2022届重庆市第八中学校高三下学期高考适应性月考（六）数学试题含解析

2022届重庆市第八中学校高三下学期高考适应性月考（六）数学试题

一、单选题

1．设集合，，且，则（       ）

A．4 B．2 C． D．

【答案】D

【分析】求得集合和，根据题意，得到，即可求解.

【详解】由题意，集合，，

因为，可得，解得.

故答案为：D.

2．各项均为正数的等比数列{}满足，则=（       ）

A．2 B．4 C．6 D．8

【答案】B

【分析】利用等比数列的性质即可求得.

【详解】因为各项均为正数的等比数列{}满足，

所以，即.

因为{}为正项等比数列，所以，

所以，所以=4.

故选：B

3．若，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】利用已知条件可得出，结合两角和的余弦公式化简可求得的值.

【详解】由已知可得.

故选：A.

4．以罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理为主体的“中值定理”反映了函数与导数之间的重要联系，是微积分学重要的理论基础，其中拉格朗日中值定理是“中值定理”的核心内容.其定理如下：如果函数在闭区间上的图象不间断，在开区间内可导，则在区间内至少存在一个点，使得，称为函数在闭区间上的中值点.则函数在区间上的中值点的个数为（       ）

A．1个 B．2个

C．3个 D．4个

【答案】B

【分析】根据题设中给出的“拉格朗日中值点”的定义，结合函数进行分析，将问题转化为求在上的解的个数问题，再结合余弦函数的性质求解即可..

【详解】由题意，函数，

所以，

所以，

所以由拉格朗日中值定理得：，即，

所以，

由于时，

所以在无解，在上有2解.

所以函数在区间上的中值点的个数为2个.

故选：B.

5．已知为球的球面上两点，过弦的平面截球所得截面面积的最小值为，且为等边三角形，则球的表面积为（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据题意可得，再根据为等边三角形可以得到球的半径，即可得到答案.

【详解】过弦的平面截球所得截面面积的最小值为，

则以为直径的截面面积为最小值，则

为等边三角形

球的半径为

则球的表面积为.

故选：D.

6．随机变量服从正态分布N（，），若函数为偶函数，则=（       ）

A． B．0 C． D．1

【答案】A

【分析】根据偶函数的定义，结合正态密度曲线的对称性，即可求解.

【详解】因为函数为偶函数，所以，

即.

所以.

故选：A

7．设f（x）是定义在R上的函数，若的图象关于点（2，0）对称，在[0，+∞）上单调递增，，则不等式的解集为（       ）

A．（2022，+∞） B．（2021，+∞）

C．（1011，+∞） D．（1010，+∞）

【答案】B

【分析】利用图象平移变换可知f（x）为奇函数，构造函数，结合已知可知其奇偶性和单调性，然后对原不等式变形，利用的单调性可解.

【详解】因为的图象关于点（2，0）对称，由图象平移变换知f（x）的图象关于原点对称，即为奇函数.所以也是奇函数，又在[0，+∞）上单调递增，由对称性知在R上单调递增.因为，所以.所以

即，所以，得.

故选：B

8．直线是双曲线C：的渐近线.点P，Q是双曲线C右支上相异的两点，若使得△OPQ（其中O为坐标原点）为等腰直角三角形的直线PQ恰有两条，则k的取值范围为（       ）

A．（1，] B．（-1，1] C．（，2] D．（1，2]

【答案】B

【分析】先判断出O不可能是直角顶点,求出k≤1；不妨设∠OPQ为直角，利用两渐近线夹角>45°求出.

【详解】△OPQ（其中O为坐标原点）为等腰直角三角形.

若∠POQ为直角，所以,则有由双曲线的对称性可知，这样的直线PQ不会恰有两条，故O不可能是直角顶点,即渐近线夹角≤90°，所以k≤1.

不妨设∠OPQ为直角，所以∠POQ=45°，所以两渐近线夹角>45°.

