2022北京海淀区高三下学期第一次模拟考试数学含答案

海淀区2021-2022学年第二学期期中练习

高三数学2022．03

第一部分（选择题共40分）

一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．

01．已知集合，，则（）

 A． B． C． D．

02．在复平面内，复数对应的点为，则（）

 A．2 B． C． D．

03．双曲线的离心率为（）

 A． B． C． D．

04．在的展开式中，的系数为（）

 A． B．1 C． D．4

05．下列命题中正确的是（）

 A．平行于同一个平面的两条直线平行 B．平行于同一条直线的两个平面平行

 C．垂直于同一个平面的两个平面平行 D．垂直于同一条直线的两个平面平行

06．已知直线是圆的一条对称轴，则的最大值为（）

 A． B． C．1 D．

07．已知角的终边绕原点逆时针旋转后与角的终边重合，且，则的取值可以为（）

 A． B． C． D．

08．已知二次函数的图象如图所示，将其向右平移2个单位长度得到函数的图像，则不等式的解集是（）

 A． B． C． D．

09．在中，，则“”是“是钝角三角形”的（）

 A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

10．甲医院在某段时间内累计留院观察的某病疑似患者有98人．经检测后分为确诊组和排除组，患者年龄分布如下表：

为研究患病与年龄的关系，现采用两种抽样方式．第一种：从98人中随机抽取7人．第二种：从排除组的84人中随机抽取7人．用分别表示两种抽样方式下80岁及以上的人数与80岁以下的人数之比．给出下列四个结论：

①在第一种抽样方式下，抽取的7人中一定有1人在确诊组；

②在第二种抽样方式下，抽取的7人都小于20岁的概率是0；

③的取值范围都是；

④

其中，正确结论的个数为（）

 A．1 B．2 C．3 D．4

第二部分（非选择题共110分）

二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．

11．已知抛物线的准线方程为，则____．

12．已知是等比数列，为其前项和，若是的等差中项，，则____，____．

13．若函数的值域为，则实数的一个取值可以为____．

14．已知是单位向量，且，设向量，当时，____；当时，的最小值为____．

15．已知函数，给出下列四个结论：

①是偶函数；②有无数个零点；③的最小值为；④的最大值为1．

其中，所有正确结论的序号为____．

三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．

16．（14分）设函数．已知存在使得同时满足下列三个条件中的两个：

条件①：；

条件②：的最大值为；

条件③：是图象的一条对称轴．

（Ⅰ）请写出满足的两个条件，并说明理由；

（Ⅱ）若在区间上有且只有一个零点，求的取值范围．

17．（14分）如图，在四棱柱中，底面是正方形，平面平面，，．

（Ⅰ）求证：；

（Ⅱ）若直线与平面所成角的正弦值为，求的长度．

18．（14分）《黄帝内经》中十二时辰养生法认为：子时的睡眠对一天至关重要（子时是指23点到次日凌晨1点）．相关数据表明，入睡时间越晚，沉睡时间越少，睡眠指数也就越低．根据某次的抽样数据，对早睡群体和晚睡群体睡眠指数的统计如下表：

（Ⅰ）根据表中数据，估计早睡人群睡眠指数分位数与晚睡人群睡眠指数分位数分别在第几组？

（Ⅱ）据统计，睡眠指数得分在区间内的人群中，早睡人群约占．从睡眠指数得分在区间内的人群中随着抽取3人，以表示这3人中属于早睡人群的人数，求的分布列与数学期望；

（Ⅲ）根据表中数据，有人认为，早睡人群的睡眠指数平均值一定茖在区间．试判断这种说法是否正确，并说明理由．

19．（14分）已知函数．

（Ⅰ）求曲线在点处的切线的方坚；

（Ⅱ）若函数在处取得极大值，求的取值范围；

（Ⅲ）若函数存在最小值，直接写出的取值范围．

20．（15分）已知椭圆的下顶点和右顶点都在直线上．

（Ⅰ）求椭圆方程及其离心率；

（Ⅱ）不经过点的直线交椭圆于两点，过点作轴的垂线交于点，点关于点的对称点为．若三点共絨，求证：直线经过定点．

21．（14分）设为正整数，若无穷数列满足，则称为数列．

（Ⅰ）数列是否为数列？说明理由；

（Ⅱ）已知其中为常数．若数列为数列，求；

（Ⅲ）已知数列满足，，，求．