角，与边AB、CD分别相交于点E、F（点E不与点A、B重合）．
（1）求证：四边形EHFG是平行四边形；
（2）若∠α=90°，AB=9，AD=3，求AE的长．
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已知△ABC是等边三角形，四边形ADEF是菱形，∠ADE=120°（AD＞AB）．
（1）如图①，当AD与边BC相交，点D与点F在直线AC的两侧时，BD与CF的数量关系为______．
（2）将图①中的菱形ADEF绕点A旋转α（0°＜α＜180°），如图②．
Ⅰ．判断（1）中的结论是否仍然成立，请利用图②证明你的结论．
Ⅱ．若AC=4，AD=6，当△ACE为直角三角形时，直接写出CE的长度．
在平行四边形ABCD中，点O是对角线BD的中点，点E在边BC上，EO的延长线与边AD交于点F，连接BF、DE，如图1．
（1）求证：四边形BEDF是平行四边形；
（2）在（1）中，若DE＝DC，∠CBD＝45°，过点C作DE的垂线，与DE、BD、BF分别交于点G、H、R，如图2．
①当CD＝6，CE＝4时，求BE的长；
②探究BH与AF的数量关系，并给予证明．
如图1，在矩形纸片ABCD中，AB=3cm，AD=5cm，折叠纸片使B点落在边AD上的E处，折痕为PQ，过点E作EF∥AB交PQ于F，连接BF．
（1）求证：四边形BFEP为菱形；
（2）当点E在AD边上移动时，折痕的端点P、Q也随之移动；
①当点Q与点C重合时（如图2），求菱形BFEP的边长；
②若限定P、Q分别在边BA、BC上移动，求出点E在边AD上移动的最大距离．

答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：A、例如等腰梯形，故本选项错误；
B、根据菱形的判定，应是对角线互相垂直的平行四边形，故本选项错误；
C、对角线相等且互相平分的平行四边形是矩形，故本选项错误；
D、一组邻边相等的矩形是正方形，故本选项正确．
2.【答案】B
【解析】解：∵点E，F，G，H分别是边AD，AB，BC，CD的中点，
∴EH∥AC，EH=AC，FG∥AC，FG=AC，
∴EH∥FG，EH=FG，
∴四边形EFGH是平行四边形，
根据题意得：四边形EFGH是菱形，
∴EF=EH，
∴AC=BD，
∴原四边形一定是对角线相等的四边形．​​​​​
3.【答案】D
【解析】解：∵360÷40=9，
∴这个正多边形的边数是9．
4.【答案】B
【解析】解：∵凸n边形有n条对角线，
∴=n，
解得：n=0（舍去），n=5，
即多边形的边数是5，
所以这个多边形的内角和=（5-2）×180°=540°
5.【答案】B
【解析】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴OA=OC，OB=OD，AC⊥BD，S=AC×BD，
∵EF⊥BD于F，EG⊥AC于G，
∴四边形EFOG是矩形，EF∥OC，EG∥OB，
∵点E是线段BC的中点，
∴EF、EG都是△OBC的中位线，
∴EF=OC=AC，EG=OB=BD，
∴矩形EFOG的面积=EF×EG=AC×BD=S
6.【答案】A
【解析】解：如图所示：作CD⊥x轴于D，作AE⊥x轴于E，作BF⊥AE于F，
则∠AEO=∠ODC=∠BFA=90°，
∴∠OAE+∠AOE=90°，
∵四边形OABC是正方形，
∴OA=CO=BA，∠AOC=90°，
∴∠AOE+∠COD=90°，
∴∠OAE=∠COD，
在△AOE和△OCD中，
，
∴△AOE≌△OCD（AAS），
∴AE=OD，OE=CD，
∵点A的坐标是（-3，1），
∴OE=3，AE=1，
∴OD=1，CD=3， ∴C（1，3）
7.【答案】D
【解析】解：如图，由题意可知，剪下的图形是四边形BACD，
由折叠可知CA=AB，
∴△ABC是等腰三角形，
又△ABC和△BCD关于直线BC对称，
∴四边形BACD是菱形
8.【答案】C
【解析】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴S2：S1=OA：OC，S3：S4=OA：OC，即=，
S1+S3=S2+S4，
S1+S2=S3+S4，则S3-S1=S2-S4，
