2022届云南省昆明市师范大学附属中学高三高考适应性月考卷（八）数学（文）试题含解析

2022届云南省昆明市师范大学附属中学高三高考适应性

月考卷（八）数学（文）试题

一、单选题

1．设复数z满足，z在复平面内对应的点为，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】依题意可得，再根据复数模长公式得到方程，即可判断.

【详解】解：z在复平面内对应的点为，则复数，则，由复数的模长公式可得.

故选：A

2．已知集合，，且，则实数的所有值构成的集合是（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】求出集合，由已知可得出，分、两种情况讨论，结合可求得实数的取值.

【详解】因为，由可得.

当时，，合乎题意；

当时，，则或，解得或.

因此，实数的取值集合为.

故选：D.

3．如图为某几何体的三视图，则该几何体的体积为（       ）

A． B．8 C． D．

【答案】B

【分析】由三视图还原直观图，根据棱柱体积公式进行求解.

【详解】由三视图可知，该几何体为如图所示的直三棱柱，且有，为等腰三角形，，而边上的高为2，所以该三棱柱的体积，

故选：B

4．抛物线的焦点为F，点为C上一点，若，则(       )

A． B．4 C． D．2

【答案】C

【分析】根据抛物线定义和焦半径的计算方法计算即可.

【详解】根据抛物线的定义可知，即有，解得，代入抛物线方程得.

故选：C.

5．已知平面直角坐标系内三点，且平面内任意都可唯一表示成（为实数），则实数m的取值范围是（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据平面向量基本定理知，不共线，代入即可得出答案.

【详解】由题意，可知，，又因为平面内任意都可唯一表示成（为实数），则，不共线，故，即.

故选:C．

6．中国古乐中的五音，一般指五声音阶，依次为宫、商、角、徵、羽．若从这五个音阶中任取三个音阶，排成含有三个音阶的一个音序，则这个音序中不含“商”这个音阶的概率为(       )

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】采用列举法即可求该古典概型概率问题.

【详解】从这五个音阶中任取三个音阶，有：

(宫商角)，(宫商徵)，(宫商羽)；(宫角徵)，(宫角羽)；(宫徵羽)；(商角徵)，(商角羽)；

(商徵羽)；(角徵羽)；

共10个基本事件；

其中不含“商”的基本事件有(宫角徵)，(宫角羽)，(宫徵羽)，(角徵羽)共4个；

∴这个音序中不含“商”这个音阶的概率为.

故选：A.

7．药物在体内的转运及转化形成了药物的体内过程，从而产生了药物在不同器官、组织、体液间的浓度随时间变化的动态过程，根据这种动态变化过程建立两者之间的函数关系，可以定量反映药物在体内的动态变化，为临床制定和调整给药方案提供理论依据．经研究表明，大部分注射药物的血药浓度（单位：）随时间t（单位：h）的变化规律可近似表示为，其中表示第一次静脉注射后人体内的初始血药浓度，k表示该药物在人体内的消除速率常数．已知某麻醉药的消除速率常数（单位：），某患者第一次静脉注射该麻醉药后即进人麻醉状态，测得其血药浓度为，当患者清醒时测得其血药浓度为，则该患者的麻醉时间约为（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】依据题意列出关于t的方程即可求得该患者的麻醉时间.

【详解】由题意得，，即，

则，解得.

故选：B

8．已知且，则(       )

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】将两边同时平方，将5替换为5()，再将弦化为切，解方程即可.

【详解】由得，

即，

即，

即解得或.

∵，∴，∴.

故选：C．

9．已知P，A，B，C为球O的球面上的四个点，若平面，，，，则球O的表面积为（        ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】将三棱锥补形成如图所示的长方体，再利用长方体外接球性质求解.

【详解】解：在三棱锥中，平面，，故可将三棱锥补形成如图所示的长方体.

若，，，为球的球面上的四个点，则该长方体的各顶点亦在球的球面上.设球的半经为，则该长方体的体对角线长为，即，

从而有，

故选：D.

10．根据气象学上的标准，连续5天的日平均气温低于即为入冬．将连续5天的日平均温度的记录数据(记录数据都是自然数)作为一组样本，现有4组样本①、②、③、④，依次计算得到结果如下：

①平均数；②标准差；③平均数且极差小于或等于3；④众数等于5且极差小于或等于4．

则4组样本中一定符合入冬指标的共有(       )

A．1组 B．2组 C．3组 D．4组

【答案】B

【分析】①②举反例即可判断；③可采用反证法，假设有数据大于或等于10；④众数为5，极差小于等于4，∴最大数不超过9，据此即可判断.

【详解】①错，举反例：，，，，，其平均数，但不符合题意；

②错，举反例：11，11，11，11，11，其标准差，但不符合题意；

③对，假设有大于或等于10℃的数据，∵极差小于或等于3℃，则最低气温大于或等于7℃，则平均气温大于或等于7℃，这与平均气温小于4℃矛盾，故假设不成立，则当平均数且极差小于或等于3时，不会出现气温高于10℃的情况，故③符合题意；

④对，∵众数为5，极差小于等于4，∴最大数不超过9，符合题意.

