初中数学人教版八年级下册19.2.2 一次函数第2课时教学设计

导入新课

【复习导入】

师：同学们，什么是正比例函数，什么是一次函数？

 填空的形式，让学生回答。

预设：一般地，形如 y=kx（k 是常数，k≠0）的函数，叫做正比例函数。

一般地，形如 y=kx+b（k 是常数，k≠0）的函数，叫做一次函数。

当b=0时，y=kx+b就变成了y=kx ,所以说正比例函数是一种特殊的一次函数.

  师追问：还记得正比例函数的图象和性质吗？

  预设：正比例函数的图象：一条经过原点的直线；

正比例函数的性质：  k＞0，y 随x 的增大而增大；               

k＜0，y 随 x 的增大而减小．      

    思考：一次函数的图象和性质又是怎样的呢？

学生回顾，说一说。

通过复习旧知，对比正比例函数与一次函数的概念，从正比例函数的图象和性质出发引出新课。

讲授新课

【合作探究】

问题1 画出函数 y=-6x 、 y=-6x+5 的图象.

解：(1)函数y=－6x与y=－6x+5中自变量x可为任意实数.

         列表如下

         描点和连线

引导：引导学生从图象形状、倾斜程度及与y轴的交点坐标上比较两个函数图象，从而认识两个函数图象的平移关系，进而了解解析式中k、b在函数图象中的意义，体会数形结合在实际中的表现.

【思考】

（1）图象形状都是   一条直线     ，并且倾斜程度 相同   .

（2）函数 y=－6x的图象经过   原点    ，函数y= －6x+5的图像与y轴交于点( 0，5 )，即它可以看作由直线 y=－6x向  上 平移   5 个单位长度而得到.

提出问题：你知道一次函数y=kx+b(k≠0)的图象是什么形状了吗？它与正比例函数的图象有什么关系？

根据学生归纳的结果，教师总结：

①一次函数 y＝kx+b(k≠0)的图象是一条直线， 我们称它为直线 y＝kx+b(k≠0)．

②一次函数 y＝kx+b(k≠0)的图象可以由直线y=kx平移|b|个单位长度得到(当b＞0时，向上平移；当b＜0时，向下平移).

问题2  画出函数 y=2x-1 与 y=-0.5x+1 的图象.

分析：由于一次函数的图象是直线，因此只要确定两个点就能画出它.

         列表表示当x=0，x=1时两个函数的对应值.

过点（0，-1）与点（1，1）画出直线y＝2x－1；

过点（0，1）与点（1 ，0.5）画出直线y＝-0.5x+1.

注意：也可以先画直线 y=2x与 y=-0.5x，再分别平移它们，也能得到直线y=2x-1与 y=-0.5x+1

想一想：一般用(0,0),(1，k)来画正比例函数y=kx(k≠0）图象，那么一次函数呢？

师：对于一次函数y=kx+b(k≠0)来说，必定与x轴和y轴形成交点，所以一般采用：一次函数图象与坐标轴的交点.

提问：如何求出函数与坐标轴的交点?

总结：令x=0，即可求得函数图象与y轴的交点，(0，b);令y=0，即可求得函数图象与x轴的交点，(－，0).

  师小结：由于两点确定一条直线，所以画一次函数图象时，一般我们只需要描点(0，b)和( b/k，0)即可.

合作探究：

画出函数y=x+1， y=－x+1， y=2x+1，y=－2x+1的图象．

         列表表示当x=0，x=1时两个函数的对应值.

         描点、连线

【观察与思考】

一次函数解析式y=kx+b(k，b是常数，k≠0)中，k的正负性对函数图象有什么影响？

引导得出结论：当k＞0时，直线y=kx+b从左至右上升，即y随x的增大而增大；当k＜0时，直线y=kx+b从左至右下降，即y随x的增大而减小.

【思考】

一次函数解析式y=kx+b(k，b是常数，k≠0)中，b的正负性对函数图象有什么影响？

分析：b决定直线y=kx+b与y轴交点的坐标(0，b)

      当b＞0时，函数图象与y轴正半轴相交;

当b＝0时，图象经过原点;

当b＜0时，函数图象与y轴负半轴相交.