但不能得出S2=2S1
9.【答案】C
【解析】解：连接PO，
∵矩形ABCD的两边AB=5，BC=12，
∴S矩形ABCD=AB•BC=60，OA=OC，OB=OD，AC=BD，AC===13，
∴S△AOD=S矩形ABCD=15，OA=OD=AC=，
∴S△AOD=S△AOP+S△DOP=OA•PE+OD•PF=OA（PE+PF）=××（PE+PF）=15，
∴PE+PF=
10.【答案】B
【解析】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠GAD=∠ADO=45°，
由折叠的性质可得：∠ADG=∠ADO=22.5°，
∴∠AGD=180°-∠GAD-∠ADG=112.5°，
故①错误．
由折叠的性质可得：AE=EF，∠EFD=∠EAD=90°，
在△AEG和△FEG中，
∵，
∴△AEG≌△FEG（SAS），
∴AG=FG，
在Rt△GOF中，∵AG=FG＞GO，
∴S△AGD＞S△OGD，故②错误；
∵∠AGE=∠GAD+∠ADG=67.5°=∠AED，
∴AE=AG，
又AE=FE、AG=FG，
∴AE=EF=GF=AG，
∴四边形AEFG是菱形，故③正确；
设OF=a，
∵四边形AEFG是菱形，且∠AED=67.5°，
∴∠FEG=∠FGE=67.5°，
∴∠EFG=45°，
又∠EFO=90°，
∴∠GFO=45°，
∴GF=EF=a，
∵∠EFO=90°，∠EBF=45°，
∴BF=EF=GF=a，即BF=OF，故④正确；
∵S△OGF=1，
∴OG2=1，即a2=1，
则a2=2，
∵BF=EF=a，且∠BFE=90°，
∴BE=2a，
又AE=EF=a，
∴AB=AE+BE=2a+a=（2+）a，
则正方形ABCD的面积是（2+）2a2=（6+4）×2=12+8，
故⑤正确；
故选：B．
11.【答案】15°
【解析】解：∵ABCDEF为正六边形，ABGH为正方形，
∴AB=BC=BG，
∴∠BCG=∠BGC，
∵正六边形ABCDEF的每一个内角是4×180°÷6=120°，正方形ABGH的每个内角是90°，
∴∠CBG=360°-120°-90°=150°，
∴∠BCG+∠BGC=180°-150°=30°，
∴∠BCG=15°．
12.【答案】16
【解析】解：∵OB=8，OC=6，∠BOC=90°
∴，
∵D、E、F、G分别为AC、AB、BO、CO的中点，
∴，，
∵OA=6，
∴，，
∴四边形DEFG的周长为5+5+3+3=16
13.【答案】
【解析】解：连接BE、BD，

∵四边形ABCD为菱形，∠A=60°，
∴AB=6=BC=CD，∠A=60°=∠C，
∴△BCD是等边三角形，
∵E是CD中点，
∴DE=3=CE，BE⊥CD，∠EBC=30°，
∴BE=CE=3，
∵CD∥AB，
∴∠ABE=∠CEB=90°，
由折叠可得AF=EF，
∵EF2=BE2+BF2，
∴EF2=27+（6-EF）2，
∴EF=．
14.【答案】7
【解析】解：∵机器人每次都是沿直线前进40厘米后向左转45°，
∴他走过的图形是正多边形，
∴边数n=360°÷45°=8，
∴他第一次回到出发点A时，一共走了8×40=320厘米，
10×60÷10×40=2400（厘米），
2400÷320=7.5．
∴一共经过A点7次．
15.【答案】2.3或1.7
【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD，BC=AD=2，
设AE=AM=x，CF=CG=y，则DE=DF=2-x，BG=BN=2-y，
∴DF+CF=AM+BN+MN，或DF+CF=AM+BN-MN，
∴2-x+y=x+2-y+0.6或2-x+y=x+2-y-0.6，
∴y-x=0.3或x-y=0.3，
∴AB=CD=DF+CF=2-x+y，
∴AB=2.3或1.7
16.【答案】​​​​​​​
【解析】解：设△ABP中AB边上的高是h．
∵S△PAB=S矩形ABCD，
∴AB•h=AB•AD，
∴h=AD=2，
∴动点P在与AB平行且与AB的距离是2的直线l上，
如图，作A关于直线l的对称点E，连接AE，连接BE，则BE的长就是所求的最短距离.