设的倾斜角为θ，所以.

因为，即，解得：.所以.

故选：B

【点睛】解析几何简化运算的常见方法：

（1）正确画出图形，利用平面几何知识简化运算；

（2）坐标化，把几何关系转化为坐标运算；

（3）巧用定义，简化运算.

二、多选题

9．已知角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，若，则下列各式的符号无法确定的是（       ）

A． B． C． D．

【答案】AC

【分析】由题知，再依次讨论各选项即可得答案..

【详解】解：由三角函数定义，，

所以，对于A选项，当时，，时，，时，，所以选项A符号无法确定；

对于B选项， ，所以选项B符号确定；

对于C选项，，故当时，，时，，时，，所以选项C的符号无法确定；

对于D选项，，所以选项D符号确定.

所以下列各式的符号无法确定的是AC选项.

故选：AC.

10．已知抛物线的焦点为，为坐标原点，点在抛物线上，若，则（       ）

A．的坐标为 B．

C． D．

【答案】BD

【分析】由抛物线的方程求出焦点的坐标，可判断A选项；利用抛物线的定义可求得、的值，可判断BC选项；利用平面内两点间的距离公式可判断D选项.

【详解】对于抛物线，，可得，则点，A错；

由抛物线的定义可得，可得，则，可得，B对C错；

，D对.

故选：BD.

11．设，则下列不等式中一定成立的是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】AB

【分析】对于A：利用基本不等式“1”的妙用直接证明；

对于B：利用基本不等式直接证明；

对于C：利用基本不等式直接证明出，即可判断；

对于D：直接得到，即可判断.

【详解】对于A：因为，所以，当且仅当，即时取等号，所以成立.故A正确；

对于B：因为，所以，当且仅当时取等号.

所以成立.故B正确；

对于C：因为，所以，所以.

记，则，所以，所以

，即.故C错误；

对于D：因为所以.故D错误.

故选：AB

12．已知函数则下列结论正确的有（       ）

A．N

B．恒成立

C．关于x的方程R)有三个不同的实根，则

D．关于x的方程N)的所有根之和为

【答案】AC

【分析】根据已知递推可判断A；根据函数的变化规律，只需证明时，成立，作差求导可判断B；作图可判断C；数形结合，抓住每个区间上的对称轴可判断D.

【详解】由题知，故A正确；

由上可知，要使恒成立，只需满足时，成立，即 ，即成立，令，则得，易知当时有极大值，故B不正确；

作函数图象，由图可知，要使方程R)有三个不同的实根，则，即，故C正确；

由可知，函数在上的函数图象可以由上的图象向右平移一个单位长度，在将所有点的横坐标不变，纵坐标变为原来的倍得到，由于的对称轴为，故的两根之和为，同理，的两根之和为，…，的两根之和为，故所有根之和为，故D错误.

故选：AC

三、填空题

13．若与3+4i互为共轭复数，则___________.

【答案】1

【分析】直接求出a，b，即可得到答案.

【详解】因为，且与3+4i互为共轭复数，

所以，

所以1.

故答案为：1

14．已知不共线的平面向量，，两两所成的角相等，且，则||=___________.

【答案】2或3

【分析】先求出，利用列方程即可求出.

【详解】由不共线的平面向量，，两两所成的角相等，可设为θ，则.设||=m.

因为，所以，

即，

所以

即，解得：或3.

所以||=2或3

故答案为：2或3

15．在四面体中，是正三角形，是直角三角形且，若点是侧面内一动点，且满足，则点所形成的轨迹长度是___________.

【答案】

【分析】根据题意，以与全等，且为等腰三角形，进而在中，过顶点作边上的高，垂足为，取中点，连接，根据几何关系得，.同理，在中，过顶点作边上的高，垂足为，证明点重合，进而得平面，点所形成的轨迹为线段，进而得.

