2021北京海淀区高二下学期期中考试数学试题含答案

这是一份2021北京海淀区高二下学期期中考试数学试题含答案，共13页。试卷主要包含了函数的导函数，已知等比数列满足，记，则数列，已知等比数列满足若，则等内容，欢迎下载使用。
2021.4
本试卷共4页，100分.考试时长90分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一､选择题：共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.
1.已知等差数列中，，公差，则（ ）
A.9 B.10 C.11 D.12
2.已知等比数列的公比为，前项和为若，则（ ）
A.8 B.12 C.14 D.16
3.函数的导函数（ ）
A. B. C. D.
4.已知函数的图象如图所示，则的极小值点的集合为（ ）
A. B.
C. D.
5.已知函数若对于任意都有，则实数的范围是（ ）
A. B. C. D.
6.科学家经过长期监测，发现在某一段时间内，某物种的种群数量可以近似看作时间的函数，记作，其瞬时变化率和的关系为，其中为常数.在下列选项所给函数中，可能是（ ）
A. B.
C. D.
7.若函数有唯一零点，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.或
8.一个小球作简谐振动，其运动方程为，其中(单位：是小球相对于平衡点的位移，(单位：)为运动时间，则小球的瞬时速度首次达到最大时，（ ）
A.1 B. C. D.
9.已知等比数列满足，记，则数列（ ）
A.有最大项，有最小项 B.有最大项，无最小项
C.无最大项，有最小项 D.无最大项，无最小项
10.已知等比数列满足若，则（ ）
A. B.
C. D.
二､填空题：共5小题，每小题4分，共20分.
11.函数在处的切线方程为__________.
12.已知函数，则__________.
13.已知等比数列的前项和，则__________，__________.
14.已知等比数列满足能说明“若，则为假命题的数列的通项公式__________.(写出一个即可)
15.物体的温度在恒定温度环境中的变化模型为：，其中表示物体所处环境的温度，是物体的初始温度，是经过小时后物体的温度，且现将与室温相同的食材放进冰箱的冷冻室，如果用以上模型来估算放入冰箱食材的温度变化情况，则食材的温度在单位时间下降的幅度__________(填写正确选项的序号).
①越来越大②越来越小③恒定不变
三､解答题：共4小题，每小题10分，共40分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
16.已知等差数列的前项和为，且
（1）求的通项公式；
（2）求数列的前20项和；
（3）在数列中是否存在不同的两项，使得它们的等比中项中至少有一个仍是该数列中的项？若存在，请写出这两项的值(写出一组即可)；若不存在，请说明理由.
17.已知函数
（1）当时，求函数的单调区间；
（2）若恒成立，求的取值范围.
18.易拉罐用料最省问题的研究.小明同学最近注意到一条新闻，易拉罐(如图所示)作为饮品的容器，每年的用量可达数万亿个.这让他想到一个用料最优化的问题，即在易拉罐的体积一定的情况下，如何确定易拉罐的高和半径才能使得用料最省？他研究发现易拉罐的上盖､下底和侧壁的厚度是不同的，进而结合数学建模知识进行了深入研究.以下是小明的研究过程，请你补全缺失的部分.
以下是小明的研究过程，请你补全缺失的部分.
（I）模型假设：
①易拉罐近似看成圆柱体；
②上盖､下底､侧壁的厚度处处均匀；
③上盖､下底､侧壁所用金属相同；
④易拉罐接口处的所用材料忽略不计.
（II）建立模型
记圆柱体积为，高为，底面半径为，上盖､下底和侧壁的厚度分别为，
金属用料总量为C.
由几何知识得到如下数量关系：
①
②
因为都是常数，不妨设，
则用料总量的函数简化为.
请写出表格中代入整理这一步的目的是：___________________________.
（III）求解模型：
所以，在___________(用表示)时，取得最小值，即在此种情况下用料最省.
(Ⅳ)检验模型：
小明上网查阅到目前330毫升可乐易拉罐的数据，得知，代入（III）的模型结果，经计算得
经验算，确认计算无误，但是这与实际罐体半径差异较大.实际上，在经济利益驱动之下，目前的罐体成本应该已经达最优.