在Rt△ABE中，∵AB=5，AE=2+2=4，
∴BE===，
即PA+PB的最小值为．
17.【答案】44
【解析】解：设正方形A的边长为a，正方形B的边长为b，
由图甲得a2-b2-2（a-b）b=4，
∴a2+b2-2ab=4，
由图乙得（a+b）2-a2-b2=20，
∴2ab=20，
所以a2+b2=24，
所以=a2+b2+2ab=24+20=44，故答案为：44．
18.【答案】(--,+)
【解析】解：如图，作AH⊥x轴于H,过点F作FJ⊥y轴于J交PQ于K,延长PQ交OB于T．设大正方形的边长为4a,则OC=a,CD=2a,
在Rt△ADH中，∠ADH=45°,
∴AH=DH=a,
∴OH=4a,
∵点A的横坐标为1，
∴4a=1,∴a=,
在Rt△FPQ中，PF=FQ=2a=,
∴PQ=PF=,
∵FK⊥PQ,
∴PK=KQ,
∴FK=PK=QK=,
∵KJ=，PT=1+(-)=+,
∴FJ=+,KT=PT-PK=+-=+,
∴F(--,+)．
19.【答案】解：（1）如图，分三种情况：
①BC为对角线时，第四个顶点的坐标为（4，1）；
②AB为对角线时，第四个顶点的坐标为（2，7）；
③AC为对角线时，第四个顶点的坐标为（8，5）；
∴平行四边形第四个顶点的坐标为（2，7）或（4，1）或（8，5）；
（2）∵S△ABC=3×3-×2×2-×3×1-×3×1=4，∴S平行四边形=2S△ABC=2×4=8．
【解析】（1）画出图形，分三种情况求解即可；
（2）由分割法求出△ABC的面积，再由平行四边形的性质即可求解．
20.【答案】（1）证明：∵AD∥BC，
∴∠ABC+∠BAD=180°，∠ADC+∠BCD=180°，
∵∠ABC=∠ADC，
∴∠BAD=∠BCD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD，
∵OA=OB，
∴AC=BD，
∴四边形ABCD是矩形．
（2）解：作OF⊥BC于F，如图所示．
∵四边形ABCD是矩形，
∴CD=AB=2，∠BCD=90°，AO=CO，BO=DO，AC=BD，
∴AO=BO=CO=DO，
∴BF=FC，
∴OF=CD=1，
∵DE平分∠ADC，∠ADC=90°，
∴∠EDC=45°，
在Rt△EDC中，EC=CD=2，
∴△OEC的面积=•EC•OF=1．
【解析】（1）证出∠BAD=∠BCD，得出四边形ABCD是平行四边形，得出OA=OC，OB=OD，证出AC=BD，即可解决问题；
（2）作OF⊥BC于F．求出EC、OF即可解决问题；
21.【答案】证明：（1）∵对角线AC的中点为O
∴AO=CO，且AG=CH
∴GO=HO
∵四边形ABCD是矩形
∴AD=BC，CD=AB，CD∥AB
∴∠DCA=∠CAB，且CO=AO，∠FOC=∠EOA
∴△COF≌△AOE（ASA）
∴FO=EO，且GO=HO
∴四边形EHFG是平行四边形；
（2）如图，连接CE
∵∠α=90°，
∴EF⊥AC，且AO=CO
∴EF是AC的垂直平分线，
∴AE=CE，
在Rt△BCE中，CE2=BC2+BE2，
∴AE2=9+（9-AE）2，
∴AE=5
【解析】（1）由“ASA”可证△COF≌△AOE，可得EO=FO，且GO=HO，可证四边形EHFG是平行四边形；（2）由题意可得EF垂直平分AC，可得AE=CE，由勾股定理可求AE的长．
22.【答案】（1）BD=CF
（2）I．（1）中的结论仍然成立
证明：如图②，∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，∠BAC=60°，
在菱形ADEF中，
∴AD=AF，AF∥DE，
∴∠DAF=180°-∠ADE=180°-120°=60°，
∴∠BAC=∠DAF，
即∠BAC+∠CAD=∠DAF+∠CAD，
∴∠BAD=∠CAF，
∴△BAD≌△CAF，∴BD=CF；
II.2或2．
【解析】（1）根据等式的性质得出∠BAD=∠CAF，利用SAS证明△ABD与△ACF全等，再利用全等三角形的性质得出即可；