【详解】解：如图1，因为是正三角形，是直角三角形且，

所以，，

所以与全等，且为等腰三角形，

所以，在中，过顶点作边上的高，垂足为，取中点，连接，如图2，

因为，，

所以，，，

所以，由等面积法得：，即，解得，

所以.

所以，在中，过顶点作边上的高，垂足为，取中点，连接，如图3，

同在中的情况，可得，，

所以点重合，即，，

因为，

所以平面，

因为点是侧面内一动点，且满足，

所以点所形成的轨迹为线段，长度为.

故答案为：

16．某城市要在广场中央的圆形地面设计一块浮雕，以彰显城市积极向上的活力，某公司设计方案如图，等腰△PMN的顶点P在半径为20m的大O上，点M，N在半径为10m的小O上，点O，点P在弦MN的同侧.则当△POM与△MON面积之和最大时∠MON=___________.

【答案】

【分析】令，然后用表示出△POM与△MON面积之和函数，对函数求导，利用导数求出其最大值，从而可求出，进而可求出

【详解】令，延长交于，则，（），

所以△POM与△MON面积之和为

，

所以

令，得（舍去）或，得

当时，，函数单调递增，

当时，，函数单调递减，

所以当时，取得最大值，

此时，

故答案为：

四、解答题

17．迎接冬季奥运会期间，某市对全体高中学生举行了一次关于冬季奥运会相关知识的测试，统计人员从全是高中学生中随机抽取200名学生的成绩作为样本进行统计，测试满分为100分，统计后发现所有学生的测试成绩都在区间[40，100]内，并制成如图所示的频率分布直方图

(1)估计这200名学生的平均成绩；（每组数据用该组的区间中点值表示）

(2)用样本频率估计总体，从全市高中学生中随机抽取2名学生，记成绩在区间[80，100]内的人数为X，成绩在区间[70，100]内的人数为Y，记，求的概率.

【答案】(1)69.5

(2)0.21

【分析】（1）由频率分布直方图估计样本平均数的计算方法直接计算可得；

（2）把原问题转化为相互独立事件同时发生的问题计算可得.

【详解】(1)

(2)记从全市高中生中随机抽取一名学生，其成绩在区间[80，100]内为事件A，成绩在内为事件B，易得，.则或，则

18．设是等比数列，且公比大于0，是等差数列，已知.

(1)分别求出数列，的通项公式；

(2)若表示数列在区间（0，）内的项数，求数列的前m项的和.

【答案】(1)，

(2)

【分析】（1）由，可得，求出，从而可得数列的通项公式，由可得，求出，从而可得数列的通项公式；

（2）由题意可得，，，……，，从而可求出的值

【详解】(1)解：（1）设等比数列的公比为（），等差数列的公差为，

因为，所以，解得或（舍去）

所以，

因为，

所以，解得

所以

(2)解：因为，

所以为区间内的正整数，则，

为区间内正整数，则，

为区间内的正整数，则，

……

为区间内的正整数，则，

∴.

19．如图，在三棱台ABC—中，，平面平面

(1)证明：平面；

(2)若二面角的大小是，求线段的长.

【答案】(1)证明见解析；

(2)2.

【分析】（1）在等腰梯形中，作，利用勾股定理得到，再利用面面垂直的性质定理得到，即可得证.

（2）建立空间直角坐标系，设，写出相应点的坐标，求出平面与平面的法向量，再利用二面角的大小是，即可求出.

【详解】(1)

在等腰梯形中，作，则，在中，，，，

在中，，解得，

，即

由平面平面，平面平面，

平面

，平面

平面.

(2)如图，在平面内，过点作，以为原点，以所在的直线为轴建立空间直角坐标系，

设，则

设平面的法向量为，

则，即，则

平面的一个法向量为

则，解得

即.

20．如图，扇形OMN的半径为，圆心角为，A为弧MN上一动点，B为半径上一点且满足.

(1)若，求AB的长；

(2)求△ABM面积的最大值.

