2021-2022学年天津市南开区八年级（上）期末数学试卷-（含解析）

2021-2022学年天津市南开区八年级（上）期末数学试卷

副标题

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）

1. 下列商标是轴对称图形的是

A.  B.  C.  D.

2. 据考证，单个雪花的质量在克左右，这个数用科学记数法表示为

A.  B.  C.  D.

3. 下列从左到右的变形，是因式分解的是

A.  B.
C.  D.

4. 下列各式能用平方差公式计算的是

A.  B.
C.  D.

5. 等腰三角形的两边长分别为和，则它的周长为

A.  B.  C.  D. 或

6. 若，，，，则

A.  B.  C.  D.

7. 如图，中，与的平分线交于点，过点作，分别交，于点，，若，，，则的周长为

A.  B.  C.  D.

8. 下列计算结果不正确的是

A.  B.
C.  D.

9. 在平面直角坐标系中有两点，要在轴上找一点，使它到、两点的距离之和最小，现有如下四种方案，其中正确的是

A.  B.  C.  D.

10. 如图，已知，求作一点，使到的两边的距离相等，且下列确定点的方法正确的是

A. 为、两角平分线的交点
B. 为的角平分线与的垂直平分线的交点
C. 为、两边上的高的交点
D. 为、两边的垂直平分线的交点
 

11. 某车间加工个零件后采用了新工艺，工效提高了，这样加工同样多的零件少用，求采用新工艺前、后每小时分别加工多少个零件？若设采用新工艺前每小时加工个零件，则可列方程为

A.  B.
C.  D.

12. 如图，为线段上一动点不与点，重合，在同侧分别作正三角形和正三角形，与交于点，与交于点，与交于点，连结、现有以下个结论：
    ；；；平分．
    这些结论中一定成立的有

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

13. 计算：______．
14. 已知，且，则______．
15. 如图，已知≌，若，，则的值为______．
    
     

16. 如图，等腰中，，线段的垂直平分线交于，交于，连接，则等于______．
    
    
    
     

17. 如图，在中，，平分，与边交于点，，若点到的距离等于，则的长为______．
     

18. 如图，在四边形中，，，在边，上分别找一点，使的周长最小，此时______．

三、计算题（本大题共1小题，共12.0分）

19. Ⅰ将下列各式因式分解
    ；
    ；
    Ⅱ先化简，再求值：，其中．
    
    
    
    
    
    
     

四、解答题（本大题共5小题，共34.0分）

20. 解分式方程：．
    
    
    
    
    
    
     
21. 如图，、、、四点在一条直线上，，，，垂足分别为点、点，．
    求证：≌．
    连结、，求证：．
    
    
    
    
    
    
     
22. 在中，，，平分交于，，在，上，且．
    求的度数；
    求证：．

23. 甲、乙两同学的家与某科技馆的距离均为甲、乙两人同时从家出发去科技馆，甲同学先步行，然后乘公交车，乙同学骑自行车．已知乙骑自行车的速度是甲步行速度的倍，公交车的速度是乙骑自行车速度的倍，结果甲同学比乙同学晚到求乙到达科技馆时，甲离科技馆还有多远．
    
    
    
    
    
    
     
24. 已知：在平面直角坐标系中，等腰直角顶点、分别在轴、轴上，且，．
    如图，当，，点在第四象限时，先写出点的坐标，并说明理由．
    如图，当点在轴正半轴上运动，点在轴正半轴上运动，点在第四象限时，作轴于点，试判断，，之间的关系，请证明你的结论．

答案和解析

1.【答案】

【解析】

解：、不是轴对称图形，不符合题意；
B、不是轴对称图形，不符合题意；
C、不是轴对称图形，不符合题意；
D、是轴对称图形，对称轴有两条，符合题意；
故选：．
根据轴对称图形的概念求解．如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．
本题考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
 

2.【答案】

【解析】

解：．
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数，当原数绝对值时，是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
 

3.【答案】

【解析】

解：、是整式的乘法，故选项错误；
B、结果不是整式的积的形式，故选项错误；
C、结果是整式的积的形式，但是左右不相等，故选项错误；
D、符合因式分解的定义，故选项正确．
故选：．
因式分解就是把多项式转化成几个整式的积的形式，根据定义即可作出判断．
本题考查了因式分解的定义．熟练掌握因式分解的定义是解题的关键．
 

