2021-2022学年山东省泰安市泰山区树人外国语学校八年级（下）月考数学试卷（3月份）（五四学制）（含解析）

2021-2022学年山东省泰安市泰山区树人外国语学校八年级（下）月考数学试卷（3月份）（五四学制）

副标题

一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）

1. 使有意义的实数的取值范围是

A.  B. 且 C. 且 D. 且

2. 下列根式中，最简二次根式是

A.  B.  C.  D.

3. 如图，是正方形内一点，连接、、、，若是等边三角形，则的度数是

A.
B.
C.
D.

4. 如图，直线上有三个正方形，，，若，的边长分别为和，则的面积为

A.  B.  C.  D.

5. 如图，将长方形沿对角线折叠，使点落在点处，交于，，，则重叠部分即的面积为

A.
B.
C.
D.

6. 下列二次根式能与合并的是

A.  B.  C.  D.

7. 如图，在菱形中，对角线、相交于点，为中点，，则线段的长为

A.
B.
C.
D.

8. 已知四边形是平行四边形，，相交于点，下列结论错误的是

A. ，
B. 当时，四边形是菱形
C. 当时，四边形是矩形
D. 当且时，四边形是正方形

9. 若，则的取值范围是

A.  B.  C.  D.

10. 如图，点是矩形的边上的一个动点，矩形的两条边、的长分别为和，那么点到矩形的两条对角线和的距离之和是

A.
B.
C.
D. 不确定

二、填空题（本大题共7小题，共28.0分）

11. 若有意义，则的取值范围是__．
12. 若式子，则______．
13. 如图，点是正方形内位于对角线下方的一点，，则的度数为______
    
    
    
     

14. 如图，若菱形的顶点，的坐标分别为，，点在轴上，则点的坐标是______．
    
     

15. 已知实数在数轴上的位置如图所示，则化简的结果为______．
16. 如图，是菱形的对角线的交点，，分别是，的中点．下列结论：四边形是菱形；
    ；
    ；
    是轴对称图形．
    其中正确的结论有______．
17. 观察下列各式：、，、，，，请写出第个式子：______，用含的式子写出你猜想的规律：______．

三、解答题（本大题共5小题，共52.0分）

18. 计算：
    ；
    ；
    ；
    ．
    
    
    
    
    
    
     
19. 如图，矩形中，，，点是对角线的中点，过点的直线分别交，边于点，求证：四边形是平行四边形．
    
     

20. 如图，在四边形中，，点是对角线的中点，过点作的垂线，分别交、于点、，连接、试判断四边形的形状，并证明．

21. 如图，菱形的对角线、相交于点，过点作，且，连接、，连接交于点．
    求证：；
    若菱形的边长为，，求的长．

22. 一阅读下面内容：
    ；  
    ；
    ．
    二计算：
    ；            
    为正整数．
    ．
    
    
    
    
    
    
    
    

答案和解析

1.【答案】

【解析】

解：由题意，得，，
解得且．
故选：．
根据二次根式有意义的条件：被开方数是非负数，根据分式有意义的条件：分母不等于即可得出答案．
本题考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，掌握二次根式有意义的条件：被开方数是非负数，分式有意义的条件：分母不等于是解题的关键．
 

2.【答案】

【解析】

A、可以化简，不是最简二次根式；
B、，不能再开方，被开方数是整式，是最简二根式；
C、，被开方数是分数，不是最简二次根式；
D、，被开方数是分数，不是最简二次根式．
故选：．
要选择属于最简二次根式的答案，就是要求知道什么是最简二次根式的两个条件：、被开方数是整数或整式；、被开方数不能再开方．由被选答案可以用排除法可以得出正确答案．
本题考查了满足是最简二次根式的两个条件：、被开方数是整数或整式；、被开方数不能再开方．
 

3.【答案】

【解析】

解：四边形是正方形，
，，是等边三角形，
，，
，，
．
故选B．
先根据已知求得，再证明，进而求出的度数．
本题考查了正方形和等边三角形的性质：正方形的四条边都相等，四个角都是直角；等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于．
 

4.【答案】

【解析】

解：由于、、都是正方形，所以，；

，即，
在和中，
，
≌，
，；
在中，由勾股定理得：，
即，
则的面积为，
故选C．
故选：．
运用正方形边长相等，再根据同角的余角相等可得，然后证明≌，再结合全等三角形的性质和勾股定理来求解即可．
此题主要考查对全等三角形和勾股定理的综合运用，关键是证明≌．
 

5.【答案】

【解析】

解：四边形是矩形，
，
，
由折叠的性质得：，
，
，
设，则，
在中，，
即，
解得：，
则，，
则，
故选：．
由折叠的性质和矩形的性质可证，设，则，在直角中利用勾股定理即可列方程求得的值，然后根据三角形面积公式求解．
本题考查了折叠的性质、矩形的性质以及勾股定理，正确利用勾股定理求得的长是解决本题的关键．
 

6.【答案】

【解析】

解：．与不是同类二次根式，不能合并，故A不符合题意；
B.，与是同类二次根式，能合并，故符合题意；
C.，与不是同类二次根式，不能合并，故C不符合题意；
D.，与不是同类二次根式，不能合并，故D不符合题意；
故选：．
根据同类二次根式的定义判断即可．
本题考查了同类二次根式，熟练掌握同类二次根式的定义是解题的关键．
 

7.【答案】

【解析】

解：四边形为菱形，
，，，
在中，，
为中点，
．
故选：．
先根据菱形的性质得到，，，再利用勾股定理计算出，然后根据直角三角形斜边上的中线性质得到的长．
本题考查了菱形的性质：菱形具有平行四边形的一切性质；菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角．也考查了直角三角形斜边上的中线性质．
 

