第18题 立体几何——【新课标全国卷（文）】2022届高考数学考点题号一对一

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第18题 立体几何—【新课标全国卷（文）】2022届高考数学二轮复习考点题号一对一1.在直四棱柱中，.(1)求证:平面；(2)求点到平面的距离.2.如图，在四棱锥中，底面ABCD是矩形，平面分别是PB、CD的中点.(1)证明：平面PAD；(2)若平面AEF，求四棱锥的体积.3.如图1，正方形ABCD中，，，将四边形CDMN沿MN折起到四边形PQMN的位置，使得(如图2).（1）证明：平面平面ABPQ；（2）若E，F分别为AM，BN的中点，求三棱锥的体积.4.如图，在四棱锥中，已知底面ABCD为矩形，为等腰直角三角形，，，F是BC的中点.（1）若在线段AD上存在点E，使得平面平面ABCD，指出点E的位置；（2）在（1）的条件下，若，求点F到平面SAD的距离.5.已知平行四边形ABCD中，，，，点E在线段CD上，，把沿BE翻折，使点C到点P的位置，如图.（1）当平面平面ABCD时，求AP的长；（2）若，求三棱锥的体积.6.如图，在四棱柱中，底面ABCD是边长为2的菱形，，，点M，N分别为棱，BC的中点.（1）求证：平面.（2）若，且，求三角形MDN绕直线MN旋转一周所形成的旋转体的表面积.7.如图（1），在四边形MABC中，是等腰直角三角形，，是边长为2的正三角形.以AC为折痕，将向上折叠到的位置，使D点在平面ABC内的射影在AB上，再将向下折叠到的位置，使平面平面ABC，形成几何体DABCE，如图（2）所示.已知点F在BC上.（1）若平面EAC，求点F的位置；（2）过DF且与平面EAC平行的平面将几何体DABCE分为两部分，求这两部分几何体的体积之差（较大体积减去较小体积）.8.如图，在四棱锥中，四边形ABCD是边长为2的菱形，，是等边三角形，平面平面ABCD，E，F分别是SC，AB上的一点.（1）若E，F分别是SC，AB的中点，求证：平面SFD；（2）当为多少时，三棱锥的体积为？9.如图所示，四棱锥的底面ABCD是直角梯形，，，，底面ABCD，过BC的平面交PD于M，交PA于N（M与D不重合）.（1）求证：.（2）若，求的值.10.如图，三棱柱中，侧面为菱形，的中点为O，且平面.（1）证明：；（2）若，，，求三棱柱的高.11.如图（1），在直角梯形ABCD中，，，，E是AD的中点，O是AC与BE的交点.将沿BE折起到图（2）中的位置，得到四棱锥.

（1）证明：平面；
（2）当平面平面BCDE时，四棱锥的体积为，求a的值.12.已知直三棱柱中，侧面为正方形.，E，F分别为AC和的中点，，

（1）求三棱锥的体积；
（2）已知D为棱上的点，证明：.13.如图，在四棱锥中，平面平面ABCD，，，，，，M，N分别为AD，PA的中点.（1）证明：平面平面PCD.（2）若，求三棱锥的体积.14.如图（1），ABCD是正方形，点P在以BC为直径的半圆弧上（P不与B，C重合），E为线段BC的中点.现将正方形ABCD沿BC折起，使得平面平面BCP，如图（2）所示.（1）证明：平面DCP.（2）若，当三棱锥的体积最大时，求E到平面BDP的距离.15.如图，AB为圆O的直径，点E，F在圆O上，，矩形ABCD所在平面和圆O所在平面互相垂直，已知，.（1）求证：平面平面CBF.（2）设几何体，的体积分别为，，求的值.
答案以及解析1.答案：(1)证明过程见解析.(2)距离为.解析：(1)取的中点，连接.为直四棱柱，平面，..，四边形为正方形，，.，平面.(2)易得.由(1)知平面.设点到平面的距离为..故点到平面的距离为.2.答案：(1)证明过程见解析.(2)体积为.解析：(1)证明：如图，取AP的中点为M，连接MD，ME.
因为E，M，F分别是的中点，四边形ABCD是矩形，
所以，且，
所以，
所以四边形DMEF为平行四边形，所以，