4.【答案】

【解析】

解：能用平方差公式计算的是．
故选：．
利用平方差公式的结构特征判断即可．
此题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式的结构特征是解本题的关键．
 

5.【答案】

【解析】

【分析】
本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，进行分类讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．根据等腰三角形的性质，本题要分情况讨论．当腰长为或是腰长为两种情况．
【解答】
解：等腰三角形的两边长分别为和，
当腰长是时，则三角形的三边是，，，不满足三角形的三边关系；
当腰长是时，三角形的三边是，，，三角形的周长是．
故选C．  

6.【答案】

【解析】

解：，，，，
．
故选：．
直接利用零指数幂的性质以及负整数指数幂的性质分别化简，进而判断大小得出答案．
此题主要考查了零指数幂的性质以及负整数指数幂的性质，正确化简各数是解题关键．
 

7.【答案】

【解析】

解：如图，、分别是与的平分线，
，，
又，，，
，，
的周长，
又，，
的周长．
故选：．
先根据角平分线的性质和平行线判断出、，也就得到三角形的周长就等于与的长度之和．
本题考查了等腰三角形的性质；解答此题的关键是熟知平行线的性质，等腰三角形的性质及角平分线的性质及利用线段的等量代换．
 

8.【答案】

【解析】

解：、，原式计算正确，不符合题意；
B、，原式计算正确，不符合题意；
C、，原式计算正确，不符合题意；
D、，原式计算错误，符合题意；
故选：．
根据分式的加减法的运算法则计算即可判断．
此题考查的是分式的加减法及分式的基本性质，同分母分式加减法法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减；异分母分式加减法法则：把分母不相同的几个分式化成分母相同的分式，叫做通分，经过通分，异分母分式的加减就转化为同分母分式的加减．
 

9.【答案】

【解析】

解：若在直角坐标系中有，两点，要在轴上找一点，使得它到，的距离之和最小，
则可以过点作关于轴的对称点，再连接和作出的对称点连线和轴的交点即为所求，
由给出的四个选项可知选项D满足条件．
故选：．
根据在直线上的同侧有两个点、，在直线上有到、的距离之和最短的点存在，可以通过轴对称来确定，即作出其中一点关于直线的对称点，对称点与另一点的连线与直线的交点就是所要找的点．
本题考查了轴对称最短路线问题，在一条直线上找一点使它到直线同旁的两个点的距离之和最小，所找的点应是其中已知一点关于这条直线的对称点与已知另一点的交点．
 

10.【答案】

【解析】

解：到的两边的距离相等，
点为的平分线上的点，
，
点在线段的垂直平分线上．
即点为的角平分线与的垂直平分线的交点．
故选：．
根据角平分线和线段垂直平分线的性质进行判断．
本题考查了作图复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了角平分线和线段垂直平分线的性质．
 

11.【答案】

【解析】

解：设新工艺前每小时分别加工个零件，则新工艺前加工时间为：；新工艺加工时间为：，
可得出：．
故选：．
设新工艺前每小时分别加工个零件，则新工艺前加工时间为：；新工艺加工时间为：，然后根据题意列出方程即可．
本题考查了由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键在于熟读题意并根据题中所给的条件列出正确的方程．
 

12.【答案】

【解析】

解：和是正三角形，
，，，
又，
，
，
在和中，
，
≌，
，
结论正确；
≌，
，
又，
，
在和中，
，
≌，
，，
是等边三角形，
，
，
，
结论、正确；
如图所示：过点分别作，于点、两点，

，，
，
在和中，
，
≌，
，
又在的内部，
点在的平分线上，
结论正确，
故选：．
由和是正三角形，其性质得三边相等，三个角为，平角的定义和角的和差得，边角边证明≌，其性质得结论正确；角边角证明≌得，其结论正确；角角边证明≌，其性质和角平分线性质定理的逆定理求出点在的平分线上，结论正确．
本题综合考查了全等三角的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，三角形的内角和定理，平行线的判定，角平分线性质定理的逆定理和假设法证明命题等相关知识，重点掌握全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，难点是用角平分线性质定理的逆定理作辅助线证明一点已知角的角平分线上．
 