(Ⅴ)模型评价与改进：
模型计算结果与现实数据存在较大差异的原因可能为：__________________________
_______________________________________________________________________.
相应改进措施为：__________________________________________________________
_______________________________________________________________________.
19.集合，集合，若集合中元素个数为，且所有元素从小到大排列后是等差数列，则称集合为“好集合”.
（1）判断集合是否为“好集合”；
（2）若集合是“好集合”，求的值；
（3）“好集合”的元素个数是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由.
海淀区高二年级第二学期期中练习参考答案
数学
2021.4
本试卷共4页，100分.考试时长90分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上
作答无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一､选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题
目要求的一项
二､填空题共5小题，每小题4分，共20分.
11.
12.
13.(每空2分)
14.(答案不唯一)
15.②
三､解答题共4小题，每小题10分，共40分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
16.【解析】
（1）设等差数列的公差为，由题意得，
解得，
所以.
（2）由可得，由可得，
所以，
所以.
（3）存在
答案不唯一)
17.【解析】
（1）当时，，定义域为，
当时，；
当时，，所以的单调递增区间是；
当时，，所以的单调递减区间是；
综上，的单调递增区间是，单调递减区间是.
（2）定义域为，
所以恒成立，等价于恒成立，
设，则，
当时，；
当时，的单调递增区间是；
当时，的单调递减区间是
所以，的极大值，此时也是最大值，为.
所以的取值范围是.
18.【解析】
（2）表格中代入整理这一步的目的是：消元，消去变量，使②中的表达式只含有一个自变量.
（3）解：由可得，
当时，；
当时，，所以的单调递增区间是.
当时，，所以的单调递减区间是.
所以，在时，取得最小值，即在此种情况下用料最省.
（Ⅴ）说明：本小题的答案不唯一，下面两种是常见的两个考虑维度，答出任何一条即可，但是学生指出的原因和改进措施必须相匹配，只填出一空不给分.
模型计算结果与现实数据存在较大差异的原因可能为：
①模型假设过于简单，把易拉罐近似看成圆柱体，但实际上易拉罐的上部为近似圆台体，尤其是底部有凹进去的部分相应改进措施：更精细描述易拉罐，例如将易拉罐体看作是圆台和圆柱的组合体.
②模型主要考虑了如何设计使得用料最省，但实际上还需要考虑生产与运输中的其它限制条件，还有消费者的喜好等其它因素.相应改进措施：了解在现实中，商家认为的最优内涵要素，重新界定问题.
19.【解析】
（1），相应的符合题意，所以是“好集合”；
，因为，所以不符合题意，所以不是“好集合”；
（2），相应的，
又因为，所以元素由小到大排列后为：
或
因为这个序列是等差数列，所以公差.
所以或，所以或
经检验，当时，，符合题意；时，不符合题意.
所以
（3）“好集合”的元素个数存在最大值.
由（2）可知即为“好集合”.
以下证明都不是“好集合"，共分为两步：先证明“好集合”的元素个数，再证明也不符合题意.
不妨设，记，
中的所有元素从小到大排列为，构成的等差数列公差为
显然，所以.
第一步，证明“好集合”的元素个数.
(反证法)假设，以下分与两种情况进行讨论：
（1）若，
又因为且公差，
可得，
所以，
所以，
因为余下的两项之和中，最小，
所以，所以，
因为，
在余下的项中，是和是较小的，
因为，所以，
所以，则
所以
这与“中元素个数为”矛盾!
（2）若，则，
在余下的项中，是和是较小的，
①若，那么，
所以，，
而与“中元素个数为”矛盾!
②若，
那么
所以，
因为余下的两项之和中，最小，
所以，所以，
又因为，
所以，所以，
所以，与“中元素个数为”矛盾!
综合（1）（2）可知，假设不成立，所以.
第二步，证明也不符合题意
当时，显然，
所以，且，即公差为，
因为
所以，
注意到，否则成等差数列，，与“中元素个
数为”矛盾!
所以，
又因为，
所以，
所以，
所以，
所以成等差数列，所以，与“中元素个数为”矛盾!
所以，也不符合题意.
由①得，代入②整理得：.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
C
C
A
B
B
A
D
D
A
A