故选：B.

11．已知且，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据的单调性可得，A、B根据幂函数、正弦函数的单调性判断，C、D利用导数研究函数单调性比较大小.

【详解】由于在上单调递增，又，可得．

由在上单调递减，所以，A错；

由在上不单调，所以无法判断与的大小，B错；

由，则，

当时，，所以在上单调递增；

当时，，所以在上单调递减；

由于在上不单调，故无法判断与的大小，C错；

由，则当时，所以在上单调递增；

又，可得，所以，D对，

故选：D．

12．关于函数有下述四个结论：

①是偶函数；

②在区间上单调；

③函数的最大值为M，最小值为m，则；

④若，则函数在上有4个零点．

其中所有正确结论的编号是（       ）

A．①④ B．①③ C．②④ D．①②③

【答案】A

【分析】①利用函数奇偶性的定义判断；②③④由结合函数的对称性和周期性，作出的大致图象判断；

【详解】由，可知为偶函数，①对.

由，得关于对称；

由，得的周期为；当时，

其中且；作出在上的图象，并根据的对称性及周期性作出的大致图象.

 由图可知，在上单调递增，在上单调递减，所以在上不单调，②错；

的最大值，最小值，故，③错；

若，则在上有4个零点，④对，

故选：A.

二、填空题

13．若x，y满足约束条件则的最大值为___________．

【答案】2.5

【分析】画出可行域，依据线性规划的规则即可求得的最大值.

【详解】根据约束条件作出可行域

由，可得，则

由，可得，则

由，可得，则

则表示可行域内点与点连线的斜率，当直线经过时，直线的斜率值最大为．

故答案为：

14．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，若有两解，写出a的一个可能的值为__________．

【答案】（满足均可，答案不唯一）

【分析】根据题意可得，解之即可得解.

【详解】解：由于满足条件的有两个，则，即.

故答案为：（满足均可，答案不唯一）．

15．已知分别为双曲线的左、右焦点，过的直线与圆相切于点M，与C的右支交于点N，O为坐标原点，若，则C的离心率为________．

【答案】

【分析】由已知条件可得，由三角形中位线定理可得，由双曲线的定义得，从而得，在中利用勾股定理列方程可求得离心率

【详解】因为，所以，所以.

又直线与圆相切于点，所以，所以.

又为的中点，所以为的中位线，所以.

根据双曲线的定义可知，

所以.

在中，，即，得，

所以，

故答案为：.

三、双空题

16．如图，某城市公园内有一矩形空地，，，现规划在边上分别取点E，F，G，且满足，在△内建造喷泉瀑布，在△内种植花卉，其余区域铺设草坪，并修建栈道作为观光路线（不考虑宽度），则当______时，栈道最短，此时_______．

【答案】         

【分析】由题设有△△，设，根据图形中边角关系，结合三角函数可得，注意的范围，进而应用换元法并构造函数，利用导数求最值.

【详解】由题意， △△，

设，则．

在△中，得，则．

由于，解得.

令，，则．

令，则，

当时，递增；当时，递减；

所以，有最大值，则.

故答案为：，．

【点睛】关键点点睛：注意根据，的长度判断对应三角函数值的范围.

四、解答题

17．如图，直四棱柱的底面是菱形，E，F分别是上的点，且．

(1)证明：点F在平面内；

(2)若，求三棱锥的体积．

【答案】(1)证明见解析；

(2).

【分析】(1)连接，证明EF∥∥即可；

(2)取的中点，连接、，证明BH⊥平面，则.

【详解】(1)如图，连接，

在直四棱柱中，，且，

∴四边形是平行四边形，∴.

∵，即，

∴，∴，

∴，∴四点共面，

∴点在平面内；

(2)取的中点，连接、.

∵四边形是菱形，，∴为等边三角形，∴.

又则有．

又平面ABCD，则，，∴平面．

∵∥平面，∴点到平面的距离即为点到平面的距离，即为，∴．

18．《中国制造2025》是中国实施制造强国战略第一个十年的行动纲领，制造业是国民经济的主体，是立国之本、兴国之器、强国之基．发展制造业的基本方针为质量为先，坚持把质量作为建设制造强国的生命线某电子产品制造企业为了提升生产效率，对现有的一条电子产品生产线进行技术升级改造，为了分析改造的效果，该企业质检人员从该条生产线所生产的电子产品中随机抽取了1000件，检测产品的某项质量指标值，根据检测数据得到下表(单位：件)．

(1)估计这组样本的质量指标值的平均数和方差(同一组中的数据用该组区间中点值作代表)；

(2)设表示不大于x的最大整数，表示不小于x的最小整数，s精确到个位，，，，根据检验标准，技术升级改造后，若质量指标值有落在内，则可以判断技术改造后的产品质量初级稳定；若有落在内，则可以判断技术改造后的产品质量稳定，可认为生产线技术改造成功．请问：根据样本数据估计，是否可以判定生产线的技术改造是成功的？

【答案】(1)61，241；

(2)可以判断技术改造后的产品质量初级稳定，但不能判定生产线技术改造成功.