13.【答案】

【解析】

解：原式．
故答案为：．
原式约分即可得到结果．
此题考查了分式的乘除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
 

14.【答案】

【解析】

解：，，
，
．
故答案为：．
根据平方差公式得到，再将代入计算即可求解．
考查了平方差公式：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差．
 

15.【答案】

【解析】

解：≌，，，
，，
．
故答案为：．
直接利用全等三角形的性质得出，的长进而得出答案．
此题主要考查了全等三角形的性质，正确得出，的长是解题关键．
 

16.【答案】

【解析】

解：线段的垂直平分线交于，交于，
，
，
等腰中，，，
，
．
故答案为：．
由线段的垂直平分线交于，交于，连接，根据线段垂直平分线的性质，可得，又由等腰三角形的性质，可求得与的度数，继而求得答案．
此题考查了线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想与转化思想的应用．
 

17.【答案】

【解析】

解：如图，过作于，
，
，
平分，
，
到的距离等于，
，
又，
，
，
故答案为：．
过作于，根据角平分线性质得出，再求出长，即可得出的长．
本题主要考查了角平分线性质，解题时注意：角平分线上的点到角两边的距离相等．
 

18.【答案】

【解析】

解：如图，作点关于的对称点，点关于的对称点，连接，交于，交于，则点，即为所求．

四边形中，，，
，
由轴对称知，，，
在中，


，



故答案为：．
如图，作点关于的对称点，点关于的对称点，连接，交于，交于，则点，即为所求，结合四边形的内角和即可得出答案．
本题考查的是轴对称最短路线问题，涉及到平面内最短路线问题求法以及四边形的内角和定理等知识，根据已知得出，的位置是解题关键．
 

19.【答案】

解：Ⅰ原式；
原式
；
Ⅱ原式

，
当时，
原式．
 

【解析】

Ⅰ利用平方差公式分解因式；
先提取公因式，然后利用完全平方公式分解因式；
Ⅱ先将小括号内的式子进行通分计算，然后算括号外面的除法，最后代入求值．
本题考查因式分解，分式的化简求值，掌握完全平方公式和平方差公式，分式混合运算的运算顺序先算乘方，然后算乘除，最后算加减，有小括号先算小括号里面的和计算法则是解题关键．
 

20.【答案】

解：去分母得：，
解得：，
检验：把代入得：，
分式方程的解为．
 

【解析】

分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解．
此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
 

21.【答案】

证明：，
和是直角三角形
又
，
即，
在和中

≌．

≌，

，
，
在和中．

≌
．
 

【解析】

根据证明三角形全等即可．
证明≌可得结论．
本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
 

22.【答案】

解：，，
，
平分，
，
；
证明：由得：，，
，
，
，
，
在和中，，
≌，
，
，
．
 

【解析】

由等腰三角形的性质和三角形内角和定理得出，由角平分线定义得出，由三角形的外角性质即可得出答案；
由得，，得出，证出，得出，证明≌，得出，即可得出结论．
本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、三角形的外角性质等知识；熟练掌握等腰三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．
 

23.【答案】

解：设甲步行的速度为米分，则乙骑自行车的速度为米分，公交车的速度是米分钟，
根据题意得，
解得经检验，是原分式方程的解．
所以
答：乙到达科技馆时，甲离科技馆还有．
 

【解析】

设甲步行的速度为米分，则乙骑自行车的速度为米分，公交车的速度是米分钟，根据题意列方程即可得到结论．
本题考查分式方程的应用，分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键．
 

24.【答案】

解：点的坐标为．
理由如下：作轴于，
，
，
，，
，
，
在和中，，
≌，
，，
，，
，，
，
在第四象限，
点的坐标为；

．
证明：作轴于，
，
，
，
，
，
在和中，，
≌，
，，
轴于，
轴，
轴于点，轴于点，
，
，
，
．
 

【解析】

过点作轴于，利用同角的余角相等求出，然后利用“角角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，，然后求出，再根据点在第四象限写出点的坐标即可；
过点作轴于，利用同角的余角相等求出，再利用“角角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，，然后代入、、整理即可得解．
本题考查了全等三角形的判定与性质，坐标与图形的性质，等腰直角三角形的性质，同角的余角相等的性质，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键．