（2）I．根据等式的性质得出∠BAD=∠CAF，利用SAS证明△ABD与△ACF全等，再利用全等三角形的性质得出即可；
II．当△ACE是直角三角形时，存在两种情况：
①如图2，当∠ACE=90°时，②如图3，当∠EAC=90°时，勾股定理得CE的长即可．
23.【答案】（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠FDO=∠EBO，∠DFO=∠BEO，
∵点O是对角线BD的中点，
∴DO=BO，
∴△FDO≌△EBO，
∴FO=EO，
∴四边形BEDF是平行四边形；
（2）①作DM⊥EC于M，则∠DMC=∠DME=90°，
∵DE=DC，CE=4，CD=6，
∴EM=CM=2，
∴DM=，
∵∠CBD=45°，
∴∠BDM=∠CBD=45°，
∴BM=DM=，
∴BE=BM-EM=-2；
②AF=BH，
理由如下：作HN⊥BC于N，则∠HNC=∠DMC=90°，
∵DE=DC，DM⊥EC，
∴∠CDM=∠EDM，EC=2MC，
∵CG⊥DE，
∴∠EDM+∠DEM=∠HCN+∠DEM=90°，
∴∠EDM=∠HCN，
∴∠CDM=∠HCN，
∵∠DHC=∠DBC+∠HCN=45°+∠HCN，
∠HDC=∠BDM+∠CDM=45°+∠CDM，
∴∠DHC=∠HDC，
∴CH=CD，
∴△CHN≌△DCM，
∴HN=MC，
在Rt△BNH中，∠HBN=45°，
∴HN=BH，
∴EC=2MC=2HN=BH.
又∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，
由（1）知DF=BE，
∴AF=EC，
∴AF=BH.​​​​​​​
【解析】（1）根据平行四边形的性质可得AD∥BC，DO=BO，利用AAS可证明△FDO≌△EBO可得FO=EO，进而可证明结论；
（2）①作DM⊥EC于M，则∠DMC=∠DME=90°，易求EM=2，利用勾股定理结合等腰直角三角形可求解BM，根据BE=BM-EM可求解；
②作HN⊥BC于N，则∠HNC=∠DMC=90°，通过证明△CHN≌△DCM可得HN=MC，再根据等腰直角三角形的性质和平行四边形的性质可求解.
24.【答案】（1）证明：∵折叠纸片使B点落在边AD上的E处，折痕为PQ，
∴点B与点E关于PQ对称，
∴PB=PE，BF=EF，∠BPF=∠EPF，
又∵EF∥AB，
∴∠BPF=∠EFP，
∴∠EPF=∠EFP，
∴EP=EF，
∴BP=BF=EF=EP，
∴四边形BFEP为菱形；
（2）解：①∵四边形ABCD是矩形，
∴BC=AD=5cm，CD=AB=3cm，∠A=∠D=90°，
∵点B与点E关于PQ对称，
∴CE=BC=5cm，
在Rt△CDE中，DE==4cm，
∴AE=AD-DE=5cm-4cm=1cm；
在Rt△APE中，AE=1，AP=3-PB=3-PE，
∴EP2=12+（3-EP）2，
解得：EP=cm，
∴菱形BFEP的边长为cm；
②当点Q与点C重合时，如图2：
点E离点A最近，由①知，此时AE=1cm；
当点P与点A重合时，如图3所示：
点E离点A最远，此时四边形ABQE为正方形，AE=AB=3cm，
∴点E在边AD上移动的最大距离为2cm．
【解析】（1）由折叠的性质得出PB=PE，BF=EF，∠BPF=∠EPF，由平行线的性质得出∠BPF=∠EFP，证出∠EPF=∠EFP，得出EP=EF，因此BP=BF=EF=EP，即可得出结论；
（2）①由矩形的性质得出BC=AD=5cm，CD=AB=3cm，∠A=∠D=90°，由对称的性质得出CE=BC=5cm，在Rt△CDE中，由勾股定理求出DE=4cm，得出AE=AD-DE=1cm；在Rt△APE中，由勾股定理得出方程，解方程得出EP=cm即可；
②当点Q与点C重合时，点E离点A最近，由①知，此时AE=1cm；当点P与点A重合时，点E离点A最远，此时四边形ABQE为正方形，AE=AB=3cm，即可得出答案