【分析】(1)利用表格中的数据，根据平均数和方差的计算公式计算即可；

(2)根据题中公式，计算出区间并判段数据落在该区间的概率，计算出区间并判段数据落在该区间的概率，与题中条件比较即可得出结论.

【详解】(1)由题，可知

．

．

(2)由知，，

则，，

该抽样数据落在内的频率约为；

又，，

该抽样数据落在内的频率约为，

∴可以判断技术改造后的产品质量初级稳定，但不能判定生产线技术改造成功．

19．已知正项等比数列的前n项和为，，且___________．

请在①；②；③是和的等差中项；这三个条件中任选一个，补充到上述题目中的横线处，并求解下面的问题．

(1)求数列的通项公式；

(2)若，求数列的前n项和．

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．

【答案】(1)；

(2).

【分析】(1)设等比数列的公比为，由于，则有.若选①：根据前n项和列出关于q的方程，解得q即可；若选②：根据通项公式和前n项和求得q即可；若选③：列出关于q的方程，求出q即可；

(2)根据通项公式，采用裂项相消法求其前n项和.

【详解】(1)设等比数列的公比为，由于，则有.

选择条件①，

由得，又，∴，

∴，解得(舍)或，

∴.

选择条件②，

由，可知，∴，∴，解得(舍)或，

∴.

选择条件③，

由题，可知，又，则有，

解得(舍)或，

∴.

(2)由(1)得，，

∴，

∴.

20．已知椭圆，下顶点为A，不与坐标轴垂直的直线l与C交于P，Q两点．

(1)若线段的中点为，求直线l的斜率；

(2)若l与y轴交于点，直线分别交x轴于点M，N，求证：M，N的横坐标乘积为定值．

【答案】(1)；

(2)证明见解析.

【分析】（1）设，应用点差法可得，结合的中点有，即可求直线l的斜率；

（2）设直线，联立椭圆方程应用韦达定理求、，由判别式求k的范围，进而写出直线并求M，N坐标，化简即可证明结论.

【详解】(1)设，由在椭圆上，则，

两式相减得，即，

又的中点且在椭圆内，则，

所以直线的斜率为．

(2)由题意知，直线的斜率存在，设直线，，

联立得：．

由得：，即或，且，.

直线为，令得：，则，同理得，

所以，

所以的横坐标乘积为定值．

21．已知函数．

(1)当时，若直线l既是曲线的切线，也是曲线的切线，求直线l的方程；

(2)若不等式恒成立，求实数a的取值范围．

【答案】(1)或；

(2).

【分析】(1)求出f(x)在处切线，求出在出切线，两条切线斜率相等且重合，据此列出方程组求解即可；

(2)由题知，将不等式构造为，令，即，根据F(x)的单调性去掉“F”后参变分离即可求解.

【详解】(1)当时，.

设曲线上任意一点，由于，，

则曲线在点处的切线为，即.

设曲线上任意一点，由于，，

则曲线在点处的切线为，即.

由题，得解得或

∴直线的方程为或.

(2)由题得，

则有，

令，则.

由于在R上单调递增，∴，即.

∴原问题转化为：对任意x＞0恒成立.

令，∴；

∴当时，，单调递增；

当时，，单调递减；

则有当时，，

∴，则，即的取值范围为.

【点睛】本题关键在于利用指对数的互化将不等式构造为两边对称的形式：，于是构造函数，将不等式转化为，再根据根据F(x)的单调性去掉“F”，以达到将问题里面的指对数简化的目的.

22．在平面直角坐标系中，曲线的参数方程是（为参数，）．以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．

(1)求的普通方程和的参数方程；

(2)若与交于P，Q两点，设直线的斜率为，直线的斜率为，求的值．

【答案】(1)；为参数）．

(2)4

【分析】（1）根据同角三角函数关系式对曲线的参数方程进行消参，再根据极坐标和直角坐标互化公式将化为直角坐标方程，再转化为参数方程；

（2）将的参数方程代入，得二次方程，根据韦达定理，可得，表达式，结合的几何意义，代入即可求出.

【详解】(1)由消去，得，

即的普通方程为；             

由，得，

则有，

将，代入得，

所以曲线的参数方程为为参数）．

(2)由可得，

故的几何意义是抛物线上的点（除顶点）与原点所在直线的斜率．

将代入，得二次方程，

当时，设该二次方程两根为，

则有，，

所以．

23．已知函数．

(1)求不等式的解集；

(2)设函数，若对任意，存在，使得，求实数a的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）分类讨论去绝对值再去求解不等式，即可得到不等式的解集；

（2）依据题意列出关于实数a的不等式，即可求得实数a的取值范围．

【详解】(1)由题意可得

不等式等价于不等式组或或

解不等式组，得或或，即．

所以的解集为．

(2)由（1）可知在上单调递减，在上单调递增，

所以．

由绝对值不等式可知，．

由于对任意，存在，使只需，

即，所以，

解之得，，所以的取值范围为．