第19题 数列——【新课标全国卷（理）】2022届高考数学考点题号一对一

第19题 数列—【新课标全国卷（理）】2022届高考数学二轮复习考点题号一对一

1.已知等比数列的前n项和为，且.

(1)求与；

(2)记，求数列的前n项和.

2.已知数列，，满足，，，为数列的前n项和，.
(1)求数列，的通项公式；
(2)令，求数列的前n项和.

3.已知数列为等比数列，设其前n项和为，公比，且，.

(1)求数列的通项公式；

(2)记数列的前n项和为，求数列的前n项和.

4.设是公比不为1的等比数列，为，的等差中项.

(1)求的公比；

(2)若，求数列的前项和.

5.已知数列是以3为首项，为公差的等差数列，且成等比数列.

(1)求数列的通项公式；

(2)设，求数列的前n项和.

6.已知数列的前n项和为，且，.

(1)求的通项公式；

(2)若数列满足，记数列的前n项和为，求证：.

7.已知正项数列的前n项和为，，，其中为常数.
（1）证明：.
（2）是否存在实数，使得数列为等比数列？若存在，求出；若不存在，请说明理由.

8.设是公比不为1的等比数列，为的等差中项.

(1)求的公比；

(2)若，求数列的前n项和.

9.已知数列为正项等比数列，，数列满足，.

（1）求；

（2）求的前n项和.

10.已知数列的前n项和，且.

（1）若数列是等比数列，求t的值；

（2）求数列的通项公式.

11.设是首项为1的等比数列，数列满足.已知，，成等差数列.

（1）求和的通项公式；

（2）记和分别为和的前n项和.证明：.

12.已知是等比数列，是等差数列，且，，，.

（1）求数列和的通项公式；

（2）设，，求数列的前n项和.

13.已知是各项均为正数的数列，其前n项和为，且为与的等差中项.

（1）求证：数列为等差数列；

（2）设，求的前100项和.

14.已知等差数列中，，，等比数列中，，.
（1）分别求数列和的通项公式；
（2）设，求数列的前n项和.

15.已知函数，数列是公差为d的等差数列，且，.

（1）求数列的通项公式；

（2）若为的前n项和，求证：.

答案以及解析

1.答案：(1)；.

(2).

解析：(1)由得，
当时，得；
当时，，
得，
所以数列是以1为首项，2为公比的等比数列，
所以.
所以.
(2)由(1)可得，

则，
，
两式相减得，
所以

.

2.答案：(1)；.

(2).

解析：(1)由题可知，，
，
所以数列是首项为2，公差为2的等差数列，
所以.
由得.
(2)由(1)得，
所以.
所以

.

3.答案：(1).

(2)前n项和为.

解析：(1)因为，，
所以.
，两式相除得，
解得，，
故数列的通项公式.
(2)由(1)得，
则，
故，
则，
所以数列的前n项和为.

4.答案：(1)的公比为-2.

(2).

解析：(1)设的公比为q，由题设得，即.

所以，解得(舍去)，.

故的公比为-2.

(2)记为的前n项和.

由(1)及题设可得，.所以，

.

可得

.

所以.

5.答案：(1).

(2).

解析：(1)因为成等比数列，所以，

即.

因为，所以，即，

所以或-6(舍去)，

所以.

(2)由(1)知，，

所以

.

6.答案：(1)

(2)见解析

解析：(1)，

当时，，

，

，

为从第二项开始的等比数列，公比为，

又，，，

时也满足上式，.

(2)，

，①

，②

①-②得，，

，

，

，，.

7.答案：（1）见解析

（2）存在，.
解析：（1），，

，
.

，，
，.
（2），

，

两式相减，得.

，即，

，由，得.

若是等比数列，则，

即，得.

经检验，符合题意.

故存在，使得数列为等比数列.

8.答案：(1)的公比为

(2)

解析：(1)设的公比为q，由题设得，即.

所以，解得(舍去)或.

故的公比为.

(2)记为的前n项和.由(1)及题设可得，.

所以，

.

可得

.

所以.

9.答案：（1）

（2）

解析：（1）令，得，所以.

令，得，所以，又，所以.

设数列的公比为q，则，所以.

（2）当时，，①

又，②

所以②-①得，得，时也成立，所以.

，

所以

.

10.答案：（1）当时，由，得.

当时，，

即，所以，.

依题意，得，解得，

当时，，，即为等比数列成立，故实数t的值为1.

（2）由（1），知当时，，

又因为，

所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列，

所以，

所以.

11.答案：（1）因为，，成等差数列，所以.

因为是首项为1的等比数列，设其公比为q，

则，所以，所以，

所以.

（2）由（1）知，，

所以.

，①

所以，②

①-②，得，

所以，

所以，

所以.

12.答案：（1）设等比数列的公比为，等差数列的公差为d，

依题意有，即，

解得或（舍去）.

，.

（2）由（1）得，

，①

，②

①-②，得，

.

13.答案：（1）由题意知，即.①

当时，由①式可得，

当时，，

代入①式得，

整理得，

是首项为1，公差为1的等差数列.

（2）由（1）可得，

的各项都为正数，，

，

又满足，

，

，

，

的前100项和.

14.答案：（1）设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q.
由，，
可得解得
所以.
因为，，所以，，
所以，所以.
（2）由（1）知，
所以，①
则，②
①-②得，，


，
所以.

15.答案：（1），，

又，所以，

所以，

所以数列的通项公式为.

（2），，

所以

，

所以.