【答案】(1)1；

(2).

【分析】(1)在△OAB中，利用余弦定理即可求AB；

(2)由题可知AB∥OM，则，设，，在中利用余弦定理和基本不等式求出xy的最大值，再由即可求面积最大值.

【详解】(1)在△OAB中，由余弦定理得，，

即，即，即，

∴；

(2)，，，∥，

，

设，，

则在中，由余弦定理得，

即，当且仅当时取等号，

∴，当且仅当时取等号.

∴△ABM面积的最大值为.

21．已知函数

(1)求函数在上的极值：

(2)当时，若直线既是曲线又是曲线的切线，试判断的条数

【答案】(1)答案见解析；

(2)2条.

【分析】（1）由题知，求导得，进而分和两种情况讨论求解即可；

（2）分别求得在处的切线方程，函数在处的切线方程，进而得，再结合公切线将问题转化为求方程在上的根的个数，进而构造函数，利用导数研究函数的零点个数即可得答案.

【详解】(1)解：由题知，

所以，

所以，当时，在上恒成立，即在上单调递减，故函数无极值；

当时，，解得，

故当变化时，，的变化情况如下表：

所以，由上表可知，当时，取得极小值，无极大值.

综上，当时，函数无极值；当，极小值为，无极大值.

(2)解：当时，，

所以，根据导数的几何意义，

函数在处的切线方程为，即.

函数在处的切线方程为，即，

若曲线与曲线的有公切线，则，

由①得，代入②得，

所以，问题转化为求方程在上的根的个数，

故令，则，

令，得.

所以当时，，单调递减；当时，，单调递增；

所以，

因为，

所以，且函数在上连续，

所以函数在上有两个零点，即方程在上有2个不等实数根.

所以曲线与曲线的公切线有2条.

【点睛】本题考查利用导数研究含参数的极值，导数的几何意义，利用导数研究函数的零点个数等，考查运算求解能力，分类讨论思想，是难题.本题第二问解题的关键在于分别求出曲线在某点处的切线方程，进而根据公切线将问题转化为求解函数的零点个数，再利用导数研究函数的零点即可.

22．设椭圆E：的右焦点为F，点A，B，P在椭圆E上，点M是线段AB的中点，点F是线段MP中点

(1)若M为坐标原点，且△ABP的面积为3，求直线AB的方程；

(2)求△ABP面积的最大值.

【答案】(1)或

(2)

【分析】(1)分斜率存在和不存在讨论，当斜率存在时设直线方程与椭圆方程联立消元，利用弦长公式和点到直线的距离公式表示出面积，根据已知列方程可解；

(2)分直线过原点和不过原点，当不过原点时设直线方程与椭圆方程联立消元，利用韦达定理表示出M坐标，再由中点坐标公式得P点坐标，代入椭圆方程可得k和b的关系，然后利用弦长公式和点到直线的距离公式表示出面积（注意），然后用导数求最值.

【详解】(1)在椭圆中，，此时点P坐标为，当直线AB的斜率不存在时，易知，，不满足题意.故设直线方程为，代入椭圆方程得，即，由弦长公式得，点P到直线AB的距离为，则有，解得，所以直线AB的方程为或.

(2)由（1）知，当直线过原点且斜率存在时，，故此时面积最大值为；

当直线不过原点时，易知直线斜率一定存在，设方程为，代入椭圆方程整理可得…①，记，则，，

则，将代入上式得，整理得，代入①得，又点F到直线AB的距离为，则整理得，令，，则，易知当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，故当时，，所以.又直线与椭圆有两个交点，所以，解得，故当，即时，△ABP面积的有最大值.

综上，△ABP面积的最大值为.

【点睛】设而不求是圆锥曲线中最常用的方法之一，本题通过各点之间的关系，结合韦达定理表示出M坐标，进而得到点P坐标，借助P点在椭圆上作为突破口进行求解，考察学生的转化能力和运算能力，属难题.