归纳：

通过列表、描点和连线，完成正比例函数y=－6x和y=－6x+5的图象.

结合画出的图象，分析两个函数图像的相同点与 不同点.

思考并解答如何求出一次函数图象与坐标轴的交点.

小组讨论交流，寻求变量数值变化规律与解析式中k值的联系.

进一步探究b对函数图象的影响.

在学生已知道正比例函数的图象是一条直线的基础上，通过描点法画一次函数图象，让学生体验两者的区别与联系。

同时画两个函数图象，观察k相同，b不同的情况，通过活动，加深对一次函数与正比例函数的理解，认清一次函数图象特征与解析式的联系.

通过类比正比例函数图象性质的研究方法，引导学生先画出若干个一次函数的图象，同时巩固“两点法”画一次函数图象.然后通过观察、比较、归纳，概括出一次函数的性质，使学生深刻理解函数增减性与系数k的关系.

进一步理解一次函数的性质，体会数形结合思想在数学研究中的重要性.

【典型例题】

教师活动：教师提出问题，对于学生的回答，给予激励性评价.

例1   已知点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)是一次函数y=-0.5x+3图象上的两点，下列判断中，正确的是(      )

A.y1＞y2      C.当x1＜x2时，y1＜y2

B. y1＜y2      D.当x1＜x2时，y1＞y2

分析：根据一次函数的性质: 当k＜0时，y随x的增大而减小，所以D为正确答案．

例2  已知一次函数 y=(1-2m)x+m-1 , 求满足下列条件的m的值：

（1）函数值y 随x的增大而增大；

（2）函数图象与y 轴的负半轴相交；

（3）函数的图象过第二、三、四象限；

解：(1)由题意得1-2m>0，解得

(2)由题意得1-2m≠0且m-1<0，即且

(3)由题意得1-2m<0且m-1<0，解得

【课堂练习】

教师活动：通过抢答的形式，让学生独立思考，再由老师带领整理思路过程.

1.直线y＝2x向下平移2个单位长度得到的直线的解析式是(　　)

A．y＝2(x＋2)  B．y＝2(x－2)

C．y＝2x－2   D．y＝2x＋2

答案：C

2. 在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx＋b的图象如图所示，观察图象可得(　　)

A．k＞0，b＞0 

B．k＞0，b＜0

C．k＜0，b＞0 

D．k＜0，b＜0

答案：A

3．若直线y＝kx＋2是由直线y＝－2x－1平移得到的，则k＝________．将直线y＝－2x－1沿y轴向________平移________个单位长度得到直线y＝kx＋2.

答案：-2，上，3

4. 已知一次函数 y＝(2m＋4)x＋(3－m)．

(1)当 y随x的增大而增大，求m 的取值范围；

(2)若图象经过第一、第二、第三象限，求m的取值范围．

答案：(1)∵y随x的增大而增大，∴2m＋4>0，解得m>－2.

(2)由图象经过第一、二、三象限，知：2m＋4>0 且3－m>0

解得－2＜m＜3.

学生解答，教师展示给出解答示范．

自主完成练习，然后集体交流评价.

巩固所学知识，加深对所学知识的理解，提高学生知识的综合运用能力．

通过本环节的学习，让学生巩固所学知识．

课堂小结

以思维导图的形式呈现本节主要内容：

回顾本节课所讲的内容

通过小结让学生进一步熟悉巩固本节课所学的知识.

板书

1.图象

一次函数y=kx+b（k，b是常数，k≠0）的图象是一条直线，我们称它为直线y=kx+b.

2.画法：

 ①两点法：两点确定唯一一条直线；

②平移法：由直线y=kx向上或向下平移.

3.   性质

当k＞0时：

①b>0，经过一、二、三象限，y随x的增大而增大；

②b<0，经过一、三、四象限，y随x的增大而增大；

当k＜0时：

①b>0，经过一、二、四象限，y随x的增大而减小；

②b<0，经过二、三、四象限，y随x的增大而减小；

4.例题讲解