8.【答案】

【解析】

【分析】
本题考查了正方形的判定，矩形的判定、平行四边形的性质及菱形的判定方法，牢记判定方法是解答本题的关键．
根据正方形的判定，矩形的判定、菱形的判定方法分别判断后即可确定正确的选项．
【解答】
解：、根据平行四边形的性质得到，，该结论正确，此选项不符合题意；
B、当时，四边形还是平行四边形，原来的结论错误，此选项符合题意；
C、根据有一个角是直角的平行四边形是矩形可以判断原来的结论正确，此选项不符合题意；
D、当且时，根据对角线相等可判断四边形是矩形，根据对角线互相垂直可判断四边形是菱形，故四边形是正方形，该结论正确，此选项不符合题意；
故选B．  

9.【答案】

【解析】

解：，

．
故选D．
等式左边为的算术平方根，等式右边的结果应为非负数．
算术平方根的结果是非负数，这是解答此题的关键．
 

10.【答案】

【解析】

解：法：过点作，
矩形

∽



同理：∽


得：

即点到矩形的两条对角线和的距离之和是．
法：连结．
，，
，
又矩形的对角线相等且互相平分，
，
，
．
故选：．
过点作，，由矩形的性质可证∽和∽，根据和，即和，两式相加得，即为点到矩形的两条对角线和的距离之和．
根据矩形的性质，结合相似三角形求解．
 

11.【答案】

【解析】

【分析】
本题主要考查了二次根式有意义的条件，二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．
根据二次根式的定义可知被开方数必须为非负数，列不等式求解．
【解答】
解：要使有意义，
则，
解得．
故答案为．  

12.【答案】

【解析】

解：依题意，得
，
解得，，
则，
所以，．
故答案是：．
根据二次根式有意义的条件得到，则，把它们的值代入并求值即可．
考查了二次根式的意义和性质．概念：式子叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．
 

13.【答案】

【解析】

【分析】
本题考查了正方形的性质，三角形内角和定理，掌握正方形的性质是本题的关键．
由正方形的性质可得，可得，由三角形内角和定理可求解．
【解答】
解：四边形是正方形，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．  

14.【答案】

【解析】

解：菱形的顶点，的坐标分别为，，点在轴上，
，
，
由勾股定理知：，
点的坐标是：．
故答案为：．
利用菱形的性质以及勾股定理得出的长，进而求出点坐标．
此题主要考查了菱形的性质以及坐标与图形的性质，得出的长是解题关键．
 

15.【答案】

【解析】

解：由数轴可知：，
则，
原式，
故答案为：．
根据数轴得到，根据二次根式的性质、合并同类项法则计算，得到答案．
本题考查的是实数与数轴、二次根式的化简，根据数轴得出的范围是解题的关键．
 

16.【答案】

【解析】

解：四边形是菱形，
，，，
、分别是、的中点，

，
，，
四边形是平行四边形，且，
四边形是菱形，
故正确；
，
，
故正确；
中，是的中线，
，
故错误；
四边形是菱形，
是等腰三角形，
是轴对称图形，
故正确；
故正确的结论是．
故答案为：．
由菱形的性质可得，，，由菱形的判定可判断，由菱形的面积公式可判断，由直角三角形的性质可判断，由等腰三角形的性质可判断．
本题考查了菱形的判定和性质，等腰三角形的性质，熟练运用菱形的性质是本题的关键．
 

17.【答案】

【解析】

解：，，，，
第个式子：，
用含 的式子写出你猜想的规律：．
故答案为：；．
根据已知各式进而得出数字变化规律，进而得出答案．
此题主要考查了算术平方根以及数字变换规律，正确得出式子变化规律是解题关键．
 

18.【答案】

解：原式

；
原式

；
原式

；
原式

．
 

【解析】

先化简二次根式，再合并同类二次根式即可．
本题考查了二次根式的加减法，掌握二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并是解题的关键．
 

19.【答案】

证明：四边形是矩形，
，
，
是的中点，
，
在和中，
，
≌，
，
，
，
四边形是平行四边形．
 

【解析】

根据矩形的性质得出，根据平行线的性质得出，根据全等三角形的判定得出≌，根据全等三角形的性质得出，根据平行四边形的判定得出即可．
本题考查了菱形的性质和判定，平行线的性质，平行四边形的判定，全等三角形的性质和判定等知识点，能综合运用知识点进行推理和计算是解此题的关键．
 

20.【答案】

解：四边形为菱形．
证明如下：，
．
是中点，
．
在和中

≌．
．
又，
四边形为平行四边形，
，
平行四边形为菱形．
 

【解析】

由条件可先证四边形为平行四边形，再结合线段垂直平分线的性质可证得结论．
本题主要考查了全等三角形的判定与性质以及菱形的判定，解题时注意：在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．
 

21.【答案】

证明：在菱形中，．
．
，
四边形是平行四边形．
，
，
平行四边形是矩形． 
．
解：在菱形中，，
是等边三角形，
，．
在矩形中，．
在中，．
 

【解析】

先求出四边形是平行四边形，再根据菱形的对角线互相垂直求出，证明四边形是矩形，可得；
根据菱形的性质得出，再根据勾股定理得出、的长度即可．
本题考查了菱形的性质，矩形的判定与性质，勾股定理的应用，是基础题，熟记矩形的判定方法与菱形的性质是解题的关键．
 

22.【答案】

解：二原式；
；
原式．
 

【解析】

二原式分母有理化即可得到结果；
归纳总结得到一般性规律，写出即可；
原式利用得出的规律计算即可得到结果．
此题考查了分母有理化，弄清题中的规律是解本题的关键．