(2)因为平面，平面ABCD，
所以，又，所以，
因为平面，平面AEF，所以，
又E是PB的中点，所以.
所以直角梯形ABCF的面积.
易知点E到平面ABCF的距离，
所以.3.答案：(1)见解析(2)解析：(1)在正方形ABCD中，，，，，又，在中，由余弦定理得，，，，又，平面ABPQ，平面ABPQ，又平面MNPQ，平面平面ABPQ；(2)由(1)知，，在正方形ABCD中，，，四边形CDMN为矩形，，，，，，MQ、平面AMQ，平面AMQ，平面ABNM，平面平面AMQ，过Q作于H，则平面ABNM，即平面BEF，，.4.答案：（1）点E为AD的中点（2）解析：（1）点E为AD的中点.理由如下：因为四边形ABCD是矩形，所以.又E，F分别是AD，BC的中点，所以，所以.又为等腰直角三角形，，所以.因为，所以平面SEF.又平面ABCD，所以平面平面ABCD.（2）如图，过点S作，交FE的延长线于点O.由（1）知平面平面ABCD，平面平面，所以平面ABCD.因为为等腰直角三角形，，所以，，又，所以为等腰三角形.因为，故，，故，.连接AF，DF，设F到平面SAD的距离为d，由可得.易知，，所以.5.答案：（1）（2）解析：（1）翻折前，根据，，得，在中，，，由余弦定理，得，所以，于是.翻折后，有.因为平面平面ABCD，且平面平面，平面PBE，所以平面ABCD.连接AE，因为平面ABCD，所以，而，，所以.（2）如图，因为，，，所以平面PDE，又平面ABED，所以平面平面ABED.由于，，所以为正三角形，取DE的中点O，连接PO，则，所以平面ABED，且，所以三棱锥的体积.6.答案：（1）见解析（2）解析：（1）如图，取的中点E，连接EM，EN，因为M为棱的中点，所以且，又四边形ABCD是菱形，N为棱BC的中点，所以且，所以且，所以四边形EMCN为平行四边形，所以，又平面，平面，所以平面.（2）连接BD，因为底面ABCD是边长为2的菱形，所以，又，，所以平面，所以.又，，所以平面ABCD.因为，，所以，，易知，则，三角形MDN斜边上的高为.易知三角形MDN绕着直线MN旋转一周所形成的旋转体是两个圆锥的组合体，其表面积为.7.答案：（1）F为BC的中点（2）解析：（1）F为BC的中点.理由如下：如图，设点D在平面ABC内的射影为O，连接OC，，，在中，O为AB的中点.取BC的中点F，连接OF，DF，则，又平面EAC，平面EAC，平面EAC.取AC的中点H，连接EH，则，又平面平面ABC，平面平面，平面ABC，又平面ABC，，平面EAC.又，平面平面EAC.又平面DOF，平面EAC.（2）由（1）知，则，又O为AB的中点，则，因而.又，故平面DOF.如图，取BE的中点N，连接FN，ON，则，.又，，，，，，则四棱锥的体积为，几何体DABCE的体积为，两部分几何体的体积之差为.8.答案：（1）见解析（2）当时，三棱锥的体积为解析：（1）如图，取SD的中点G，连接FG，GE.因为E，F，G分别是SC，AB，SD的中点，所以且，.又四边形ABCD是菱形，所以且，所以且，所以四边形FBEG为平行四边形，所以.又平面SFD，平面SFD，所以平面SFD.（2）因为四边形ABCD是边长为2的菱形，，所以.因为是等边三角形，所以在中，AD边上的高为.又平面平面ABCD，平面平面，所以的高即三棱锥的高，所以.又，所以.所以当时，三棱锥的体积为.9.答案：（1）见解析（2）解析：（1）在梯形ABCD中，，平面PAD，平面PAD，所以平面PAD.又平面BCMN，平面平面，所以.（2）过M作交AD于K，连接BK.因为底面ABCD，所以底面ABCD，所以.又，，所以平面BMK，所以.所以在平面ABCD中，可得四边形BCDK是平行四边形.所以，所以K是AD的中点，所以M是PD的中点，所以N是PA的中点.设，连接CN，则.10.答案：（1）连接，则O为与的交点.因为侧面为菱形，所以，因为平面，所以，，故平面ABO，因为平面ABO，故.（2）如图，作，垂足为D，连接AD，作，垂足为H，由题意知，，故平面AOD，所以，又，所以平面ABC，因为，所以为等边三角形，又，所以.由于，因此，由，且，得.又O为的中点，所以点到平面ABC的距离为，故三棱柱的高为.11.答案：（1）在题图（1）中，因为，E是AD的中点，，所以，即在题图（2）中，，，且，从而平面，又在直角梯形ABCD中，，，E为AD中点，所以，所以四边形BCDE为平行四边形，故有，所以平面.（2）由已知，平面平面BCDE，且平面平面，又由（1），，所以平面BCDE，即是四棱锥的高，由题图（1）知，，平行四边形BCDE的面积，从而四棱锥的体积为，由，得.12.答案：（1）如图，取BC的中点为M，连接EM.由已知易得，，，，，由得，又易得，，所以平面BCF，故.（2）连接，，由（1）知，所以ED在平面内.在正方形中，由于F，M分别是，BC的中点，所以，，且这两个角都是锐角，所以，所以，所以，又，，所以平面，又平面，所以.13.答案：（1）见解析（2）解析：（1）连接BD，如图.，，为正三角形.为AD的中点，.又，平面ABCD，平面ABCD，.又平面PCD，平面PCD，平面PCD.，N分别是AD，PA的中点，.又平面PCD，平面PCD，平面PCD.又平面BMN，平面BMN，且，平面平面PCD.（2）由（1）知.平面平面ABCD，平面平面，平面ABCD，平面PAD.又，，.，N分别是AD，PA的中点，，的面积.三棱锥的体积.14.答案：（1）见解析（2）解析：（1）因为平面平面BCP，ABCD是正方形，平面平面，所以平面BCP.因为平面BCP，所以.因为点P在以BC为直径的半圆弧上，所以，又，所以平面DCP.（2）当点P位于的中点时，的面积最大，三棱锥的体积也最大.如图，连接PE，DE，因为，所以，所以的面积为，所以三棱锥的体积为.因为平面DCP，所以，，的面积为.设E到平面BDP的距离为d，由，得，即E到平面BDP的距离为.15.答案：（1）见解析（2）解析：（1）解法一  平面平面ABEF，在矩形ABCD中，，平面平面，平面ABCD，平面ABEF.平面ABEF，.又AB为圆O的直径，.，平面CBF.平面DAF，平面平面CBF.解法二  平面平面ABEF，在矩形ABCD中，，平面平面，平面ABCD，平面ABEF.平面ABEF，.又AB为圆O的直径，.，平面DAF.平面CBF，平面平面CBF.（2）如图，过点F作，交AB于H.平面平面ABEF，平面平面，且平面ABEF，平面ABCD.则，易知，.